一、單選題
1．若，則（ ）
A．B．C．D．
2．從1984年第23屆洛杉磯夏季奧運(yùn)會(huì)到2024年第33屆巴黎夏季奧運(yùn)會(huì)，我國(guó)獲得的夏季奧運(yùn)會(huì)金牌數(shù)依次為15、5、16、16、28、32、51、38、26、38、40，這11個(gè)數(shù)據(jù)的分位數(shù)是（ ）
A．16B．30C．32D．51
3．已知集合，，，則（ ）
A．?B．C．?D．?
4．的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A．147B．C．63D．
5．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
6．已知，是一元二次方程的兩個(gè)根，則（ ）
A．B．C．D．
7．在體積為12的三棱錐中，，，平面平面，，，若點(diǎn)都在球的表面上，則球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
8．若函數(shù)在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則符合條件的m的個(gè)數(shù)是（ ）
A．4B．5C．6D．7
二、多選題
9．已知向量，，則（ ）
A．若，則B．若，共線，則
C．不可能是單位向量D．若，則
10．我們把平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡稱為卡西尼卵形線．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)定點(diǎn)為，，動(dòng)點(diǎn)滿足，化簡(jiǎn)可得卡西尼卵形線，則（ ）
A．曲線C既是中心對(duì)稱圖形也是軸對(duì)稱圖形
B．曲線C關(guān)于直線對(duì)稱
C．曲線C都在圓內(nèi)
D．曲線C與橢圓沒(méi)有公共點(diǎn)
11．已知函數(shù)，，若，的圖象與直線分別切于點(diǎn)，，與直線分別切于點(diǎn)C，D，且，相交于點(diǎn)，則（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
12．已知點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，且點(diǎn)P到C的焦點(diǎn)距離為2，則 ．
13．已知變量y與x線性相關(guān)，由樣本點(diǎn)求得的回歸方程為，若點(diǎn)在回歸直線上，且，，則 ．
14．如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)在的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，且，則的最大值為 ．

四、解答題
15．已知中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．
(1)求的值；
(2)若，求B最大時(shí)的面積．
16．已知函數(shù)．
(1)若在R上單調(diào)遞減，求a的取值范圍；
(2)若，判斷是否有最大值，若有，求出最大值；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．
17．如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD是平行四邊形，，，，，，點(diǎn)E在BC上，且．

