時(shí)間：120分鐘 滿分：150分
第I卷（選擇題）
單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.已知空間三點(diǎn)O(0,0,0)，A(?1,1,0)，B(0,1,1)，在直線OA上有一點(diǎn)H滿足BH⊥OA，則點(diǎn)H的坐標(biāo)為( )
A. (12,?12,0)B. (?12,12,0)C. (?2,2,0)D. (2,?2,0)
【答案】B
解： 由已知設(shè)OH=λOA=(?λ,λ,0)，
則BH=OH?OB=(?λ,λ?1,?1)，
因?yàn)锽H⊥OA，所以BH·OA=λ+λ?1=0，
所以λ=12,OH=(?12,12,0)，即H的坐標(biāo)為(?12,12,0)．
2.已知公差不為零的等差數(shù)列{an}中，a3+a5+a7=12，a1，a3，a6成等比數(shù)列，則等差數(shù)列{an}的前8項(xiàng)和S8為( )
A. 20B. 30C. 35D. 40
【答案】B
解：公差d不為零的等差數(shù)列{an}中，a3+a5+a7=12，
可得3a5=12，即a5=4，即a1+4d=4，①
a1，a3，a6成等比數(shù)列，可得a1a6=a32，即a1(a1+5d)=(a1+2d)2，②
解①②方程可得a1=2，d=12，
前8項(xiàng)和S8=8×2+1122=30，
3.若直線l的方向向量a=(1,2,?1)，平面α的一個(gè)法向量m=(?2,?4,k)，若l⊥α，則實(shí)數(shù)k=( )
A. 2B. ?10C. ?2D. 10
【答案】A
解：∵直線l的方向向量a=(1,2,?1)，平面α的一個(gè)法向量m=(?2,?4,k)，l⊥α，
∴a//m，∴1?2=2?4=?1k，解得k=2．
4.直線y=x?1過(guò)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F，且與C交于A、B兩點(diǎn)，則|AB|=( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】D
解：根據(jù)條件得到拋物線的焦點(diǎn)為(p2,0)，
故0=p2?1，解得p=2，所以拋物線方程為y2=4x，
聯(lián)立y2=4xy=x?1，整理可得x2?6x+1=0，
則xA+xB=6，所以|AB|=xA+xB+p=6+2=8，
5.從點(diǎn)P(2,?5)射出的一束光線在y軸上反射后與圓C:x2+y2+2x?4y=0相切，則反射光線所在直線的方程為( )
A. 11x+2y+32=0B. 2x?y?1=0
C. x?y?2=0D. 2x?y?2=0
【答案】B
解：由圓的方程得：圓心為(?1,2)，半徑為r= 5，
設(shè)反射光線與y軸的交點(diǎn)為Q(0,a)，則直線PQ的斜率為k1=a+5?2，
因?yàn)榉瓷涔饩€與直線PQ關(guān)于直線y=a對(duì)稱，所以反射光線的斜率為k2=?k1=a+52，
則反射光線所在的直線方程為y=a+52x+a，即a+5x?2y+2a=0．
因?yàn)榉瓷涔饩€與圓C相切，所以?a?5?2×2+2a a+52+?22= 5，化簡(jiǎn)可得a2+17a+16=0，
解得a=?16(經(jīng)檢驗(yàn)，不滿足條件，舍去)或a=?1，
所以反射光線方程為2x?y?1=0．
6.圓心在直線x?y?4=0上，且經(jīng)過(guò)兩圓x2+y2?4x?3=0，x2+y2?4y?3=0的交點(diǎn)的圓的方程為( )
A. x 2+y 2?6x+2y?3=0B. x 2+y 2+6x+2y?3=0
C. x 2+y 2?6x?2y?3=0D. x 2+y 2+6x?2y?3=0
【答案】A
解：由x2+y2?4x?3=0,x2+y2?4y?3=0解得兩圓交點(diǎn)為M2+ 102,2+ 102與N2? 102,2? 102因?yàn)閗MN=1，所以線段MN的垂直平分線斜率k2=?1；MN中點(diǎn)P坐標(biāo)為(1,1)所以垂直平分線為y=?x+2由y=?x+2x?y?4=0解得x=3，y=?1，所以圓心O點(diǎn)坐標(biāo)為(3,?1)所以r= 3?2+ 1022+?1?2+ 1022= 13
所以所求圓的方程為(x?3)2+(y+1)2=13即：x2+y2?6x+2y?3=0
7.已知橢圓的兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2和雙曲線的兩焦點(diǎn)重合，點(diǎn)P為橢圓和雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且cs∠F1PF2=14，橢圓和雙曲線的離心率分別為e1，e2，則e12+e22的最小值為( )
A. 1+ 154B. 152C. 14D. 154
【答案】A
解：不妨設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0)，雙曲線方程為x2m2?y2n2=1(m>0,n>0)．
再設(shè)|PF1|=s，|PF2|=t，P為第一象限的交點(diǎn)，
