一、選擇題
1．已知m,n是空間兩條不同的直線,,是空間兩個不重合的平面,下列命題為真命題的是( )
A.若,,,則B.若,,,則
C.若,,,則D.若,,,則
2．已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是( )
A.B.C.D.
3．如圖,正方體透明容器的棱長為8,E,F,G,M分別為,,,的中點,點N是棱上任意一點,下列說法正確的是( )
A.
B.向量在向量上的投影向量為
C.將容器的一個頂點放置于水平桌面上,使得正方體的12條棱所在的直線與桌面所成的角都相等,再向容器中注水,則注水過程中,容器內(nèi)水面的最大面積為
D.向容器中裝入直徑為1的小球,最多可裝入512個
4．直線和直線，則“”是“”的( )
A.必要不充分條件B.充分不必要條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
5．已知函數(shù)的圖象與直線有兩個交點,,則( )
A.6B.8C.10D.12
6．一動點在圓上移動時,它與定點連線的中點軌跡方程是( )
A.B.
C.D.
7．已知,,若,則的最小值為( ).
A.1B.C.2D.
8．橢圓與(,且)的( )
A.長軸長相等B.短軸長相等C.焦距相等D.離心率相等
二、多項選擇題
9．已知線段是圓的一條動弦，，直線與直線相交于點P，下列說法正確的是( )
A.直線恒過定點
B.直線與圓C恒相交
C.直線，的交點P在定圓上
D.若G為中點，則的最小值為
10．設(shè),是橢圓的兩個焦點,P是橢圓上一點,且.則下列說法中正確的是( )
A.,B.離心率為
C.的面積為12D.的外接圓面積為
11．已知正方體的棱長為2,E、F分別為棱、的中點,則( )
A.E、F、、C四點共面
B.直線與所成角的正切值為
C.二面角的大小為
D.三棱錐的體積為1
三、填空題
12．已知點P是橢圓上的一點，，分別為橢圓的左?右焦點，已知，且，則橢圓的離心率為__________.
13．函數(shù)的最小值為________.
14．過點且和原點距離是2的直線方程是________.
四、解答題
15．已知圓及直線.直線l被圓C截得的弦長為.
（1）求a的值;
（2）求過點并與圓C相切的切線的一般式方程.
16．如圖,將邊長為2的正方形沿對角線折成一個直二面角,且平面,.
（1）若,
（i）求證:平面;
（ii）求直線與平面所成角的正弦值;
（2）求實數(shù)a的值,使得二面角的大小為60°.
17．已知圓分別與x、y軸正半軸交于A、B兩點，P為圓C上的動點.
(1)若線段上有一點Q，滿足，求點Q的軌跡方程；
(2)過點的直線m截圓C所得弦長為，求直線m的方程；
(3)若P為圓C上異于A,B的動點，直線與y軸交于點M，直線與x軸交于點N，求證：為定值.
18．已知橢圓經(jīng)過點,離心率為,過點的直線l與橢圓交于不同的兩點M、N.
（1）求橢圓的方程;
（2）若,求直線的方程.
19．已知雙曲線過點,一條漸近線方程為.
(1)求雙曲線C的標準方程;
(2)若點P為雙曲線右支上一點,,求的最小值;
(3)過點的直線與雙曲線的右支交于,兩點,求證：為定值.
參考答案
1．答案：D
解析：若,,,則直線m,n有可能平行,也可能異面,A錯誤;
若,,,則可能有或,B錯誤;
若,,,則可能有或,C錯誤;
由,可得,分別可作為平面,的法向量,
由,可得,即得,D正確.
故選:D.
2．答案：A
解析：易知向量在向量上的投影向量為.
