?衡陽縣第四中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末考試模擬（一）數(shù)學(xué)試卷
學(xué)校：___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________

一、選擇題
1、把5個(gè)相同的小球分給3個(gè)小朋友，使每個(gè)小朋友都能分到小球的分法有( )
A.4種 B.6種 C.21種 D.35種
2、已知隨機(jī)變量，其正態(tài)曲線如圖所示，若，則( )

A. B. C. D.
3、根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)可知，( )
A. B. C. D.
4、將三顆骰子各擲一次，設(shè)事件“三個(gè)點(diǎn)數(shù)都不相同”，“至少出現(xiàn)一個(gè)6點(diǎn)”，則等于( )
A. B. C. D.
5、隨機(jī)變量X，Y滿足，且，則與的值分別為( )
A.-3，4 B.3，4 C.4，3 D.4，-3
6、2023年亞運(yùn)會(huì)于2023年9月23日至10月8日在中國(guó)浙江杭州舉行，杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物是一組承載深厚底蘊(yùn)和充滿活力的機(jī)器人，組合名為“江南憶”，出自唐朝詩(shī)人白居易的名句“江南憶，最憶是杭州”，融合了杭州的歷史人文、自然生態(tài)和創(chuàng)新基因.現(xiàn)將編號(hào)為1-6的6個(gè)吉祥物機(jī)器人贈(zèng)送給：名亞運(yùn)會(huì)志愿者留作紀(jì)念，若要求每名志愿者至少獲得1個(gè)吉祥物且1號(hào)和2號(hào)吉祥物被贈(zèng)送給一名志愿者，則不同的贈(zèng)送方法數(shù)為( )
A.36 B.72 C.114 D.150
7、19世紀(jì)美國(guó)天文學(xué)家西蒙·紐康在翻閱對(duì)數(shù)表時(shí)，偶然發(fā)現(xiàn)表中以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻率更高.約半個(gè)世紀(jì)后，物理學(xué)家本·福特又重新發(fā)現(xiàn)這個(gè)現(xiàn)象，從實(shí)際生活得出的大量數(shù)據(jù)中，以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻數(shù)約為總數(shù)的三成，并提出本·福特定律，即在大量b進(jìn)制隨機(jī)數(shù)據(jù)中，以n開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為，如斐波那契數(shù)、階乘數(shù)、素?cái)?shù)等都比較符合該定律，后來常有數(shù)學(xué)愛好者用此定律來檢驗(yàn)?zāi)承┙?jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)籌大數(shù)據(jù)的真實(shí)性.若，則k的值為( )
A.2 B.3 C.4 D.5
8、若不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A. B. C. D.以上均不正確
二、多項(xiàng)選擇題
9、下列命題正確的是( )
A.在回歸分析中，相關(guān)指數(shù)越小，說明回歸效果越好
B.已知若根據(jù)列聯(lián)表得到的觀測(cè)值為4.1，則有95%的把握認(rèn)為兩個(gè)分類變量有關(guān)
C.已知由一組樣本數(shù)據(jù)得到的回歸直線方程為，且，則這組樣本數(shù)據(jù)中一定有
D.若隨機(jī)變量，則不論取何值，為定值
10、將4個(gè)不同的小球放入3個(gè)分別標(biāo)有1，2，3號(hào)的盒子中，不允許有空盒子的放法，關(guān)于放法的種數(shù)，下列結(jié)論正確的有( )
A. B. C. D.18
11、關(guān)于及其展開式，下列說法正確的是( )
A.展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為1
B.展開式中第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大
C.展開式中第16項(xiàng)為
D.當(dāng)時(shí)，除以3的余數(shù)是1
12、定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且對(duì)恒成立.下列結(jié)論正確的是( )
A.
B.若，，則
C.
D.若，，則
三、填空題
13、若，則__________.
14、甲、乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束.每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率是，沒有平局.假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以獲勝的概率是_________.
15、設(shè)某批產(chǎn)品中，編號(hào)為1，2，3的三家工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占45%，35%，20%，各廠產(chǎn)品的次品率分別為2%，3%，5%.現(xiàn)從中任取一件，則取到的是次品的概率為_________.
四、雙空題
16、已知的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為27，則實(shí)數(shù)_________，展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是_________.
五、解答題
17、盒子內(nèi)有3個(gè)不同的黑球，5個(gè)不同的白球.
(1)將它們?nèi)咳〕雠懦梢涣校?個(gè)黑球兩兩不相鄰的排法有多少種？
(2)若取到一個(gè)白球記2分，取到一個(gè)黑球記1分，從中任取5個(gè)球，使總分不少于7分的取法有多少種？
18、在一個(gè)袋中裝有大小、形狀完全相同的3個(gè)紅球、2個(gè)黃球.現(xiàn)從中任取2個(gè)球，設(shè)隨機(jī)變量X為取得紅球的個(gè)數(shù).
(1)求X的分布列；
(2)求X的數(shù)學(xué)期望和方差.
19、甲、乙兩位同學(xué)參加詩(shī)詞大賽，各答3道題，每人答對(duì)每道題的概率均為，且各人是否答對(duì)每道題互不影響.
(1)用X表示甲同學(xué)答對(duì)題目的道數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(2)設(shè)“甲比乙答對(duì)的題目數(shù)恰好多2”為事件A，求事件A發(fā)生的概率.
20、近年來，國(guó)資委黨委高度重視扶貧開發(fā)工作，堅(jiān)決貫徹落實(shí)中央扶貧工作重大決策部署，在各個(gè)貧困縣全力推進(jìn)定點(diǎn)扶貧各項(xiàng)工作，并取得了積極成效.某貧困縣為了響應(yīng)國(guó)家精準(zhǔn)扶貧的號(hào)召，特地承包了一塊土地，已知土地的使用面積與相應(yīng)的管理時(shí)間的關(guān)系如下表所示：
土地使用面積x(單位：畝)
1
2
3
4
5
管理時(shí)間y(單位：月)
8
10
13
25
24
并調(diào)查了某村位村民參與管理的意愿，得到的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：（單位：人）

