一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）
1. 已知，則下列比例式正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，
∴，，
∴A、C、D選項不符合題意，B選項符合題意．
故選：B．
2. 拋物線的頂點落在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】A
【解析】∵，
∴頂點坐標(biāo)為：，
∴頂點坐標(biāo)落在第一象限；
故選A．
3. 已知為銳角，，則等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，，
∴，
∴，
故選：D．
4. 在中，，若，則的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵csB=cs（90°-A）=sinA=，
故選C．
5. 在中，， ，則的值為（ ）
A. B. C. D. 8
【答案】A
【解析】由題意，
則，得
，
．
故選：A．
6. 若是銳角，且，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵，，且，
∴；
故選A．
7. 直線l1∥l2∥l3，且l1與l2的距離為1，l2與l3的距離為3，把一塊含有45°角的直角三角形如圖放置，頂點A，B，C恰好分別落在三條直線上，AC與直線l2交于點D，則線段BD的長度為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如圖，分別過點A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC．
∵∠EBC+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∠ACF+∠CAF=90°，
∴∠EBC=∠ACF，∠BCE=∠CAF．
在△BCE與△ACF中，∵∠EBC=∠ACF，BC=AC，∠BCE=∠CAF，
∴△BCE≌△CAF（ASA）．
∴CF=BE=3，CE=AF=4．
在Rt△ACF中，∵AF=4，CF=3，
∴，
∵AF⊥l3，DG⊥l3，
∴△CDG∽△CAF．
∴，解得．
在Rt△BCD中，∵，BC=5，
∴．
故選C．
8. 如圖，某人站在樓頂觀測對面的筆直的旗桿AB．已知觀測點到旗桿的距離，測得旗桿的頂部的仰角，旗桿底部的俯角，那么，旗桿AB的高度是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】在△EBC中，有BE=EC×tan45°=8，
在△AEC中，有AE=EC×tan30°=,∴AB=8+.
故答案是：D.
9. 如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為，每個正方形的頂點叫做格點，點，，，都在這些小正方形的頂點上，AB與CD相交于點，則的值為（ ）

A. 2B. C. 3D.
【答案】A
【解析】如解圖，連接交CD于點，

∵四邊形是正方形，
∴CD，，，，
∴，
根據(jù)題意，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴
故選：A
10. 在平面直角坐標(biāo)系中，點坐標(biāo)為，點坐標(biāo)為．若拋物線與線段有兩個公共點，則的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵點坐標(biāo)為點坐標(biāo)為．
設(shè)直線的解析式為，
∴，解得：，
∴，
如圖所示，當(dāng)拋物線在線段上方，且與只有1個交點時，
聯(lián)立，
∴，即，
∴，
解得：，
當(dāng)拋物線經(jīng)過點時， ，
解得：；
∴當(dāng)拋物線與線段有兩個公共點時，．
故選C．
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）
11. 計算：___________．
【答案】
【解析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值知：，
故答案為：．
12. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點在第二象限內(nèi)．若與軸負(fù)半軸的夾角的正切值為，則的值為______．
【答案】
【解析】過點作軸，則：
∴，即：，
∴；
故答案為：．
13. 如圖，和都是等腰直角三角形，，反比例函數(shù)在第一象限的圖象經(jīng)過點，若與的面積之差為5．則的值為______．
【答案】10
【解析】∵和都是等腰直角三角形，
∴，
設(shè)，則點B的坐標(biāo)為，
∵與的面積之差為5，∴，即：，
∵反比例函數(shù)在第一象限的圖象經(jīng)過點，∴；
故答案為：10．
14. 如圖，在矩形中，，，是的中點，連接，過點作于點，交對角線于點．
（1）線段的長為________；
（2）________．
【答案】
【解析】（1）如圖，連接．
∵四邊形矩形，，
∴，．
∵是的中點，
∴．
在中，由勾股定理得．
在矩形中，，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴．
（2）如圖，延長交于點．
在中，，
∴．
∵，，
∴，
∴，∴，∴，∴．
∵，∴，∴．
故答案為：．
三、解答題（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
15. 計算：．
解：原式．
16. 已知反比例函數(shù)（為常數(shù)）．
（1）若該反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限，求的取值范圍；
（2）當(dāng)時，隨的值增大而減小，求的取值范圍．
解：（1）∵反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限，
∴，解得，
∴的取值范圍是；
（2）∵反比例函數(shù)（為常數(shù)），當(dāng)時，隨的值增大而減小，
∴，解得，
∴的取值范圍是．
四、解答題（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
17. 已知：如圖，沿江堤壩的橫斷面是梯形．壩高，斜坡的坡度，，求和的長．
解：過點作，垂足為，
則四邊形是矩形，
則，
∵斜坡的坡比，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
答：斜坡、的長分別是，．
18. 如圖在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，已知點、、的坐標(biāo)依次為、、．

