1．（4分）如圖所示為某幾何體的示意圖，該幾何體的左視圖應(yīng)為（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）已知3a＝2b（ab≠0），則下列比例式成立的是（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，下列條件中不能判斷△ABC∽△AED的是（ ）
A．∠AED＝∠BB．∠ADE＝∠CC．D．
4．（4分）用配方法解方程x2﹣12x＝5，下列配方正確的是（ ）
A．（x﹣6）2＝11B．（x﹣6）2＝41C．（x+6）2＝41D．（x+6）2＝11
5．（4分）如圖，△ABC和△DEF是以點O為位似中心的位似圖形，OC：OF＝1：3，若S△ABC＝3，則S△DEF為（ ）
A．6B．9C．27D．48
6．（4分）一個盒子里有白球14個，黑球若干，這些球除顏色外都相同．將盒子里的球攪拌均勻，從中隨機摸出一個黑球的概率為，則盒子中黑球個數(shù)為（ ）
A．6個B．7個C．8個D．9個
7．（4分）“立身以立學(xué)為先，立學(xué)以讀書為本”為了鼓勵全民閱讀，某校圖書館開展閱讀活動，自閱讀活動開展以來，進館閱讀人次逐月增加，第一個月進館180人次，前三個月累計進館 750人次，若進館人次的月增長率相同，求進館人次的月增長率．設(shè)進館人次的月增長率為x，依題意可列方程（ ）
A．180（1+x）2＝750
B．180（1+x）+180（1+x）2＝750
C．180（1+x+x2）＝750
D．180+180（1+x）+180（1+x）2＝750
8．（4分）如圖，點A在x軸的負半軸上，點C在反比例函數(shù)的圖象上，AC交y軸于點B，若點B是AC的中點，△AOB的面積為4，則k的值為（ ）
A．26B．16C．12D．8
二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分，答案寫在答題卡上）
9．（4分）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+a﹣3＝0有實數(shù)根，則a的取值范圍是 ．
10．（4分）已知點A（﹣3，y1），B（2，y2）都在函數(shù)的圖象上，則y1，y2的大小關(guān)系是 ．
11．（4分）如圖，l1∥l2∥l3，DE＝3，EF＝4，AB＝2，則AC的長為 ．
12．（4分）如圖，為了測量學(xué)校旗桿的高度，小東用長2.4米的竹竿做測量工具．保持與地面垂直，移動竹竿，使旗桿頂端的影子與竹竿頂端的影子恰好落在地面上的同一點，此時，竹竿影長8米，竹竿與旗桿相距22米，則旗桿的高為 米．
13．（4分）如圖所示，在菱形ABCD中，以點B為圓心，一定長為半徑畫弧分別交BC，BD于點M，N，再分別以點M，N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在∠CBD內(nèi)交于點P，連接BP并延長交CD于點Q．若∠DQB＝75°，則∠C＝ ．
三、解答題（本大題共5個小題，共48分，解答過程寫在答題卡上）
14．（12分）（1）計算：；
（2）解方程：4x2﹣5x﹣6＝0．
15．（8分）某市圖書館計劃舉辦中小學(xué)生“成語百變”趣味活動，因報名人數(shù)較多，將所有報名人員分為A、B、C、D四組同時進行，現(xiàn)隨機抽取了部分報名的學(xué)生進行了問卷調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果整理后繪制成如圖所示兩幅不完整的統(tǒng)計圖．請根據(jù)統(tǒng)計圖信息回答下列問題．
（1）本次抽取調(diào)查學(xué)生共有 人，并補全條形統(tǒng)計圖；
（2）求出扇形統(tǒng)計圖中C組部分所占的圓心角α的度數(shù)；
（3）小紅和小林都報名參加了“成語百變”趣味活動，他們會被隨機分到A、B、C、D四個組中，請用畫樹狀圖法或列表法，求兩人恰好分到同一組的概率．
16．（8分）金牛區(qū)世紀空間大廈項目雙子塔整體已經(jīng)竣工，為了測試雙子塔建筑物AB的高度，小王同學(xué)采取了如下方法：在地面上點C處平放一面鏡子，并在鏡子上做一個標記，然后人向后退，直至直立站在點D處恰好看到建筑物AB的頂端A在鏡子中的像與鏡子上的標記重合（如圖所示）．其中B，C，D三點在同一條直線上．已知小王的眼睛距離地面的高度ED的長約為1.75米，BC和CD的長分別為97.56米和0.7米，求建筑物AB的高度．（說明：由物理知識，可知CF⊥BD，∠ECF＝∠ACF）
17．（10分）在正方形ABCD中，點E、F分別在邊AB和CD上，且AE＝CF，連接DE和BF分別交對角線AC于點G、H，連接BG、DH．
（1）求證：四邊形BFDE為平行四邊形；
（2）若正方形邊長為4，AG＝，求四邊形GBHD面積．
18．（10分）在平面直角坐標系中，如圖所示，一次函數(shù)y＝﹣x+1的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點，已知點A（﹣1，m），點B（n，﹣1）．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）過點B作BC⊥y軸于點C，連接AC，過點B作BD∥AC交y軸于點D，連接AD，求△ABD的面積；
（3）在（2）的條件下，點P是直線BD上一點，若滿足∠PAD＝∠BAC時，求點P的坐標．
一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）
19．（4分）若，且b+3d+5f≠0，則＝ ．