(1)證明：平面APE；
(2)求直線AE與平面PCD所成角的正弦值．
18．已知雙曲線（，）的一條漸近線的傾斜角為，C的右焦點(diǎn)F到該漸近線的距離為.
(1)求C的方程；
(2)若過(guò)F的直線與C的左、右支分別交于點(diǎn)A，B，與圓交于與A，B不重合的M，N兩點(diǎn).
（?。┣笾本€AB斜率的取值范圍；
（ⅱ）求的取值范圍.
19．記數(shù)列中前項(xiàng)的最大值為，數(shù)列稱為的“數(shù)列”，由所有的值組成的集合為．
(1)若，且中有3個(gè)元素，求的取值范圍；
(2)若數(shù)列，都只有4項(xiàng)，為的“數(shù)列”，滿足且存在，使得，求符合條件的數(shù)列的個(gè)數(shù)；
(3)若，的“數(shù)列”的前n項(xiàng)和為，從，，，…，中任取3個(gè)，記其中能被2整除且不能被4整除的個(gè)數(shù)為，求．
參考答案：
1．B
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念分析判斷.
【詳解】因?yàn)?，則，
所以．
故選B．
2．C
【分析】將數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列，根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算方法即可求解.
【詳解】把11個(gè)數(shù)據(jù)按照從小到大排列得5、15、16、16、26、28、32、38、38、40、51，
因?yàn)?，這11個(gè)數(shù)據(jù)按照從小到大排列第7個(gè)是32.
故選：.
3．A
【分析】根據(jù)題意，將集合用整倍數(shù)形式表示，分別求出和，利用集合的元素特征即可判斷A正確；C錯(cuò)誤；D錯(cuò)誤；對(duì)于B，只需要舉反例排除即可.
【詳解】依題意，，，，
則，易知12的倍數(shù)一定是6的倍數(shù)，故A正確，C錯(cuò)誤；
因，即，故D錯(cuò)誤；
對(duì)于B項(xiàng)，任取，因，則，故B錯(cuò)誤．
故選：A．
4．C
【分析】根據(jù)給定條件，利用二項(xiàng)式定理求出展開(kāi)式中項(xiàng)即可列式計(jì)算即得
【詳解】二項(xiàng)式展開(kāi)式中項(xiàng)分別為，
所以的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為．
故選：C
5．D
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合復(fù)合函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域計(jì)算求解.
【詳解】在區(qū)間上單調(diào)遞增，令單調(diào)遞減，
則在區(qū)間上單調(diào)遞減且恒為正，
所以且，所以．
故選：D．
6．A
【分析】結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系可得，，再利用兩角和的正切公式可求出的值.
【詳解】因?yàn)?，是一元二次方程的兩個(gè)根，
顯然，所以，，
所以，
所以．
故選：A．
7．D
【分析】如圖，取的中點(diǎn)，連接，，根據(jù)題中條件確定點(diǎn)為球心，設(shè)球半徑為，利用三棱錐的體積求出，最后用球的表面積公式即可求解.
【詳解】
如圖，取的中點(diǎn)，連接，，
因?yàn)?，，所以，因此點(diǎn)就是球心，
又，故是等腰直角三角形，所以．
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面?br>所以平面．
設(shè)球半徑為，則，，
又，則，
所以三棱錐的體積，
所以，所以球O的表面積為．
故選：D．
8．B
【分析】就、、分類，每種情況結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可得其取值范圍.
【詳解】令，則或，
由，
當(dāng)時(shí)，在0,4上沒(méi)有零點(diǎn)，
則在0,4上應(yīng)有3個(gè)零點(diǎn)，
因?yàn)?，所以，即?br>與聯(lián)立得，因?yàn)?，所以m的值依次為9，10；
當(dāng)時(shí)，在0,4上有1個(gè)零點(diǎn)，
在0,4上有3個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意；
當(dāng)時(shí)，在0,4上有2個(gè)零點(diǎn)，
故在0,4上應(yīng)有1個(gè)零點(diǎn)，
因?yàn)?，所以該零點(diǎn)與的零點(diǎn)不相同，
所以，即，與聯(lián)立得，
因?yàn)?，所以的取值依次?，3，4，綜上得符合條件的的個(gè)數(shù)是5．
故選：B．
9．AD
【分析】根據(jù)給定條件，利用垂直關(guān)系、向量共線的坐標(biāo)表示計(jì)算判斷AB；利用單位向量的意義判斷C，利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示及利用坐標(biāo)求模判斷D.
【詳解】對(duì)于A，由，得，解得，A正確；
對(duì)于B，由，共線，得，解得，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，是單位向量，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，則，D正確．
故選：AD
10．ACD
【分析】對(duì)于A：根據(jù)方程結(jié)合中心對(duì)稱和軸對(duì)稱分析判斷；對(duì)于B：根據(jù)方程結(jié)合直線對(duì)稱性質(zhì)分析判斷；對(duì)于C：根據(jù)題意分析可得，進(jìn)而可得，即可得結(jié)果；根據(jù)橢圓定義結(jié)合基本不等式分析判斷.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：曲線C上任取一點(diǎn)，
把方程中的x，y換成得，
把方程中的x，y換成得，
把方程中的x，y換成得，
可知點(diǎn)，，也在曲線C上，
所以曲線C既關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，也關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：把方程中的x，y互換得，
即兩方程表示的曲線不相同，所以曲線C關(guān)于直線對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C：由得，兩邊平方得，
設(shè)O為原點(diǎn)，則，
所以曲線C都在圓內(nèi)，故C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D：橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，
若曲線C與該橢圓有公共點(diǎn)P，則，
則，與矛盾，故D正確．
故選：ACD．
11．BC
【分析】根據(jù)公切線的有關(guān)概念判斷與的關(guān)系，可判斷A、B選項(xiàng)的真假；根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，可判斷公切線斜率的關(guān)系，結(jié)合基本不等式，判斷C的真假；也可求兩條公切線的交點(diǎn)，判斷D的真假.
【詳解】由題意得，，所以，即，由，整理得，且，A錯(cuò)誤；
把，，代入，整理得，B正確；
分別作出與的圖象如下：
兩圖象有2個(gè)交點(diǎn)，所以圖象上的切點(diǎn)有2個(gè)，即與的公切線有2條．
因?yàn)?，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，，，，C正確；
因?yàn)橹本€，關(guān)于直線對(duì)稱，則點(diǎn)就是直線與直線的交點(diǎn)，
直線的方程為，與聯(lián)立得，
所以，所以，
由且可得，
設(shè)，則，所以，所以，D錯(cuò)誤．
故選：BC．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）同底的指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，這一性質(zhì)的應(yīng)用在判斷D選項(xiàng)時(shí)很重要.
（2）看到不等式，就要想到求代數(shù)式的最值，常見(jiàn)的最值的求法有：第一：與二次函數(shù)有關(guān)的最值問(wèn)題的求法；第二：基本不等式求最值；第三：利用函數(shù)的單調(diào)性求最值；第三：利用三角函數(shù)的有界性求最值.
12．2
【分析】求出準(zhǔn)線方程，由拋物線定義列方程求解即可.
【詳解】拋物線準(zhǔn)線方程為，則點(diǎn)P到C的焦點(diǎn)距離為，所以．
故答案為：2.
13．6
【分析】依題意，可得點(diǎn)在回歸直線上，求得，將條件代入回歸方程求出，利用平均數(shù)公式即可求得.
【詳解】由題意，點(diǎn)在回歸直線上，代入可得，，解得，
因，且樣本中心點(diǎn)在回歸直線上，將條件代入得：，
故，解得．
故答案為：6.
14．
【分析】利用正方體的性質(zhì)，連接與平面交于點(diǎn)，平面，得，進(jìn)而確定點(diǎn)在的內(nèi)切圓上，故，最大為，進(jìn)而可得.
【詳解】如圖，連接與平面交于點(diǎn)，
根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征及線面垂直的判定，易知平面，
且，，

