A．9B．12C．14D．16
【分析】根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半，可得出△ABC的周長＝2△DEF的周長．
【解析】如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為各邊的中點(diǎn)，
∴DE、EF、DF是△ABC的中位線，
∴DE＝BC＝3，EF＝AB＝2，DF＝AC＝4，
∴△DEF的周長＝3+2+4＝9．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查了三角形中位線定理．解題的關(guān)鍵是根據(jù)中位線定理得出邊之間的數(shù)量關(guān)系．
2．（2022?河北）依據(jù)所標(biāo)數(shù)據(jù)，下列一定為平行四邊形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理做出判斷即可．
【解析】A、80°+110°≠180°，故A選項(xiàng)不符合條件；
B、只有一組對邊平行不能確定是平行四邊形，故B選項(xiàng)不符合題意；
C、不能判斷出任何一組對邊是平行的，故C選項(xiàng)不符合題意；
D、有一組對邊平行且相等是平行四邊形，故D選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)評】本題主要考查平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．
3．（2022?湘潭）在?ABCD中（如圖），連接AC，已知∠BAC＝40°，∠ACB＝80°，則∠BCD＝（ ）
A．80°B．100°C．120°D．140°
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可求得∠ACD，即可求出∠BCD．
【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠BAC＝40°，
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC＝40°，
∵∠ACB＝80°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝120°，
故選：C．
【點(diǎn)評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟記平行四邊形的對邊平行是解決問題的關(guān)鍵．
4．（2022?嘉興）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在邊AB，BC，AC上，EF∥AC，GF∥AB，則四邊形AEFG的周長是（ ）
A．8B．16C．24D．32
【分析】由EF∥AC，GF∥AB，得四邊形AEFG是平行四邊形，∠B＝∠GFC，∠C＝∠EFB，再由AB＝AC＝8和等量代換，即可求得四邊形AEFG的周長．
【解析】∵EF∥AC，GF∥AB，
∴四邊形AEFG是平行四邊形，∠B＝∠GFC，∠C＝∠EFB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝∠EFB，∠GFC＝∠C，
∴EB＝EF，F(xiàn)G＝GC，
∵四邊形AEFG的周長＝AE+EF+FG+AG，
∴四邊形AEFG的周長＝AE+EB+GC+AG＝AB+AC，
∵AB＝AC＝8，
∴四邊形AEFG的周長＝AB+AC＝8+8＝16，
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的在等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5．（2022?達(dá)州）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AB，BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F在DE的延長線上．添加一個(gè)條件，使得四邊形ADFC為平行四邊形，則這個(gè)條件可以是（ ）
A．∠B＝∠FB．DE＝EFC．AC＝CFD．AD＝CF
【分析】利用三角形中位線定理得到DE∥AC，DE＝AC，結(jié)合平行四邊形的判定定理對各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
【解析】∵D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，
∴DE是△ABC的中位線，
∴DE∥AC，DE＝AC，
A、當(dāng)∠B＝∠F，不能判定AD∥CF，即不能判定四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、∵DE＝EF，
∴DE＝DF，
∴AC＝DF，
∵AC∥DF，
∴四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項(xiàng)符合題意；
C、根據(jù)AC＝CF，不能判定AC＝DF，即不能判定四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、∵AD＝CF，AD＝BD，
∴BD＝CF，
由BD＝CF，∠BED＝∠CEF，BE＝CE，不能判定△BED≌△CEF，不能判定CF∥AB，即不能判定四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的判定、三角形的中位線定理以及平行線的判定等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的判定和三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．
6．（2022?舟山）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8．點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在邊AB，BC，AC上，EF∥AC，GF∥AB，則四邊形AEFG的周長是（ ）
A．32B．24C．16D．8
