教學(xué)基本信息
課題
空間立體幾何初步單元復(fù)習(xí)（第三課時）
學(xué)科
數(shù)學(xué)
學(xué)段：高一
年級
高一
教材
書名：人教A版數(shù)學(xué)必修第二冊出版社：人民教育出版社
出版日期：2019年6月
教學(xué)設(shè)計參與人員
姓名
單位
設(shè)計者
陳繼紅
順義區(qū)楊鎮(zhèn)第一中學(xué)
實施者
陳繼紅
順義區(qū)楊鎮(zhèn)第一中學(xué)
指導(dǎo)者
李淑敬/趙賀
北京市順義區(qū)教育研究和教師研修中心
課件制作者
陳繼紅
順義區(qū)楊鎮(zhèn)第一中學(xué)
其他參與者
教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重點、難點
本節(jié)課對空間中直線、平面的垂直關(guān)系涉及的相關(guān)知識進行梳理進而構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)圖，能根據(jù)知識結(jié)構(gòu)圖解決一些簡單的綜合問題，在研究垂直問題時能讓學(xué)生體會轉(zhuǎn)化的思想，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的核心素養(yǎng)，在教學(xué)過程中設(shè)計了五道例題.
教學(xué)過程(表格描述)
教學(xué)環(huán)節(jié)
主要教學(xué)活動
設(shè)置意圖
引入
上節(jié)課大家復(fù)習(xí)了空間中點、線、面的位置關(guān)系，又進一步研究了空間直線、平面的特殊位置關(guān)系-----平行.今天我們重點研究空間直線、平面的另一種特殊位置關(guān)系-----垂直.與研究空間中直線、平面的平行關(guān)系類似我們首先進行知識梳理來構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)圖.
提出類比空間中直線、平面的平行關(guān)系的學(xué)習(xí)方法，同時明確平行關(guān)系和垂直關(guān)系都是空間直線、平面的特殊位置關(guān)系.
新課
一.知識梳理
1.直線與直線垂直
定義：如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條異面直線互相垂直．直線a與b垂直，記作a⊥b．
【總結(jié)】空間中線線垂直包括共面垂直和異面垂直，證明共面垂直常用的方法有1.利用等腰三角形、矩形、菱形的幾何特征2由圓的直徑所對的圓周角為90度3應(yīng)用勾股定理得直線與直線垂直；證明異面垂直的常用方法有1定義，2由直線和平面垂直的定義得直線與直線垂直。
2.直線與平面垂直
（1）定義：一般地，如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α．
【總結(jié)】請同學(xué)們注意定義中任意一條直
線不等同于無數(shù)條直線．
（2）由定義得到的下面經(jīng)常使用的命題：
如果一條直線和一個平面垂直，另外一條直線是這個平面內(nèi)的直線，則這兩條直線垂直．
圖形語言： 符號語言：
【總結(jié)】因此我們得到知識結(jié)構(gòu)圖中的第一條線,由圖我們知道要證直線與直線垂直需證相應(yīng)的直線與平面垂直.
（3）直線與平面垂直判定定理
如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直．
圖形語言： 符號語言：
【總結(jié)】請大家注意：判定定理中兩條相交直線這個條件具有很強的限制性，同時也為證明直線與平面垂直指明了方向，由判定定理得直線與平面垂直就找這個平面內(nèi)具有相交特征且和相應(yīng)直線垂直的線.
【總結(jié)】：到此我們得到知識結(jié)構(gòu)中的第二條線，那么我們要得到直線與平面垂直可以找相應(yīng)的直線與直線垂直.通過直線與直線垂直判斷直線與平面垂直，蘊含了降維的思想。
(4)判定直線與平面垂直常用命題
兩條直線互相平行，其中一條直線垂直于一個平面，則另外一條直線也垂直于這個平面．
圖形語言： 符號語言：
【總結(jié)】：這個命題體現(xiàn)了平行關(guān)系和垂直關(guān)系之間的聯(lián)系.同時根據(jù)這個命題還可以進行問題得轉(zhuǎn)化，要證b垂直于平面α可以轉(zhuǎn)化為證與b平行的直線a垂直于平面α。
那么由直線與平面垂直能得到什么？這就是直線與平面垂直的性質(zhì)：
(5) 垂直于同一個平面的兩條直線平行.
