考試時(shí)間：120分鐘總分：150分
一、單選題（本大題共8小題，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）
1. 已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的虛部為（）
A. -1B. 0C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則直接計(jì)算得到答案.
【詳解】由，虛部為1，故選項(xiàng)C正確.
故選：C.
2. 已知全集，集合，則圖中陰影部分表示集合為（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由圖可得陰影部分表示，然后用補(bǔ)集和交集定義進(jìn)行求解
【詳解】由圖可得，圖中陰影部分表示的集合為，
因?yàn)椋?br>所以或，，
故選：A
3. 為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（）
A. 向左平移個(gè)單位B. 向右平移個(gè)單位
C. 向左平移個(gè)單位D. 向右平移個(gè)單位
【答案】B
【解析】
【分析】函數(shù)，根據(jù)平移規(guī)則，得到答案.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，
所以為得到得到函數(shù)的圖象，需向右平移個(gè)單位
從而得到
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查描述正弦型函數(shù)圖像的平移過(guò)程，屬于簡(jiǎn)單題.
4. 函數(shù)的圖象為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】按照流程：
，可畫(huà)出目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)圖像
【詳解】按照流程：
1.圖像向上平移1個(gè)單位；
2. 軸左邊的圖像不要，在軸左邊畫(huà)與軸右邊對(duì)稱(chēng)的圖像；
3. 圖像向右平移2個(gè)單位．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖像的平移變換，對(duì)稱(chēng)變換，是基礎(chǔ)題．
5. 為了全面推進(jìn)鄉(xiāng)村振興，加快農(nóng)村、農(nóng)業(yè)現(xiàn)代化建設(shè)，某市準(zhǔn)備派6位鄉(xiāng)村振興指導(dǎo)員到A，B，C，3地指導(dǎo)工作；每地上午和下午各安排一位鄉(xiāng)村振興指導(dǎo)員，且每位鄉(xiāng)村振興指導(dǎo)員只能被安排一次，其中張指導(dǎo)員不安排到地，李指導(dǎo)員不安排在下午，則不同的安排方案共有（）
A. 180種B. 240種C. 480種D. 540種
【答案】B
【解析】
【分析】分兩種情況討論：李指導(dǎo)員安排在C地上午時(shí)和李指導(dǎo)員不安排在C地上午時(shí)，再結(jié)合排列組合定義即可解決.
【詳解】李指導(dǎo)員安排在C地上午時(shí)，張指導(dǎo)員有種安排方案，其余4位指導(dǎo)員有種安排方案，則共有種安排方案；
李指導(dǎo)員不安排在C地上午時(shí)，李指導(dǎo)員有種安排方案，張指導(dǎo)員有種安排方案，其余4位指導(dǎo)員有種安排方案，則共有種安排方案；
綜上，共有96+144=240種安排方案.
故選：B
6. 在中，“”是“為鈍角三角形”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】推出的等價(jià)式子，即可判斷出結(jié)論.
【詳解】為鈍角三角形.
∴在中，“”是“為鈍角三角形”的充要條件.
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查和與差的正切公式、充分性和必要性的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.
7. 已知函數(shù)，則使不等式成立的的取值范圍是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)條件判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，再利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?，解得或?br>所以的定義域?yàn)榛颍?br>又，
所以，所以為偶函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，
令，，
當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，
又因?yàn)楫?dāng)時(shí)單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以不等式等價(jià)于，
所以，化簡(jiǎn)可得或，
解得或，
所以不等式成立的的取值范圍是.
故選：C.
8. 已知，，，，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用正弦函數(shù)的和差公式與三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系得到關(guān)于的方程組，進(jìn)而結(jié)合三角函數(shù)的正負(fù)情況求得的取值范圍，再次利用正弦函數(shù)的和差公式求得的值，由此得到的值.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)椋?，則，故，
聯(lián)立，解得，
因?yàn)?，，所以?br>又，，所以，，
所以，，則，
因?yàn)椋?br>所以.
故選：D.