【分析】根據(jù)EF∥AC，GF∥AB，可以得到四邊形AEFG是平行四邊形，∠B＝∠GFC，∠C＝∠EFB，再根據(jù)AB＝AC＝8和等量代換，即可求得四邊形AEFG的周長．
【解析】∵EF∥AC，GF∥AB，
∴四邊形AEFG是平行四邊形，∠B＝∠GFC，∠C＝∠EFB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝∠EFB，∠GFC＝∠C，
∴EB＝EF，F(xiàn)G＝GC，
∵四邊形AEFG的周長是AE+EF+FG+AG，
∴四邊形AEFG的周長是AE+EB+GC+AG＝AB+AC，
∵AB＝AC＝8，
∴四邊形AEFG的周長是AG+AC＝8+8＝16，
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，將平行四邊形的周長轉(zhuǎn)化為AB和AC的關(guān)系．
7．（2022?麗水）如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是BC，AC，AB的中點(diǎn)．若AB＝6，BC＝8，則四邊形BDEF的周長是（ ）
A．28B．14C．10D．7
【分析】根據(jù)三角形中位線定理、平行四邊形的判定定理解答即可．
【解析】∵D，E，F(xiàn)分別是BC，AC，AB的中點(diǎn)，
∴DE＝BF＝AB＝3，
∵E、F分別為AC、AB中點(diǎn)，
∴EF＝BD＝BC＝4，
∴四邊形BDEF的周長為：2×（3+4）＝14，
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了三角形的中位線定理，熟練掌握三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．
8．（2022?河北）如圖，將三角形紙片剪掉一角得四邊形，設(shè)△ABC與四邊形BCDE的外角和的度數(shù)分別為α，β，則正確的是（ ）
A．α﹣β＝0B．α﹣β＜0
C．α﹣β＞0D．無法比較α與β的大小
【分析】利用多邊形的外角和都等于360°，即可得出結(jié)論．
【解析】∵任意多邊形的外角和為360°，
∴α＝β＝360°．
∴α﹣β＝0．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角與外角，正確利用任意多邊形的外角和為360°解答是解題的關(guān)鍵．
9．（2022?懷化）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為900°，則這個(gè)多邊形是（ ）
A．七邊形B．八邊形C．九邊形D．十邊形
【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式：（n﹣2）?180°列出方程，解方程即可得出答案．
【解析】設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，
（n﹣2）?180°＝900°，
解得：n＝7．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，體現(xiàn)了方程思想，掌握多邊形的內(nèi)角和＝（n﹣2）?180°是解題的關(guān)鍵．
10．（2022?南充）如圖，在正五邊形ABCDE中，以AB為邊向內(nèi)作正△ABF，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．AE＝AFB．∠EAF＝∠CBFC．∠F＝∠EAFD．∠C＝∠E
【分析】根據(jù)正多邊形定義可知，每一個(gè)內(nèi)角相等，每一條邊相等，再根據(jù)內(nèi)角和公式求出每一個(gè)內(nèi)角，根據(jù)以AB為邊向內(nèi)作正△ABF，得出∠FAB＝∠ABF＝∠F＝60°，AF＝AB＝FB，從而選擇正確選項(xiàng)．
【解析】在正五邊形ABCDE中內(nèi)角和：180°×3＝540°，
∴∠C＝∠D＝∠E＝∠EAB＝∠ABC＝540°÷5＝108°，
∴D不符合題意；
∵以AB為邊向內(nèi)作正△ABF，
∴∠FAB＝∠ABF＝∠F＝60°，AF＝AB＝FB，
∵AE＝AB，
∴AE＝AF，∠EAF＝∠FBC＝48°，
∴A、B不符合題意；
∴∠F≠∠EAF，
∴C符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評】此題主要考查正多邊形的計(jì)算問題、等邊三角形的性質(zhì)，掌握正多邊形定義及內(nèi)角和公式、等邊三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用是解題關(guān)鍵．
11．（2022?武威）大自然中有許多小動(dòng)物都是“小數(shù)學(xué)家”，如圖1，蜜蜂的蜂巢結(jié)構(gòu)非常精巧、實(shí)用而且節(jié)省材料，多名學(xué)者通過觀測研究發(fā)現(xiàn)：蜂巢巢房的橫截面大都是正六邊形．如圖2，一個(gè)巢房的橫截面為正六邊形ABCDEF，若對角線AD的長約為8mm，則正六邊形ABCDEF的邊長為（ ）
A．2mmB．2mmC．2mmD．4mm
【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)和題目中的數(shù)據(jù)，可以求得正六邊形ABCDEF的邊長．
【解析】連接AD，CF，AD、CF交于點(diǎn)O，如右圖所示，
∵六邊形ABCDEF是正六邊形，AD的長約為8mm，
∴∠AOF＝60°，OA＝OD＝OF，OA和OD約為4mm，
∴AF約為4mm，
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查多邊形的對角線，解答本題的關(guān)鍵是明確正六邊形的特點(diǎn)．
12．（2022?樂山）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，過點(diǎn)B作BF⊥AC，垂足為F．若AB＝6，AC＝8，DE＝4，則BF的長為（ ）
A．4B．3C．D．2
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得S△ABC＝S平行四邊形ABCD，結(jié)合三角形及平行四邊形的面積公式計(jì)算可求解．