圖形語言： 符號語言：
【總結(jié)】：這個性質(zhì)給出了判定兩條直線平行的又一種方法.到此我們得到了結(jié)構(gòu)圖中的第三條線.
3．平面與平面垂直
(1)定義：兩個平面相交，它們所成的二面角是直二面角，就 說兩個平面互相垂直．
圖形語言： 符號語言：
【總結(jié)】：請同學(xué)們注意用定義判斷兩平面垂直需要找出二面角的平面角并且說明它是直角．
(2) 平面與平面垂直的判定定理
如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直.
圖形語言： 符號語言：
【總結(jié)】：到此得到結(jié)構(gòu)圖中的第四條線，由圖說明要得平面與平面垂直需找相應(yīng)的直線與平面垂直.
(3) 平面與平面垂直的性質(zhì)定理
兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直．
圖形語言： 符號語言：
【總結(jié)】請同學(xué)們注意條件中這條直線是其中一個平面內(nèi)的直線。另外一定要關(guān)注兩個平面的交線，有了交線順藤摸瓜找與交線垂直的直線，進而證明直線與平面垂直，這個條件給解決問題指明了方向。
到此我們得到結(jié)構(gòu)圖中的第五條線.
那么本章我們研究空間中直線、平面間垂直關(guān)系的知識結(jié)構(gòu)就構(gòu)建完整了，由結(jié)構(gòu)圖可以看出直線與直線垂直和直線與平面垂直，直線與平面垂直和平面與平面垂直之間可以互相轉(zhuǎn)化，這就給我們解決問題找到了方向，同時以上知識還與直線、平面平行關(guān)系建立了聯(lián)系.
與上節(jié)課復(fù)習(xí)的空間中直線、平面的平行關(guān)系知識結(jié)構(gòu)圖聯(lián)系到一起，就有了空間平行、垂直關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化.
有了這些知識儲備我們可以解決什么問題呢？如何解決呢？下面我們做一些具體的題目.
二、例題解析
例題 設(shè)l，m，n均為直線，其中m，n在平面α內(nèi)，則“l(fā)⊥α”是“l(fā)⊥m，l⊥n”的( A )．
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析：由l⊥α，m α，n α可得l⊥m，l⊥n；
反之，因為m，n不一定相交，如圖，
此時l與α不垂直．所以“l(fā)⊥α”是“l(fā)⊥m，l⊥n”的充分不必要條件．
【總結(jié)】這道題考查了垂直關(guān)系結(jié)構(gòu)圖中的直線與直線垂直和直線與平面垂直的相互轉(zhuǎn)化，解決這類問題時一定要明確定理成立的條件才能得出結(jié)論，構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)圖的過程中要實現(xiàn)知識的內(nèi)化，理解并記憶．
例題 下列命題中正確的是_____________．
①垂直于同一直線的兩條直線平行
②垂直于同一平面的兩個平面平行
③垂直于同一平面的兩條直線平行
④垂直于同一直線的兩個平面平行
①，我們可以在正方體中找到反例,如A1D1與D1C1都垂直于直線的D1D，但A1D1與D 1C1是相交直線
②同樣可以在正方體中找到反例，如平面AD1與平面D1C都垂直于平面AC.
③垂直于同一平面的兩條直線平行,是直線與平面垂直的性質(zhì)，所以正確.
④解析：假設(shè)平面α與平面β不平行，
則平面α與平面β相交．
不妨設(shè)α∩β＝n，m∩α＝A，m∩β＝B，如圖.

在直線n上取一點C，連接AC，BC．
∵m⊥平面α，AC 平面α，
∴m⊥AC，即∠BAC＝900．
同理可得：m⊥BC，即∠ABC＝900．
∴在ΔABC中，
∠BAC+∠ABC+∠ACB>1800，
這與三角形內(nèi)角和為1800矛盾．
總結(jié)：1．要否定一個命題時只需舉一個反例，常借助特殊模型(如正方體)進行舉例．要肯定一個命題需要對這個命題進行推理論證．2．注意文字語言、圖形語言、符號語言三種語言的靈活應(yīng)用，這也是本章的重點．
例題 如圖AB是 的直徑，點C是 上的動點，過動點C的直線VC垂直于 所在的平面，D，E分別是VA，VC的中點．判斷直線DE與平面VBC的位置關(guān)系，并說明理由．
【分析】我們根據(jù)由已知得到什么？得結(jié)論需要什么？來尋求解題思路。
由結(jié)論要判斷直線DE與平面VBC的位置關(guān)系，由幾何直觀猜測DE⊥平面VBC，接下來我們需要說明DE⊥平面VBC，又由D，E分別是VA，VC的中點可得DE//AC，所以由判定直線與平面垂直的常用命題問題轉(zhuǎn)化為說明AC⊥平面VBC。要說明AC⊥平面VBC由結(jié)構(gòu)圖知可以由直線與平面垂直的判定得到，也可以由平面與平面垂直的性質(zhì)得到.
