1．（4分）下列給出的四組數(shù)中，是勾股數(shù)的一組是（ ）
A．0.3，0.4，0.5B．1，2，3
C．1，D．7，24，25
2．（4分）一直角三角形兩直角邊長分別為4和3，則斜邊長為（ ）
A．8B．7C．6D．5
3．（4分）在﹣2，，，3.14，，，這6個數(shù)中，無理數(shù)共有（ ）
A．4個B．3個C．2個D．1個
4．（4分）下列說法正確的是（ ）
A．因為（﹣3）2＝9所以9的平方根為﹣3
B．的算術(shù)平方根是2
C．＝±5
D．±36的平方根是±6
5．（4分）下列各式中，是最簡二次根式的為（ ）
A．B．C．D．
6．（4分）若的整數(shù)部分為x，小數(shù)部分為y，則y的值是（ ）
A．1B．C．D．
7．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，AC＝5cm，將△ABC沿DE折疊，使點C與點A重合，則AE的長等于（ ）
A．4cmB． cmC． cmD． cm
8．（4分）小明準備測量一段河水的深度，他把一根竹竿豎直插到離岸邊1.5m遠的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的頂端拉向岸邊，竿頂和岸邊的水面剛好相齊，則河水的深度為（ ）
A．2mB．2.5mC．2.25mD．3m
二、填空題（每題4分，共5小題）
9．（4分）的算術(shù)平方根是 ．
10．（4分）若一個正數(shù)的兩個平方根分別是5a+1和a+5，則a的值是 ．
11．（4分）如圖，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在數(shù)軸上，若以點A為圓心，對角線AC的長為半徑作弧交數(shù)軸于點M，則點M表示的數(shù)為 ．
12．（4分）有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如圖：當輸入的x＝256時，輸出的y等于
13．（4分）如圖，圓柱形容器高為16cm，底面周長為24cm，在杯內(nèi)壁離杯底的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯子的上沿蜂蜜相對的點A處，則螞蟻A處到達B處的最短距離為 ．
三、解答題（共4小題）
14．（20分）計算：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
15．（6分）2022年第3號臺風“暹芭”于7月2日15時前后在廣東電白登陸，給當?shù)卦斐闪司薮髶p失．如圖，一棵垂直于地面且高度為16米的“風景樹”被臺風折斷，樹頂A落在離樹底部C的8米處，求這棵樹在離地面多高處被折斷．
16．（10分）已知a+1的算術(shù)平方根是3，﹣27的立方根是b﹣12，c﹣3的平方根是±2．
求：（1）a，b，c的值；
（2）a+4b﹣4c的平方根．
17．（12分）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，CD＝10，．
（1）判斷△ACD的形狀，并說明理由；
（2）求BD的長．
二、B卷（共50分）
18．（4分）已知，則x2+xy+y2的值為 ．
19．（4分）已知a+b＝3，ab＝2，則+的值為 ．
20．（4分）如圖，A、B兩個村在河流CD的同側(cè)，到河的距離為AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，要在河邊建一自來水廠，向A、B倆村供水，鋪設(shè)水管的費用為每千米1.5萬，在河流CD上選擇水廠的位置P，使鋪設(shè)水管的費用最節(jié)省，則總費用是 ．
二、B卷（共50分）
21．（10分）如圖，長方形紙片ABCD的邊長AB＝8，AD＝4．將長方形紙片沿EF折疊，使點A與點C重合，折疊后在其一面著色．
（1）GC的長為 ；
（2）求FG的長．
（3）求陰影部分的面積．
22．（12分）如圖，某沿海開放城市A接到臺風警報，在該市正南方向100km的B處有一臺風中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移動，已知城市A到BC的距離AD＝60km．
（1）求臺風中心經(jīng)過多長時間從B點移到D點？
（2）如果在距臺風中心30km的圓形區(qū)域內(nèi)都將有受到臺風的破壞的危險，正在D點休閑的游人在接到臺風警報后的幾小時內(nèi)撤離才可脫離危險？