【解析】在平行四邊形ABCD中，S△ABC＝S平行四邊形ABCD，
∵DE⊥AB，BF⊥AC，
∴，
∵AB＝6，AC＝8，DE＝4，
∴8BF＝6×4，
解得BF＝3，
故選：B．
【點(diǎn)評】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，三角形的面積，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
二．填空題（共10小題）
13．（2022?邵陽）如圖，在等腰△ABC中，∠A＝120°，頂點(diǎn)B在?ODEF的邊DE上，已知∠1＝40°，則∠2＝ 110° ．
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)解答即可．
【解析】∵等腰△ABC中，∠A＝120°，
∴∠ABC＝30°，
∵∠1＝40°，
∴∠ABE＝∠1+∠ABC＝70°，
∵四邊形ODEF是平行四邊形，
∴OF∥DE，
∴∠2＝180°﹣∠ABE＝180°﹣70°＝110°，
故答案為：110°．
【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，熟記平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
14．（2022?泰安）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為 （﹣2，﹣1） ．
【分析】直接根據(jù)平移的性質(zhì)可解答．
【解析】∵四邊形ABCD為平行四邊形，且A（﹣1，2），D（3，2），
∴點(diǎn)A是點(diǎn)D向左平移4個(gè)單位所得，
∵C（2，﹣1），
∴B（﹣2，﹣1）．
故答案為：（﹣2，﹣1）．
【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和平移的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是找出平移的規(guī)律．
15．（2022?南充）數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，為了測量校園內(nèi)被花壇隔開的A，B兩點(diǎn)的距離，同學(xué)們在AB外選擇一點(diǎn)C，測得AC，BC兩邊中點(diǎn)的距離DE為10m（如圖），則A，B兩點(diǎn)的距離是 20 m．
【分析】利用三角形中位線定理解決問題即可．
【解析】∵CD＝AD，CE＝EB，
∴DE是△ABC的中位線，
∴AB＝2DE，
∵DE＝10m，
∴AB＝20m，
故答案為：20．
【點(diǎn)評】本題考查三角形中位線定理，解題的關(guān)鍵是掌握三角形中位線定理，屬于中考?？碱}型．
16．（2022?常德）如圖，已知F是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，F(xiàn)D∥BC，F(xiàn)E∥AB，若?BDFE的面積為2，BD＝BA，BE＝BC，則△ABC的面積是 12 ．
【分析】連接DE，CD，由平行四邊形的性質(zhì)可求S△BDE＝1，結(jié)合BE＝BC可求解S△BDC＝4，再利用BD＝BA可求解△ABC的面積．
【解析】連接DE，CD，
∵四邊形BEFD為平行四邊形，?BDFE的面積為2，
∴S△BDE＝S?BDFE＝1，
∵BE＝BC，
∴S△BDC＝4S△BDE＝4，
∵BD＝BA，
∴S△ABC＝3S△BDC＝12，
故答案為：12．
【點(diǎn)評】本題主要考查三角形的面積，平行四邊形的性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
17．（2022?蘇州）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB＝3，AC＝4，分別以A，C為圓心，大于AC的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，過M，N兩點(diǎn)作直線，與BC交于點(diǎn)E，與AD交于點(diǎn)F，連接AE，CF，則四邊形AECF的周長為 10 ．
【分析】根據(jù)勾股定理得到BC＝＝5，由作圖可知，MN是線段AC的垂直平分線，求得EC＝EA，AF＝CF，推出AE＝CE＝BC＝2.5，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，∠ACD＝∠BAC＝90°，同理證得AF＝CF＝2.5，于是得到結(jié)論．
【解析】∵AB⊥AC，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝＝5，
由作圖可知，MN是線段AC的垂直平分線，
∴EC＝EA，AF＝CF，
∴∠EAC＝∠ACE，
∵∠B+∠ACB＝∠BAE+∠CAE＝90°，
∴∠B＝∠BAE，
∴AE＝BE，
∴AE＝CE＝BC＝2.5，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，∠ACD＝∠BAC＝90°，
同理證得AF＝CF＝2.5，
∴四邊形AECF的周長＝EC+EA+AF+CF＝10，
故答案為：10．
【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，作圖﹣基本作圖，勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)．利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．
18．（2022?安徽）如圖，?OABC的頂點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A在x軸的正半軸上，B，C在第一象限，反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，y＝（k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)B．若OC＝AC，則k＝ 3 ．
【分析】設(shè)出C點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)C點(diǎn)的坐標(biāo)得出B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后計(jì)算出k值即可．