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，選錯(cuò)或不選得0分.）
9. 在的展開(kāi)式中，下列說(shuō)法中正確的有（）
A. 存在常數(shù)項(xiàng)B. 所有項(xiàng)的系數(shù)和為0
C. 系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng)和第5項(xiàng)D. 所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為128
【答案】BD
【解析】
【分析】利用二項(xiàng)式定理以及展開(kāi)式的通項(xiàng)，賦值法對(duì)應(yīng)各個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可．
【詳解】解：選項(xiàng)A：二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，
令，解得，故不存在常數(shù)項(xiàng)，故A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B：令，則，所以所有項(xiàng)的系數(shù)的和為0，故B正確；
選項(xiàng)C：二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，
第四項(xiàng)為，第五項(xiàng)為，
顯然第五項(xiàng)的系數(shù)最大，故C錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D：所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，故D正確；
故選：BD．
10. 下列結(jié)論正確的是（）．
A. 若，則的最大值為
B. 若，，則
C. 若，，且，則的最大值為9
D. 若，則的最大值為2
【答案】ABD
【解析】
【分析】
利用基本不等式，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.
【詳解】A選項(xiàng)，由可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；即的最大值為；A正確；
B選項(xiàng)，由，，可得，即，故B正確；
C選項(xiàng)，若，，且，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；即的最小值為9，故C錯(cuò)；
D選項(xiàng)，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故D正確.
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿(mǎn)足的三個(gè)條件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.
11. 有甲、乙兩臺(tái)車(chē)床加工同一型號(hào)的零件，甲車(chē)床加工的優(yōu)質(zhì)品率為90%，乙車(chē)床加工的優(yōu)質(zhì)品率為80%，加工出來(lái)的零件混放在一起.已知甲、乙兩臺(tái)車(chē)床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的60%、40%.任取一個(gè)零件，用事件，分別表示取到的零件來(lái)自甲、乙車(chē)床，事件表示取到的零件為優(yōu)質(zhì)品，則下列選項(xiàng)正確的有（）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)題意利用條件概率以及全概率公式即可求解.
【詳解】依題意得：用事件表示取到的零件來(lái)自甲車(chē)床，則，
用事件表示取到的零件來(lái)自乙車(chē)床，則，
，，B正確，C錯(cuò)誤；
對(duì)于A，，解得：，A正確；
對(duì)于D，利用全概率公式得：
，D正確.
故選：ABD.
12. 高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱(chēng)號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)x∈R，用[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則y＝[x]稱(chēng)為高斯函數(shù)，如：[1.2]＝1，[﹣1.2]＝﹣2，y＝[x]又稱(chēng)為取整函數(shù)，在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用，諸如停車(chē)收費(fèi)，出租車(chē)收費(fèi)等均按“取整函數(shù)”進(jìn)行計(jì)費(fèi)，以下關(guān)于“取整函數(shù)”的描述，正確的是（ ）
A. ?x∈R，[2x]＝2[x]
B. ?x∈R，[x]+
C. ?x，y∈R，若[x]＝[y]，則有x﹣y＞﹣1
D. 方程x2＝3[x]+1解集為
【答案】BC
【解析】
【分析】對(duì)于A：取x＝判斷；對(duì)于B：設(shè)[x]＝x﹣a，a∈[0，1）判斷；對(duì)于C：設(shè)[x]＝[y]＝m，得到x＝m+t，0≤t＜1，y＝m+s，0≤s＜1判斷；對(duì)于D：由x2＝3[x]+1得到x2一定為整數(shù)且3[x]+1≥0，從而[x]≥0，x≥0，再由[x]2≤x2＜（[x]+1）2，得到[x]2≤3[x]+1＜（[x]+1）2判斷.
【詳解】解：對(duì)于A：取x＝，[2x]＝[1]＝1，2[x]＝2[]＝0，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：設(shè)[x]＝x﹣a，a∈[0，1），
所以[x]+[x+]＝[x]+[[x]+a+]＝2[x]+[a+]，
[2x]＝[2[x]+2a]＝2[x]+[2a]，
當(dāng)a∈[0，）時(shí)，a+∈[，1），2a∈[0，1），
則[a+]＝0，[2a]＝0，
則[x]+[x+]＝2[x]，[2x]＝2[x]，
故當(dāng)a∈[0，）時(shí)，[x]+[x+]＝2[x]成立；
當(dāng)a∈[，1）時(shí)，a+∈[1，），2a∈[1，2），
則[a+]＝1，[2a]＝1，
則[x]+[x+]＝2[x]+1，[2x]+2[x]+1，
故當(dāng)a∈[，1）時(shí)，[x]+[x+]＝2[x]成立，綜上B正確；
對(duì)于C：設(shè)[x]＝[y]＝m，
則x＝m+t，0≤t＜1，y＝m+s，0≤s＜1，
則|x﹣y|＝|（m+t）﹣（m+s）|＝|t﹣s|＜1，因此x﹣y＞﹣1，故C正確；
對(duì)于D：由x2＝3[x]+1知，x2一定為整數(shù)且3[x]+1≥0，
所以[x]≥，
所以[x]≥0，
所以x≥0，
由[x]2≤x2＜（[x]+1）2，得[x]2≤3[x]+1＜（[x]+1）2，
由[x]2≤3[x]+1，解得≤[x]≤≈3.3，只能取0≤[x]≤3，
由3[x]+1＜（[x]+1)2，解得[x]＞1或[x]＜0（舍），故2≤[x]≤3，
所以[x]＝2或[x]＝3，
當(dāng)[x]＝2時(shí)，x＝，當(dāng)[x]＝3時(shí)，x＝，
所以方程x2＝3[x]+1的解集為，故D錯(cuò)誤．
故選：BC．
三、填空題（本大題4小題，每小題5分，共20分）
13. 如果隨機(jī)變量，且，，則等于___________.