20．（4分）已知m，n是方程x2﹣5x+2＝0的兩個不相等的實數(shù)根，則m2﹣4m+n+mn＝ ．
21．（4分）如圖，正方形邊長為1個單位長度，將一枚棋子按順時針方向依次沿正方形ABCD的四個頂點移動．每次開始時，棋子都位于點A處；然后，擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，擲得的點數(shù)之和是幾就移動棋子幾個單位，如擲得的點數(shù)之和為3就移動3步落在點D處．擲得的點數(shù)之和為6就移動6步落在點C處，…；棋子落在點B處的概率是 ．
22．（4分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y1＝kx+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點A，B，點A的橫坐標為2，當x＜﹣3時，總有y2＞y1恒成立，則k的取值范圍是 ．
23．（4分）如圖，Rt△ABC中，AB＝BC＝3，BC邊上一點D，BD＝1，連接AD，在AD右側(cè)作等腰直角△ADE，∠ADE＝90°，DE與AC交于點F，以DE為對稱軸作點C的對稱點C′，作射線DC′交AE于點G，則＝ ．
二、解答題（本大題共3個小題，共30分）
24．（8分）一個農(nóng)業(yè)合作社以每斤40元的成本收獲了某種農(nóng)產(chǎn)品，銷往外地．若銷售價為每斤50元，平均每天能售出100斤．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當銷售價每降低1元時，平均每天多售出10斤．
（1）設(shè)售價為x元，每天能售出y斤，請寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達式；
（2）該合作社要想使平均每天的銷售額達到6750元且獲利，則售價應(yīng)為多少元？
25．（10分）在平面直角坐標系xOy中，反比例函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)的兩個動點A，B（點A在點B左側(cè)），直線AB交x軸于點C．
（1）如圖1，若k＝6，直線AB的解析式為y＝﹣2x+8，求△AOC的面積；
（2）直線OA與反比例函數(shù)圖象的另一個交點為D，連接BD交x軸于點E．
①如圖2，若AC：BC＝3：1，點A的橫坐標為1，求OE的長；
②如圖3，點A關(guān)于直線y＝﹣x的對稱點為A′，過點A′的直線l與直線AB垂直，若，且直線l與y軸交于點F（0，5），求點A的橫坐標．
26．（12分）如圖1，菱形ABCD的邊長為5，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為點E，F(xiàn)，連接EF，已知DE＝4．
（1）求證：△ADE≌△CDF；
（2）求EF的長；
（3）連接AC，與BD相交于點O，將圖1中的△DEF繞點D旋轉(zhuǎn)，當點E落在線段OC上時，如圖2，點G在線段AC上，連接FG，與DE相交于點H，∠EGF＝∠EDF，求的值．
2024-2025學(xué)年四川省成都市金牛區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷（一診）
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求，答案涂在答題卡上）
1．（4分）如圖所示為某幾何體的示意圖，該幾何體的左視圖應(yīng)為（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)左視圖是從左邊看得到的圖形，可得答案．
【解答】解：從左邊看是一個矩形，中間有一條水平平的虛線，
故選：C．
【點評】本題考查了簡單組合體的三視圖，注意看不到的線用虛線表示．
2．（4分）已知3a＝2b（ab≠0），則下列比例式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)進行計算長，即可解答．
【解答】解：A、∵＝，
∴ab＝6，
故A不符合題意；
B、∵＝，
∴2a＝3b，
故B不符合題意；
C、∵＝，
∴3a＝2b，
故C符合題意；
D、∵＝，
∴2a＝3b，
故D不符合題意；
故選：C．
【點評】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3．（4分）如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，下列條件中不能判斷△ABC∽△AED的是（ ）
A．∠AED＝∠BB．∠ADE＝∠CC．D．
【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理對各選項進行逐一判斷即可．
【解答】解：A、∠B＝∠AED，∠A＝∠A，則可判斷△ADE∽△ACB，故A選項錯誤；
B、∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，則可判斷△ADE∽△ACB，故B選項錯誤；
C、＝不能判定△ADE∽△ACB，故C選項正確；
D、＝，且夾角∠A＝∠A，能確定△ADE∽△ACB，故D選項錯誤．
故選：C．
【點評】本題考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．
4．（4分）用配方法解方程x2﹣12x＝5，下列配方正確的是（ ）
A．（x﹣6）2＝11B．（x﹣6）2＝41C．（x+6）2＝41D．（x+6）2＝11
【分析】根據(jù)配方法按步驟求解即可．
【解答】解：x2﹣12x＝5．
x2﹣12x+36＝5+36，
