教學基本信息
課題
立體幾何初步單元復習（第二課時）
學科
數(shù)學
學段：高中
年級
高一年級
教材
書名：普通高中教科書數(shù)學必修第二冊 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年 6 月
教學設計參與人員
姓名
單位
設計者
張雅麗
北京市順義區(qū)楊鎮(zhèn)第一中學
實施者
張雅麗
北京市順義區(qū)楊鎮(zhèn)第一中學
指導者
李淑敬
北京市順義區(qū)教育研究和教師研修中心
趙賀
北京市順義區(qū)教育研究和教師研修中心
課件制作者
張雅麗
北京市順義區(qū)楊鎮(zhèn)第一中學
其他參與者
教學目標及教學重點、難點
本節(jié)課是立體幾何初步的單元復習課第二課時，通過對基礎知識的復習，幫助學生回顧本部分的主要內(nèi)容，正確理解所學知識，理清知識脈絡，對這部分知識系統(tǒng)化和網(wǎng)絡化；通過例題鞏固，揭示解題規(guī)律，總結解題方法，提高這部分的思辨能力，強化規(guī)范，提高示范功能。
教學重點：空間點、直線、平面的位置關系的判定；三種平行之間轉化的應用及探索性問題的一般解題策略。
教學難點：探索性問題的理解。
教學過程(表格描述)
教學環(huán)節(jié)
主要教學活動
設置意圖
引入
本節(jié)課我們針對的主要內(nèi)容是空間點、直線、平面的位置關系的判定和平行之間轉化的應用。
明晰教學內(nèi)容和教學重點
一、知識概要
復習鞏固
典型例題
知識結構
知識梳理：
（一）4個基本事實及推論
基本事實1：過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面．即“不共線的三點確定一個平面”．
推論1 經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面．
推論2 經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．
推論3 經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面．
以上四點是確定平面的重要依據(jù)
基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)． 作用：可以判定直線是否在平面內(nèi)．
基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．
作用：（1）判定兩個平面相交，
（2）判定點在直線上，即若點是兩個平面的交點，直線是兩個平面的交線，那么這個點一定在該交線上。
基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線平行．通常叫做平行的傳遞性，可以判定線線平行。
（二）空間直線與平面的位置關系
空間中直線與直線的位置關系有：相交直線——在同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點 ，平行直線——在同一平面內(nèi)，沒有公共點，異面直線——不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點。其中相交直線和平行直線又稱為共面直線。
空間中直線與平面的位置關系有：直線在平面內(nèi)，直線與平面有無數(shù)個公共點；直線與平面相交，直線與平面有且只有一個公共點；直線與平面平行，直線與平面沒有公共點。其中當直線與平面相交或平行時，稱為直線在平面外。
空間中平面與平面的位置關系有：兩個平面平行，兩個平面沒有公共點；兩個平面相交，兩個平面有一條公共直線。
位置關系的判定主要通過公共點個數(shù)這個幾何特征。
三種位置關系中也分別給出了線線平行、線面平行、面面平行的定義，即判定三種平行關系的定義法。
（三）空間平行之間的轉化
具體的：
線面垂直的性質定理平行與垂直之間建立了橋梁。
希望同學們通過以上知識的復習，課下也能建構一個適合自己的知識網(wǎng)絡圖，實現(xiàn)知識的內(nèi)化，以提高邏輯思維能力和空間想象能力。
二、典型例題
例題1：若直線a不平行于平面α，且直線a平面α，則下列結論成立的是（ ）
（A）α內(nèi)的所有直線與a是異面直線（B）α內(nèi)不存在與a平行的直線
（C）α內(nèi)存在唯一一條直線與a平行（D）α內(nèi)的所有直線與a都相交
解析：直線與平面有三種位置關系：直線在平面內(nèi)、相交、平行。
根據(jù)已知排除平行和直線在平面內(nèi)，就剩下直線與平面相交.