愿意參與管理
不愿意參與管理
合計(jì)
男性村民
150
50

女性村民
50


合計(jì)



(1)求出樣本相關(guān)系數(shù)r的大小，并判斷管理時(shí)間y與土地使用面積是否線性相關(guān)(當(dāng)時(shí)，即可認(rèn)為線性相關(guān));
(2)依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析村民的性別與參與管理的意愿是否有關(guān);
(3)以該村的村民的性別與參與管理意愿的情況估計(jì)該貧困縣的情況，從該貧困縣中任取3人，記取到不愿意參與管理的男性村民的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
參考公式：，
，其中.
臨界值表：

0.10
0.05
0.010
0.001

2.706
3.841
6.635
10.828
參考數(shù)據(jù)：.
21、已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合.的離心率為，過的右焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線截所得的弦長(zhǎng)為4.
(1)求橢圓和拋物線的方程；
(2)過點(diǎn)的直線l與橢圓，交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E，證明：線AE過定點(diǎn).
22、設(shè)函數(shù)，.
（1）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
參考答案
1、答案：B
解析：利用隔板法，相當(dāng)于在5個(gè)球的4個(gè)空檔里插入2塊板子，有種方法.
故選：B.
2、答案：D
解析：由圖可知，因?yàn)椋?
故選：D.
3、答案：C
解析：根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)得.
4、答案：A
解析：依題意可得，，
則.
故選：A.
5、答案：A
解析：因?yàn)椋?br /> 所以，
，
又，
所以，
所以，
.
故選：A.
6、答案：D
解析：
由題意1號(hào)和2號(hào)吉祥物被贈(zèng)送給同一名志愿者，將1號(hào)和2號(hào)捆綁在一起，然后將5個(gè)吉祥物先分為3組，有兩類：，再將分好的三組分配給3名志愿者，不同的方法數(shù).
故選：D.
7、答案：B
解析：
，
又，故.
故選：B.
8、答案：C
解析：因?yàn)閷?duì)任意恒成立，
即對(duì)任意恒成立，
令，，
則，所以在上單調(diào)遞增，
依題意對(duì)任意恒成立，
即對(duì)任意恒成立，
兩邊取對(duì)數(shù)可得，所以，
令，則，
所以當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，所以，
所以，所以，即.
故選：C.
9、答案：BD
解析：對(duì)于A：在回歸分析中，相關(guān)指數(shù)越大，說明回歸效果越好，故錯(cuò)誤；
對(duì)于B：由于，則有95%的把握認(rèn)為兩個(gè)分類變量有關(guān)，故正確；
對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，，這只是一個(gè)預(yù)測(cè)值，故錯(cuò)誤；
對(duì)于D：由于，則，結(jié)合原則可知正確.
故選：BD.
10、答案：BC
解析：根據(jù)題意，4個(gè)不同的小球放入3個(gè)分別標(biāo)有1，2，3號(hào)的盒子中，且沒有空盒子，則三個(gè)盒子中有1個(gè)盒子中放2個(gè)球，剩下的2個(gè)盒子中各放1個(gè)，有2種解法：
方法一：分2步進(jìn)行分析：
①先將4個(gè)不同的小球分成3組，有種分組方法；
②將分好的3組全排列，對(duì)應(yīng)放到3個(gè)盒子中，有種放法.
則沒有空盒的放法有種.
方法二：分2步進(jìn)行分析：
①在4個(gè)小球中任選2個(gè)，在3個(gè)盒子中任選1個(gè)，將選出的2個(gè)小球放入選出的小盒中，有種情況；
②將剩下的2個(gè)小球全排列，放入剩下的2個(gè)小盒中，有種放法.
則沒有空盒的放法有種.
故選：BC.
11、答案：BD
解析：令，可得展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為，故A錯(cuò)誤;
因?yàn)?0是偶數(shù)，所以展開式中中間項(xiàng)第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，故B正確;
展開式中的第16項(xiàng)為，故C錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，
其中能被3整除，所以除以3的余數(shù)是1，故D正確.
故選：BD.
12、答案：CD
解析：設(shè)函數(shù)，
則

