一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.下列四個(gè)橢圓中，形狀最扁的是( )
A. x220+y29=1B. x220+y210=1C. x220+y211=1D. x220+y212=1
2.已知空間向量a=1,0,3,b=2,1,0,c=5,2,z，若a,b,c共面，則實(shí)數(shù)z的值為( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
3.已知等比數(shù)列{an}的公比不為1，且a6，a4，a5成等差數(shù)列，則數(shù)列{an}的公比為( )
A. ?2B. ?1C. 12D. 2
4.將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使點(diǎn)(2,0)與點(diǎn)(?6,8)重合，則折痕所在直線的方程是( )
A. x?y?6=0B. x+y+6=0C. x+y?6=0D. x?y+6=0
5.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是直線l:x?y+3=0上一動(dòng)點(diǎn)，Q是圓C:(x?2)2+(y?1)2=1上一動(dòng)點(diǎn)，則|OP|+|PQ|的最小值為( )
A. 17?1B. 17+1C. 29?1D. 29+1
6.已知橢圓C:x23+y2=1的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2，直線y=x? 23與C交于A,B兩點(diǎn)，則?F1AB的面積與?F2AB面積的比值為( )
A. 3B. 2C. 3D. 2
7.已知數(shù)列an滿足a1=3，an+1?an=2，bn=?1n+11an+1an+1，若數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，不等式Tn0,b>0)的左、右焦點(diǎn)，以F1F2為直徑的圓與雙曲線右支的一個(gè)交點(diǎn)為P，PF1與雙曲線相交于點(diǎn)Q，且|PQ|=3|QF1|，則該雙曲線的離心率為( )
A. 873B. 293C. 32D. 52
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.無(wú)窮數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=an2+bn+c，其中a，b，c為實(shí)數(shù)，則( )
A. {an}可能為等差數(shù)列B. {an}可能為等比數(shù)列
C. {an}中一定存在連續(xù)三項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列D. {an}中一定存在連續(xù)三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列
10.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(2,1,?2)，C(4,3,2)，則( )
A. AB?BC=4
B. 點(diǎn)A到直線BC的距離為4 33
C. |AB|= 6
D. 直線OA與平面OBC所成角的正弦值為 217
11.祖暅原理也稱祖氏原理，是一個(gè)涉及求幾何體體積的著名數(shù)學(xué)命題，公元656年，唐代李淳風(fēng)注《九章算術(shù)》時(shí)提到祖暅的開(kāi)立圓術(shù)，祖暅在求球體積時(shí)，使用一個(gè)原理，“冪勢(shì)既同，則積不容異”.“冪”是截面積，“勢(shì)”是幾何體的高．意思是兩個(gè)同高的幾何體，如在等高處的截面面積相等，則體積相等，更詳細(xì)點(diǎn)說(shuō)就是，夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等，上述原理在中國(guó)被稱為祖暅原理，國(guó)外同一般稱之為卡瓦列利原理，已知將雙曲線C：x28?y22=1與它的漸近線以及直線x=2 2，x=4圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體I，將雙曲線C與直線y=±2圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體II，則關(guān)于這兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體敘述正確的是( )
A. 由垂直于y軸的平面截旋轉(zhuǎn)體II，得到的截面為圓面
