安徽省淮北市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

時(shí)間：120分鐘；滿分：150分
第I卷
單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.若AB=(?1,2,3)，BC=(1,?1,?5)，則|AC|=( )
A. 5B. 10C. 5D. 10
【答案】A
解：∵AB=(?1,2,3)，BC=(1,?1,?5)，
∴AC=AB+BC=(0,1,?2)，
則|AC|= 02+12+(?2)2= 5．
2.空間四邊形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，且OM=23OA，BN=NC，則MN=( )
A. 12a?23b+12cB. 12a+12b?12c
C. ?23a+23b+12cD. ?23a+12b+12c
【答案】D
解：由題知，空間四邊形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，且OM=23OA，BN=NC，
如圖，
所以O(shè)N=12OB+12OC，
所以MN=MO+ON=?23OA+12(OB+OC)=?23a+12b+12c，
3.在數(shù)列{an}中，a1=1，Sn+1=4an+2，則a2019的值為( )
A. 757×22020B. 757×22019C. 757×22018D. 無法確定
【答案】A
解：∵a1=1，Sn+1=4an+2，∴S2=a1+a2=4a1+2，解得a2=5．
∵Sn+1=4an+2，∴Sn+2=4an+1+2，兩式相減得，an+2=4an+1?4an，
∴an+2?2an+1=2an+1?2an，
∴an+1?2an是以a2?2a1=3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴an+1?2an=3×2n?1，兩邊同除以2n+1，則an+12n+1?an2n=34，
∴an2n是以34為公差，a121=12為首項(xiàng)的等差數(shù)列，
∴an2n=12+n?1×34=3n?14，
∴an=3n?14×2n=3n?1×2n?2，
∴a2019=3×2019?1×22017=757×22020．
4.過點(diǎn)P(?2,4)作圓O：(x?2)2+(y?1)2=25的切線l，直線m：ax?3y=0與直線l平行，則直線l與m的距離為( )
A. 4B. 2C. 85D. 125
【答案】A
解：由已知，切線斜率存在且不為0，
因?yàn)镻為圓上一點(diǎn)，則有kOP·kl=?1,
而kOP=4?1?2?2=?34，∴kl=43．
∴a=4,所以直線m：4x?3y=0,
直線l：y?4=43x+2即4x?3y+20=0．
∴l(xiāng)與m的距離為|20| 42+(?3)2=4．
5.直線x+y+3=0分別與x軸，y軸交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓x?32+y2=2上，則△ABP面積的取值范圍是( )
A. 6,12B. 6 2,12 2
C. 12,20D. 12 2,20 2
【答案】A
解：因?yàn)橹本€x+y+3=0分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，
所以A(?3,0)，B(0,?3)因此|AB|=3 2．
因?yàn)閳Ax?32+y2=2的圓心為(3,0)，半徑r= 2，
所以若設(shè)圓心(3,0)到直線x+y+3=0的距離為d，
則d=|3+0+3| 2=3 2> 2，
因此直線x+y+3=0與圓(x?3)2+y2=2相離．
又因?yàn)辄c(diǎn)P在圓(x?3)2+y2=2上，
所以點(diǎn)P到直線x+y+3=0距離?的最小值為d?r=3 2? 2=2 2，
最大值為d+r=3 2+ 2=4 2，即?∈[2 2,4 2]，
又因?yàn)椤鰽BP面積為12×|AB|×?=3 22?，
所以△ABC面積的取值范圍為[6,12]．
6.已知橢圓C1:x2a2+y2b2=1a>b>0與雙曲線C2:x2m2?y2n2=1m>0,n>0有相同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且∠F1PF2=60°，若橢圓C1的離心率e1=?22，則雙曲線C2的離心率e2=( )
A. 62B. ?72C. 1+?2D. 3
【答案】A
解：設(shè)|PF1|=s，|PF2|=t，P為第一象限的交點(diǎn)，
由橢圓和雙曲線的定義可得s+t=2a，s?t=2m，
解得s=a+m，t=a?m，
在三角形F1PF2中，∠F1PF2=60°，
可得4c2=s2+t2?2stcs60°
=a2+m2+2am+a2+m2?2am?(a2?m2)，
即有a2+3m2=4c2，可得a2c2+3m2c2=4，
即為1e12+3e22=4，由e1= 22，可得e2= 62，
7.在圓冪定理中有一個(gè)切割線定理：如圖1所示，QR為圓O的切線，R為切點(diǎn)，QCD為割線，則QR2=QC?QD.如圖2所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A?1,0，點(diǎn)P是圓O:x2+y2=4上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)B1,0作直線BT垂直AP于點(diǎn)T，則2PA+3PT的最小值是( )