23．（16分）如圖，在邊長為4m的正方形ABCD中，點P在AB上從A向B運動，連接DP交AC于點Q．
（1）試證明：無論點P運動到AB上何處時，都有△ADQ≌△ABQ；
（2）當△ABQ的面積是正方形ABCD面積的時，求DQ的長；
（3）若點P以2m/s的速度從點A運動到點B，再繼續(xù)在BC上運動到點C，在整個運動過程中，當△ADQ恰為等腰三角形時，求時間t．
2024-2025學年四川省成都市溫江區(qū)光華實驗中學九年級（上）月考數(shù)學試卷（9月份）
參考答案與試題解析
一、選擇題（每題4分，共8小題）
1．【解答】解：A、0.3，0.4，0.5不是正整數(shù)，不是勾股數(shù)，故不符要求；
B、12+22＝5≠9＝32，不是勾股數(shù)，故不符合要求；
C、、不是正整數(shù)，不是勾股數(shù)，故不符要求，
D、72+242＝625＝252，是勾股數(shù)，故符合要求；
故選：D．
2．【解答】解：由勾股定理得，斜邊長＝＝＝5，
故選：D．
3．【解答】解：根據(jù)判斷無理數(shù)的3類方法，可以直接得知：
是開方開不盡的數(shù)是無理數(shù)，
屬于π類是無理數(shù)，
因此無理數(shù)有2個．
故選：C．
4．【解答】解：A、因為（﹣3）2＝9，所以9的平方根為±3，故此選項錯誤；
B、＝4，則4的算術(shù)平方根是2，故此選項正確；
C、＝5，故此選項錯誤；
D、36的平方根是±6，﹣36沒有平方根．
故選：B．
5．【解答】解：A、＝＝2，被開方數(shù)中含能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，不符合題意；
B、是最簡二次根式，符合題意；
C、＝＝3，被開方數(shù)中含能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，不符合題意；
D、＝＝，被開方數(shù)中含分母，不是最簡二次根式，不符合題意；
故選：B．
6．【解答】解：∵，
又∵的整數(shù)部分為x，小數(shù)部分為y，
∴x＝1，．
故選：C．
7．【解答】解：設(shè)AE＝x cm，由翻折變換的性質(zhì)可知，EC＝x cm，
∵∠B＝90°，AB＝3cm，AC＝5cm，
∴BC＝＝4cm，
∴BE＝BC﹣CE＝（4﹣x）cm，
在Rt△ABE中，AE2＝AB2+BE2，即x2＝32+（4﹣x）2，
解得，x＝，
故選：C．
8．【解答】解：設(shè)竹竿長x米，則水深（x﹣0.5）米，
由題意得，x2＝1.52+（x﹣0.5）2，
解之得，x＝2.5，
所以水深2.5﹣0.5＝2（米）．
故選：A．
二、填空題（每題4分，共5小題）
9．【解答】解：∵＝9，
∴的算術(shù)平方根是3．
故答案為：3．
10．【解答】解：依題意，（5a+1）+（a+5）＝0，
∴5a+1+a+5＝0，
∴6a＝﹣6，
∴a＝﹣1，
故答案為：﹣1．
11．【解答】解：AC＝＝＝，
則AM＝，
∵A點表示﹣1，
∴M點表示的數(shù)為：﹣1+．
故答案為：﹣1+．
12．【解答】解：＝16，＝4，＝2，，
y＝，
故答案為：．
13．【解答】解：如圖所示，
∵圓柱形玻容器，高16cm，底面周長為24cm，
∴BD＝12cm，
∴AB＝＝＝20（cm）．
∴螞蟻A處到達B處的最短距離為20cm，
故答案為：20cm．
三、解答題（共4小題）
14．【解答】解：（1）
＝
＝；
（2）
＝
＝
＝﹣2；
（3）
＝1﹣
＝4；
（4）
＝
＝
＝．
15．【解答】解：如圖，由題意得，BC+BA＝16米，AC＝8米，BC⊥AC，
由勾股定理得，
BC2+AC2＝AB2，
即BC2+82＝（16﹣BC）2，
解得BC＝6，
即這棵樹在離地面6米處被折斷．
16．【解答】解：（1）∵a+1的算術(shù)平方根是3，
∴a+1＝9，
∴a＝8；
∵﹣27的立方根是b﹣12，
∴b﹣12＝﹣3，
∴b＝9；
∵c﹣3的平方根是±2，
∴c﹣3＝4，
∴c＝7；
即a，b，c的值分別為8，9，7；
（2）由（1）知，a+4b﹣4c＝8+4×9﹣4×7＝16，
∴a+4b﹣4c的平方根是±4．
17．【解答】解：（1）△ACD是等腰直角三角形，
理由：∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝＝10，