同學們可以拿出筆當作直線、桌面看作平面進行實物操作，一只手擺出直線與平面相交，另一只手在桌面上畫各種位置的直線及尋找反例，很快能排除A、D選項。通過實物操作也能初步判斷B是正確的。
不妨設平面內(nèi)有一直線b，b與直線a平行，而在平面內(nèi)過點A必能作直線c，使直線c與直線b平行，由平行的傳遞性得直線a與c平行，如圖，顯然矛盾。
故B是正確的。
例題2：如果直線a//平面α，點P∈平面α，那么過點P且平行于直線a的直線（ ）.
（A） 只有一條，不在平面α內(nèi)（B）有無數(shù)條，不一定在α內(nèi)
（C）只有一條，且在平面α內(nèi) （D）有無數(shù)條，一定在α內(nèi)
解析：根據(jù)題意，可以畫圖演示，進行推理。
如圖:
過直線a可作平面β，設α ∩ β=m，則a//m．
當m恰好過點P時，直線m存在唯一一條．
當m不過點P時， P∈α，mα， 則過點P且平行于m的直線只有一條．
由平行的傳遞性，過點P且平行于a的直線也只有一條且在平面α內(nèi)．綜上選C。
例題3：已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β.若直線l滿足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，則（ ）.
（A）α // β， l // α （B）α 與 β相交，且交線平行于l
（C）α⊥β，l⊥ β （D）α 與 β相交，且交線垂直于l
解析：此題的條件比較多，可亂中捋序，由m，n為異面直線，且m⊥平面α，n⊥平面β，可知平面α與β相交，否則m//n。設平面α與β的交線為直線a.
第一組l⊥m，lα，則平面α內(nèi)一定存在直線b，滿足b//l且bβ；
第二組l⊥n，lβ，同理 平面β內(nèi)一定存在直線b'，滿足b'//l且b'α。
b//l，b' //l，所以b//b'，進而b//β，由線面平行的性質得b//a,因此l//a,即選B。
本題也可以通過給出的已知條件找到實物模型
如圖，在直六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，若AB⊥AF， DE⊥EF． 設平面AFF1A1為α ，平面FEE1F1為β，棱AB所在直線為m，棱D1E1所在直線為n，棱CC1所在直線為l.結論顯然為B.
總結：空間點、直線、平面位置關系的判定問題
（1）平面的基本事實是基礎. 常采用列舉形式,對各種關系進行考慮.
（2）利用線線、線面、面面的平行及垂直的判定定理、性質定理進行綜合推理，判斷命題是否正確.
（3）利用實物操作、模型演示充分發(fā)揮直觀性作用.
例題4：如圖，在四面體A-BCD中，M是AD的中點， P是BM的中點，點Q在線段AC上，且AQ=3QC.求證：PQ//平面BCD.
策略就是：
“由已知想可知，由求證想需知”，尋求平行之間的轉化.
本題要證線面平行，由轉化關系可以有線線平行和面面平行兩個思路。
思路一 由線線平行推線面平行
結合已知P是BM的中點， AQ=3QC.
分析一：
證法一：在BD上取中點E，在CD上取DF=3FC，
∵ P是BM的中點，
∴ 在△MBD中，PE//DM且PE=DM．
∵ DF=3FC，AQ=3QC， ∴ QF//AD且QF=AD．
又 M是AD的中點， ∴ QF//DM且QF= DM．
∴ PE//QF且PE=QF．∴ 四邊形PEFQ是平行四邊形． ∴ PQ//EF．
∵ PQ平面BCD，EF平面BCD，∴ PQ//平面BCD．
分析二：
在平面BCD內(nèi)找到與PQ平行的直線還可以根據(jù)結論。
尋找平行線的目標就轉化為尋找交線。
證法二：連接AP并延長交BD于G，連接GC．取AG的中點為H，連接HM．
∵ M為AD中點， ∴ HM//BD．
∵ P為BM中點， ∴ △PBG≌△PMH．
∴ PG=PH，即PG= AG．
∴ AP=3PG．