由直線與平面垂直的判定得AC⊥平面VBC，需要說明AC垂直于平面VBC內(nèi)的兩條相交直線，由已知條件易得AC⊥BC，再利用VC⊥平面ABC，由直線與平面垂直的定義可得VC⊥AC，從而AC⊥平面VBC。這就是方法一.具體解法如下：
方法一：
解：直線DE⊥平面VBC，理由如下：
∵AB是 的直徑，
∴AC⊥BC ．
∵VC⊥平面ABC，AC 平面ABC，
∴VC⊥AC．
又∵VC∩BC=C，VC 平面VBC，
BC 平面VBC，
∴AC⊥平面VBC．
∵D，E分別是VA，VC的中點，
∴DE是ΔVAC的中位線．
∴DE//AC．
∴DE⊥平面VBC．
【分析】由平面與平面垂直的性質(zhì)得AC⊥平面VBC，需要說明過AC的平面與平面VBC垂直,同時AC垂直于這兩個平面的交線，由題意可知VC⊥平面ABC，VC包含于平面VBC，從而平面ABC⊥平面VBC，由已知條件易得AC⊥BC，平面ABC與平面VBC的交線為BC,進而AC⊥平面VBC。這就是方法二.具體解法如下：
方法二：
解：直線DE⊥平面VBC，理由如下：
∵AB是 的直徑，
∴AC⊥BC．
∵VC⊥平面ABC，VC 平面VBC，
∴平面VBC⊥平面ABC．
∵平面VBC∩平面ABC=BC，
AC 平面ABC，AC⊥BC，
∴AC⊥平面VBC．
∵D，E分別是VA，VC的中點，
∴DE是ΔVAC的中位線．
∴DE//AC．
∴DE⊥平面VBC．
【分析】由圖知過AC的平面除了平面ABC，還有平面VAC，我們能否證明面VAC垂直于面VBC，若成立也可以得到AC⊥平面VBC，這里用到了平面與平面垂直的定義.
要用平面與平面垂直的定義證明平面VCB⊥平面VCA，需要找到二面角B-VC-A的平面角，并說明它是直角。由題意可知VC⊥平面ABC，AC包含于平面ABC，BC包含于平面ABC，可得VC⊥AC，VC⊥BC，從而由二面角的定義知∠ACB為二面角B-VC-A的平面角，由已知條件易得AC⊥BC，進而平面VCB⊥平面VCA，這就是方法三。具體解法如下：
方法三：
解：直線DE⊥平面VBC，理由如下：
∵AB是 的直徑，∴AC⊥BC．
∵VC⊥平面ABC，AC 平面ABC， BC 平面ABC，
∴VC⊥AC，VC⊥BC．
∴∠ACB為二面角B-VC-A的平面角．
∴平面VCB⊥平面VCA．
∵平面VCB∩平面VCA＝VC，
AC⊥VC，AC 平面VCA，
∴AC⊥平面VBC．
∵D，E分別是VA，VC的中點，
∴DE是ΔVAC的中位線．
∴DE//AC．
∴DE⊥平面VBC．
【本題小節(jié)】：1.本題的解題思路是“由已知得到什么？得結(jié)論需要什么？”
2.方法一主要利用了直線與直線垂直與直線與平面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是要說明AC垂直于平面VBC內(nèi)的兩條相交直線．
3.方法二主要利用的是直線與平面垂直與平面與平面垂直的相互轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是要說明過AC的平面與平面VBC垂直,同時AC垂直于這兩個平面的交線．
4.方法三用平面與平面垂直的定義得平面與平面垂直，關(guān)鍵是要找到二面角的平面角，并說明這個角為直角．
5.本題多次用到三個垂直之間的相互轉(zhuǎn)化，同時還考查
了 這個命題.
