1.答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡規(guī)定的位置.
2.答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.
3.答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上.
4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 直線的傾斜角為
A. B. C. D.
2. 已知，則在上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
3. “”是“直線與直線垂直”（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
4. 如圖所示，在平行六面體中，，，，點是中點，點是上的點，且，則向量可表示為（ ）
A B.
C. D.
5. 已知在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，，.點P滿足，設(shè)點P所構(gòu)成的曲線為C，下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 曲線C的方程為
B. 曲線C上存在點D，使得D到點的距離為10
C. 曲線C上存在點M，使得
D. 曲線C上的點到直線的最大距離為9
6. 如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，若E，F(xiàn)分別是上底棱的中點，則點A到平面B1D1EF的距離為（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
7. 廣為人知的太極圖，其形狀如陰陽兩魚互糾在一起，因而被習(xí)稱為“陰陽魚太極圖”如圖是放在平面直角坐標(biāo)系中的“太極圖”整個圖形是一個圓形區(qū)域．其中黑色陰影區(qū)域在y軸左側(cè)部分的邊界為一個半圓．已知符號函數(shù)，則當(dāng)時，下列不等式能表示圖中陰影部分的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知，為圓上兩動點，點，且，則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 已知圓C：，直線l.則以下幾個命題正確的有（ ）
A. 直線恒過定點
B. 圓被軸截得的弦長為
C. 直線與圓恒相交
D. 直線被圓截得最短弦長時，直線的方程為
10. 下列四個命題是真命題的是（ ）
A. 經(jīng)過點且在軸和軸上截距都相等的直線方程為
B. 已知，，點為軸上一動點，則的最大值是
C. 已知，，，過A作直線與線段相交，則直線斜率的取值范圍為
D. 經(jīng)過兩條直線：和：的交點，且與直線平行的直線方程為
11. 如圖，在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱，的中點，G是棱上的一個動點，M為側(cè)面上的動點，則下列說法正確的是（ ）
A. 點G到平面的距離為定值
B. 若，則的最小值為2
C. 若，且，則點G到直線的距離為
D. 直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
12. 已知圓：，圓：，若圓與圓內(nèi)切，則實數(shù)a的值是______.
13. 已知直線：，：，當(dāng)時，直線與之間的距離是_________．
14. 現(xiàn)有四棱錐（如圖），底面ABCD是矩形，平面ABCD.，，點E，F(xiàn)分別在棱AB，BC上.當(dāng)空間四邊形PEFD的周長最小時，異面直線PE與DF所成角的余弦值為___________.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知圓C的圓心為，直線與圓C相切.
（1）求圓C的方程；
（2）若直線過點，被圓C所截得的弦長為2，求直線的方程.
16. 如圖，在四棱錐中，底面為菱形，分別為的中點．
（1）證明：平面．
（2）若平面，，且，求直線與平面所成角的正弦值．
17. 過點作直線分別交軸、軸正半軸于A，B兩點.
（1）當(dāng)面積最小時，求直線的方程；
（2）當(dāng)取到最小值時，求直線方程.
18. 如圖1，在邊長為4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，點，別是邊BC，CD的中點，，．沿MN將翻折到的位置，連接PA、PB、PD，得到如圖2所示的五棱錐P—ABMND．
（1）在翻折過程中是否總有平面PBD⊥平面PAG？證明你結(jié)論；
（2）當(dāng)四棱錐P—MNDB體積最大時，在線段PA上是否存在一點Q，使得平面QMN與平面PMN夾角的余弦值為？若存在，試確定點Q的位置；若不存在，請說明理由．
19. 已知圓經(jīng)過三點．
（1）求圓的方程．
（2）已知直線與圓交于M，N（異于A點）兩點，若直線的斜率之積為2，試問直線是否經(jīng)過定點？若經(jīng)過，求出該定點坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請說明理由。
重慶市2024-2025學(xué)年高二上期第一次月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試題
注意事項：
1.答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡規(guī)定的位置.
2.答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.
3.答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上.
