數(shù)學(xué)參考答案
一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．
二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．
12． 13． 14．
11．[解析]
對(duì)于A，易知當(dāng)時(shí)，，時(shí)，
因此可得在以及上分別為單調(diào)遞減函數(shù)，即A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，易知函數(shù)滿足，因此可得關(guān)于對(duì)稱，
即B正確；
對(duì)于C，由，即，
即在有解，易知,
所以可得，解得，即C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，畫出函數(shù)以及的圖像如下圖所示：
易知也關(guān)于對(duì)稱，的周期為4，
一個(gè)周期與有兩個(gè)交點(diǎn)，所以與在共20個(gè)交點(diǎn)，即，故D正確．
故選：BD．
14．[解析]
，因?yàn)椋?
所以函數(shù)值域?yàn)?，故?br>則
因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以．
四、解答題：本大題共5小題，共77分．
15．（本小題滿分13分）
解：（1）證明：取任意，，且，
有
3分
由，可得，
，即，
所以在上單調(diào)遞增． 6分
（2）由在上單調(diào)遞增，
可得在上，8分
依題意得，
又，當(dāng)且僅當(dāng)，
即時(shí)取等號(hào)，10分
所以，解得
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是13分
16．（本小題滿分15分）
解：（1）， 3分
由，得，又，所以. 6分（2）由得，所以7分
又，所以. 8分
由于，故，，，
所以，，故，10分
， 12分
所以
， 14分
又因?yàn)?br>故．15分
17．（本小題滿分15分）
解：（1）由題意得：，即，
所以，其中所以，解得： 6分
注：以特殊值求出，而未證明的給4分.
（2）由（1）得，
所以， 8分
令，故的最小值為，
等價(jià)于，解得： 11分
或，無(wú)解 14分
綜上： 15分
18．（本小題滿分17分）
解：（1）當(dāng)時(shí)，，由已知得，
得，由，故當(dāng)時(shí)，有最小正值. 4分
（2）當(dāng)時(shí)，，由已知條件，存在，，令，
則函數(shù)在區(qū)間上至少存在兩個(gè)最大值點(diǎn)，
則，即，所以的取值范圍為. 10分
（3）時(shí)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：不等式，對(duì)恒成立
由，則，
當(dāng)或時(shí)，即或時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，
所以當(dāng)或時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，14分
設(shè)函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
且函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，所以，
所以，解得，
又由，解得， 16分
所以. 17分
19．（本小題滿分17分）
解：（1）證明：右邊
. 2分
左邊.
所以 3分
（2）證明：當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增.
又，由于，而，
所以.又，
所以由零點(diǎn)存在定理得在內(nèi)有唯一零點(diǎn)，使得.-
當(dāng)時(shí)，，所以，則在上無(wú)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，所以，
則在上無(wú)零點(diǎn).
綜上，在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn). 6分
所以，且，
則.
由函數(shù)的單調(diào)性得函數(shù)在上單調(diào)遞減，
則，故. 9分
（3）因?yàn)閷?duì)于任意都有成立，
所以成立.
因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以 12分
即對(duì)于任意成立，
又需滿足，對(duì)于任意成立，則，
由，可得，所以． 14分
式可化為，
即對(duì)于任意成立，即成立，
即對(duì)于任意成立，
因?yàn)?，所以?duì)于任意成立，16分
即對(duì)于任意成立，而，所以，
又，可得，所以的取值范圍為. 17分
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
選項(xiàng)
C
B
C
D
B
A
A
B
題號(hào)
9
10
11
選項(xiàng)
AC
ACD
BD

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