數(shù)學(xué)試題
（滿分150分，120分鐘完成）
一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1．若集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．是的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
3．已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊在直線上，則（ ）
A．B．C．D．
4．已知是定義在上的減函數(shù)，則α的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
5．若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（ ）
A．B．C．D．
6．出知，，且，，則（ ）
A．或B．或C．D．
7．若函數(shù)滿足對恒成立，則不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
8．已知，，當(dāng)時(shí)，，則的最大值為（ ）
A．B．CD．
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
9．若，，，則下列命題正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．命題“，”的否定是“，”
10．已知函數(shù)，則下列說法中正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，是的—個(gè)周期
B．將的圖象向右平移個(gè)單位后，得到函數(shù)的圖象，若是奇函數(shù)，則的最小值為2
C．若存在，使得，則的取值范圍是
D．存在，使得在上單調(diào)遞減
11．設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則函數(shù)被稱為高斯函數(shù)：例如，，已知，，則下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)是偶函數(shù)
B．函數(shù)是周期函數(shù)
C．函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱
D．方程只有1個(gè)實(shí)數(shù)根
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線上）
12．已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．若，則______．
13．已知函數(shù)在區(qū)間上恰有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是______．
14．已知函數(shù)，，若存在實(shí)數(shù)使在上有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為______．
四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
15．（13分）的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，設(shè)
（1）求：
（2）若的面積等于，求的周長的最小值，
16．（15分）某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)衡量，并依據(jù)質(zhì)量指標(biāo)值劃分等級如表：
從某企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中抽取200件，檢測后得到如下的頻率分布直方圖：
（1）根據(jù)以上抽樣調(diào)查的數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)這種產(chǎn)品符合“一、二等品至少要占到全部產(chǎn)品的的規(guī)定”？
（2）在樣本中，按產(chǎn)品等級用分層抽樣的方法抽取8件，再從這8件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取4件，求抽取的4件產(chǎn)品中，一、二、三等品都有的概率：
（3）該企業(yè)為提高產(chǎn)品的質(zhì)量，開展了“質(zhì)量提升月”活動(dòng)，活動(dòng)后再抽樣檢測，產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值近似滿足，則“質(zhì)量提升月”活動(dòng)后的質(zhì)量指標(biāo)值的均值比活動(dòng)前大約提升了多少？
17．（15分）已知函數(shù)
（1）若，討論的單調(diào)性：
（2）若，已知函數(shù)，若恒成立，求a的取值范圍，
18．（19分）已知雙曲線：的焦距為4，離心率為2．，分別為C的左、右焦點(diǎn)，兩點(diǎn)，都在上．
（1）求的方程；
（2）若，求直線AB的方程；
（3）若且，，求四個(gè)點(diǎn)，，，所構(gòu)成的四邊形的面積的取值范圍．
19．（19分）對于函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足，則稱為的不動(dòng)點(diǎn)，已知函數(shù)
（1）當(dāng)時(shí)，求證：；
（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)：
（3）設(shè)，證明：
重慶外國語學(xué)校9月第二次月考
參考答案與試題解析
一、選擇題（共8小題）
1．B2．A．3．B．4．D
5．解：設(shè)切點(diǎn)為，對求導(dǎo)可得：，切線的斜率為
可得切線方程為：，把點(diǎn)代入可得
化為，令，，，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得時(shí)函數(shù)取得極大值，．時(shí)，，；時(shí)，：時(shí)，與函數(shù)的圖象最多有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意，舍去，時(shí)，由過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，，故選：C
6．解：因?yàn)椋?，所以，所以，即．因?yàn)?，所以．因?yàn)椋?br>所以，則，
因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以．因?yàn)?，所以，所以，所以．故選：D．
7．解：由，則，即，
故關(guān)于對稱，又，則由二次函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故對，有，即，即，即，解得或，即不等式的解集為．故選：C．
8．D
9．ACD
10．解：對于A：當(dāng)時(shí)，，可得最小正周期為，可得是的一個(gè)周期，正確：對于B：由題意得到，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，解得，，當(dāng)時(shí)，最小此時(shí)為2，正確：對于C：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，．又存在，使得，所以當(dāng)時(shí)，，解得：，正確：對于D:存在，若在上單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得：．因?yàn)?，所以，故可得：，解得，因?yàn)椋?，則必有．所以同時(shí)滿足的必然小于0，這與矛盾，錯(cuò)誤。故選：ABC．