4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 直線的傾斜角為
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】首先將直線化為斜截式求出直線的斜率，然后再利用傾斜角與斜率的關(guān)系即可求解.
【詳解】由直線，
則，
設(shè)直線的傾斜角為，
所以，
所以.
故選：A
本題考查了直線的斜截式方程、直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.
2. 已知，則在上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】根據(jù)題意得，進而根據(jù)投影向量的概念求解即可.
【詳解】因為，所以，
所以，
所以在上的投影向量為
故選：B
3. “”是“直線與直線垂直”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【正確答案】A
【分析】根據(jù)直線垂直的性質(zhì)，結(jié)合充分性、必要性的定義進行判斷即可.
【詳解】由，得，
所以或，所以是的充分不必要條件．
故選：A
4. 如圖所示，在平行六面體中，，，，點是的中點，點是上的點，且，則向量可表示為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】D
【分析】根據(jù)空間向量加法和減法的運算法則，以及向量的數(shù)乘運算即可求解.
【詳解】解：因為在平行六面體中，，，，點是的中點，點是上的點，且，
所以，
故選：D.
5. 已知在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，，.點P滿足，設(shè)點P所構(gòu)成的曲線為C，下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 曲線C的方程為
B. 曲線C上存在點D，使得D到點的距離為10
C. 曲線C上存在點M，使得
D. 曲線C上的點到直線的最大距離為9
【正確答案】D
【分析】根據(jù)兩點坐標(biāo)以及由兩點間距離公式即可整理得點P所構(gòu)成的曲線為C的方程為，即可判斷A；利用點到圓上點距離的最大值，即可知在C上不存在點D，即可判斷B；設(shè)，利用兩點間距離公式得到方程和聯(lián)立，無解，即可判斷C；求出C的圓心到直線的距離，可得曲線C上的點到直線的最大距離為9，即可判斷D.
【詳解】對于A，由題意可設(shè)點Px,y，
由A?2,0，B4,0，，得，
化簡得，即，故A錯誤；
對于B，點到圓上的點的最大距離，
故不存在點D符合題意，故B錯誤；
對于C，設(shè)，由，
得，又，
聯(lián)立方程消去得，得無解，故C錯誤；
對于D，C的圓心到直線的距離為，
且曲線C的半徑為4，則C上的點到直線的最大距離，故D正確.
故選：D.
6. 如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，若E，F(xiàn)分別是上底棱的中點，則點A到平面B1D1EF的距離為（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【正確答案】A
【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面B1D1EF的法向量后可求點到平面的距離.
【詳解】
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，
故，，
設(shè)平面的法向量為，則，
取，則，故，
故到平面的距離為，
故選：A.
7. 廣為人知的太極圖，其形狀如陰陽兩魚互糾在一起，因而被習(xí)稱為“陰陽魚太極圖”如圖是放在平面直角坐標(biāo)系中的“太極圖”整個圖形是一個圓形區(qū)域．其中黑色陰影區(qū)域在y軸左側(cè)部分的邊界為一個半圓．已知符號函數(shù)，則當(dāng)時，下列不等式能表示圖中陰影部分的是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】C
【分析】根據(jù)圓、符號函數(shù)的知識對選項逐一分析，從而確定正確選項.
【詳解】對于A選項，當(dāng)時，，
即表示圓內(nèi)部及邊界，顯然不滿足，故A錯誤；
對于C選項，當(dāng)時，，
即表示圓外部及邊界，滿足；
當(dāng)時，，
即表示圓的內(nèi)部及邊界，滿足，故C正確；
對于B選項，當(dāng)時，，
即表示圓內(nèi)部及邊界，顯然不滿足，故B錯誤；
對于D選項，當(dāng)時，，
即表示圓外部及邊界，顯然不滿足，故D錯誤.
故選：C
8. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知，為圓上兩動點，點，且，則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】令為中點，根據(jù)直角三角形性質(zhì)，圓中弦長、弦心距、半徑的幾何關(guān)系求得軌跡為圓，求定點到所得圓上點距離的最大值，結(jié)合即可求結(jié)果.