∵ AP=3PG，AQ=3QC， ∴ △APQ∽△AGC． ∴ PQ//GC．
又 PQ平面BCD，GC平面BCD，
∴ PQ//平面BCD．
思路二 由面面平行推線面平行
分析三：
結合已知，P是BM的中點，不妨取MD的中點為N，
證法三：取MD的中點為N，連接PN，QN．
∵ M是AD的中點， ∴ AN=3ND．
∵ P是BM的中點， ∴ PN//BD．
又 PN平面BCD，BD平面BCD，
∴ PN//平面BCD．
∵ AQ=3QC且AN=3ND，
∴ QN//CD．
又 QN平面BCD，CD平面BCD， ∴ QN//平面BCD．
∵ PN∩QN=N， ∴ 平面NPQ//平面BCD．
∵ PQ平面NPQ， ∴ PQ//平面BCD．
總結：此題證明線面平行，可以通過作輔助線在平面BCD內(nèi)找到與已知直線PQ平行的直線，輔助線的作法有：（1）結合已知條件取特殊位置；（2）利用平面基本事實找到交線．有的利用三角形中位線、有的利用平行四邊形的性質、有的利用三角形相似來證明線線平行．另外也可以通過構造過PQ與平面BCD平行的平面，利用面面平行來證明線面平行．
思考：在四棱錐P-ABCD的底面ABCD中， AB//DC.回答下面的問題：
（1）在側面PAB內(nèi)能否作一條直線段使其與DC平行？
（2）在側面PBC內(nèi)能否作一條直線段使其與AD平行？
分析：

結合已知條件AB//DC，AB側面PAB ，所以只需在平面PAB內(nèi)作EF//AB，即可得EF//DC。
解：（1）能作出直線段與DC平行．
具體作法是，在側面PAB內(nèi)作AB的
平行線EF，即 EF//AB．
∵ AB//DC，∴ EF//DC．
而且這樣的直線段還有很多。
（2）在側面PBC內(nèi)不一定能作一條直線段使其與AD平行．
理由如下：
如果AD與BC平行，可參照（1）的方法作出平行線．
如果AD與BC不平行，設側面PBC內(nèi)能作出直線段MN//AD．
∴ MN//底面ABCD． ∴ MN//BC． ∴ AD//BC．
∴側面PBC內(nèi)不能作出直線段與AD平行．
綜上所述：如果AD與BC平行時，在側面PBC內(nèi)能作出直線段與AD
平行；如果AD與BC不平行時，在側面PBC內(nèi)不能作出直線段與 AD平行．
思考：仍然在這個題設條件下，結合前面的問題，你還能提出哪些類似的數(shù)學問題？
例如：若側面PAD與側面PBC的交線為l ，交線l能否與底面ABCD平行？
若AD//BC，在棱PD上是否存在點E， 使得PB//平面ACE?
這類“是否存在”、“是否有”、“在何位置”等形式設問的問題，是一種具有開放性和發(fā)散性的問題，常常是條件不完備的情況下探討某些結論能否成立．要求我們結合已有條件進行觀察、分析、比較、概括、歸納和猜想去探索．
第一個問題：若側面PAD與側面PBC的交線為l，交線l能否與底面ABCD平行？
這是對命題結論的探索性問題，即在給定的條件下這個結論能否成立?
常用策略：（1）從條件出發(fā)，探索出要求的結論；
（2）假設結論成立，尋求與條件相容還是矛盾的結論．
解：假設交線l//底面ABCD．
由基本事實3，交線l過點P．
∵ l側面PAD， ∴ l//AD．
同理 l//BC． ∴ AD//BC．
∵條件中不確定AD與BC的位置關系，
∴如果AD與BC平行時，交線l與底
面ABCD平行；如果AD與BC不平行時，交線l不與底面ABCD平行．
第二個問題：若AD//BC，在棱PD上是否存在點E，使得PB//平面ACE?
這是對命題條件的探索性問題，即探索能使結論成立的條件是什么.
常用策略：（1）通過觀察與嘗試給出條件，先猜再證；
（2）找出結論成立的必要條件，再給出充分性的證明．
借助已知條件，猜E為PD中點時，可能使結論成立。
本題將轉化為在四棱錐P-ABCD的底面ABCD中， AB//DC， AD//BC，
E為棱PD的中點，求證：PB//平面ACE.