A. 6 2B. 8 2C. 4 2D. 2 2
【答案】A
解：連接PO，
在△PAB中，因?yàn)镺是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是圓O:x2+y2=4上的任意一點(diǎn)，所以PO=12(PA+PB)，平方得|PO→|2=14(|PA→|2+|PB→|2+2|PA→|?|PB→|cs∠APB)，
將cs∠APB=|PA|2+|PB|2?|AB|22|PA|?|PB|代入可得
|PO|=12 2(|PA|2+|PB|2)?|AB|2=2，因?yàn)閨AB|=2，所以PA2+PB2=10，
所以cs∠APB=3PA?PB，在Rt△PBT，PT=PBcs∠APB=3PA，
所以2|PA|+3|PT|=2|PA|+9|PA|?2 18=6 2，
當(dāng)且僅當(dāng)2PA=9PA，即PA=3 22時(shí)，取等號(hào)，
8.已知數(shù)列{an}滿足a1+2a2+3a3+…+nan=(2n?1)·2n，設(shè)bn=2n+1nan，Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．若Snm，
所以橢圓C:x2m2+2+y2m=1的焦點(diǎn)在x軸上，
故其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2 m2+2，選項(xiàng)A錯(cuò)誤;
若m=1，則曲線C為橢圓，方程為x23+y2=1，焦點(diǎn)坐標(biāo)為± 2,0，
當(dāng)過焦點(diǎn)的直線斜率為0時(shí)，此時(shí)該直線截橢圓C的弦長(zhǎng)為2 3；
當(dāng)過焦點(diǎn)的直線斜率不為0時(shí)，不妨設(shè)該直線過橢圓C的右焦點(diǎn)，方程為x=ny+ 2，與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)分別為Ax1,y1,Bx2,y2，
由x23+y2=1x=ny+ 2，可得n2+3y2+2 2ny?1=0，
則有Δ=8n2+4n2+3=12n2+1>0y1+y2=?2 2nn2+3y1y2=?1n2+3,
AB= 1+n2y1?y2= 1+n2· y1+y22?4y1y2
= 1+n2· ?2 2nn2+32?4×?1n2+3
= 1+n2·2 3n2+1n2+3=2 3·n2+1n2+3=2 31?2n2+3?2 33，
當(dāng)n=0時(shí)，上式不等式可取等號(hào)，即ABmin=2 33，
11.在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，E、F分別是BC、A1C1的中點(diǎn)，D在線段B1C1上，則下面說法中正確的有( )
A. EF //平面AA1B1B
B. 直線EF與平面ABC所成角的正弦值為 55
C. 若D是B1C1的中點(diǎn)，若M是B1A1的中點(diǎn)，則F到平面BDM的距離是2 55
D. 直線BD與直線EF所成角最小時(shí)，線段BD長(zhǎng)為3 22
【答案】ACD
解：∵直三棱柱 ABC?A1B1C1中， ∠BAC=90 °，
∴以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AC，AA1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，
∵ AB=AC=AA1=2， E， F分別是BC，A1C1的中點(diǎn)，
∴A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,1,0)，F(xiàn)(0,1,2)，A1(0,0,2)，
設(shè)D(x,?x+2,2)，(0≤x≤2)，
對(duì)于A， AC=(0,2,0)為平面AA1B1B的一個(gè)法向量， EF=(?1,0,2)，
則AC·EF=(0,2,0)·(?1,0,2)=0，
∵EF不在平面AA1B1B內(nèi)，
∴ EF/?/平面 AA1B1B，故A正確；
對(duì)于B， AA1=(0,0,2)為平面 ABC的一個(gè)法向量， EF=(?1,0,2)，
設(shè)直線EF與平面 ABC所成角為θ，
則 sinθ=csAA1,EF=AA1·EFAA1·EF=42× 5=2 55，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng) D是B1C1上的中點(diǎn)時(shí)，D(1,1,2)，M(1,0,2)，可得BD=(?1,1,2)， DM=(0,?1,0)，設(shè)平面BDM的法向量為m=x,y,z，
則 BD·m=0DM·m=0 ，解得m=2,0,1，F(xiàn)D=(1,0,0)，設(shè)F到平面BDM的距離為d，
則d=FD·mm=2 5=2 55，故C正確；
對(duì)于D，設(shè)B1D=λB1C1=(?2λ,2λ,0),(0≤λ≤1)，
則BD=BB1+B1D=(?2λ,2λ,2)， EF=(?1,0,2)，
設(shè)直線BD與直線 EF所成角為φ，
則csφ=BD·EFBD·EF=λ+2 2λ2+1× 5= 1 5 (3λ+2?43)2+29，