【詳解】由，要使最大只需到中點距離最大，
又且，
令，則，整理得，
所以軌跡是以為圓心，為半徑的圓，又，即在圓內(nèi)，
故，而，故.
故選：D
關(guān)鍵點點睛：利用圓、直角三角形的性質(zhì)求中點的軌跡，再求定點到圓上點距離最值即可.
二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 已知圓C：，直線l.則以下幾個命題正確的有（ ）
A. 直線恒過定點
B. 圓被軸截得的弦長為
C. 直線與圓恒相交
D. 直線被圓截得最短弦長時，直線的方程為
【正確答案】ABC
【分析】根據(jù)直線方程求出定點坐標(biāo)即可判斷選項A；求出圓和軸的交點坐標(biāo)，即可判斷選項B；利用定點和圓的位置關(guān)系即可判斷選項C；當(dāng)弦長最短時，直線與過圓心的直線垂直，從而判斷選項D.
【詳解】選項A中，直線方程整理得，由，解得，
∴直線過定點，A正確；
選項B中，在圓方程中令，得，，
∴軸上的弦長為，B正確；
選項C中，，∴在圓內(nèi)，直線與圓一定相交，C正確；
選項D中，直線被圓截得弦最短時，直線且，
∴，則直線方程為，即，D錯誤.
故選：ABC.
10. 下列四個命題是真命題的是（ ）
A. 經(jīng)過點且在軸和軸上截距都相等的直線方程為
B. 已知，，點為軸上一動點，則的最大值是
C. 已知，，，過A作直線與線段相交，則直線斜率的取值范圍為
D. 經(jīng)過兩條直線：和：的交點，且與直線平行的直線方程為
【正確答案】BCD
【分析】舉反例排除A；利用點關(guān)于直線對稱的知識，結(jié)合三角形兩邊之和大于第三邊判斷B；作出圖形，數(shù)形結(jié)合判斷C；先聯(lián)立兩直線方程求得交點，再利用直線平行求直線方程判斷D，從而得解.
【詳解】對于A：當(dāng)直線經(jīng)過原點時，所求直線為，故A錯誤；
對于B：由已知點關(guān)于軸的對稱點為，
又，直線方程為，
令得，所以直線與軸交點為，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)是與軸交點時等號成立，故B正確；
對于C：因為，，，
所以，，
則過點作直線與線段相交時，則直線斜率的取值范圍為，故C正確；
對于D：由，得，即與的交點為，
設(shè)與直線平行的直線方程為，
則，所以，則所求直線方程為，故D正確.
故選：BCD.
11. 如圖，在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱，的中點，G是棱上的一個動點，M為側(cè)面上的動點，則下列說法正確的是（ ）
A. 點G到平面的距離為定值
B. 若，則的最小值為2
C. 若，且，則點G到直線的距離為
D. 直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為
【正確答案】ACD
【分析】利用平行線的傳遞性與平行線共面判斷A，利用線面垂直的判定定理判斷B，利用空間向量推得四點共面，結(jié)合面面平行的性質(zhì)定理判斷C，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求得線面角的取值范圍判斷D，從而得解.
【詳解】對于A，在正方體中，E，F(xiàn)分別為棱，的中點，
所以，
又平面，平面，所以平面，
又點G是棱上的一個動點，所以點G到平面的距離為定值，故A正確；
對于B，連接，面，是在平面上的射影，
要使，則，
所以點M的軌跡是平面上以F為圓心，1為半徑的半圓，
所以的最小值為，故B錯誤；
對于C，連接，，，，
因為，且，所以A，E，，G四點共面，
因為在正方體中，平面平面，
又平面平面，平面平面，
所以，
在正方體中，，，
所以四邊形是平行四邊形，則，則，
因為E為棱的中點，所以G為棱的中點，
故以為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則，，，，
所以，，，，
故點G到直線距離，故C正確；
對于D，以原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
設(shè)（），則，，，，
所以，，，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，故，
設(shè)直線與平面所成角為（），
則，
因為，所以，則，
所以，
所以直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為，故D正確.