由橢圓和雙曲線的定義可得s+t=2a，s?t=2m，
解得s=a+m，t=a?m，在三角形F1PF2中，cs∠F1PF2=14，
可得4c2=s2+t2?2stcs∠F1PF2=a2+m2+2am+a2+m2?2am?12(a2?m2)，
即有3a2+5m2=8c2， 可得3a2c2+5m2c2=8，即為3e12+5e22=8，
則e12+e22=18(3e12+5e22)(e12+e22)=18(8+3e22e12+5e12e22)≥18(8+2 15)，
當(dāng)且僅當(dāng)3e22e12=5e12e22時(shí)，e12+e22取得最小值1+ 154．
8.已知數(shù)列{bn}滿足b1=1，b2=4，bn+2=(1+sin2nπ2)bn+cs2nπ2，則該數(shù)列的前23項(xiàng)的和為( )
A. 4194B. 4195C. 2046D. 2047
【答案】A
解：∵b1=1，b2=4，bn+2=(1+sin2nπ2)bn+cs2nπ2，
∴b3=2，b4=5，
一般地，當(dāng)n=2k?1時(shí)，
b2k+1=1+sin22k?1π2b2k?1+cs22k?1π2=2b2k?1，
所以，數(shù)列{bn}的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為1、公比為2的等比數(shù)列，
同理，數(shù)列{bn}的偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為4、公差為1的等差數(shù)列，
所以S23=1+4+2+5+···+14+211=(1+2+···+211)+(4+5+···+14)
=212?1+99=4194．
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.已知直線l1:x+ay+1=0，l2:a?1x+y+a=0，則下列說(shuō)法正確的是( )
A. 當(dāng)a=1時(shí)，直線l1的傾斜角為135° B. 當(dāng)l1⊥l2時(shí)，a=12
C. 若l1//l2，則a=?1 D. 直線l1始終過(guò)定點(diǎn)(?1,0)
【答案】ABD
解：對(duì)于A，當(dāng)a=1時(shí)，直線l1:x+y+1=0，故斜率k=?1，則傾斜角為135°， A正確．
對(duì)于B，l1⊥l2等價(jià)于a?1+a=0，解得a=12，故 B正確．
對(duì)于C，若l1//l2，aa?1?1=0且a≠a?1，故a=1± 52，故 C錯(cuò)誤．
對(duì)于D，l1:x+ay+1=0，令y=0，得x+1=0，解得x=?1，y=0，
故恒過(guò)(?1,0)， D正確．
10.下列關(guān)于圓錐曲線的說(shuō)法中，正確的是( )
A. 設(shè)A?B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為常數(shù)，|PA|?|PB|=k，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的一支
B. 設(shè)定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動(dòng)弦AB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OP=12(OA+OB)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓
C. 方程2x2?5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率
D. 雙曲線x225?y29=1與橢圓x235+y2=1有相同的焦點(diǎn)
【答案】CD
解：對(duì)于A，|PA|?|PB|=k，當(dāng)k=0時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段AB的垂直平分線，不是雙曲線的一支，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，∵OP=12(OA+OB)，∴P為弦AB的中點(diǎn)，
不妨設(shè)在單位圓x2+y2=1中，定點(diǎn)A(1,0)，動(dòng)點(diǎn)B(x1,y1)，
設(shè)P(x,y)，則x=1+x12y=y12，得到x1=2x?1y1=2y,
則2x?12+2y2=1，即x?122+y2=14，
故P的軌跡方程是x?122+y2=14(x≠1)．
∴點(diǎn)P的軌跡不是橢圓，∴B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，∵2x2?5x+2=0的兩根是2，12，橢圓的離心率范圍是(0,1)，雙曲線的離心率范圍是(1,+∞)，∴C正確；
對(duì)于D，∵④中雙曲線的焦點(diǎn)是(± 34,0)，橢圓的焦點(diǎn)(± 34,0)，∴D正確．