因?yàn)?，所以?br>而是邊長(zhǎng)為的正三角形，其內(nèi)切圓半徑，
所以點(diǎn)在的內(nèi)切圓上，
因?yàn)槠矫?，且點(diǎn)到平面的距離為，
所以，
當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)最大，最大為，
所以的最大值為．
故答案為：.
15．(1)
(2)
【分析】（1）正弦定理化邊為角，利用三角變換后再由正弦定理化角為邊可得；
（2）利用余弦定理及基本不等式求得的最小值即得最大，由此求得三角形的邊長(zhǎng)后，再利用面積公式可得結(jié)論．
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>由正弦定理得，
得，
由正弦定理得，所以．
（2）由余弦定理得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
當(dāng)取最小值時(shí)，B最大，
此時(shí)，，，
的面積為．
16．(1)
(2)有最大值，最大值為e
【分析】（1）求導(dǎo)，得到恒成立，根據(jù)根的判別式得到不等式，求出a的取值范圍；
（2）求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最大值.
【詳解】（1）因?yàn)?，所以?br>因?yàn)樵赗上單調(diào)遞減，所以恒成立，
所以，，所以a的取值范圍是．
（2）當(dāng)時(shí)，，，
令，解得，令，解得，
所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)，時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，
又時(shí)，，
所以有最大值，最大值為e．
17．(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）通過(guò)證明，，證明平面APE，又，得證平面APE．
（2）以點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，向量法求線面角的正弦值.
【詳解】（1）證明：因?yàn)?，，?br>所以，，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，平面PBC，所以平面PBC，
因?yàn)槠矫鍼BC，所以，
因?yàn)?，，?br>所以，，
取BC的中點(diǎn)，則，且，
所以點(diǎn)A到BC的最短距離為3，
因?yàn)?，所以點(diǎn)E，重合，，
因?yàn)?，平面APE，平面APE，所以平面APE，
因?yàn)樵谄叫兴倪呅蜛BCD中，，所以平面APE．
（2）