因?yàn)椋?br /> 所以，
故在上單調(diào)遞減，
從而，
整理得，
，故A錯(cuò)誤，C正確.
當(dāng)時(shí)，若，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，
即，即.
故D正確，從而B不正確.
即結(jié)論正確的是CD.
故選：CD.
13、答案：4
解析：由題意可知或，解得.
14、答案：
解析：根據(jù)題意，若甲隊(duì)以獲勝，則第五局甲勝，前四局是，
所以所求概率.
15、答案：0.0295
解析：設(shè)A表示“取到的是一件次品”，表示“取到的產(chǎn)品是由第家工廠生產(chǎn)的”，
則，，，
，，，
由全概率公式可得：


.
16、答案：2；23
解析：已知的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為27，
令，則，
解得，故該式為，
其展開式中含項(xiàng)的是.
故展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為23.
17、答案：(1)14400種
(2)56種
解析：(1)首先將5個(gè)白球進(jìn)行排列，然后3個(gè)黑球進(jìn)行插空，則3個(gè)黑球兩兩不相鄰的排法有種.
(2)從中任取5個(gè)球，使總分不少于7分的取法有4類：5個(gè)白球、4個(gè)白球1個(gè)黑球、3個(gè)白球2個(gè)黑球、2個(gè)白球3個(gè)黑球，故共有種.
18、答案：(1)見解析
(2)；
解析：(1)X的可能取值為0，1，2.
，
，
.
則X的分布列為：
X
0
1
2
P



(2)由(1)中分布列可得，
.
19、答案：(1)見解析
(2)
解析：(1)X的可能取值為0，1，2，3.
，
，
，
，
的分布列為
X
0
1
2
3
P




數(shù)學(xué)期望.
(2)由題意得，事件A包含“甲答對(duì)2道，乙答對(duì)0道”和“甲答對(duì)3道，乙答對(duì)1道”兩種情況，
.
20、答案：(1)見解析
(2) 見解析
(3)
解析：(1)由題知，，
，
故，
，
，
則，
故管理時(shí)間y與土地使用面積x線性相關(guān).
(2)依題意，完善表格如下：(單位：人)

愿意參與管理
不愿意參與管理
合計(jì)
男性村民
150
50
200
女性村民
50
50
100
合計(jì)
200
100
300
零假設(shè)為：村民的性別與參與管理的意愿無關(guān).計(jì)算可得:
.
依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即認(rèn)為村民的性別與參與管理的意愿有關(guān).
(3)解法一：依題意，X的可能取值為0，1，2，3，從該貧困縣中隨機(jī)抽取一位村民，取到不愿意參與管理的男性村民的概率為，
故，
，
，
.
故X的分布列為
X
0
1
2
3
P




則數(shù)學(xué)期望.
解法二：依題意，從該貧困縣中隨機(jī)抽取一位村民，取到不愿意參與管理的男性村民的概率為，則，故.
21、答案：(1) ；
(2)
解析：(1)由的離心率為，可得，所以，
因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，所以，
過的右焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線截所得的弦長(zhǎng)為4，令代入拋物線的方程，
可得，
所以，
即，解得，
所以，，
由可得，
所以橢圓和拋物線的方程分別為：；，
(2)由題意可得直線l的斜率存在且不為0，
設(shè)直線l的方程為：，
設(shè)，，
由題意可得，
直線與橢圓聯(lián)立：，
整理可得：，
，
可得，，
直線的方程為：，
可得：



所以當(dāng)時(shí)，，即過定點(diǎn)，
所以可證直線AE過定點(diǎn).
22、答案：（1）
（2）見解析
解析：（1）由題意得
，
存在兩個(gè)極值點(diǎn)，
在有兩個(gè)不等實(shí)根，
且且，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
（2）方法一：（分類討論）
當(dāng)時(shí)，，符合題意；
當(dāng)時(shí)，，
①若，對(duì)恒成立，
在單調(diào)遞增，
，符合題意；
②若，則
（?。┊?dāng)，，恒成立，在單調(diào)遞減，
只需，
所以；
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，恒成立，在單調(diào)遞增，
只需，所以均符合題意；
（ⅲ）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，
當(dāng)，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
則，而當(dāng)時(shí)，，均成立，
符合題意.
綜上所述，.
方法二：（分離參數(shù)）恒成立，
設(shè)，，則，由在單調(diào)遞增，得，即，
在單調(diào)遞增，
所以，
恒成立，
只需.
設(shè)，，則，
設(shè)，，則，
在單調(diào)遞減，
，（或者由）
從而得，故在單調(diào)遞增，
，
.


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