故選：ACD.
方法點睛：（1）向量法求點面距離：求出平面的法向量，則點到平面的距離公式為.
（2）向量法求線面所成角的正弦值：求出平面的法向量，則.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
12. 已知圓：，圓：，若圓與圓內(nèi)切，則實數(shù)a的值是______.
【正確答案】或2
【分析】先由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得到兩圓的圓心與半徑，再利用兩圓內(nèi)切得到關(guān)于的方程，解之即可得解.
【詳解】由題可知圓心，半徑，圓心，半徑，
因為圓與圓內(nèi)切，
所以，解得或.
故或2.
13. 已知直線：，：，當(dāng)時，直線與之間距離是_________．
【正確答案】
【分析】根據(jù)可得，再根據(jù)平行直線間的距離公式求解即可.
【詳解】因為，所以，解得或.
當(dāng)時，與重合，不符合題意；
當(dāng)，直線：,：,即，滿足，
故直線與之間的距離是.
故答案為:.
14. 現(xiàn)有四棱錐（如圖），底面ABCD是矩形，平面ABCD.，，點E，F(xiàn)分別在棱AB，BC上.當(dāng)空間四邊形PEFD的周長最小時，異面直線PE與DF所成角的余弦值為___________.
【正確答案】##
【分析】根據(jù)兩點間線段最短，結(jié)合平行線的性質(zhì)、異面直線所成角的定義、空間向量夾角公式進行求解即可.
【詳解】將沿旋轉(zhuǎn)到平面內(nèi)，如下圖所示，
設(shè)點關(guān)于對稱的點為，線段與的交點為，
此時空間四邊形PEFD的周長最小，
因為，所以，
同理可得：，
因為底面ABCD是矩形，所以，
又因為平面ABCD，平面ABCD，
所以，
所以可以建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
，
，
異面直線PE與DF所成角的余弦值為：
，
故
關(guān)鍵點睛：利用兩點間線段最短是解題的關(guān)鍵.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知圓C的圓心為，直線與圓C相切.
（1）求圓C的方程；
（2）若直線過點，被圓C所截得的弦長為2，求直線的方程.
【正確答案】（1）；（2）或.
【分析】（1）由題意，根據(jù)點到直線距離公式，求出半徑，進而可得圓的方程；
（2）先考慮斜率不存在的情況，由題中條件，直接得直線方程；再考慮斜率存在的情況，設(shè)的方程為，根據(jù)圓的弦長的幾何表示，得到圓心到直線的距離，再根據(jù)點到直線距離公式列出方程求解，即可得出斜率，求出對應(yīng)直線方程.
【詳解】（1）因為直線與圓C相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，
即圓心到直線的距離為
∴圓C方程為：；
（2）當(dāng)斜率不存在時，的方程為，
易知此時被圓C截得的弦長為2，符合題意，所以；
當(dāng)斜率存在時，設(shè)的方程為，
則.
又直線被圓C所截得的弦長為2，所以，則，
所以，解得，
所以直線的方程為.
綜上：方程為或.
16. 如圖，在四棱錐中，底面為菱形，分別為的中點．
（1）證明：平面．
（2）若平面，，且，求直線與平面所成角的正弦值．
【正確答案】（1）證明見解析
（2）
【分析】（1）取中點G，連接，根據(jù)線面平行的判定定理只需證明,要想證明，也就是要證明四邊形為平行四邊形，即證且.
（2）由已知可得兩兩垂直，以D為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量求解即可．
【小問1詳解】
取的中點G，連接，
分別為的中點，
，
又底面ABCD為菱形，，
，
四邊形為平行四邊形，
，
又平面，平面，
平面．
【小問2詳解】
連接，
平面，平面，
，
四邊形為菱形，，
為等邊三角形，
F為的中點， ，
， ，
兩兩垂直，
以D為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
由可知，
則，
設(shè)平面的法向量，
則，令，得，，所以，
設(shè)直線與平面所成的角為，
則，
直線與平面所成角的正弦值為．
17. 過點作直線分別交軸、軸正半軸于A，B兩點.