當(dāng) 3λ+2?43=0，即 λ=14時(shí)， csφ取最大值，此時(shí)直線BD與直線EF所成角最小，
BD=(?12,12,2)， BD= (?12)2+(12)2+4=3 22，故D正確．
綜上，可知橢圓C:x23+y2=1中過焦點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為2 33．選項(xiàng)D正確．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.過點(diǎn)(?1,2)且與圓(x?1)2+y2=4相切的直線方程為__________．
【答案】x=?1或y=2
解：當(dāng)x=?1，y=2時(shí)，(x?1)2+y2=?1?12+22=8，所以點(diǎn)(?1,2)在圓外，
由標(biāo)準(zhǔn)方程可知，圓心為(1,0)，半徑為2，
當(dāng)所求切線斜率不存在時(shí)，方程為x=?1，
圓心到該直線的距離為d=2和半徑相等，所以x=?1是所求切線；
當(dāng)所求切線斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，則切線方程為y?2=k(x+1)，
即kx?y+k+2=0，圓心到直線的距離d=k+k+2 k2+1=2，解得k=0，所以切線方程為y=2，
綜上所述，切線方程為x=?1或y=2；
數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=2(n+2)n+1an(n∈N?)，則a2017a1+a2+?+a2016=________．
【答案】10091008
解：∵數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=2(n+2)n+1an(n∈N?)，∴an+1n+2=2?ann+1，a11+1=1，
∴ann+1=2n?1，即an=(n+1)?2n?1，
設(shè)其前n項(xiàng)和為Sn，則Sn=2+3×2+4×22+…+(n+1)?2n?1，
∴2Sn=2×2+3×22+…+n?2n?1+(n+1)?2n，
∴?Sn=2+2+22+…+2n?1?(n+1)?2n=2+2n?22?1?(n+1)?2n，
∴Sn=n?2n，則a2017a1+a2+?+a2016=2018×220162016×22016=10091008．
故答案為：10091008．
14.已知F2,0為橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦點(diǎn)，直線l：y=?13x+m與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，A，B的中點(diǎn)為P，且直線OP的斜率 k=1，則橢圓C的方程為________．
【答案】x26+y22=1
解：設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2,Px0,y0，
由題意可得x12a2+y12b2=1x22a2+y22b2=1,兩式做差可得x12?x22a2=?y12?y22b2，
即kAB=y1?y2x1?x2=?b2a2·x1+x2y1+y2．因?yàn)锳,B的中點(diǎn)為P，且直線OP的斜率k=1，
所以x1+x2=2x0y1+y2=2y0，且y0x0=1．
所以kAB=?b2a2·x1+x2y1+y2=?b2a2·2x02y0=?b2a2=?13，
即a2=3b2．又因?yàn)閏=2，a2=b2+c2，
所以b2=2,a2=6．
所以橢圓C的方程為：x26+y22=1．
四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
如圖，四棱錐的底面ABCD為平行四邊形，且∠APB=∠APC=∠BPC=π3,PA=3,PB=PC=2，M是PD的中點(diǎn)．
(1)若BD=mPA+nPB+pPC，求m+n+p的值；
(2)求線段BM的長(zhǎng)．
【答案】解：(1)BD=BA+BC=(PA?PB)+(PC?PB)=PA?2PB+PC，
∴m+n+p=0；
(2)BM=PM?PB=12PD?PB
=12(PC+CD)?PB=12(PC+PA?PB)?PB
=12(PC+PA)?32PB，
∴BM2=[12(PC+PA)?32PB]2
=14(PC2+PA2+2PC·PA)?32PB·PC?32PA·PB+94PB2
=14(4+9+2×2×3×csπ3)?32×2×2×csπ3?32×3×2×csπ3+9
=194?3?92+9
=254．∴BM=52．
16.(本小題15分)
以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的圓C被直線y=x+1截得的弦長(zhǎng)為 14．
(1)求過點(diǎn)M( 3,?1)的圓C的切線方程；
(2)若直線ax+y?a+1=0(a∈R)與圓C交于A,B兩點(diǎn)(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求AO?AB的最小值．
【答案】解：(1)設(shè)圓C的半徑為r，
圓心(0,0)到直線y=x+1的距離d=0?0+1 2=1 2，
則由題意可得r2=(1 2)2+( 142)2，∴r2=4，
∴圓C的方程為x2+y2=4，
經(jīng)判斷點(diǎn)M在圓C上.