∵CD＝10，，
∴AC2+CD2＝200，AD2＝200，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ACD＝90°，
∵AC＝CD＝10，
∴△ACD是等腰直角三角形；
（2）解：過點D作DF⊥BC，交BC的延長線于點F，
∴∠DFC＝90°，
∴∠CDF+∠DCF＝90°，
∵∠ACD＝90°，
∴∠ACB+∠DCF＝180°﹣∠ACD＝90°，
∴∠ACB＝∠CDF，
∵∠ABC＝∠DFC＝90°，AC＝CD，
∴△ABC≌△CFD（AAS），
∴AB＝CF＝6，BC＝DF＝8，
∴BF＝BC+CF＝8+6＝14，
在Rt△BFD中，BD＝＝＝2，
∴BD的長為2．
二、B卷（共50分）
18．【解答】解：x＝＝＝2﹣，
y＝＝＝2+，
x2+xy+y2
＝（x+y）2﹣xy
＝（2﹣+2+）2﹣（2﹣）（2+）
＝16﹣1
＝15，
故答案為：15．
19．【解答】解：當a+b＝3，ab＝2時，
+
＝+
＝
＝
＝
＝．
故答案為：．
20．【解答】解：作A關(guān)于CD的對稱點A′，連接A′B與CD，交點CD于P，點P即為所求作的點，
則可得：DK＝A′C＝AC＝10千米，
∴BK＝BD+DK＝40千米，
∴AP+BP＝A′B＝＝50（千米），
總費用為50×1.5＝75（萬元），
故答案為：75萬元．
二、B卷（共50分）
21．【解答】解：（1）由折疊的性質(zhì)可知，CG＝AD＝4．
故答案為：4；
（2）∵四邊形ABCD為長方形，
∴∠B＝∠D＝90°，CD＝AB＝8，AD＝BC＝4，
由折疊的性質(zhì)可知，DF＝FG，∠G＝∠D＝90°，
設(shè)DF＝x，則FG＝x，F(xiàn)C＝CD﹣DF＝8﹣x，
在Rt△CFG中，F(xiàn)C2＝FG2+CG2，
即（8﹣x）2＝x2+42，
解得x＝3，
即FG＝3；
（3）由折疊的性質(zhì)可知，AE＝CE，
設(shè)BE＝y(tǒng)，則CE＝AE＝AB﹣BE＝8﹣y，
在Rt△BCE中，CE2＝BE2+BC2，即（8﹣y）2＝y(tǒng)2+42，
解得y＝3，即BE＝3，CE＝8﹣y＝8﹣3＝5，
∴S陰影＝S梯形FGCE+S△BCE＝＝＝22，
即陰影面積為22．
22．【解答】解：（1）∵AB＝100km，AD＝60km，
∴在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理得
BD＝＝80km，
∴臺風中心經(jīng)過80÷20＝4小時從B移動到D點；
（2）如圖，
∵距臺風中心30km的圓形區(qū)域內(nèi)都會受到不同程度的影響，
∴人們要在臺風中心到達E點之前撤離，
∵BE＝BD﹣DE＝80﹣30＝50km，
∴游人在50÷20＝2.5小時內(nèi)撤離才可脫離危險．
23．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAQ＝∠BAQ＝45°，
又 AQ＝AQ，
∴△ADQ≌△ABQ
即 無論點P運動到AB上何處時，都有△ADQ≌△ABQ；
（2）解：如圖，
作 QE⊥AD于E，由（1）得△ADQ≌△ABQ，
∴S△ADQ＝S△ABQ，
∵△ABQ的面積是正方形ABCD面積的，
∴AD×QE＝S正方形ABCD＝，
∴QE＝，
又∵QE⊥AD，∠DAQ＝45°，
∴∠AQE＝∠DAQ＝45°，
∴AE＝QE＝cm，
∴DE＝4﹣＝（cm），
∴在Rt△DEQ中，QE＝cm，DE＝cm，
根據(jù)勾股定理得，DQ＝cm；
（3）解：若△ADQ是等腰三角形，則有QD＝QA或DA＝DQ或AQ＝AD，
①當點P運動到與點B重合時，由正方形知QD＝QA此時△ADQ是等腰三角形，t＝2；
②當點P與點C重合時，點Q與點C重合，此時DA＝DQ，△ADQ是等腰三角形，t＝4；
③如圖，設(shè)點P在BC邊上運動到CP＝x時，有AD＝AQ，
∵AD∥BC
∴∠ADQ＝∠CPQ．
又∵∠AQD＝∠CQP，∠ADQ＝∠AQD，
∴∠CQP＝∠CPQ．
∴CQ＝CP＝x．
∵AC＝4cm，AQ＝AD＝4cm．
∴x＝CQ＝AC﹣AQ＝（4﹣4）cm．
∴AB+BP＝8﹣（4﹣4）＝（12﹣4）cm，
∴t＝6﹣2．
即當t＝2或4或6﹣2時，△ADQ是等腰三角形．

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