由（1）知，PB，PC，PA兩兩垂直，
以點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn)，PB，PC，PA所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
，，，
設(shè)平面PCD的法向量為，則有得
取，則，得，
設(shè)直線AE與平面PCD所成角為，
則，
所以直線AE與平面PCD所成角的正弦值為．
18．(1)
(2)（?。?；（ⅱ）
【分析】（1）根據(jù)漸近線的傾斜角得到，由焦點(diǎn)到漸近線方程的距離得到，，得到雙曲線方程；
（2）（?。┲本€AB的斜率存在且不為零，設(shè)直線AB的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，由根的判別式及得到不等式，求出，再利用直線與圓相交得到不等式，求出，直線AB的斜率，從而得到直線AB斜率的取值范圍；
（ⅱ）由弦長(zhǎng)公式和垂徑定理得到，其中，設(shè)，，從而得到.
【詳解】（1）因?yàn)镃的一條漸近線的傾斜角為，所以，，
則C的一條漸近線的方程為，
因?yàn)椋?br>所以右焦點(diǎn)到漸近線的距離為，
所以，，所以C的方程為.
（2）（?。┯桑?）知，，設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，
由題意可得直線AB的斜率存在且不為零，設(shè)直線AB的方程為，
與聯(lián)立得，
所以，，，，
又A，B兩點(diǎn)在x軸同一側(cè)，所以.此時(shí)，即.
又圓O的方程為，點(diǎn)O到直線AB的距離，
由得，由得，所以或，
因?yàn)橹本€AB的斜率，所以直線AB斜率的取值范圍是.

（ⅱ）由弦長(zhǎng)公式得
，
由垂徑定理得，
所以，
其中，設(shè)，，
則，
所以的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值或范圍問(wèn)題的常見(jiàn)解法：
（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來(lái)解決；
（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍.
19．(1)
(2)20
(3)
【分析】（1）根據(jù)中有3個(gè)元素結(jié)合數(shù)列單調(diào)性定義可得，，從而可得參數(shù)的取值范圍.
（2）就可得中必有，就在數(shù)列中的不同位置分類討論后可得的個(gè)數(shù).
（3）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)結(jié)合可得其通項(xiàng)，從而可求，
【詳解】（1）因?yàn)橹杏?個(gè)元素，故不是單調(diào)數(shù)列，
因?yàn)椋?br>所以，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
故當(dāng)時(shí)為增函數(shù)，時(shí)為減數(shù)列，
因?yàn)橹杏?個(gè)元素，所以，，即，，
所以，解得，所以的取值范圍是．
（2）若，則，有1個(gè)，
①若且，則，有3種可能，有3個(gè)，
②若且，，則，
若則，若，，的值可能是4或6，
若，則，的值可能是2或4或6，
符合條件的有6個(gè)．
③若，，均不為8，則，，
，，的值可能分別為：2，2，2；對(duì)應(yīng)的，，的值可為；
，，的值可能分別為2，2，4；對(duì)應(yīng)的，，的值可為；
，，的值可能分別為2，2，6；對(duì)應(yīng)的，，的值可為，
，，的值可能分別為2，4，4；對(duì)應(yīng)的，，的值可為，
，，的值可能分別為2，4，6；對(duì)應(yīng)的，，的值可為，
，，的值可能分別為2，6，6；對(duì)應(yīng)的，，的值可為，
，，的值可能分別為4，4，4；對(duì)應(yīng)的，，的值可為，
，，的值可能分別為4，4，6；對(duì)應(yīng)的，，的值可為，
，，的值可能分別為4，6，6；對(duì)應(yīng)的，，的值可為，
，，的值可能分別為6，6，6；對(duì)應(yīng)的，，的值可為，
故此時(shí)符合條件的有10個(gè)，
綜上，符合條件的共有，綜上得符合條件的有20個(gè)．
（3）由題意得
所以，，，
所以，能被4整除，
，不能被2整除，
，能被2整除，不能被4整除，
，不能被2整除，
所以，，…，中能被2整除，但不能被4整除的有n個(gè)，
，，，，
．
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：數(shù)列新定義問(wèn)題，應(yīng)該根據(jù)定義得到新數(shù)列的形成過(guò)程，將該過(guò)程與數(shù)列常見(jiàn)性質(zhì)（如單調(diào)性等）結(jié)合在一起，另外數(shù)列的最值或諸項(xiàng)之間的大小關(guān)系往往和數(shù)列的單調(diào)性相關(guān).
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
A
C
D
A
D
B
AD
ACD
題號(hào)
11









答案
BC









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江西省“紅色十?！?023屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考 文科數(shù)學(xué)試卷及答案

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