若過M的直線為x= 3時(shí)，它與圓C不可能相切，
故過點(diǎn)M的圓C的切線l斜率一定存在，
∵kCM=?1 3=? 33，∴kl= 3，
∴切線l的方程為y+1= 3(x? 3)， 3x?y?4=0，
所以過點(diǎn)M( 3,?1)的圓C的切線方程為 3x?y?4=0．
(2)直線ax+y?a+1=0可化為y+1=?a(x?1)，恒過定點(diǎn)N(1,?1)，
圓C：x2+y2=4的圓心為(0,0)，半徑為2，
∴AO?AB=OA?BA?=OA?(OA?OB)
=OA2?OA?OB=4?2×2×cs，
當(dāng)AB⊥ON時(shí)，最小，cs取最大值，
此時(shí)AO?AB=4?4cs取最小值，此時(shí)ON的斜率為?1，
由垂直關(guān)系可得?a=1，解得a=?1，
故此時(shí)直線方程為y+1=x?1，即y=x?2，
聯(lián)立y=x?2x2+y2=4可解得x=0y=?2或x=2y=0，
∴取最小值π2，cs取最大值0，
此時(shí)AO?AB=4?4cs取最小值4，
故AO?AB的最小值為4．
17.(本小題15分)
如圖，AE⊥平面ABCD，CF//AE，AD//BC，AD⊥AB，AB=AD=1，AE=BC=2．
(1)求證：BF//平面ADE；
(2)求直線CE與平面BDE所成角的大小；
(3)若二面角E?BD?F的余弦值為13，求線段CF的長(zhǎng)．
解：因?yàn)锳E⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
所以AE⊥AB，因?yàn)锳D⊥AB，AD?AE=A，
AD、AE?平面ADE，所以AB⊥平面ADE，
可以建立以A為原點(diǎn)，分別以AB，AD，AE的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系(如圖)，
可得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,1,0)，E(0,0,2)．
設(shè)CF=?(?>0)，則F(1,2,?)．
(1)依題意，AB=(1,0,0)是平面ADE的法向量，
又BF=(0,2,?)，可得BF?AB=0，則BF⊥AB，
又因?yàn)橹本€BF不在平面ADE，所以BF/?/平面ADE．
(2)依題意，BD=(?1,1,0)，BE=(?1,0,2)，CE=(?1,?2,2)．
設(shè)n=(x,y,z)為平面BDE的法向量，
則n?BD=0n?BE=0，即?x+y=0?x+2z=0，不妨令z=1，可得n=(2,2,1)．
因此有cs=CE?n|CE||n|=?49．所以，直線CE與平面BDE所成角的大小為arcsin49．
(3)設(shè)m=(x,y,z)為平面BDF的法向量，BF=(0,2,?)，
則m?BD=0m?BF=0，即?x+y=02y+?z=0，
不妨令y=1，可得m=(1,1,?2?).