B. 旋轉(zhuǎn)體II的體積為112π3
C. 將旋轉(zhuǎn)體I放入球中，則球的表面積的最小值為16π
D. 旋轉(zhuǎn)體I的體積為8?4 2π
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.寫(xiě)出一個(gè)與直線l1:x=?3,l2:x=1,l3:y=1都相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 ．
13.設(shè)F為雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)，α，β分別為雙曲線C的兩條漸近線的傾斜角，已知點(diǎn)F到其中一條漸近線的距離為2，且滿足α=15β，則雙曲線C的焦距為 ．
14.已知數(shù)列an，a1=1，對(duì)于任意正整數(shù)n，都滿足a1+n=a1+an+n，則1a1+1a2+?+1a2013= ．
四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
15.(本小題12分)
已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且2a3+a4=46，S8=160．
(1)求an的通項(xiàng)公式和Sn；
(2)若bn=an?2n?1，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn
16.(本小題12分)
已知拋物線y2=?x與過(guò)點(diǎn)(?2,0)直線l相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)求OA?OB的值;
(2)若△OAB的面積等于3，求直線l的一般方程．
17.(本小題12分)
如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為平行四邊形，其中∠ABC=45°，AB= 2BC= 2PA=2 2，E為棱PC上一動(dòng)點(diǎn)．
(1)若E為PC中點(diǎn)，求證：AE⊥平面PBC；
(2)若E是棱PC上靠近P的三等分點(diǎn)，求平面ABE和平面PBE夾角的余弦值．
18.(本小題12分)
如圖所示，由半橢圓C1:x24+y2b2=1(y≤0)和兩個(gè)半圓C2: (x+1)2+y2=1(y≥0)、C3:(x?1)2+y2=1(y≥0)組成曲線C：F(x,y)=0，其中點(diǎn)A1，A2依次為C1的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)B為C1的下頂點(diǎn)，點(diǎn)F1，F(xiàn)2依次為C1的左、右焦點(diǎn)．若點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別為曲線C2，C3的圓心．
(1)求C1的方程；
(2)C和D分別在曲線C1和曲線C2上．求出線段CD的最大值；
(3)若過(guò)點(diǎn)F1，F(xiàn)2作兩條平行線l1，l2分別與C1，C2和C1，C3交與M，N和P，Q，求|MN|+|PQ|的最小值．
19.(本小題12分)
若各項(xiàng)為正的無(wú)窮數(shù)列an滿足：對(duì)于?n∈N?，an+12?an2=d，其中d為非零常數(shù)，則稱數(shù)列an為D數(shù)列.記bn=an+1?an．
(1)判斷無(wú)窮數(shù)列an= n和an=2n是否是D數(shù)列，并說(shuō)明理由；
(2)若an是D數(shù)列，證明：數(shù)列bn中存在小于1的項(xiàng)；
(3)若an是D數(shù)列，證明：存在正整數(shù)n，使得i=1n1ai>2024．
參考答案
1.A
2.B
3.A
4.D
5.C
6.B
7.D
8.B
9.ABC
10.BC
11.ACD
12.x+12+y+12=4(或x+12+y?32=4，答出一個(gè)即可)
13.8
14.20131007/110061007
15.【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，
因?yàn)?a3+a4=46，S8=160，
則2a3+a4=2a1+2d+a1+3d=46S8=8a1+8×72d=160，解得a1=6，d=4，
所以an=6+n?1?4=4n+2，Sn=6+4n+2n2=2n2+4n．
(2)由(1)可知：bn=4n+2?2n?1=2n+1?2n=2n?1?2n+1?2n?3?2n，
所以Tn=22+2+3×23?22+???+2n?1?2n+1?2n?3?2n=2n?1?2n+1+2．