（x﹣6）2＝41．
故選：B．
【點評】本題考查解一元二次方程的配方法，解題的關(guān)鍵是掌握配方法的步驟．
5．（4分）如圖，△ABC和△DEF是以點O為位似中心的位似圖形，OC：OF＝1：3，若S△ABC＝3，則S△DEF為（ ）
A．6B．9C．27D．48
【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到△ABC∽△DEF，BC∥EF，得到△BOC∽△EOF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出，再根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方計算即可．
【解答】解：∵△ABC和△DEF是以點O為位似中心的位似圖形，
∴△ABC∽△DEF，BC∥EF，
∴△BOC∽△EOF，
∴＝＝，
∴＝，
∵S△ABC＝3，
∴S△DEF＝27，
故選：C．
【點評】本題考查的是位似變換，熟記位似圖形的概念、相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6．（4分）一個盒子里有白球14個，黑球若干，這些球除顏色外都相同．將盒子里的球攪拌均勻，從中隨機摸出一個黑球的概率為，則盒子中黑球個數(shù)為（ ）
A．6個B．7個C．8個D．9個
【分析】設(shè)黑球有x個，根據(jù)概率公式列出方程，解之可得結(jié)果．
【解答】解：設(shè)黑球有x個，
由題意可得：＝，
解得：x＝7，
經(jīng)檢驗：x＝7是原分式方程的解，
所以黑球的個數(shù)為7個．
故選：B．
【點評】此題考查了概率公式的應(yīng)用，用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
7．（4分）“立身以立學(xué)為先，立學(xué)以讀書為本”為了鼓勵全民閱讀，某校圖書館開展閱讀活動，自閱讀活動開展以來，進館閱讀人次逐月增加，第一個月進館180人次，前三個月累計進館 750人次，若進館人次的月增長率相同，求進館人次的月增長率．設(shè)進館人次的月增長率為x，依題意可列方程（ ）
A．180（1+x）2＝750
B．180（1+x）+180（1+x）2＝750
C．180（1+x+x2）＝750
D．180+180（1+x）+180（1+x）2＝750
【分析】先分別表示出第二個月和第三個月的進館人次，再根據(jù)第一個月的進館人次加第二和第三個月的進館人次等于 750，列方程即可．
【解答】解：設(shè)進館人次的月增長率為x，依題意可列方程為180+180（1+x）+180（1+x）2＝750，
故選：D．
【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．
8．（4分）如圖，點A在x軸的負半軸上，點C在反比例函數(shù)的圖象上，AC交y軸于點B，若點B是AC的中點，△AOB的面積為4，則k的值為（ ）
A．26B．16C．12D．8
【分析】過點C作CD∥y交x軸于點D，設(shè)點B（0，a），證明OB是△ACD的中位線得CD＝2a，進而得點C，再根據(jù)△OCB的面積與△AOB的面積相等可求出k的值．
【解答】解：過點C作CD∥y交x軸于點D，如圖所示：
設(shè)點B（0，a），則OB＝a，
∵點B是AC的中點，CD∥y，
∴OB是△ACD的中位線，
∴CD＝2a，
∵點C在反比例函數(shù)的圖象上，
∴點C的坐標為，
∴OD＝，
∵△AOB的面積為4，點B是AC的中點，
∴△OCB的面積為4，
∴OB?OD＝4，
∴，
∴k＝16．
故選：B．
【點評】此題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標，理解反比例函數(shù)圖象上點的坐標滿足反比例函數(shù)的表達式是解決問題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分，答案寫在答題卡上）
9．（4分）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+a﹣3＝0有實數(shù)根，則a的取值范圍是 a≤4． ．
【分析】根據(jù)Δ≥0，解一元一次不等式即可．
【解答】解：由題意得，Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（a﹣3）＝4﹣4a+12≥0，
解得：a≤4，
故答案為：a≤4．
【點評】本題考查了一元二次方程的根的判別式，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．
10．（4分）已知點A（﹣3，y1），B（2，y2）都在函數(shù)的圖象上，則y1，y2的大小關(guān)系是 y2＞y1 ．
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，將點A（﹣3，y1）、B（2，y2）分別代入函數(shù)，求得y1、y2的值，然后比較它們的大?。?br>【解答】解：根據(jù)題意，得
y1＝﹣1，y2＝，
∴y2＞y1．
故答案為：y2＞y1．
【點評】本題主要考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，所有在反比例函數(shù)上的點的橫縱坐標的積應(yīng)等于比例系數(shù)．
11．（4分）如圖，l1∥l2∥l3，DE＝3，EF＝4，AB＝2，則AC的長為 ．