【答案】0.2##
【解析】
【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的期望和方差公式可得出關(guān)于n、p的方程組，即可求得p的值.
【詳解】由題意得，，
解得
故答案為：0.2.
14. 已知，則______.
【答案】
【解析】
【分析】利用誘導(dǎo)公式即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
故答案為：.
15. 函數(shù)（其中，，）的圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式為_(kāi)_____，若將該函數(shù)的圖象上的各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的3倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)，則______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】綜合應(yīng)用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可解決.
【詳解】由圖象易知，，圖象過(guò)點(diǎn)，即，，，所以，
又圖象過(guò)點(diǎn)，即，
所以，解得，
所以函數(shù)的解析式為，
可得，
故，
故答案為：；.
16. 若定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)滿(mǎn)足，且其圖象過(guò)點(diǎn)A，點(diǎn)A為函數(shù)（且）的圖象所過(guò)定點(diǎn)，則______.
【答案】2
【解析】
【分析】先求出，可得，從而可得，再推出函數(shù)的周期為，進(jìn)而可得答案.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以（且）的圖象過(guò)定點(diǎn)，
又因?yàn)榈膱D象過(guò)點(diǎn)A，所以，
因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，即.
由可得，
由，得，
所以，即，
于是有，
所以，即.
所以函數(shù)的周期為.
所以.
故答案：.
四、解答題（本大題共6小題，共70.0分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）
17. 已知函數(shù).
（1）求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，求的最大值和最小值.
【答案】（1），；
（2）最大值，最小值.
【解析】
【分析】（1）利用二倍角的正弦、輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解作答.
（2）在給定條件下求出（1）中函數(shù)的相位，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解作答.
【小問(wèn)1詳解】
依題意，，則的最小正周期，
由，得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間是.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，，由，得，
當(dāng)，即時(shí)，有最大值，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有最小值.
18. 已知在時(shí)有極值0．
（1）求常數(shù)的值；
（2）求在區(qū)間上的最值．
【答案】（1）；
（2）最大值為4，最小值為0
【解析】
【分析】（1）由解出，代回導(dǎo)數(shù)，檢驗(yàn)是否在時(shí)取極值即可；
（2）先確定函數(shù)單調(diào)性，求出極值，再和端點(diǎn)值比較即可求出最值.
【小問(wèn)1詳解】
由題意知：，，解得或，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，無(wú)極值，不合題意；
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，在時(shí)有極值，符合題意；故；
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
故在取極大值，極大值為，在取極小值，極小值為，
又，，故的最大值為4，最小值為0.
19. 某高中學(xué)校鼓勵(lì)學(xué)生自發(fā)組織各項(xiàng)體育比賽活動(dòng)，甲、乙兩名同學(xué)利用課余時(shí)間進(jìn)行乒乓球比賽，比賽采用七局四勝制（即有一方先勝四局即獲勝，比賽結(jié)束）．假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率都是．
（1）求比賽結(jié)束時(shí)恰好打了5局的概率；
（2）若甲以3：1的比分領(lǐng)先時(shí)，記表示到結(jié)束比賽時(shí)還需要比賽的局?jǐn)?shù)，求的分布列及期望．
【答案】（1）
（2）分布列見(jiàn)詳解，
【解析】
【分析】（1）分兩種情況甲勝或乙勝，如果第5局甲勝則前4局甲勝3局，若第5局乙勝則前4局乙勝3局，即可求出概率；
（2）寫(xiě)出的可能取值，求出各情況的概率即可得出結(jié)果．
【小問(wèn)1詳解】
第一種情況：比賽結(jié)束時(shí)恰好打了5局且甲獲勝，則概率為；
第二種情況：比賽結(jié)束時(shí)恰好打了5局且乙獲勝，則概率為；
所以比賽結(jié)束時(shí)恰好打了5局的概率為.