【解析】由題知，反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，
設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（a，），
作CH⊥OA于H，過A點(diǎn)作AG⊥BC于G，
∵四邊形OABC是平行四邊形，OC＝AC，
∴OH＝AH，CG＝BG，四邊形HAGC是矩形，
∴OH＝CG＝BG＝a，
即B（3a，），
∵y＝（k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，
∴k＝3a?＝3，
故答案為：3．
【點(diǎn)評】本題主要考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
19．（2022?眉山）一個(gè)多邊形外角和是內(nèi)角和的，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為 11 ．
【分析】多邊形的內(nèi)角和定理為（n﹣2）×180°，多邊形的外角和為360°，根據(jù)題意列出方程求出n的值．
【解析】設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，
根據(jù)題意可得：，
解得：n＝11，
故答案為：11．
【點(diǎn)評】本題主要考查的是多邊形的內(nèi)角和公式以及外角和定理，屬于基礎(chǔ)題型．記憶理解并應(yīng)用這兩個(gè)公式是解題的關(guān)鍵．
20．（2022?株洲）如圖所示，已知∠MON＝60°，正五邊形ABCDE的頂點(diǎn)A、B在射線OM上，頂點(diǎn)E在射線ON上，則∠AEO＝ 48 度．
【分析】根據(jù)正五邊形的性質(zhì)求出∠EAB，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)算，得到答案．
【解析】∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴∠EAB＝＝108°，
∵∠EAB是△AEO的外角，
∴∠AEO＝∠EAB﹣∠MON＝108°﹣60°＝48°，
故答案為：48．
【點(diǎn)評】本題考查的是正多邊形，掌握多邊形內(nèi)角和定理、正多邊形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
21．（2022?江西）正五邊形的外角和為 360 度．
【分析】根據(jù)多邊形外角和等于360°即可解決問題．
【解析】正五邊形的外角和為360度，
故答案為：360．
【點(diǎn)評】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角，解決本題的關(guān)鍵是掌握多邊形外角和等于360°．
22．（2022?遂寧）如圖，正六邊形ABCDEF的頂點(diǎn)A、F分別在正方形BMGH的邊BH、GH上．若正方形BMGH的邊長為6，則正六邊形ABCDEF的邊長為 4 ．
【分析】根據(jù)正多邊形的性質(zhì)和直角三角形中，30°角所對的邊是斜邊的一半可以求得AF的長．
【解析】設(shè)AF＝x，則AB＝x，AH＝6﹣x，
∵六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴∠BAF＝120°，
∴∠HAF＝60°，
∴∠AHF＝90°，
∴∠AFH＝30°，
∴AF＝2AH，
∴x＝2（6﹣x），
解得x＝4，
∴AB＝4，
即正六邊形ABCDEF的邊長為4，
故答案為：4．
【點(diǎn)評】本題考查正多邊形和圓，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
三．解答題（共6小題）
23．（2022?宿遷）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊AB、CD的中點(diǎn)．求證：AF＝CE．
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得AB∥CD，AB＝CD，由中點(diǎn)的性質(zhì)可得AE＝CF，可證四邊形AECF是平行四邊形，即可求解．
【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵點(diǎn)E、F分別是邊AB、CD的中點(diǎn)，
∴AE＝BE＝CF＝DF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∴AF＝CE．
【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．
24．（2022?揚(yáng)州）如圖，在?ABCD中，BE、DG分別平分∠ABC、∠ADC，交AC于點(diǎn)E、G．
（1）求證：BE∥DG，BE＝DG；
（2）過點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F．若?ABCD的周長為56，EF＝6，求△ABC的面積．
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得∠DAC＝∠BCA，AD＝BC，AB＝CD，由角平分線的定義及三角形外角的性質(zhì)可得∠DGE＝∠BEG，進(jìn)而可證明BE∥DG；利用ASA證明△ADG≌△CBE可得BE＝DG；
（2）過E點(diǎn)作EH⊥BC于H，由角平分線的性質(zhì)可求解EH＝EF＝6，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可求解AB+BC＝28，再利用三角形的面積公式計(jì)算可求解．
【解答】（1）證明：在?ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，
∴∠DAC＝∠BCA，AD＝BC，AB＝CD，
∵BE、DG分別平分∠ABC、∠ADC，
∴∠ADG＝∠CBE，
∵∠DGE＝∠DAC+∠ADG，∠BEG＝∠BCA+∠CBG，
∴∠DGE＝∠BEG，
∴BE∥DG；