【分析】直接利用平行線分線段成比例定理進而得出＝，再將已知數(shù)據(jù)代入求出BC即可得出AC的長．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
∵DE＝3，EF＝4，AB＝2，
∴＝，
∴BC＝，
∴AC＝2+＝．
故答案為：．
【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
12．（4分）如圖，為了測量學(xué)校旗桿的高度，小東用長2.4米的竹竿做測量工具．保持與地面垂直，移動竹竿，使旗桿頂端的影子與竹竿頂端的影子恰好落在地面上的同一點，此時，竹竿影長8米，竹竿與旗桿相距22米，則旗桿的高為 9 米．
【分析】根據(jù)題意可得：DE⊥BC，AC⊥BC，從而可得∠ACB＝∠DEB＝90°，然后證明A字模型△BDE∽△BAC，從而利用相似三角形的性質(zhì)進行計算即可解答．
【解答】解：如圖：
由題意得：DE⊥BC，AC⊥BC，
∴∠ACB＝∠DEB＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BAC，
∴＝，
∴＝，
解得：AC＝9，
∴旗桿的高為9米，
故答案為：9．
【點評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，平行投影，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
13．（4分）如圖所示，在菱形ABCD中，以點B為圓心，一定長為半徑畫弧分別交BC，BD于點M，N，再分別以點M，N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在∠CBD內(nèi)交于點P，連接BP并延長交CD于點Q．若∠DQB＝75°，則∠C＝ 40° ．
【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)推出∠DBC＝∠CDB，由作圖可知，BQ是∠DBC的角平分線，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理推出，∠C+∠CDB+∠CBD＝∠C+2∠DBC＝180°，即可得出結(jié)果．
【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴DC＝BC，
∴∠DBC＝∠CDB，
由作圖可知，BQ是∠DBC的角平分線，
∴∠CBQ＝，
∵∠DQB＝75°，
∴，
又∵∠C+∠CDB+∠CBD＝∠C+2∠DBC＝180°，
∴∠DBC＝70°，
∴∠CBQ＝35°，
∴∠C＝∠DQB﹣∠CBQ＝40°，
故答案為：40°．
【點評】本題考查了作圖﹣基本作圖，菱形的性質(zhì)，熟記角平分線的作法和定義以及菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共5個小題，共48分，解答過程寫在答題卡上）
14．（12分）（1）計算：；
（2）解方程：4x2﹣5x﹣6＝0．
【分析】（1）利用二次根式的性質(zhì)，零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，絕對值的性質(zhì)一一計算即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：（1）原式＝2+1﹣（﹣1）﹣3
＝2+1﹣+1﹣3
＝﹣1；
（2）4x2﹣5x﹣6＝0，
（4x+3）（x﹣2）＝0，
4x+3＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝﹣，x2＝2．
【點評】本題考查解一元二次方程﹣因式分解法，實數(shù)的運算，零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識解決問題．
15．（8分）某市圖書館計劃舉辦中小學(xué)生“成語百變”趣味活動，因報名人數(shù)較多，將所有報名人員分為A、B、C、D四組同時進行，現(xiàn)隨機抽取了部分報名的學(xué)生進行了問卷調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果整理后繪制成如圖所示兩幅不完整的統(tǒng)計圖．請根據(jù)統(tǒng)計圖信息回答下列問題．
（1）本次抽取調(diào)查學(xué)生共有 60 人，并補全條形統(tǒng)計圖；
（2）求出扇形統(tǒng)計圖中C組部分所占的圓心角α的度數(shù)；
（3）小紅和小林都報名參加了“成語百變”趣味活動，他們會被隨機分到A、B、C、D四個組中，請用畫樹狀圖法或列表法，求兩人恰好分到同一組的概率．
【分析】（1）根據(jù)B組人數(shù)以及百分比計算即可求出調(diào)查人數(shù)，用總?cè)藬?shù)乘以A組的百分比即可求出A組的人數(shù)，即可補全條形統(tǒng)計圖；
（2）用360°乘以C組部分所占的百分比即可求出α；
（3）先畫出樹狀圖，繼而根據(jù)概率公式求出兩人恰好分到同一組的概率即可．
【解答】解：（1）本次抽取調(diào)查學(xué)生共有：18÷30%＝60（人），
A組的人數(shù)為：60×35%＝21（人），
補全條形統(tǒng)計圖如下：
故答案為：60；
（2）360°×＝90°，
答：扇形統(tǒng)計圖中C組部分所占的圓心角α的度數(shù)為90°；
（3）畫樹狀圖如下，
由上可得，一共有16種等可能性，其中兩人恰好分到同一組的結(jié)果有4種，
∴兩人恰好分到同一組的概率為＝．
