一、單選題（本大題共8小題，共40分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）
1. 若全集，集合，則 （ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】A
【分析】根據(jù)補(bǔ)集的定義可得，再由并集的定義求解即可.
【詳解】解：因?yàn)?，?br>所以，
所以.
故選：A
2. 命題“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【正確答案】A
【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定的知識確定正確答案.
【詳解】“，”的否定是：，.
故選：A
3. 下列命題為真命題的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. ，則
D. 若，則
【正確答案】D
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)作差法比較大小或取特殊值判斷，即可得出結(jié)果.
【詳解】對于A，，
因?yàn)?，所以?br>所以，即，故A錯誤；
對于B，因?yàn)?，所以?br>又，所以，故B錯誤；
對于C，當(dāng)時，，故C錯誤；
對于D，若，則，
所以，故D正確.
故選：D.
4. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】根據(jù)抽象函數(shù)及具體函數(shù)的定義域求解即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?br>所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>則對于函數(shù)，需滿足，
解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?
故選：D.
5. 函數(shù)的大致圖象是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性以及指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，利用排除法即可得出結(jié)論．
【詳解】易知函數(shù)定義域?yàn)椋?br>且滿足，可得其為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱；
又當(dāng)時，，因此排除A，
又，
利用指數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)可知其在0,+∞上單調(diào)遞增，且增長速度越來越快，即排除CD，
故選：B.
6. 已知函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】分析可知為奇函數(shù)，且在內(nèi)單調(diào)遞增，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性解不等式即可.
【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且?br>可知函數(shù)為奇函數(shù)，
當(dāng)，則，
且的開口向上，對稱軸為，
可知在內(nèi)單調(diào)遞增，
由奇函數(shù)性質(zhì)可知在內(nèi)單調(diào)遞增，
所以在內(nèi)單調(diào)遞增，
若，則，
可得，即，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：B
7. 已知，且，若對任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】C
【分析】根據(jù)題意，問題可轉(zhuǎn)化為對任意的恒成立，由題設(shè)條件得到，進(jìn)而得到，接著結(jié)合基本不等式求得最小值得到即可求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】因?yàn)閷θ我獾暮愠闪ⅲ?br>可得對任意的恒成立，
又因?yàn)?，可得?br>則，
當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，
所以最小值為，所以，可得，即，
所以，解得或，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：C.
8. 已知函數(shù),若實(shí)數(shù),則函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
【正確答案】D
【分析】根據(jù)分段函數(shù)做出函數(shù)的圖象，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想可求出函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù)，得出選項(xiàng).
【詳解】令，得，根據(jù)分段函數(shù)f(x)的解析式，做出函數(shù)f(x)的圖象，如下圖所示，因?yàn)?，由圖象可得出函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為3個，
故選：D.
本題考查函數(shù)的零點(diǎn),考查學(xué)生分析解決問題的能力,關(guān)鍵在于做出函數(shù)的圖象，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想得出零點(diǎn)個數(shù)，屬于中檔題.
二、多選題（本大題共3小題，共18分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）
9. 若是的充分不必要條件，是的必要條件，是的必要條件，是的充分條件，則（ ）
A. 是的充分不必要條件B. 是的充要條件
C. 是的充要條件D. 是的充要條件
【正確答案】BD
【分析】根據(jù)命題的充分必要性直接得解.
【詳解】由是的必要條件，即是的充分條件，又是的充分條件，所以是的充分條件，無法推到命題，A，C選項(xiàng)錯誤；
又是的必要條件，所以是的充要條件，B選項(xiàng)正確；
所以是的充要條件，D選項(xiàng)正確；
故選：BD.
10. 已知，，下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B. 的最小值是
C. 的最小值是8D. 的最小值是
【正確答案】ACD
【分析】由條件等式，有，可求的范圍判斷選項(xiàng)A；利用基本不等式求和的最小值判斷BCD.
【詳解】，由，解得，A正確；
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，而此時不存在，B錯誤；
由，得，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，C正確.
由，得，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，D正確.
故選：ACD.
11. 已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且，則（ ）
A. B. 的一個周期是3
C. 的一個對稱中心是D.
【正確答案】BCD
【分析】根據(jù)的周期性，奇偶性、對稱性等知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】由，可得，
所以有，所以是周期為的周期函數(shù)，選項(xiàng)B正確；
又是上的奇函數(shù)，知，可得，
無法確定，的值，選項(xiàng)A錯誤；
由，及，可得，
所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，選項(xiàng)C正確；
由的周期為3，
得，選項(xiàng)D正確.
故選：BCD.
結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)的對稱性與周期性：
（1）若，則函數(shù)關(guān)于中心對稱；
（2）若，則函數(shù)關(guān)于對稱；
（3）若，則函數(shù)的周期為2a；
（4）若，則函數(shù)的周期為2a.
三、填空題（本大題共3小題，共15分
12. 已知定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則滿足的的取值范圍是______．
【正確答案】
【分析】根據(jù)題意作出示意圖，結(jié)合圖形可求不等式的解集.
【詳解】因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，且在0,+∞上單調(diào)遞減，，
作出示意圖如圖所示：

由圖形可知滿足不等式的的取值范圍是.
故答案為.
13. 某中學(xué)在校園內(nèi)開設(shè)了“希望之星小市場”，將獲得的利潤捐給希望工程.校學(xué)生會通過市場調(diào)研得知，某商品的進(jìn)價為每件20元，設(shè)每件售價為元，則每天的銷售件數(shù)，要想日利潤最大，售價應(yīng)定為每件_______________元.（利潤=售價-進(jìn)價）
【正確答案】30
分析】根據(jù)題意建立函數(shù)關(guān)系，利用換元法，構(gòu)造二次函數(shù)，結(jié)合其性質(zhì)求得最大值，可得答案.