（1）請以原點為位似中心，在第一象限內(nèi)作出位似圖形，與相似比為；
（2）在網(wǎng)格中找出點，使其滿足以下兩個條件，，②．
解：（1）如圖，延長至格點，使，延長至格點，使，延長至格點，使，然后連接，，即可；

∴，
∵，
∴，
∴，
同理，，
∴，
∴，
∴即為所求；
（2）如圖，取格點，連接即可，

由網(wǎng)格可知：，，，
∴，
∴，
∴，
∴點即為所求．
五、解答題（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）
19. 已知：如圖，在中，．

（1）求證：；
（2）若，求的值．
解：（1）在中，，

∴，.
∴，
又，由勾股定理得，，
∴；
（2）∵，
∴，
∴ ，
∴．
20. 如圖，在中，高線、交于點．

（1）求證：；
（2）若，，，求．
（1）證明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
六、解答題（本題滿分12分）
21. 2024年10月30日4時27分，搭載神舟十九號載人飛船的長征二號F遙十九運載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射，蔡旭哲、宋令東、王浩澤3名航天員順利進(jìn)入太空．如圖，這是某同學(xué)繪制的模擬火箭發(fā)射裝置示意圖，一枚運載火箭從地面處發(fā)射，當(dāng)火箭到達(dá)點時，從位于地面處的雷達(dá)站測得的距離是，仰角為．后火箭到達(dá)點，此時測得仰角為．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）
（1）求地面雷達(dá)站到發(fā)射處的水平距離；
（2）這枚火箭從處到處的平均速度是多少？（（1）、（2）結(jié)果精確到0.1）
解：（1）在中，，
答：雷達(dá)站到發(fā)射處的水平距離為；
（2）在中，，
在中，，
∴，
∴速度為，
答：這枚火箭從到的平均速度為．
七、解答題（本題滿分12分）
22. 如圖1為某新建住宅小區(qū)修建的一個橫斷面為拋物線的拱形大門，點為頂點，其高為6米，寬為12米．以點為原點，所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系．

（1）求出該拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量的取值范圍；
（2）拱形大門下的道路設(shè)雙向行車道供車輛出入（正中間是寬2米的值班室），其中的一條行車道能否行駛寬2.5米、高3.5米的消防車輛？請通過計算說明；
（3）如圖2，小區(qū)物業(yè)計劃在拱形大門處安裝一個矩形“光帶”，使點，在地物線上，點，在上，求出所需的三根“光帶”，，的長度之和的最大
解：（1）∵，．
∴設(shè)這條拋物線的函數(shù)解析式為，
∵拋物線過O0,0，
∴，解得，
∴這條拋物線的函數(shù)解析式為，
即；
（2）當(dāng)（或）時，．
故能行駛寬2.5米、高3.5米的消防車輛．
（3）設(shè)點的坐標(biāo)為，
則，，
根據(jù)拋物線的軸對稱，可得：，
∴，即，
令，
，
∴當(dāng)，即米時，三根木桿長度之和的最大值為15米．
八、解答題（本題滿分14分）
23. 如圖1，在等邊中，，點，為平面內(nèi)的點，且滿足，，為的中點，為的中點．

（1）求證：；
（2）若，求的長；
（3）若，求的長．
解：（1）∵是等邊三角形，
∴，
∵，
∴
又∵，
∴；
（2）如圖1，連接，；

圖1
∵，，
∴為等邊三角形；
∵點，分別是和中點，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）①如圖2，過點作，與的延長線交于點，

圖2
∵，，∴四邊形是矩形，
∴，，
又∵，∴，
∴，
②如圖3，過點作，與交于點，

圖3
由①得，
∴，
綜上：當(dāng)時，或．

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