11.在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，E、F分別是BC、A1C1的中點(diǎn)，D在線段B1C1上，則下面說(shuō)法中正確的有( )
A. EF //平面AA1B1B
B. 直線EF與平面ABC所成角的正弦值為 55
C. 若D是B1C1的中點(diǎn)，若M是B1A1的中點(diǎn)，則F到平面BDM的距離是2 55
D. 直線BD與直線EF所成角最小時(shí)，線段BD長(zhǎng)為3 22
【答案】ACD
解：∵直三棱柱 ABC?A1B1C1中， ∠BAC=90 °，
∴以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AC，AA1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，
∵ AB=AC=AA1=2， E， F分別是BC，A1C1的中點(diǎn)，
∴A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,1,0)，F(xiàn)(0,1,2)，A1(0,0,2)，
設(shè)D(x,?x+2,2)，(0≤x≤2)，
對(duì)于A， AC=(0,2,0)為平面AA1B1B的一個(gè)法向量， EF=(?1,0,2)，
則AC·EF=(0,2,0)·(?1,0,2)=0，
∵EF不在平面AA1B1B內(nèi)，
∴ EF/?/平面 AA1B1B，故A正確；
對(duì)于B， AA1=(0,0,2)為平面 ABC的一個(gè)法向量， EF=(?1,0,2)，
設(shè)直線EF與平面 ABC所成角為θ，
則 sinθ=csAA1,EF=AA1·EFAA1·EF=42× 5=2 55，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng) D是B1C1上的中點(diǎn)時(shí)，D(1,1,2)，M(1,0,2)，可得BD=(?1,1,2)， DM=(0,?1,0)，設(shè)平面BDM的法向量為m=x,y,z，
則 BD·m=0DM·m=0 ，解得m=2,0,1，F(xiàn)D=(1,0,0)，設(shè)F到平面BDM的距離為d，
則d=FD·mm=2 5=2 55，故C正確；
對(duì)于D，設(shè)B1D=λB1C1=(?2λ,2λ,0),(0≤λ≤1)，
則BD=BB1+B1D=(?2λ,2λ,2)， EF=(?1,0,2)，
設(shè)直線BD與直線 EF所成角為φ，
則csφ=BD·EFBD·EF=λ+2 2λ2+1× 5= 1 5 (3λ+2?43)2+29，
當(dāng) 3λ+2?43=0，即 λ=14時(shí)， csφ取最大值，此時(shí)直線BD與直線EF所成角最小，
BD=(?12,12,2)， BD= (?12)2+(12)2+4=3 22，故D正確．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知F是拋物線C：x2=12y的焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，直線FP交直線y=?3于點(diǎn)Q.若PQ=2FP，則|PQ|=________．
【答案】8
解：F(0,3)，準(zhǔn)線方程為y=?3，
過(guò)P作直線y=?3的垂線，垂足為M，
則PM=PF，
又PQ=2FP，∴PQ=2PM，∴∠PQM=30°，
∴FQ=12，PQ=23FQ=8，
已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且點(diǎn)(an,Sn)總在直線y=2x?1上，則數(shù)列{n·an}的前n項(xiàng)和Tn=________．
【答案】(n?1)2n+1
解：數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且點(diǎn)(an,Sn)總在直線y=2x?1上，
所以Sn=2an?1，
當(dāng)n≥2時(shí)，Sn?1=2an?1?1，
兩式相減得，an=2an?1，又∵a1=1，
所以數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，∴an=2n?1，
則Tn=1×20+2×21+3×22+…+n×2n?1，
所以2Tn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n，
兩式相減得：?Tn=20+21+22+…+2n?1?n×2n=2n?1?n×2n,
所以數(shù)列{n·an}的前n項(xiàng)和Tn=(n?1)2n+1．
14.正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E為AA1的中點(diǎn)，M點(diǎn)是正方形ABB1A1內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，若C1M//平面CD1E，則M點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為_(kāi)________.