【點評】本題主要考查了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用，畫樹狀圖法求概率，讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大小．
16．（8分）金牛區(qū)世紀空間大廈項目雙子塔整體已經(jīng)竣工，為了測試雙子塔建筑物AB的高度，小王同學(xué)采取了如下方法：在地面上點C處平放一面鏡子，并在鏡子上做一個標記，然后人向后退，直至直立站在點D處恰好看到建筑物AB的頂端A在鏡子中的像與鏡子上的標記重合（如圖所示）．其中B，C，D三點在同一條直線上．已知小王的眼睛距離地面的高度ED的長約為1.75米，BC和CD的長分別為97.56米和0.7米，求建筑物AB的高度．（說明：由物理知識，可知CF⊥BD，∠ECF＝∠ACF）
【分析】根據(jù)題意可得：∠ACB＝∠ECD，AB⊥BD，ED⊥DB，從而可得∠ABC＝∠EDC＝90°，進而可得△ABC∽△EDC，然后利用相似三角形的性質(zhì)進行計算即可解答．
【解答】解：由題意得：∠ACB＝∠ECD，AB⊥BD，ED⊥DB，
∴∠ABC＝∠EDC＝90°，
∴△ABC∽△EDC，
∴＝，
∴＝，
解得：AB＝243.9，
∴建筑物AB的高度為243.9米．
【點評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
17．（10分）在正方形ABCD中，點E、F分別在邊AB和CD上，且AE＝CF，連接DE和BF分別交對角線AC于點G、H，連接BG、DH．
（1）求證：四邊形BFDE為平行四邊形；
（2）若正方形邊長為4，AG＝，求四邊形GBHD面積．
【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得AB∥CD，AB＝CD，而AE＝CF，則AB﹣AE＝CD﹣CF，所以BE＝DF，由BE∥DF，且BE＝DF，證明四邊形BFDE為平行四邊形；
（2）連接BD交AC于點L，由DG∥BH，得∠LDG＝∠LBH，可證明△DLG≌△BLH，則DG＝BH，而BD⊥GH，則四邊形GBHD是菱形，由∠ABC＝90°，AB＝CB＝4，求得BD＝AC＝4，所以AL＝CL＝2，因為AG＝，所以HL＝GL＝，求得GH＝2，則S四邊形GBHD＝BD?GH＝8．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵點E、F分別在邊AB和CD上，且AE＝CF，
∴AB﹣AE＝CD﹣CF，
∴BE＝DF，
∵BE∥DF，且BE＝DF，
∴四邊形BFDE為平行四邊形．
（2）解：連接BD交AC于點L，則BD⊥AC，且BD＝AC，
∵四邊形BFDE是平行四邊形，
∴DG∥BH，
∴∠LDG＝∠LBH，
∴DL＝BL，∠DLG＝∠BLH，
∴△DLG≌△BLH（ASA），
∴DG＝BH，
∴四邊形GBHD是平行四邊形，
∵BD⊥GH，
∴四邊形GBHD是菱形，
∵∠ABC＝90°，AB＝CB＝4，
∴BD＝AC＝＝AB＝4，
∴AL＝CL＝AC＝2，
∵AG＝，
∴HL＝GL＝AL﹣AG＝2﹣＝，
∴GH＝2GL＝2，
∴S四邊形GBHD＝BD?GH＝×4×2＝8，
∴四邊形GBHD的面積為8．
【點評】此題重點考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，證明四邊形GBHD是菱形是解題的關(guān)鍵．
18．（10分）在平面直角坐標系中，如圖所示，一次函數(shù)y＝﹣x+1的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點，已知點A（﹣1，m），點B（n，﹣1）．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）過點B作BC⊥y軸于點C，連接AC，過點B作BD∥AC交y軸于點D，連接AD，求△ABD的面積；
（3）在（2）的條件下，點P是直線BD上一點，若滿足∠PAD＝∠BAC時，求點P的坐標．
【分析】（1）通過AB兩點坐標由一次函數(shù)表達式求出m和n的值，然后由點A在反比例函數(shù)圖象上，根據(jù)反比例函數(shù)表達式求出k值即可．
（2）由A、C坐標通過待定系數(shù)法求出直線AC的表達式，然后根據(jù)函數(shù)圖象平移規(guī)律求出直線BD的表達式，進而得到點D坐標，再通過證明△APD∽△BAD，由對應(yīng)邊線段成比例求出DP的長度，最后再通過構(gòu)造PE∥BC，根據(jù)平行線分線段成比例求出點P坐標．
【解答】解：（1）把A、B兩點坐標代入一次函數(shù)y＝﹣x+1得：m＝﹣（﹣1）+1＝2；﹣1＝﹣n+1，則n＝2．
由反比例函數(shù)表達式得：k＝xy＝（﹣1）×2＝﹣2．
故反比例函數(shù)的解析式為y＝．
（2）由（1）得A坐標為（﹣1，2），B坐標為（2，﹣1）．
根據(jù)題意，點C坐標為（0，﹣1）．
設(shè)直線AC函數(shù)表達式為y＝k1x+b1．
代入A、C兩點坐標得：，解得．
則直線AC的解析式為：y＝﹣3x﹣1．
∵AC∥BD，BC＝2．
∴根據(jù)直線平移的性質(zhì)，直線BD的解析式為y＝﹣3（x﹣2）﹣1，即y＝﹣3x+5．
由于xD＝0，則yD＝﹣3×0+5＝5．點D坐標為（0，5）．
∴CD＝y(tǒng)D﹣yC＝6．
根據(jù)同底等高的兩個三角形面積相等，S△ABD＝S△CBD＝CD?BC＝6．
（3）∵AC∥BD，
∴∠PAD＝∠BAC＝∠ABD．
在△APD和△BAD中，∠PAD＝∠ABD，∠ADP＝∠BDA．
∴△APD∽△BAD．
∴，即AD2＝DP?BD．
∵AD2＝（﹣1﹣0）2+（2﹣5）2＝10，BD＝＝2．
∴DP＝．
過點P作PE∥x軸交y軸于點E，則PE∥BC.
