動(dòng)力學(xué)與能量綜合
例1 [2021·全國(guó)甲卷] 如圖所示,一傾角為θ的光滑斜面上有50個(gè)減速帶(圖中未完全畫出),相鄰減速帶間的距離均為d,減速帶的寬度遠(yuǎn)小于d;一質(zhì)量為m的無動(dòng)力小車(可視為質(zhì)點(diǎn))從距第一個(gè)減速帶L處由靜止釋放.已知小車通過減速帶損失的機(jī)械能與到達(dá)減速帶時(shí)的速度有關(guān).觀察發(fā)現(xiàn),小車通過第30個(gè)減速帶后,在相鄰減速帶間的平均速度均相同.小車通過第50個(gè)減速帶后立刻進(jìn)入與斜面平滑連接的水平地面,繼續(xù)滑行距離s后停下.已知小車與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ,重力加速度大小為g.
(1)求小車通過第30個(gè)減速帶后,經(jīng)過每一個(gè)減速帶時(shí)損失的機(jī)械能;
(2)求小車通過前30個(gè)減速帶的過程中在每一個(gè)減速帶上平均損失的機(jī)械能;
(3)若小車在前30個(gè)減速帶上平均每一個(gè)損失的機(jī)械能大于之后每一個(gè)減速帶上損失的機(jī)械能,則L應(yīng)滿足什么條件?
【導(dǎo)思】
此題實(shí)際得分率非常低,原因有以下三點(diǎn):①此題情景非常貼近生活,設(shè)問新穎,如減速帶導(dǎo)致機(jī)械能損失是因?yàn)椤芭鲎病?但設(shè)問并不著眼于“碰撞”.②此題情景描述多,關(guān)鍵條件少而且還特別隱蔽,如 “在相鄰減速帶間的平均速度相同”,考生對(duì)于這樣的條件缺乏敏感性,更不容易轉(zhuǎn)化為有效的物理?xiàng)l件.③第三問設(shè)問不容易理解,而且容易產(chǎn)生誤解,如已知小車通過減速帶損失的機(jī)械能與通過減速帶時(shí)的速度有關(guān)”.
動(dòng)量與能量綜合
例2 如圖所示,光滑水平地面上有一固定的光滑圓弧軌道AB,軌道上A點(diǎn)切線沿水平方向,忽略A點(diǎn)距地面的高度,軌道右側(cè)有質(zhì)量M=1 kg的靜止薄木板,上表面與A點(diǎn)平齊.一質(zhì)量m=1 kg的小滑塊(可視為質(zhì)點(diǎn))以初速度v0=14 m/s從右端滑上薄木板,重力加速度大小g取10 m/s2,小滑塊與薄木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.75.
(1)若薄木板左端與A點(diǎn)間的距離d足夠長(zhǎng),薄木板長(zhǎng)度L=7.4 m,薄木板與軌道A端碰后立即靜止,求小滑塊離開薄木板運(yùn)動(dòng)到軌道上A點(diǎn)時(shí)的速度vA;
(2)在(1)中,小滑塊繼續(xù)沿圓弧軌道AB運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)沿切線方向飛出,最后落回水平地面,不計(jì)空氣阻力,B點(diǎn)與地面間的高度差h=1.2 m保持不變,圓弧AB對(duì)應(yīng)的圓心角θ可調(diào),求小滑塊的最大水平射程sm及對(duì)應(yīng)的圓心角θ;
(3)若薄木板長(zhǎng)度L足夠長(zhǎng),薄木板與軌道A端碰后立即以原速率彈回,調(diào)節(jié)初始狀態(tài)薄木板左端與A點(diǎn)間的距離d,使得薄木板與軌道A端只能碰撞2次,求d應(yīng)滿足的條件.
動(dòng)力學(xué)、動(dòng)量與能量綜合
例3 [2023·浙江6月選考] 為了探究物體間碰撞特性,設(shè)計(jì)了如圖所示的實(shí)驗(yàn)裝置.水平直軌道AB、CD和水平傳送帶平滑無縫連接,兩半徑均為R=0.4 m的四分之一圓周組成的豎直細(xì)圓弧管道DEF與軌道CD和足夠長(zhǎng)的水平直軌道FG平滑相切連接.質(zhì)量為3m的滑塊b與質(zhì)量為2m的滑塊c用勁度系數(shù)k=100 N/m的輕質(zhì)彈簧連接,靜置于軌道FG上.現(xiàn)有質(zhì)量m=0.12 kg的滑塊a以初速度v0=221m/s從D處進(jìn)入,經(jīng)DEF管道后,與FG上的滑塊b碰撞(時(shí)間極短).已知傳送帶長(zhǎng)L=0.8 m,以v=2 m/s的速率順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng),滑塊a與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5,其他摩擦和阻力均不計(jì),各滑塊均可視為質(zhì)點(diǎn),彈簧的彈性勢(shì)能Ep=12kx2(x為形變量).