【答案】 2
【解析】【分析】
本題考查了空間直角坐標(biāo)系的應(yīng)用，平面法向量的確定，利用空間向量判定線面的平行關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是建立合理的空間直角坐標(biāo)系，求出平面CD1E的法向量n，再由C1M//平面CD1E，得C1M·n=0，由此即可判斷出點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡，再由此求出M點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度即可．
【解答】
解：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
由題意可知，C(2,2,0)，D1(2,0,2)，E(0,0,1)，C1(2,2,2)，M(0,y,z)，
∴CD1=(0,?2,2)，ED1=(2,0,1)，C1M=(?2,y?2,z?2)，
設(shè)平面CD1E的法向量n=(a,b,c)，
∴CD1·n=0ED1·n=0，即?b+c=02a+c=0，
令a=1，則n=(1,?2,?2)，
∵C1M//平面CD1E，∴C1M·n=0，即y+z?3=0，
∵M(jìn)是正方形ABB1A1內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，∴M點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為 12+12= 2．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
15.(本小題13分)
如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AB=5，AD=3，AA1=4，∠DAB=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，E是CC1的中點(diǎn)，設(shè)AB=a，AD=b，AA1=c．
(1)用a，b，c表示AE；
(2)求AE的長(zhǎng)．
【答案】解：(1)由E是CC1的中點(diǎn)，則CE=12CC1，
根據(jù)向量的三角形法則得到
AE=AB+BC+CE=a+b+12c；
(2)∵|AE|2=(a+b+12c)2
=a2+b2+14c2+2a?b+a?c+b?c=25+9+4+0+(20+12)?cs60°=54，
∴|AE|=3 6，即AE的長(zhǎng)為3 6．
16.(本小題15分)
以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的圓C被直線y=x+1截得的弦長(zhǎng)為 14．
(1)求過(guò)點(diǎn)M( 3,?1)的圓C的切線方程；
(2)若直線ax+y?a+1=0(a∈R)與圓C交于A,B兩點(diǎn)(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求AO?AB的最小值．
【答案】解：(1)設(shè)圓C的半徑為r，
圓心(0,0)到直線y=x+1的距離d=0?0+1 2=1 2，
則由題意可得r2=(1 2)2+( 142)2，∴r2=4，
∴圓C的方程為x2+y2=4，
經(jīng)判斷點(diǎn)M在圓C上.
若過(guò)M的直線為x= 3時(shí)，它與圓C不可能相切，
故過(guò)點(diǎn)M的圓C的切線l斜率一定存在，
∵kCM=?1 3=? 33，∴kl= 3，
∴切線l的方程為y+1= 3(x? 3)， 3x?y?4=0，
所以過(guò)點(diǎn)M( 3,?1)的圓C的切線方程為 3x?y?4=0．
(2)直線ax+y?a+1=0可化為y+1=?a(x?1)，恒過(guò)定點(diǎn)N(1,?1)，
圓C：x2+y2=4的圓心為(0,0)，半徑為2，
∴AO?AB=OA?BA?=OA?(OA?OB)
=OA2?OA?OB=4?2×2×cs，
當(dāng)AB⊥ON時(shí)，最小，cs取最大值，
此時(shí)AO?AB=4?4cs取最小值，此時(shí)ON的斜率為?1，
由垂直關(guān)系可得?a=1，解得a=?1，