【小問(wèn)2詳解】
依題意得的可能取值為
的分布列為
．
20. 在中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且.
（1）求角的大小；
（2）求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理、兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)已知式，即可得出答案；
（2）由誘導(dǎo)公式、二倍角的正弦公式、兩角差的余弦公式化簡(jiǎn)，再由三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
由正弦定理可得，，
從而可得，
，
又為三角形的內(nèi)角，
所以，于是，
又為三角形的內(nèi)角，因此.
【小問(wèn)2詳解】
，
由可知，，，
從而，
因此，
故的取值范圍為.
21. 為幫助鄉(xiāng)村脫貧，某勘探隊(duì)計(jì)劃了解當(dāng)?shù)氐V脈某金屬的分布情況，測(cè)得了平均金屬含量（單位：）與樣本對(duì)原點(diǎn)的距離（單位：）的數(shù)據(jù)，并作了初步處理，得到了下面的一些統(tǒng)計(jì)量的值．（表中，）．
（1）利用樣本相關(guān)系數(shù)的知識(shí)，判斷與哪一個(gè)更適宜作為平均金屬含量關(guān)于樣本對(duì)原點(diǎn)的距離的回歸方程類(lèi)型？
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果回答下列問(wèn)題：
（i）建立關(guān)于的回歸方程；
（ii）樣本對(duì)原點(diǎn)的距離時(shí)，金屬含量的預(yù)報(bào)值是多少？
（iii）已知該金屬在距離原點(diǎn)時(shí)的平均開(kāi)采成本（單位：元）與，關(guān)系為，根據(jù)（2）的結(jié)果回答，為何值時(shí)，開(kāi)采成本最大？
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)，
其回歸直線(xiàn)的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，．
【答案】（1）更適宜；（2）（i）；（ii）；（iii）為10時(shí)，開(kāi)采成本最大．
【解析】
【分析】（1）計(jì)算出的線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)和的線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)可得答案；
（2）（i）計(jì)算出和，可得關(guān)于的回歸方程；
（ii）代入可得答案；
（iii）求出，令，判斷的單調(diào)性可得答案．
【詳解】（1）的線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)，
的線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)，
∵，
∴更適宜作為平均金屬含量關(guān)于樣本對(duì)原點(diǎn)的距離的回歸方程類(lèi)型．
（2）（i），，
∴，
∴關(guān)于的回歸方程為．
（ii）當(dāng)時(shí)，金屬含量的預(yù)報(bào)值為．
（iii），
令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
∴在處取得極大值，也是最大值，此時(shí)取得最大值，
故為10時(shí)，開(kāi)采成本最大．
【點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)計(jì)算分析、線(xiàn)性回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)，考查了學(xué)生利用數(shù)據(jù)解決問(wèn)題的能力，計(jì)算能力.
22. 已知函數(shù)，，.
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與曲線(xiàn)切于點(diǎn)，求的值；
（Ⅲ）若恒成立，求的最大值.
【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）（Ⅲ）
【解析】
【詳解】（Ⅰ） ，則.
令得，所以在上單調(diào)遞增.
令得，所以在上單調(diào)遞減.
（Ⅱ）因?yàn)椋?，所以的方程?
依題意，， .
于是與拋物線(xiàn)切于點(diǎn)，
由得.
所以 -
（Ⅲ）設(shè),則恒成立.
易得
（1）當(dāng)時(shí)，
因?yàn)?，所以此時(shí)在上單調(diào)遞增.
①若，則當(dāng)時(shí)滿(mǎn)足條件，此時(shí)；
②若，取且
此時(shí)，所以不恒成立．
不滿(mǎn)足條件；
（2）當(dāng)時(shí)，
令，得由，得；
由，得
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
要使得“恒成立”，必須有
“當(dāng)時(shí)，”成立.
所以.則
令則
令，得由，得；
由，得所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,
所以，當(dāng)時(shí)，
從而，當(dāng)時(shí)，的最大值為.-
【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問(wèn)題的“兩種”常用方法
（1）分離參數(shù)法：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值，根據(jù)要求得所求范圍.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a即可.
(2)函數(shù)思想法：將不等式轉(zhuǎn)化為某含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值(最值)，然后構(gòu)建不等式求解.
6
97.90
0.21
60
0.14
14.12
26.13
﹣1.40

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