分析：
連接BD，則O為BD的中點，所以有OE //PB. 則有PB//平面ACE.
解：設E是PD的中點，連接BD交AC于點O，連接OE．
∵ AB//DC，AD//BC，
∴ 底面ABCD為平行四邊形．
∴ O為BD中點．
又 E是PD的中點， ∴ OE//PB．
∵ PB平面ACE， OE平面ACE，
∴ PB//平面ACE．
∴ 棱PD上存在點E，E是PD中點時，使得PB//平面ACE．
總結：探索性問題，一類是命題結論的探索，一類是命題條件的探索．求解命題結論“是否存在”，“是否有”時，可以先假設結論存在，從這個結論出發(fā)，尋找使這個結論成立的充分條件，如果找到了，則存在；如果找不到，則不存在；探求點的位置時，可以從特殊位置入手，先猜測再證明．隨著我們不斷地學習，還會有其它的手段來解決這類問題．
建構知識結構圖，促使學生把原本零散的互不相連的各個知識點相互聯(lián)系起來，加深內(nèi)部的聯(lián)系，對這部分知識系統(tǒng)化和網(wǎng)絡化
基本事實是點、線、面位置關系的基礎，帶領學生一起鞏固，明確作用。
幫助學生梳理線線、線面的位置關系，突出有無公共點這個幾何特征是判斷位置關系的關鍵點，同時簡單介紹平行的定義法。
清楚平行間的轉化關系，更清晰地尋找到解題思路。
通過表格梳理知識，有利于知識的條理化；
從文字語言、圖形語言、符號語言三方面形成對比，加深各定理的理解。培養(yǎng)學生的數(shù)學閱讀能力。
通過列舉法，對各種關系進行排除。培養(yǎng)學生利用身邊的工具，體會實物操作與思辨論證間相輔相成的作用，更符合學生的特點，容易被學生接受。
線面平行的性質定理的應用為學生學習過程中的弱項，鞏固性質的應用，加深理解。立體幾何問題的分析要求嚴謹，必要時也要進行分類討論分析。
位置關系的判斷，可以由線線、線面、面面的平行及垂直的判定定理，性質定理來判斷是否正確；也可以通過已知條件找到實物模型這個有力的載體，直觀演示，提高空間想象能力。
及時歸納空間點、直線、平面位置關系的判定問題的一般方法。
這是一個典型的證明線面平行類型的題目，它可以用三種方法，也是證明線面平行的常見方法，這種立體幾何中的三大元素之間關系的依存、關聯(lián)性，也是本節(jié)課的重點內(nèi)容。而由線//線推證線//面時找輔助線、由面//面推證線//面時找輔助面正是本節(jié)課的難點，是要重點突破的問題。所以學生通過此題的學習，不僅要掌握證明線面平行的常用思路，還能熟悉作輔助線的一般策略，同時通過一題多解的練習 拓寬學生的思路，培養(yǎng)學生求異的創(chuàng)新意識。
.
引導學生從空間幾何方面尋找線線平行。了解熟悉的數(shù)學命題的條件與結論之間的邏輯關系，并有條理地表述論證過程。始終圍繞題目，觀點明確，論述有理有據(jù)。
引起學生注意，誘發(fā)學生探知的欲望，養(yǎng)成思考問題習慣．能夠在綜合的情境中，找到合適的研究對象，構建過渡性命題，探索論證的途徑，解決問題。
總
結
三、課堂小結
（1）回顧了空間點、直線、平面的位置關系，建立知識網(wǎng)絡，并加強了對基本概念的理解和應用；
（2）平行關系的證明中，線線平行為基礎，梳理好常用的證明方法，靈活運用；
（3）解決問題時注重“轉化思想”．
梳理本節(jié)課所學知識，體會立體幾何的研究內(nèi)容、思路和方法.深化理解理清本節(jié)的重點難點。
作業(yè)
四、布置作業(yè)
一木塊如圖所示，點P在平面VAC內(nèi)，過點P將木塊鋸開，使截面平行于直線VB和AC，在木塊表面應該怎樣畫線？
鞏固平行關系的應用

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