故此時(shí)直線方程為y+1=x?1，即y=x?2，
聯(lián)立y=x?2x2+y2=4可解得x=0y=?2或x=2y=0，
∴取最小值π2，cs取最大值0，
此時(shí)AO?AB=4?4cs取最小值4，
故AO?AB的最小值為4．
17.(本小題15分)
如圖，已知正四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為2和4的正方形，A1A= 5，點(diǎn)P是棱B1C1上的動(dòng)點(diǎn)(包括端點(diǎn))．
(1)證明：平面A1B1C⊥平面ABB1A1;
(2)若平面A1B1C與平面PCD的夾角的余弦值為 32，求點(diǎn)P到平面ABB1A1的距離．
【答案】解：(1)證明：以下底面正方形的中心O為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
由于A1A= 5，上、下底面分別是邊長(zhǎng)為2和4的正方形，
可求出四棱臺(tái)的高為 52?2 2? 22= 3，
則A1(1,?1, 3)，B1(1,1, 3)，A(2,?2,0)，B(2,2,0)，C(?2,2,0)，
于是A1B1=(0,2,0)，BB1=(?1,?1, 3)，A1C=(?3,3,? 3)，
設(shè)平面A1B1C的法向量為n=(x0,y0,z0)，
則n?A1C=?3x0+3y0? 3z0=0n?A1B1=2y0=0,
取x0=1，可得n=(1,0,? 3)，
設(shè)平面ABB1A1的法向量為m=(x1,y1,z1)，
則m?BB1=?x1?y1+ 3z1=0m?A1B1=2y1=0,取x1=1，可得m=1,0, 33，
由于n·m=1×1+? 3× 33=0，即n⊥m，
則平面A1B1C的法向量與平面ABB1A1法向量垂直，
則平面A1B1C⊥平面ABB1A1;
(2)設(shè)P(a,1, 3)，a∈[?1,1]，且D(?2,?2,0)，C(?2,2,0)，
則DC=(0,4,0)，CP=(a+2,?1, 3)，設(shè)平面PCD的法向量為p=(x2,y2,z2)，
則p?DC=4y2=0p?CP=(a+2)x2?y2+ 3z2=0,取z2= 3，可得p=(?3a+2,0, 3)，
設(shè)平面A1B1C與平面PCD的夾角為θ，
則csθ=|n?p|n|?p|=32×a+3 3(a+2)2+9= 32，化簡(jiǎn)即(a+3)2=(a+2)2+3，解出a=?1，
因此B1P=(?2,0,0)，m=(1,0, 33)，則點(diǎn)P到平面ABB1A1的距離為：
d=|B1P|?|cs|=2×B1P·mB1Pm=2×?22× 1+ 332= 3．
18.(本小題17分)
已知點(diǎn)P是拋物線C1：y2=4x的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線C1的兩條切線PA、PB，其中A、B為切點(diǎn)．
(1)寫(xiě)出拋物線C1焦點(diǎn)及準(zhǔn)線方程；
(2)求弦AB長(zhǎng)的最小值；
(3)若直線AB交橢圓C2：x25+y24=1于C、D兩點(diǎn)，S1、S2分別是△PAB、△PCD的面積，求S1S2的最小值．
解：(1)因?yàn)閽佄锞€ C1 ： y2=4x ，
所以由題意得 2p=4 ，
所以 p=2 ，焦點(diǎn) F1,0 ，準(zhǔn)線方程為 x=?1 ．
(2)設(shè)點(diǎn) x0,y0 在拋物線 y2=2px 上，則 y02=2px0 ，
聯(lián)立 y2=2pxy0y=px+x0 ，消去x得， y2?2y0y+2px0=0 ，即 y2?2y0y+y02=0 ，
所以，關(guān)于y的方程 y2?2y0y+y02=0 有兩個(gè)相等的實(shí)根 y=y0 ，此時(shí) x=y022p=x0 ，
因此，直線 y0y=px+x0 與拋物線 y2=2px 相切，且切點(diǎn)為 x0,y0 ．
設(shè)點(diǎn) Ax1,y1 、 Bx2,y2 ， P?1,t ，
則以A為切點(diǎn)的切線方程為 y1y=2x+x1 ，
同理以B為切點(diǎn)的切線方程為 y2y=2x+x2 ，
∵兩條切線均過(guò)點(diǎn) P?1,t ，
∴ ty1=2?1+x1ty2=2?1+x2 ，即 2x1?ty1?2=02x2?ty2?2=0 ，