（1）當(dāng)面積最小時，求直線的方程；
（2）當(dāng)取到最小值時，求直線的方程.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）設(shè)直線的方程為（），則，，
即可，展開后利用基本不等式，當(dāng)面積最小時，求得值，即可得到直線的方程；
（2）由，展開后利用基本不等式，當(dāng)取到最小值時，求得值，即可得到直線的方程.
【小問1詳解】
過點的直線與軸、軸正半軸相交，所以直線的斜率
設(shè)直線的方程為（），
則，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)（）即時取“”成立，
則直線的方程為.
【小問2詳解】
由（1），
，
當(dāng)且僅當(dāng)（）即時，取“”成立，
則直線的方程為.
18. 如圖1，在邊長為4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，點，別是邊BC，CD的中點，，．沿MN將翻折到的位置，連接PA、PB、PD，得到如圖2所示的五棱錐P—ABMND．
（1）在翻折過程中是否總有平面PBD⊥平面PAG？證明你的結(jié)論；
（2）當(dāng)四棱錐P—MNDB體積最大時，在線段PA上是否存在一點Q，使得平面QMN與平面PMN夾角的余弦值為？若存在，試確定點Q的位置；若不存在，請說明理由．
【正確答案】（1）在翻折過程中總有平面PBD⊥平面PAG，證明見解析
（2）符合題意的點存在且為線段的中點．
【分析】（1）證明出平面，進而證明面面垂直；
（2）易得當(dāng)平面時，四棱錐體積最大，再建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)（），利用空間向量和二面角的大小，列出方程，確定點的位置
【小問1詳解】
在翻折過程中總有平面平面，
證明如下：∵點，分別是邊，的中點，
又，∴，且是等邊三角形，
∵是的中點，∴，
∵菱形的對角線互相垂直，∴，∴，
∵，平面，平面，
∴平面，∴平面，
∵平面，∴平面平面．
【小問2詳解】
由題意知，四邊形為等腰梯形，
且，，，
所以等腰梯形的面積，
要使得四棱錐體積最大，只要點到平面的距離最大即可，
∴當(dāng)平面時，點到平面的距離的最大值為.
假設(shè)符合題意的點存在．
以為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，又，
又，且，平面，平面，
平面，故平面的一個法向量為，
設(shè)（），
∵，
，故，
∴，，
平面的一個法向量為，
則，，
即
令，所以
，
則平面的一個法向量，
設(shè)二面角的平面角為，
則，即，解得：，
故符合題意的點存在且為線段的中點．
19. 已知圓經(jīng)過三點．
（1）求圓的方程．
（2）已知直線與圓交于M，N（異于A點）兩點，若直線的斜率之積為2，試問直線是否經(jīng)過定點？若經(jīng)過，求出該定點坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請說明理由．
【正確答案】（1）
（2）直線經(jīng)過定點，該定點的坐標(biāo)為
【分析】（1）設(shè)出圓的一般方程，代入的坐標(biāo)，由此求得正確答案.
（2）根據(jù)直線的斜率是否存在進行分類討論，由直線的斜率之積列方程，化簡求得定點坐標(biāo).
【小問1詳解】
設(shè)圓W的方程為，
則，解得
則圓W的方程為．
【小問2詳解】
若直線的斜率不存在，則設(shè)直線的方程為，
則，整理得．
又，解得，所以直線的方程為，此時經(jīng)過點，不符合題意．
若直線的斜率存在，則設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立方程組，整理得，
則．
，
則，
整理得，
解得或．
當(dāng)時，直線的方程為，
此時直線經(jīng)過點，不符合題意，故舍去．
所以，
故直線的方程為，即，經(jīng)過定點．
綜上所述，直線經(jīng)過定點，且該定點的坐標(biāo)為．
求圓的方程的方法有兩種思路，一種思路是根據(jù)已知條件求得圓心和半徑，從而求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；另一種思路是設(shè)圓的一般方程，然后根據(jù)已知條件求得，從而求得圓的一般方

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