故選：A
3．答案：C
解析：對A:由正方體性質(zhì)知:,,,
且、面,
所以面,又面,則,
由,故與不垂直,故A錯誤;
對B:由題意且,若O是,交點,連接,
所以,,
故為平行四邊形,則,,
所以,所成角,即為,所成角,
由題設(shè),易知,,,
在中,
即,夾角為,所以,夾角為,
故向量在向量上的投影向量為:
,故B錯誤;
對C:令放在桌面上的頂點為A,
若桌面時正方體的各棱所在的直線與桌面所成的角都相等,
此時要使容器內(nèi)水的面積最大,即垂直于的平面截正方體的截面積最大,
根據(jù)正方體的對稱性,僅當截面過,,,,,中點時截面積最大,
此時,截面是邊長為的正六邊形,
故最大面積為,故C正確;
對D:由題意,第一層小球為個,第二層小球為,
且奇數(shù)層均為64個,偶數(shù)層均為49,
而第一層與第二層中任意四個相鄰球的球心構(gòu)成一個棱長為1的正四棱錐,故高為,
假設(shè)共有n層小球,則總高度為,且n為正整數(shù),
令,則,而,故小球總共有10層,
由上,相鄰的兩層小球共有113個,
所以正方體一共可以放個小球,故D錯誤.
故選:C.
4．答案：A
解析：因為直線和直線，
若，則，解得或，
因此，“”是“”的必要不充分條件
故選：A.
5．答案：C
解析：,所以的對稱中心為,
直線可化為,所以直線經(jīng)過定點,
所以點和點關(guān)于點對稱,
所以
所以,
故選:C
6．答案：A
解析：設(shè)動點坐標為,中點坐標為;
易知滿足,
可得,因此,
代入可得.
故選:A
7．答案：C
解析：取,的中點分別為D,E,連接,,,
設(shè),因為,所以,所以,
因為,所以,所以,
以為x軸,在平面內(nèi)過E作的垂線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系,
設(shè),所以,,
所以,所以,
所以,又,當且僅當D,E,C共線,且C在之間取等號,
所以a的最小值為1,從而的最小值為2.
故選:C.
8．答案：C
解析：對應(yīng)橢圓,,所以,
所以該橢圓的長軸為6,短軸為4,焦距為,離心率為;
對于(且),則,
該方程表示的是焦點在x軸上的橢圓,
,所以,
長軸為,短軸為,
所以該橢圓的焦距為,離心率為,
所以兩個圓錐曲線的的焦距為,故C正確.
故選:C
9．答案：ACD
解析：對于選項A，因為直線，
即，
令，解得，
則直線恒過定點，故A正確；
對于選項B，因為直線，
即，
令，解得，
所以直線恒過定點，
將點代入圓C可得，
即點在圓C外，
所以直線與圓C不一定相交，故B錯誤；
對于選項C，聯(lián)立兩直線方程可得，
解得，
消去m可得，
即，故C正確；
對于選項D，設(shè)，
因為，且G為中點，所以，
而圓的圓心，半徑為2，
則圓心到弦的距離為，
即，
即點G的軌跡方程為，圓心，半徑為，
由選項C可知，點P的軌跡方程為，
圓心，半徑為，
兩圓圓心距為，
所以的最小值為，故D正確；
故選：ACD
10．答案：ABD
解析：由,得橢圓長半軸長,短半軸長,半焦距,
由P是橢圓上的點,得,而,
對于A,,,A正確;
對于B,離心率為,B正確;
對于C,,得為直角三角形,,
,C錯誤;
對于D,由選項C知,的外接圓直徑為線段,則該圓半徑為,面積為,D正確.
故選:ABD
11．答案：ABD
解析：在正方體中,以A為原點,分別以,,所在直線為x,y,z軸建立如圖所示空間直角坐標系,
則,,,,,,
對于A,,,,
所以,所以E、F、、四點共面,選項A正確.
對于B,,,
設(shè)異面直線與所成角為,
因為,所以,,
所以,
即,
則,
所以,選項B正確.
對于C,因為平面與y軸和z軸所確定的平面重合,
故可取平面的一個法向量,
在平面中,,,
設(shè)平面的一個法向量,
由得,
令,得,,即
,
觀察圖形可知,二面角為銳角,所以符合題意,
又因為,
所以二面角的大小不是,選項C錯誤.