(1)求滑塊a到達(dá)圓弧管道DEF最低點(diǎn)F時(shí)速度大小vF和所受支持力大小FN;
(2)若滑塊a碰后返回到B點(diǎn)時(shí)速度vB=1 m/s,求滑塊a、b碰撞過程中損失的機(jī)械能ΔE;
(3)若滑塊a碰到滑塊b立即被粘住,求碰撞后彈簧最大長(zhǎng)度與最小長(zhǎng)度之差Δx.

【跟蹤訓(xùn)練】
1.如圖所示,水平直軌道AB、CD與水平傳送帶平滑無縫連接,半徑R=0.5 m的豎直半圓軌道DE與CD平滑相切連接.質(zhì)量m1=1 kg的物塊a以v0=5 m/s的速度從B點(diǎn)進(jìn)入傳送帶,離開傳送帶后與靜止在CD上的質(zhì)量為m2的物塊b發(fā)生碰撞.已知傳送帶長(zhǎng)L=1 m,以1 m/s的速率順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng),物塊a與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.45,其他摩擦不計(jì),兩物塊均可視為質(zhì)點(diǎn),重力加速度g取10 m/s2.
(1)求物塊a剛離開傳送帶時(shí)的速度大小v1及在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t;
(2)若a、b碰撞后粘為一體,則m2取何值時(shí),a、b一起經(jīng)過圓軌道最低點(diǎn)D時(shí)對(duì)軌道的壓力最小?
(3)若a、b發(fā)生彈性正碰,且碰后b從圓軌道最高點(diǎn)E離開,設(shè)a在圓軌道上到達(dá)的最高點(diǎn)離D點(diǎn)的高度為h,僅考慮h≤R這一種情況,求h與m2的關(guān)系.
2.[2023·浙江1月選考] 一游戲裝置豎直截面如圖所示,該裝置由固定在水平地面上傾角θ=37°的直軌道AB、螺旋圓形軌道BCDE、傾角θ=37°的直軌道EF、水平直軌道FG組成,除FG段外各段軌道均光滑,且各處平滑連接.螺旋圓形軌道與軌道AB、EF相切于B(E)處.凹槽GHIJ底面HI水平光滑,上面放有一無動(dòng)力擺渡車,并緊靠在豎直側(cè)壁GH處,擺渡車上表面與直軌道FG、平臺(tái)JK位于同一水平面.已知螺旋圓形軌道半徑R=0.5 m,B點(diǎn)高度為1.2R,FG長(zhǎng)度LFG=2.5 m,HI長(zhǎng)度L0=9 m,擺渡車長(zhǎng)度L=3 m、質(zhì)量m=1 kg.將一質(zhì)量也為m的滑塊從傾斜軌道AB上高度h=2.3 m處?kù)o止釋放,滑塊在FG段運(yùn)動(dòng)時(shí)的阻力為其重力的0.2倍.(擺渡車碰到豎直側(cè)壁IJ立即靜止,滑塊視為質(zhì)點(diǎn),不計(jì)空氣阻力,重力加速度g取10 m/s2,sin 37°=0.6,cs 37°=0.8)
(1)求滑塊過C點(diǎn)的速度大小vC和軌道對(duì)滑塊的作用力大小FC;
(2)擺渡車碰到IJ前,滑塊恰好不脫離擺渡車,求滑塊與擺渡車之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ;
(3)在(2)的條件下,求滑塊從G到J所用的時(shí)間t.
參考答案與詳細(xì)解析
例1 (1)mgdsin θ
(2)mg(L+29d)sinθ-μmgs30
(3)L>d+μssinθ
[解析] (1)小車在光滑斜面上滑行時(shí),根據(jù)牛頓第二定律有
mgsin θ=ma
設(shè)小車通過第30個(gè)減速帶后速度為v1,到達(dá)第31個(gè)減速帶時(shí)的速度為v2,則有
v22-v12=2ad
因?yàn)樾≤囃ㄟ^第30個(gè)減速帶后,在相鄰減速帶間的平均速度均相同,所以小車通過第30個(gè)減速帶后,經(jīng)過每一個(gè)減速帶時(shí)損失的機(jī)械能
ΔE=12mv22-12mv12
聯(lián)立解得ΔE=mgdsin θ
(2)由(1)知小車通過第50個(gè)減速帶后的速度為v1,則小車在水平地面上減速時(shí),根據(jù)動(dòng)能定理有
-μmgs=0-12mv12
從小車開始下滑到通過第30個(gè)減速帶,根據(jù)動(dòng)能定理有
mg(L+29d)sin θ-ΔE總=12mv12
聯(lián)立解得ΔE總=mg(L+29d)sin θ-μmgs
故在每一個(gè)減速帶上平均損失的機(jī)械能ΔE=ΔE總30=mg(L+29d)sinθ-μmgs30
(3)由題意可知ΔE>ΔE
即mg(L+29d)sinθ-μmgs30>mgdsin θ
化簡(jiǎn)可得L>d+μssinθ
例2 (1)6 m/s (2)635 m 30°
(3)4960 m≤d

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