由題意，有|cs|=|m?n||m||n|=|4?2?|3 2+4?2=13，解得?=87．
經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意．所以，線段CF的長(zhǎng)為87．
18.(本小題17分)
已知橢圓C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)是F1,F2，且C1的離心率為 32.拋物線C2:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F2，過OF2的中點(diǎn)Q垂直于x軸的直線截C2所得的弦長(zhǎng)為2 6．
(1)求橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)橢圓C1上一動(dòng)點(diǎn)T滿足：OT=λOA+2μOB，其中A,B是橢圓C1上的點(diǎn)，且直線OA,OB的斜率之積為?14.若N(λ,μ)為一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P滿足 PQ=12F1F2.試探究|NP|+|NQ|是否為定值，如果是，請(qǐng)求出該定值；如果不是，請(qǐng)說明理由．
【答案】解：(1)拋物線C2:y2=2px的焦點(diǎn)為F2(p2,0)，
∴Q(p4,0)
過Q垂直于x軸的直線截y2=2px所得的弦長(zhǎng)為2 6，
所以( 6)2=2p×p4，解得p=2 3，所以F2( 3,0)，
又∵橢圓C1的離心率為 32，∴a=2,b=1，∴橢圓C1的方程為x24+y2=1；
(2)設(shè)T(x,y)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
則由OT=λOA+2μOB，得x=λx1+2μx2 ，y=λy1+2μy2 ，
∵點(diǎn)T,A,B在橢圓x24+y2=1上，
∴所以x12+4y12=4， x22+4y22=4， x2+4y2=4，
故x2+4y2=(λx1+2μx2)2+4(λy1+2μy2)2
=λ2(x12+4y12)+4μ2(x22+4y22)+4λμ(x1x2+4y1y2)=4，
設(shè)kOA,kOB分別為直線OA,OB的斜率，
由題意知，kOA?kOB=y1y2x1x2=?14 ，因此x1x2+4y1y2=0，
所以λ2+4μ2=1，
所以N點(diǎn)是橢圓λ2+μ214=1上的點(diǎn)， ∵由(1)知Q( 32,0)，又 PQ=12F1F2，
∴P(? 32,0)，∴P,Q恰為橢圓λ2+μ214=1的左、右焦點(diǎn)，
由橢圓的定義，|NP|+|NQ|=2為定值．
19.(本小題17分)
設(shè)正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足Sn=12an2+12an，正項(xiàng)等比數(shù)列bn滿足：b2=a2,b4=a6
(1)求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)cn=an,n=2k?1,bn,n=2k,其中k∈N?，數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Tn，求所有的正整數(shù)m，使得T2mT2m?1恰為數(shù)列cn中的項(xiàng)；
(3)設(shè)t為正整數(shù)，已知數(shù)列dn是首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列，對(duì)任意正整數(shù)k，當(dāng)k≤t時(shí)，都有dk≤ak≤dk+1成立，求t的最大值．
【答案】解：(1)∵an>0，當(dāng)n=1時(shí)，a1=12a12+12a1，解得a1=1．
由Sn=12an2+12an，
當(dāng)n≥2，Sn?1=12an?12+12an?1，
兩式相減，得12an+an?1an?an?1?1=0．
又∵an>0，∴an+an?1≠0，
∴an?an?1=1，
∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其首項(xiàng)為1，公差為1，
∴an=1+(n?1)=n．
由b2=a2，b4=a6．
∴q2=b4b2=a6a2=3，q>0．
∴q= 3，
∴bn=b2qn?2=2× 3n?2．
(2)由題意得cn=2k?1,n=2k?12×3k?1,n=2k,k∈N?,
∴T2m=(a1+a3+…+a2m?1)+(b2+b4+…+b2m)
=m(1+2m?1)2+2(1?3m)1?3=3m+m2?1，
T2m?1=T2m?b2m=3m+m2?1?2×3m?1
=3m?1+m2?1．
∴T2mT2m?1=3m+m2?13m?1+m2?1
=3?2(m2?1)3m?1+m2?1≤3，
若T2mT2m?1為{cn}中的項(xiàng)只能為c1，c2，c3．
①若3?2(m2?1)3m?1+m2?1=1，則3m?1=0，所以m無解；
②若3?2(m2?1)3m?1+m2?1=2，則3m?1+1?m2=0．
由題意m=1不符合題意，m=2符合題意．
當(dāng)m≥3時(shí)，令f(x)=3x?1+1?x2，x≥3，則f′(x)=3x?1ln3?2x，
設(shè)g(x)=3x?1ln3?2x，則g′(x)=3x?1(ln3)2?2>0，
即f′(x)=3x?1ln3?2x為增函數(shù)，故f′(x)≥f′(3)>0，f(x)為增函數(shù)．
故f(x)≥f(3)=1>0，
∴當(dāng)m≥3時(shí)，方程3m?1+1?m2=0無解，
即m=2是方程唯一解．
③若3?2(m2?1)3m?1+m2?1=3，則m2=1，即m=1．
綜上所述，m=1或m=2．
(3)設(shè)等比數(shù)列dn的公比為q，其中q>0，
令k=1，可得1≤1≤q，即q≥1，
若q=1，則由dk?ak?dk+1得1≤ak≤1，此時(shí)t的最大值為1；
若q>1，由dk?ak?dk+1，得qk?1≤k≤qk?(k?1)lnq≤lnk≤klnq，
即lnkk≤lnq≤lnkk?1，此時(shí)只需考慮k≥2情形：
令fx=lnxx x≥2，gx=lnxx?1 x≥2，
則f′(x)=1?lnxx2，當(dāng)2e時(shí)，f′(x)

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