對于D,三棱錐可看作以為頂點,以為底面的錐體,
即,
其中,底面的面積可由正方形的面積減去、和的面積得到,
因為正方體的棱長為2,所以,
又因為E、F分別為棱、的中點,所以
則,
由正方體的性質(zhì)知,平面,即平面,
即三棱錐的高為2,
,
即三棱錐的體積為1,選項D正確.
故選:ABD.
12．答案：
解析：由橢圓的定義可得：，
結(jié)合，得，
又，則在中，
，
即，
化簡得，
故，
故答案為：
13．答案：
解析：表示、的距離,
表示、的距離,
又關(guān)于x軸的對稱點,如圖,
所以,
所以.
故答案為:
14．答案：或
解析：依題意,當斜率不存在時,直線方程為:,此時原點到直線的距離為2,滿足題意,
當斜率存在時,
所以設(shè)直線方程為,即,又原點到直線的距離等于2,
所以,解得.
所以直線方程為或.
故答案為:或.
15．答案：（1）
（2）或
解析：（1）由已知圓,
即圓心,半徑,
則圓心到直線的距離,
所以弦長為,
解得或（舍）;
（2）由（1）得,
則圓,圓心,半徑,
則點在圓C外,
當切線斜率存在時,設(shè)切線方程為,即,
此時,解得,
則直線方程為,即;
當切線斜率不存在時,直線方程為,此時滿足直線與圓C相切,
綜上所述,切線方程為或.
16．答案：（1）（i）證明見解析,
（ii）
（2）
解析：（1）（i）證明:如圖建立空間直角坐標系,
設(shè)正方形的對角線,相交于O,
由于
則,,,,,
所以,,,
設(shè)平面的一個法向量為,
取時,,
由于,故,
又不在平面內(nèi),所以平面;
（ii）平面的一個法向量為,,
設(shè)直線與平面所成角為,
則
（2）如圖建立空間直角坐標系,,,,,,
,,
設(shè)平面的一個法向量為,則有
取時,,
,,
設(shè)平面的一個法向量為,
則有
取時,,
由于二面角的大小為60°,故,
即,解得,
又,所以.
17．答案：(1)；
(2)或；
(3)證明見解析
解析：（1）根據(jù)題意，，.
設(shè)，，則，，
由于，所以，得
將其代入，得，
故點Q的軌跡方程為.
（2）根據(jù)垂徑定理可得.
①當斜率不存在時，直線m的方程為：，
直線m截點Q軌跡所得弦長弦長為，符合題意；
②當斜率存在時，設(shè)直線，
圓心到直線m的距離為，解得.
直線m的方程為或.
（3）設(shè)，則，
直線方程是，令，得，
直線方程是，令得，
所以
.
即為定值.
18．答案：（1）
（2）或
解析：（1）由題意可得,解得,
因此,橢圓的方程為.
（2）若直線與x軸重合,則,不合乎題意,
設(shè)直線的方程為,設(shè)點、,
聯(lián)立可得,
則,所以,,
由韋達定理可得,,
所以,
,解得,
所以,直線的方程為或,即或.
19．答案：(1)
(2)答案見解析
(3)證明見解析
解析：(1)由題意知雙曲線過點,一條漸近線方程為,
則,解得,
故雙曲線C的標準方程為;
(2)點P為雙曲線右支上一點,設(shè),,,
則
,
當,即時,最小值為,
當,即時,最小值為;
(3)當過點的直線斜率不存在時,方程為,
此時不妨取,,則;
當當過點的直線斜率存在時,設(shè)直線方程為,,,
不妨令,,
聯(lián)立,得,
由于直線過雙曲線的右焦點,必有,
直線與雙曲線C的右支交于M,N兩點,需滿足或,
則,,
則
,
綜合以上可知為定值.

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