由平行線分線段成比例得：．
即＝＝，解得xP＝，yP＝．
則點P坐標為（，）．
【點評】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例的性質(zhì)等知識點．靈活應(yīng)用”兩三角形同底等高面積相等“以及平行線分線段成比例是解答本題的關(guān)鍵．
一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）
19．（4分）若，且b+3d+5f≠0，則＝ ．
【分析】根據(jù)等比性質(zhì)進行計算，即可解答．
【解答】解：∵，
∴＝＝＝，
∴＝，
故答案為：．
【點評】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握等比性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
20．（4分）已知m，n是方程x2﹣5x+2＝0的兩個不相等的實數(shù)根，則m2﹣4m+n+mn＝ 5 ．
【分析】先利用一元二次方程解的定義得到m2＝5m﹣2，則m2﹣4m+n+mn可化為m+n+mn﹣2，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得m+n＝5，mn＝2，然后利用整體代入的方法計算．
【解答】解：∵m是方程x2﹣5x+2＝0的實數(shù)根，
∴m2﹣5m+2＝0，
∴m2＝5m﹣2，
∴m2﹣4m+n+mn＝5m﹣2﹣4m+n+mn＝m+n+mn﹣2，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得m+n＝5，mn＝2，
∴m2﹣4m+n+mn＝5+2﹣2＝5．
故答案為：5．
【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了一元二次方程的解．
21．（4分）如圖，正方形邊長為1個單位長度，將一枚棋子按順時針方向依次沿正方形ABCD的四個頂點移動．每次開始時，棋子都位于點A處；然后，擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，擲得的點數(shù)之和是幾就移動棋子幾個單位，如擲得的點數(shù)之和為3就移動3步落在點D處．擲得的點數(shù)之和為6就移動6步落在點C處，…；棋子落在點B處的概率是 ．
【分析】列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及棋子落在點B處的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：列表如下：
共有36種等可能的結(jié)果，其中棋子落在點B處的結(jié)果有：（1，4），（2，3），（3，2），（3，6），（4，1），（4，5），（5，4），（6，3），共8種，
∴棋子落在點B處的概率是．
故答案為：．
【點評】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．
22．（4分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y1＝kx+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點A，B，點A的橫坐標為2，當x＜﹣3時，總有y2＞y1恒成立，則k的取值范圍是 k≥1 ．
【分析】首先確定點A的坐標（2，3），由一次函數(shù)y＝kx+b經(jīng)過點A，推出3＝2k+b，推出b＝3﹣2k，推出一次函數(shù)的解析式為y＝kx+3﹣2k，再構(gòu)建不等式求解．
【解答】解：∵點A在y＝的圖象上，橫坐標是2，
∴A（2，3），
∵一次函數(shù)y＝kx+b經(jīng)過點A，
∴3＝2k+b，
∴b＝3﹣2k，
∴一次函數(shù)的解析式為y＝kx+3﹣2k，
由題意當x＜﹣3時，總有y2＞y1恒成立，
∴﹣2≥﹣3k+3﹣2k，
∴k≥1．
故答案為：k≥1．
【點評】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．
23．（4分）如圖，Rt△ABC中，AB＝BC＝3，BC邊上一點D，BD＝1，連接AD，在AD右側(cè)作等腰直角△ADE，∠ADE＝90°，DE與AC交于點F，以DE為對稱軸作點C的對稱點C′，作射線DC′交AE于點G，則＝ ．
【分析】要求的比值，要么分別求出兩條線段長度，要么利用相似，根據(jù)題意很容易求出AD＝DE＝，AE＝2，由一線三垂直和對稱易得∠BAD＝∠CDE＝∠GDE，再利用∠AED＝45°構(gòu)造等腰直角三角形，過過G作GH⊥DE于點H，則GH＝EH，易得△ABD∽△DHG，再利用相似比設(shè)參+勾股定理即可求解．
【解答】解：∵Rt△ABC中，AB＝BC＝3，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，AC＝AB＝3，