【詳解】設(shè)日利潤為，則，
令，由，則，可得，
由二次函數(shù)的對稱軸，當(dāng)時，取得，此時日利潤最大，
故當(dāng)，即時，日利潤最大.
故答案為.
14. 已知函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為____________．
【正確答案】
【分析】先求解出時的值域，然后根據(jù)分類討論時的值域，由此確定出的取值范圍.
【詳解】當(dāng)時，，此時，
當(dāng)且時，，
此時，且，所以不滿足；
當(dāng)且時，，
由對勾函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，此時，
若要滿足的值域?yàn)?，只需要，解得?br>當(dāng)且時，因?yàn)榫谏蠁握{(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，且時，，時，，
所以此時，此時顯然能滿足的值域?yàn)椋?br>綜上可知，的取值范圍是，
故答案為.
四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
15. 已知集合，．
（1）若，求；
（2）若，求實(shí)數(shù)取值組成的集合．
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）解方程可得集合與，結(jié)合集合間的運(yùn)算可得解；
（2）由，分與兩種情況討論.
【小問1詳解】
由已知，
又，則，解得，
即，
則，；
【小問2詳解】
由（1）得，
又，
當(dāng)，即時，，
當(dāng)時，，則或，
解得或；
綜上所述，或或，
即.
16. 近日，隨著新冠肺炎疫情在多地零星散發(fā)，為最大程度減少人員流動，減少疫情發(fā)生的可能性，高郵政府積極制定政策，決定政企聯(lián)動，鼓勵企業(yè)在國慶期間留住員工在本市過節(jié)并加班追產(chǎn)，為此，高郵政府決定為波司登制衣有限公司在國慶期間加班追產(chǎn)提供（萬元）的專項(xiàng)補(bǔ)貼.波司登制衣有限公司在收到高郵政府（萬元）補(bǔ)貼后，產(chǎn)量將增加到（萬件）.同時波司登制衣有限公司生產(chǎn)（萬件）產(chǎn)品需要投入成本為（萬元），并以每件元的價格將其生產(chǎn)的產(chǎn)品全部售出.注：收益=銷售金額+政府專項(xiàng)補(bǔ)貼-成本.
（1）求波司登制衣有限公司國慶期間，加班追產(chǎn)所獲收益（萬元）關(guān)于政府補(bǔ)貼（萬元）的表達(dá)式；
（2）高郵政府的專項(xiàng)補(bǔ)貼為多少萬元時，波司登制衣有限公司國慶期間加班追產(chǎn)所獲收益（萬元）最大？
【正確答案】（1）
（2）當(dāng)萬元時，取最大值萬元.
【分析】（1）根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，化簡得到；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，變形后利用基本不等式求出答案.
【小問1詳解】
，
因?yàn)?，所以?br>【小問2詳解】
，
又因?yàn)椋裕?br>由基本不等式得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
所以，
故當(dāng)萬元時，取最大值萬元.
17. 已知函數(shù)，且.
（1）求實(shí)數(shù)的值，在圖中作出的圖象（可直接作圖，不用書寫過程），并求函數(shù)有個不同的零點(diǎn)時實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【正確答案】（1）；作圖見解析，
（2）
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)值直接可得參數(shù)值，再根據(jù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)作出函數(shù)圖象，將函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)交點(diǎn)問題，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與值域情況，數(shù)形結(jié)合可得解；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得范圍，解不等式即可.
【小問1詳解】
因?yàn)?，所以?br>易知當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，且，
當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，且，
當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，且，
函數(shù)的大致圖象如圖所示，
令，即，
故有三個零點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為方程有個不同的實(shí)根，
即函數(shù)y=fx與函數(shù)有個交點(diǎn)，
由圖象可知；
【小問2詳解】
由（1）可知，函數(shù)在區(qū)間和上分別單調(diào)遞增，
因?yàn)椋?br>且函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，
所以可知，
解得或
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
18. 已知二次函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，且對任意，恒有.
（1）求的值；
（2）求函數(shù)的解析式；
（3）記函數(shù)，若對任意，均存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【正確答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）令即可求出.
（2）根據(jù)條件，先設(shè)出二次函數(shù)的解析式，再根據(jù)恒成立，可求待定系數(shù).
（3）問題轉(zhuǎn)化成在區(qū)間的最小值不小于在上的最小值求參數(shù)的取值范圍.
【小問1詳解】
在不等式，令.
【小問2詳解】
因?yàn)闉槎魏瘮?shù)且圖象過原點(diǎn)，所以可設(shè)，
由，于是，
由題：恒成立
，
檢驗(yàn)知此時滿足，故.
【小問3詳解】
函數(shù)，開口向上，對稱軸，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，因此，時，，即，
而在上單調(diào)遞減，所以時，
因?yàn)閷θ我?，均存在，使得?br>等價于
19. 已知函數(shù)經(jīng)過，兩點(diǎn).
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并用定義進(jìn)行證明；
（3）若對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【正確答案】（1）
（2）在上單調(diào)遞減，證明見解析
（3）
【分析】（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入列方程組求解即可；
（2）利用單調(diào)性的定義證明即可；
（3）將問題轉(zhuǎn)化，然后利用單調(diào)性求解最值即可得解.
【小問1詳解】
，，
，解得，
.
【小問2詳解】
在0,1上單調(diào)遞減，證明如下：
任取，且，
則，
，且，
，，
∴，
，即，
所以函數(shù)在0,1上單調(diào)遞減.
【小問3詳解】
由對任意恒成立得，
由（2）知在0,1上單調(diào)遞減，
函數(shù)在上的最大值為，
，
所求實(shí)數(shù)的取值范圍為.

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