例題 如圖在邊長為2的正方形ABCD中，點E是AB的中點，點F是BC的中點，將ΔAED，ΔBEF，ΔDCF分別沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三點重合于點A'．
（1）求證A'D⊥EF； （2）求三棱錐A'-EFD的體積．
【分析】:本題是立體幾何中的翻折問題,從平面圖形到立體圖形關(guān)鍵要抓住哪些量變了，哪些量沒變.由結(jié)論我們要證垂直，所以要關(guān)注折前、折后有哪些垂直條件或能得到垂直的條件.例如由三角形AED翻折到三角形A’ED,由題意翻折前AD⊥AE，翻折后A’E仍垂直于A’D.由三角形BEF翻折到三角形A’EF，由題意翻折前BE=BF，翻折后A'E=A'F，得到三角形A’EF是等腰三角形，進而可以構(gòu)造直線與直線垂直。
【分析】:要證直線A'D與直線EF垂直，由結(jié)構(gòu)圖知只需證直線A'D垂直于直線EF所在的一個平面，而由直線與平面垂直的判定定理，還需證直線A'D與直線EF所在的平面內(nèi)的兩條相交直線垂直。在本題中，由題意可得A'D⊥A'E，A'D⊥A'F,A'E交A'F于A'，從而A'D⊥平面A'EF，進而A'D⊥EF。具體證明如下：
方法一
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD⊥AE，CD⊥CF ．
∴A'D⊥A'E，A'D⊥A'F．
∵A'E∩A'F=A'，
A'E 平面A'EF，A'F 平面A'EF，
∴A'D⊥平面A'EF．
∵EF 平面A'EF，
∴A'D⊥EF．
【分析】:要證A'D垂直于EF，能否證明EF垂直于A'D所在的一個平面，由題意知圖中沒有現(xiàn)成平面滿足，那么能否構(gòu)造一個平面滿足題意？要得直線與平面垂直需找直線與直線垂直，由題意A'E=A'F,DE=DF,我們可以構(gòu)造直線與直線垂直，取EF中點G，連接A'G，DG，易得EF⊥A'G，EF⊥GD，從而可得EF⊥平面A'GD，進而A'D⊥EF。就是方法二，具體證明如下：
方法二：
證明：取EF中點G，連接A'G，DG．
∵四邊形ABCD是正方形，
點E是AB的中點，點F是BC的中點，
∴BE=BF，DE=DF．
∴A'E=A'F，DE=DF．
∵G是EF的中點，
∴EF⊥A'G，EF⊥GD．
又∵A'G∩GD＝G，
A'G 平面A'GD，GD 平面A'GD
∴EF⊥平面A'GD．
又∵A'D 平面A'GD，
∴A'D⊥EF．
【分析】:要求三棱錐的體積，由公式V=1/3Sh，需要求三棱錐的高和對應(yīng)的底面積，而求高h是關(guān)鍵，需要證明直線與平面垂直，由（1）知A'D⊥平面A'EF，從而三棱錐A'-EFD的體積等于三棱錐D-A'EF的體積，進而求三棱錐A'-EFD的體積.具體求解過程如下：
解：由（1）知A'D⊥平面A'EF．
∴ ．
∵BE=BF=1，BE⊥BF，
∴A'E=A'F=1，A'E⊥A'F．
∴ ．
∵A'D=2，
∴
【本題小結(jié)】:
1.立體幾何的翻折問題關(guān)鍵是確定從翻折前到翻折后哪些量沒變，哪些量變了，這就需要同學(xué)們的直觀想象能力．
2.本題第一問用到了由直線與直線垂直與直線與平面垂直的相互轉(zhuǎn)化，第一種方法借助了原圖現(xiàn)有的線面，第二種方法利用平面幾何知識根據(jù)需要構(gòu)造了直線與直線垂直，這也是構(gòu)造垂直常用的做輔助線的方法．
3.本題第二問是三棱錐的體積問題，錐體的體積問題關(guān)鍵是找到相應(yīng)的直線與平面垂直，同時還要注意三棱錐可以轉(zhuǎn)換頂點．在求相關(guān)幾何體體積中用到了垂直關(guān)系，通過前兩節(jié)課的復(fù)習(xí)在求異面直線所成角和二面角時也用到了垂直關(guān)系．
例題 如圖，一塊正方體形木料的上底面有一點E．若經(jīng)過點E在上底面上畫一條直線與CE垂直，則應(yīng)該怎樣畫？

【分析】：本題是一道簡單的應(yīng)用題和探索性問題，那我們先設(shè)直線?l滿足題意，如圖，由題意?⊥CE，有條件易得CC1⊥?，由直線與平面的判定定理得?⊥面CEC1，從而得?⊥C1E，進而只需在上底面畫一條與C1E垂直的直線即可。具體過程如下：
解：設(shè)要畫的直線為?，連接EC1．
由題意? 平面A1C1，且?⊥CE．