∵BD＝1，
∴AD＝＝，
∵△ADE為等腰直角三角形，
∴AD＝DE＝，∠DAE＝∠AED＝45°，
∴AE＝AD＝2，
過G作GH⊥DE于點H，則GH＝EH，
設(shè)GH＝EH＝x，則GE＝x，DH＝DE﹣EH＝﹣x，
∵∠BAD+∠ADB＝90°，∠CDE+∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝∠CDE，
∵以DE為對稱軸作點C的對稱點C′，
∴∠CDE＝∠GDH，
∴∠GDH＝∠BAD，
∵∠ABD＝∠DHG＝90°，
∴△ABD∽△DHG，
即，
∴＝，
解得x＝，
∴GE＝X＝，GH＝，DH＝﹣x＝，
∴DG＝＝，
∵AG＝AE﹣GE＝2﹣＝，
∴＝＝，
故答案為：．
【點評】本題主要考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等內(nèi)容，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
二、解答題（本大題共3個小題，共30分）
24．（8分）一個農(nóng)業(yè)合作社以每斤40元的成本收獲了某種農(nóng)產(chǎn)品，銷往外地．若銷售價為每斤50元，平均每天能售出100斤．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當銷售價每降低1元時，平均每天多售出10斤．
（1）設(shè)售價為x元，每天能售出y斤，請寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達式；
（2）該合作社要想使平均每天的銷售額達到6750元且獲利，則售價應(yīng)為多少元？
【分析】（1）根據(jù)若銷售價為每斤50元，平均每天能售出100斤；當銷售價每降低1元時，平均每天多售出10斤；即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)售價應(yīng)為x元，則每天能售出（﹣10x+600）斤，根據(jù)該合作社要想使平均每天的銷售額達到6750元且獲利，列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可．
【解答】解：（1）由題意可知，y＝100+（50﹣x）×10＝﹣10x+600，
即y關(guān)于x的函數(shù)表達式為y＝﹣10x+600；
（2）設(shè)售價應(yīng)為x元，則每天能售出（﹣10x+600）斤，
由題意得：x（﹣10x+600）＝6750，
整理得：x2﹣60x+675＝0，
解得：x1＝45，x2＝15（不符合題意，舍去），
答：售價應(yīng)為45元．
【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）正確列出函數(shù)關(guān)系式；（2）找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．
25．（10分）在平面直角坐標系xOy中，反比例函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)的兩個動點A，B（點A在點B左側(cè)），直線AB交x軸于點C．
（1）如圖1，若k＝6，直線AB的解析式為y＝﹣2x+8，求△AOC的面積；
（2）直線OA與反比例函數(shù)圖象的另一個交點為D，連接BD交x軸于點E．
①如圖2，若AC：BC＝3：1，點A的橫坐標為1，求OE的長；
②如圖3，點A關(guān)于直線y＝﹣x的對稱點為A′，過點A′的直線l與直線AB垂直，若，且直線l與y軸交于點F（0，5），求點A的橫坐標．
【分析】（1）先由直線AB解析式求出點C坐標，進而得到OC的長度，再通過聯(lián)立直線和反比例解析式求出點A坐標，最后由S△AOC＝OC?yA求出答案．
（2）通過作輔助線AP∥BQ∥DH得到＝及，結(jié)合k＝xB?yB＝xA?yA建立關(guān)于OE的方程求出OE即可．
（3）先設(shè)置AB兩點坐標為（xA，），點B坐標為（xB，），然后根據(jù)題意求出直線OG，BD及AB的解析式，得出OG∥BD，進而根據(jù)直角三角形的性質(zhì)證得Rt△ABG∽Rt△DBH，再到xB＝2xA，接著根據(jù)軸對稱和直角三角形的性質(zhì)得出直線A′F和直線BD關(guān)于y＝x對稱，得出OF＝OE的結(jié)論，結(jié)合xA和xB的關(guān)系求出xA即可．
【解答】解：（1）對于直線y＝﹣2x+8，令y＝0，則0＝﹣2x+8，x＝4．
∴點C坐標為（4，0），OC＝4．
聯(lián)立直線y＝﹣2x+8和反比例函數(shù)y＝求點A坐標：
，解得或．
∴點A坐標為（1，6），點B坐標為（3，2）．
∴S△AOC＝OC?yA＝12．
（2）①過點A、B、D向x軸作垂線，垂足分別為P、Q、H.