11．解：根據(jù)題意，已知，則函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所以為偶函?shù)．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)。．當(dāng)時(shí)，，…因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以函數(shù)的圖象如下圖所示
由可知，在內(nèi)，
當(dāng)，時(shí)，
當(dāng)，且，時(shí)，
當(dāng)或，時(shí)，，因?yàn)?，所以為偶函?shù)，則函數(shù)的圖象如下圖所示
顯然不是周期函數(shù)，故選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤，C錯(cuò)誤：
對于方程．當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根，所以方程只有1個(gè)實(shí)數(shù)根，故D正確；故選：AD．
12．-2．
13．解：根據(jù)題意，可得時(shí)，，即分別取，在區(qū)間上的零點(diǎn)大小到大排列依次為因?yàn)閰^(qū)間上恰有三個(gè)零點(diǎn)，所以，解得，即的取值范圍是，故答案為：．
14．解：令得，且在上遞增，對于，函數(shù)圖象關(guān)于對稱，且開口向上。
①當(dāng)時(shí)，顯然只有一個(gè)交點(diǎn)，不符題意（圖①）；
②當(dāng)時(shí)，總能找到，使得兩函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)（圖②）；
③當(dāng)時(shí)，的圖象的右半部分至多與在軸上方的圖象產(chǎn)生兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)只需研究與的圖象即可，事實(shí)上，此時(shí)過點(diǎn)做的切線，只要是切點(diǎn)落在內(nèi)即可（圖③）．
設(shè)切點(diǎn)為，且，所以切線方程為，將代入整理得：，，，令得．易知時(shí)，，故在遞減．，即，綜上可知，當(dāng)時(shí)，存在實(shí)數(shù)使在上有2個(gè)零點(diǎn)．故答案為：
15．解：（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫@然，所以．所以，．所以，
（2）依題意，．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號．又由余弦定理得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號．所以的周長最小值為．
16．解：（1）根據(jù)抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，一、二等品所占比例的估計(jì)值為，由于該估計(jì)值小于0.92，故不能認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“一、二等品至少要占到全部產(chǎn)品的的規(guī)定”；
（2）由頻率分布直方圖知，一、二、三等品的頻率分別為0.375，0.5和0.125，
故在樣本中，一等品3件，二等品4件，三等品1件；
再從這8件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取4件，一、二、三等品都有的情形有2種，
①一等品2件，二等品1件，三等品1件；②一等品1件，二等品2件，三等品1件，
故所求的概率為；
（3）“質(zhì)量提升月”活動(dòng)前，該企業(yè)這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的均值約為“質(zhì)量提升月”活動(dòng)后，產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值近似滿足，則數(shù)學(xué)期望：所以“質(zhì)量提升月”活動(dòng)后的質(zhì)量指標(biāo)值的均值比活動(dòng)前大約提升了．
17．解：（1），則．當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增：當(dāng)時(shí)，令，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（2）由，得，即．
令，則，即不等式在恒成立，
設(shè)，則，令，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為
18：解（1）由題意，，解得 的方程為；
（2）根據(jù)題意知，直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，
，得，、都在右支上，由，得．
由已知可得，，，，
結(jié)合，可得，解得，滿足，則直線的方程為；
（3），，，且，，
則，分別在雙曲線的兩支上，不妨設(shè)，都在軸上方，
又，則在第二象限，在第一象限，如圖所示，
延長交雙曲線于點(diǎn)，延長交雙曲線于點(diǎn)，由對稱性可知，四邊形為平行四邊形，且面積為四邊形的2倍，由題設(shè)，直線的方程為，直線的方程為，由（2）可知
，，兩條直線與的距離
令，，則在上為單調(diào)增函數(shù)，，當(dāng)，即時(shí)取最小值12，
四個(gè)點(diǎn)，，，所構(gòu)成的四邊形的面積的取值范圍是．
19．（1）證明：時(shí)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以在上單調(diào)遞增，所以．
（2）解：當(dāng)時(shí)，，
令，則方程的正實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)就是函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，令，，則，
當(dāng)時(shí)，，所以在上是單調(diào)遞增的；
當(dāng)時(shí)，，所以在上是單調(diào)遞減的；
所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值；
因?yàn)椋?，所以方程?個(gè)正實(shí)數(shù)解，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有2個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，
（3）證明：由（1）知，當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，
設(shè)，，則，即
設(shè)，，則所以，
即，所以；
所以
即
質(zhì)量指標(biāo)值m
等級
三等品
二等品
一等品

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