16.解：(1)設(shè)A(?y12,y1)，B(?y22,y2)
由題直線l與x軸重合不滿足題意，
設(shè)直線l: x=my?2
y2=?xx=my?2得y2+my?2=0，顯然△>0，
有y1+y2=?m，y1y2=?2
OA?OB=(?y12)(?y22)+y1y2=4?2=2
(2)S△OAB=12×2×|y1?y2|= (y1+y2)2?4y1y2= m2+8=3，
解得m=±1，
即直線l的方程x+y+2=0或x?y+2=0．
17.【詳解】(1)由題設(shè)AC= AB2+BC2?2AB?BCcs45 °= 8+4?2×2 2×2× 22=2，
所以AC2+BC2=AB2?AC⊥BC，
由PA⊥平面ABCD，BC?面ABCD，則PA⊥BC，
又PA∩AC=A均在面PAC內(nèi)，所以BC⊥面PAC，
由AE?面PAC，則BC⊥AE，
因?yàn)镻A=AC=2，且E為PC中點(diǎn)，則PC⊥AE，
由PC∩BC=C均在面PBC內(nèi)，所以AE⊥平面PBC；
(2)由(1)AC⊥BC，且四邊形ABCD為平行四邊形，則AC⊥AD，
又PA⊥平面ABCD，故可構(gòu)建如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
所以A(0,0,0),B(?2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2)，
由PE=13PC=(0,23,?23)，則E(0,23,43)，
所以AB=(?2,2,0)，AE=(0,23,43)，BE=2,?43,43，EP=0,?23,23，
設(shè)平面ABE的法向量為m=(a,b,c)，則m?AB=?2a+2b=0m?AE=23b+43c=0,
令a=2，可得m=(2,2,?1)，
設(shè)平面PBE的法向量為n=(x,y,z)，則n?BE=2x?43y+43z=0n?EP=?23y+23z=0,
令y=1，可得n=(0,1,1)，
若平面ABE和平面PBE夾角為θ，則csθ=|m?n|m||n||=13 2= 26．

18.解：(1)由兩圓的方程知：圓心分別為C1(?1,0)，C2(1,0)，即F1(?1,0)，F(xiàn)2(1,0)，
∴b2+1=4，解得：b2=3，∴C1：x24+y23=1(y≤0)．
(2)由題意易知當(dāng)C與A2，D與A1同時(shí)重合時(shí)，
CD取得最大值為1+c+a=1+1+2=4．
(3)由題意知：|MN|+|PQ|=|MF1|+|PF2|+2；
∵l1/?/l2，∴由對(duì)稱性可知：|MF1|+|PF2|為橢圓x24+y23=1截直線l2的弦長(zhǎng)，
設(shè)l2：x=my+1，其與橢圓x24+y23=1交于點(diǎn)(x1,y1)和(x2,y2)
由x=my+1x24+y23=1得：(3m2+4)y2+6my?9=0，則Δ=48(3m2+3)>0，
∴y1+y2=?6m3m2+4，y1y2=?93m2+4，
∴|MF1|+|PF2|= 1+m2? (y1+y2)2?4y1y2=12(m2+1)3m2+4=4?43m2+4，
當(dāng)m=0時(shí)，|MF1|+|PF2|取得最小值4?1=3，
∴|MN|+|PQ|的最小值為3+2=5．
19.解：(1)an= n是D數(shù)列，an=2n不是D數(shù)列，理由如下：
當(dāng)an= n時(shí)，an2=n，an+12=n+1，
則an+12?an2=n+1?n=1，故是D數(shù)列；
當(dāng)an=2n時(shí)，an2=22n，an+12=22n+2，
則an+12?an2=22n+2?22n=3×22n，故不是D數(shù)列；
(2)證明：若an是D數(shù)列，則an>0且an+12?an2=d，
此時(shí)數(shù)列an2是以a12為首項(xiàng)，d為公差的等差數(shù)列，
故an2=a12+n?1d，當(dāng)d0恒成立，an+12?an2=d>0，
有an2=a12+n?1d>n?1d，an+12=a12+nd>nd，
即an> n?1d，an+1> nd，有an+1+an> n?1d+ nd= n+ n?1 d，
則bn=an+1?an=dan+1+an2d a12+d? a12+ a12+2d? a12+d+?+ a12+nd? a12+n?1d
=2d a12+nd?a1，
由 a12+nd?a1隨n的增大而增大，
且n→+∞時(shí)，2d a12+nd?a1→+∞，
故對(duì)任意的d>0，總存在正整數(shù)n使2d a12+nd?a1>2024，
即總存在正整數(shù)n，使得i=1n1ai>2024．

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