根據(jù)反比例函數(shù)圖象性質(zhì)，點A和點D關(guān)于原點O對稱，
∴xD＝﹣xA＝﹣1，yD＝﹣yA．
根據(jù)作圖可得AP∥BQ∥DH．
由平行線分線段成比例得：＝，
∵AP＝y(tǒng)A＝﹣yD＝DH，OH＝OP＝xA＝1，BQ＝y(tǒng)B，DH＝AP＝y(tǒng)A．
∴＝，．
根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，k＝xB?yB＝xA?yA，則xB＝3xA＝3．
∴．
∴OE＝2．
②過點B作x軸的垂線GH，再過點A、D作直線GH的垂線，垂足分別為G、H，連接OG．
直線AB和BD分別與y軸交于P，Q，直線l與x軸交于點K．設(shè)點A坐標為（xA，），點B坐標為（xB，）．
則點G坐標為（xB，），點H坐標為（xB，﹣），根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)點D坐標為（﹣xA，﹣）．
∴根據(jù)待定系數(shù)法可得直線OG的解析式為：y＝x；直線BD的解析式為y＝x+﹣；
直線AB解析式為y＝﹣x++；
∴OG∥BD，
又∵O是AD的中點．
∴OG平分線段AB．
∴根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，由等邊對等角可得∠OGB＝∠ABG．
由OG∥BD可得∠OGB＝∠DBH．
∴Rt△ABG∽Rt△DBH．
∴．
∵DH＝2xA+（xB﹣xA）＝xA+xB，AG＝xB﹣xA，
∴xB＝2xA．
根據(jù)直線AB和BD的解析式可得P（0，+），Q（0，﹣）．
∵＝＝y(tǒng)B．
∴點B在線段PQ的中垂線上，BP＝BQ．
∴∠BPQ＝∠PQB．
∵A′F⊥AB，
∴∠FKC+∠KCP＝∠FPC+∠KCP＝90°，
∴∠FKC＝∠FPC，
∴∠FKC＝∠PQB．
又∵點A′和點D關(guān)于y＝x對稱．
∴根據(jù)直線A′F和直線BD關(guān)于y＝x對稱．
∴xE＝OE＝OF＝y(tǒng)F＝5．
把點E（5，0）及xB＝2xA代入BD解析式得：0＝5?+﹣，
整理得：k（5﹣xA）＝0，則xA＝5．
故點A的橫坐標為5．
【點評】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，軸對稱圖形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點，求出AB兩點橫坐標的關(guān)系及直線A′F和直線BD關(guān)于y＝x對稱是解答本題的關(guān)鍵．
26．（12分）如圖1，菱形ABCD的邊長為5，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為點E，F(xiàn)，連接EF，已知DE＝4．
（1）求證：△ADE≌△CDF；
（2）求EF的長；
（3）連接AC，與BD相交于點O，將圖1中的△DEF繞點D旋轉(zhuǎn)，當點E落在線段OC上時，如圖2，點G在線段AC上，連接FG，與DE相交于點H，∠EGF＝∠EDF，求的值．
【分析】（1）可得出∠AED＝∠DFC＝90°，AD＝CD，∠A＝∠C，從而△ADE≌△CDF（AAS）
（2）連接AC，BD，交于點O，依次求得BD，OD，OA，AC的長，可證得△BEF∽△BAC，從而，從而求得EF的值；
（3）作DV∥GH，交AC于V，作DW⊥EF于W，作EQ⊥DF于Q，可證得，依次求得EW，F(xiàn)W，DW的值，根據(jù)S△DEF＝得出EQ的值，從而得出sin∠DVO＝sin∠EDF＝，進而求得DV的值，進一步得出結(jié)果．
【解答】（1）證明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠AED＝∠DFC＝90°，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，∠A＝∠C，
∴△ADE≌△CDF（AAS）
（2）解：如圖1，
連接AC，BD，交于點O，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC＝2OA，AB＝AD＝5，OD＝BD，
∴BE＝AB﹣AE＝5﹣3＝2，
∵DE⊥AB，
∴∠AEB＝90°，
∴BD＝＝2，
∴OD＝，
∴OA＝＝2，
∴AC＝4，
由（1）知，
△ADE≌△CDF，
CF＝AE＝3，
∴BE＝BF＝2，
∴，
∵∠EBF＝∠ABC，
∴△BEF∽△BAC，
∴，
∴，
∴EF＝；
（3）解：如圖2，
作DV∥GH，交AC于V，作DW⊥EF于W，作EQ⊥DF于Q，
∴△EGH∽△EVD，
∴，∠DVO＝∠EGF＝∠EDF，
由（2）知，
DE＝DF＝4，EF＝，
∴EW＝FW＝，
∴DW＝＝，
由S△DEF＝得，
EQ＝＝，
∴sin∠DVO＝sin∠EDF＝，
∴，
∴，
∴DV＝，
∴＝．
【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2025/1/28 22:00:59；用戶：柊一颯；郵箱：15166229392；學(xué)號：40009272題號
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答案
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C
B
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B
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（2，2）
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（2，5）
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（3，4）
（3，5）
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（4，2）
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（5，2）
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