所以，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)滿足直線 2x?ty?2=0 的方程，
所以，直線AB的方程為 2x?ty?2=0 ，
在直線AB的方程中，令 y=0 ，可得 x=1 ，所以，直線AB過(guò)定點(diǎn) 1,0 ；
由題意可知，直線AB不與x軸重合，可設(shè)直線AB的方程為 x=my+1 ，
聯(lián)立 y2=4xx=my+1 ，可得 y2?4my?4=0 ，
Δ=16m2+1>0 恒成立，
由韋達(dá)定理得 y1+y2=4m ， y1y2=?4 ，
由弦長(zhǎng)公式可得 AB= 1+m2y1?y2= 1+m2 y1+y22?4y1y2=4m2+1 ，
當(dāng) m=0 時(shí)，弦AB長(zhǎng)的最小值為4．
(3)設(shè)點(diǎn)P到直線AB的距離為d，則 S?PABS?PCD=12d?AB12d?CD=ABCD ，
設(shè) Cx3,y3 、 Dx4,y4 ，
由 x25+y24=1x=my+1 ，得 4m2+5y2+8my?16=0 ，
Δ=64m2+644m2+5=320m2+1>0 恒成立．
由韋達(dá)定理得 y3+y4=?8m4m2+5 ， y3y4=?164m2+5 ，
由弦長(zhǎng)公式得 CD= 1+m2y3?y4= 1+m2 y3+y42?4y3y4=8 5m2+14m2+5 ．
AB= 1+m2y1?y2= 1+m2 y1+y22?4y1y2=4m2+1
∴ S?PABS?PCD=ABCD=4m2+18 5m2+14m2+5=4m2+52 5=2 55m2+ 52≥ 52 ，
當(dāng)且僅當(dāng) m=0 時(shí)，等號(hào)成立．
因此， S1S2 的最小值為 52 ．
19.(本小題17分)
已知點(diǎn)集M={(x1,y1)，(x2,y2)，?，(xn,yn)}.將M中的元素按照一定順序排成一列，可得到數(shù)對(duì)序列A:(x1,y1)，(x2,y2)，?，(xn,yn).定義：S1(A)=x1+y1，Sk(A)=yk+maxSk?1(A),x1+x2+?+xk(k≥2,k∈N?)，其中maxx,y表示x，y中最大的數(shù)．
(1)對(duì)于數(shù)對(duì)序列A:(3,6)，(5,2)，求S1(A)，S2(A)的值;
(2)有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,b)，(c,d)可排成兩個(gè)序列A1:(a,b)，(c,d)和A2:(c,d)，(a,b)，在a，b，c，d四個(gè)數(shù)中最小的數(shù)分別為a和d兩種情況下，比較S2(A1)和S2(A2)的大小;
(3)若n為奇數(shù)且n≥3，xi≥0，yi≥0，xi+yi≤2(i=1,2,?,n)，證明：集合M中存在兩個(gè)非空子集B1，B2，滿足B1∩B2=?，B1∪B2=M，B1中所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和X(B1)≤n+12，B2中所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和Y(B2)≤n+12．
解：(1)對(duì)于S1(A)，根據(jù)定義S1(A)=x1+y1，這里(x1,y1)=(3,6)，
所以S1(A)=3+6=9．
對(duì)于S2(A)，根據(jù)定義S2(A)=y2+maxS1(A),x1+x2，
已知S1(A)=9，x1=3，x2=5，x1+x2=3+5=8，
max9,8=9，y2=2，
所以S2(A)=2+9=11．
(2)對(duì)于序列A1:(a,b)，(c,d)，
S1(A1)=a+b，S2(A1)=d+maxa+b,a+c
=maxa+b+d,a+c+d．
對(duì)于序列A2:(c,d)，(a,b)，
S1(A2)=c+d，S2(A2)=b+maxc+d,c+a
=maxb+c+d,b+c+a．
當(dāng)mina,b,c,d=a時(shí)，
S2(A2)=maxb+c+d,b+c+a
=b+c+d，
因?yàn)閍+b+d

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