∵ABCD-A1B1C1D1是正方體，
∴CC1⊥平面A1C1．
又∵? 平面A1C1，
∴CC1⊥?．
又∵?⊥CE，CE∩CC1＝C，
∴? ⊥平面CEC1．
∵EC1 平面CEC1 ，
∴?⊥EC1．
∴在上底面過點E作直線?⊥EC1即可．
【本題小結(jié)】:
這道題考查了直線與直線垂直與直線與平面垂直的相互轉(zhuǎn)化，同時這道題的難點是如何建立數(shù)學(xué)模型，如何借助相應(yīng)的圖形和符號來表示這個模型，靈活應(yīng)用文字語言、圖形語言、符號語言三種語言，這也是本章的重點．
明確異面直線的定義及空間中直線與直線垂直的概念，同時總結(jié)空間中直線與直線垂直證明的常用方法.
梳理直線與平面垂直的相關(guān)知識，分析定義、定理中需要關(guān)注的關(guān)鍵點，逐步完善知識結(jié)構(gòu)圖.
梳理平面與平面垂直的相關(guān)知識及關(guān)鍵知識點，逐步完善知識結(jié)構(gòu)圖
與空間中直線、平面平行關(guān)系建立聯(lián)系，構(gòu)成更完整的知識結(jié)構(gòu)圖，讓學(xué)生體會知識之間的聯(lián)系.
這道例題主要是讓學(xué)生體會知識的學(xué)習(xí)一定要重視內(nèi)化，真正理解掌握.
這道例題主要讓學(xué)生總結(jié)判斷一個命題常用的方法，同時用到了反證法，讓學(xué)生熟悉一下這種證明方法.同時體會文字語言、符號語言、圖形語言的靈活應(yīng)用.
這道例題主要讓學(xué)生體會“由已知得到什么？得結(jié)論需要什么？”的思想方法，同時體會三種垂直關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化.本題還用到了由平面與平面垂直的定義證明平面與平面垂直.
本題是翻折問題，這類問題是學(xué)生剛接觸，難點之一就是能否直觀想象出折前折后哪些量變了，哪些量沒變.同時讓學(xué)生體會由知識結(jié)構(gòu)圖根據(jù)需要構(gòu)造相應(yīng)的輔助線.
三棱錐的體積問題是經(jīng)?？疾榈膯栴}，本題主要是讓學(xué)生體會體積的求取關(guān)鍵是找到相應(yīng)的高，進而可以靈活的轉(zhuǎn)換頂點.
本題借助垂直關(guān)系的應(yīng)用，首先讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)就在身邊，其次熟悉文字語言、圖形語言、符號語言之間的靈活應(yīng)用.
總結(jié)
三.本節(jié)小結(jié)
1.這節(jié)課復(fù)習(xí)了直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直的相關(guān)知識，構(gòu)建了空間立體幾何中的垂直關(guān)系的知識結(jié)構(gòu)，構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)圖的過程中要實現(xiàn)知識的內(nèi)化，理解并記憶．三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化可結(jié)合下面的框圖進行記憶．
2.這節(jié)課我們綜合運用這些定理、性質(zhì)和已獲得的結(jié)論證明了一些空間圖形垂直關(guān)系的簡單命題．空間垂直關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化是立體幾何中證明垂直關(guān)系的常用思路，在解決問題的過程中，緊緊抓住“由已知得到什么？得結(jié)論需要什么？”，進一步找到解決問題辦法．
3.這節(jié)課同學(xué)們在尋求解題思路和給出嚴格證明的過程中提升了自己的直觀想象能力和邏輯分析能力．
回顧本節(jié)課知識，并建立知識的結(jié)構(gòu).
作業(yè)
四.課后作業(yè)
如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC= 900，AA1=AB，求證：A1C⊥AB1．
課后作業(yè)，加深對知識的理解和掌握.

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