在△ADG和△CBE中，
，
∴△ADG≌△CBE（ASA），
∴BE＝DG；
（2）解：過E點(diǎn)作EH⊥BC于H，
∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，
∴EH＝EF＝6，
∵?ABCD的周長為56，
∴AB+BC＝28，
∴S△ABC＝
＝
＝
＝84．
【點(diǎn)評】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的定義與性質(zhì)，三角形的面積，全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
25．（2022?瀘州）如圖，E，F(xiàn)分別是?ABCD的邊AB，CD上的點(diǎn)，已知AE＝CF．求證：DE＝BF．
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可以得到∠A＝∠C，AD＝CB，再根據(jù)AE＝CF，利用SAS可以證明△ADE和△CBF全等，然后即可證明結(jié)論成立．
【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠A＝∠C，AD＝CB，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴DE＝BF．
【點(diǎn)評】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是證明△ADE和△CBF全等．
26．（2022?新疆）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，F(xiàn)分別為邊AC，AB的中點(diǎn)．延長DF到點(diǎn)E，使DF＝EF，連接BE．
求證：（1）△ADF≌△BEF；
（2）四邊形BCDE是平行四邊形．
【分析】（1）根據(jù)SAS證明△ADF≌△BEF；
（2）根據(jù)點(diǎn)D，F(xiàn)分別為邊AC，AB的中點(diǎn)，可得DF∥BC，DF＝BC，再由EF＝DE，得EF＝DE，DF+EF＝DE＝BC，從而得出四邊形BCDE是平行四邊形；
【解答】證明：（1）∵F是AB的中點(diǎn)，
∴AF＝BF，
在△ADF和△BEF中，
，
∴△ADF≌△BEF（SAS）；
（2）∵點(diǎn)D，F(xiàn)分別為邊AC，AB的中點(diǎn)，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∵EF＝DF，
∴EF＝DE，
∴DF+EF＝DE＝BC，
∴四邊形BCDE是平行四邊形．
【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的判定和三角形全等的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是牢記平行四邊形的判定定理．
27．（2022?株洲）如圖所示，點(diǎn)E在四邊形ABCD的邊AD上，連接CE，并延長CE交BA的延長線于點(diǎn)F，已知AE＝DE，F(xiàn)E＝CE．
（1）求證：△AEF≌△DEC；
（2）若AD∥BC，求證：四邊形ABCD為平行四邊形．
【分析】（1）利用SAS定理證明△AEF≌△DEC；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠AFE＝∠DCE，得到AB∥CD，根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形證明結(jié)論．
【解答】證明：（1）在△AEF和△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC（SAS）；
（2）∵△AEF≌△DEC，
∴∠AFE＝∠DCE，
∴AB∥CD，
∵AD∥BC，
∴四邊形ABCD為平行四邊形．
【點(diǎn)評】本題考查的是平行四邊形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
28．（2022?溫州）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AC，AB的中點(diǎn)，O是DF的中點(diǎn)，EO的延長線交線段BD于點(diǎn)G，連結(jié)DE，EF，F(xiàn)G．
（1）求證：四邊形DEFG是平行四邊形．
（2）當(dāng)AD＝5，tan∠EDC＝時(shí)，求FG的長．
【分析】（1）由三角形中位線定理得EF∥BC，則∠EFO＝∠GDO，再證△OEF≌△OGD（ASA），得EF＝GD，然后由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；
（2）由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得DE＝AC＝CE，則∠C＝∠EDC，再由銳角三角函數(shù)定義得CD＝2，然后由勾股定理得AC＝，則DE＝AC＝，進(jìn)而由平行四邊形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵E，F(xiàn)分別是AC，AB的中點(diǎn)，
∴EF是△ABC的中位線，
∴EF∥BC，
∴∠EFO＝∠GDO，
∵O是DF的中點(diǎn)，
∴OF＝OD，
在△OEF和△OGD中，
，
∴△OEF≌△OGD（ASA），
∴EF＝GD，
∴四邊形DEFG是平行四邊形．
（2）解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵E是AC的中點(diǎn)，
∴DE＝AC＝CE，
∴∠C＝∠EDC，
∴tanC＝＝tan∠EDC＝，
即＝，
∴CD＝2，
∴AC＝＝＝，
∴DE＝AC＝，
由（1）可知，四邊形DEFG是平行四邊形，
∴FG＝DE＝．
【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理以及銳角三角函數(shù)定義等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

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