高境一中2024學年第一學期期末
高二年級數學學科測試卷
2025年1月9日
命題人：顧銘鑒 審核人：盛曉君
滿分150分 考試時間：120分鐘
一?填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分．考生應在答題紙的相應位置直接填寫結果）
1. 已知事件，其對立事件記為，若，則__________．
【答案】0.8##
【解析】
【分析】根據對立事件的性質即可求解.
【詳解】事件的對立事件為，
,則．
故答案為：0.8．
2. 在空間直角坐標系中，點關于軸的對稱點的坐標為__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用空間直角坐標系中，點關于坐標軸對稱特征求出點的坐標.
【詳解】點關于軸的對稱點的坐標為.
故答案為：
3. 空間兩直線沒有公共點，則這兩條直線的位置關系為__________．
【答案】平行或異面
【解析】
【分析】根據空間中兩直線的位置關系即可判斷.
【詳解】空間中的直線沒有公共點，則兩直線要么平行，要么是異面直線.
故答案為：平行或異面.
4. 表面積為的球的體積為__________.
【答案】
【解析】
【分析】
先求出半徑，再利用公式可求體積.
【詳解】，
故答案為：.
5. 已知圓錐的底面半徑為1，高為，求圓錐的表面積_________
【答案】
【解析】
【分析】根據題意，求得母線長，即可用圓錐的表面積公式求得結果.
【詳解】根據題意，求得母線長，即可用圓錐的表面積公式求得結果.
設圓錐的母線長為，則，
所以圓錐的表面積為.
故答案為：.
6. 過所在平面外一點，作，垂足為，連接，，，若，則點是的______心.
【答案】外
【解析】
【分析】由線面垂直得到線線垂直，進而由求出，得到答案.
【詳解】因為，，所以，
故，
因為，所以，
故是的外心.
故答案為：外
7. 已知數列的通項公式為，設其前項和為，若，則的取值范圍為__________．
【答案】
【解析】
【分析】根據給定條件，利用等差數列性質及前項和公式求解得答案.
【詳解】由數列的通項公式為，得數列是等差數列，
則，即，解得，
所以的取值范圍為.
故答案為：
8. 已知甲，乙兩組數據如莖葉圖所示，其中，若這兩組數據中位數相等，平均數也相等，則__________．
【答案】##
【解析】
【分析】由甲乙的中位數求出，由平均數相同求出即可得解
【詳解】由莖葉圖知甲的中位數為，乙的中位數為，
由兩組數據的中位數相同，則，
由平均數相同，得，解得，
所以．
故答案為：
9. 已知無窮等比數列和，滿足各項和為9，則數列的各項和為__________．
【答案】##
【解析】
【分析】設的公比為，由無窮等比數列各項和公式，求得，進而得到，求得數列的首項和公比，即可求得的各項和．
【詳解】設的公比為，由,的各項和為9，得，解得，
則，，
因此數列是首項為，公比為的等比數列，
所以數列的各項和為．
故答案為：
10. 甲、乙兩人下棋，每局甲獲勝的概率為0.6，某一天兩人要進行一場三局兩勝的比賽，各局的勝負之間是獨立的，最終勝者贏得100元獎金．第一局比賽甲勝，后因為有其他要事而中止比賽．按照兩人最終獲勝的可能性大小的比例來分配獎金，則甲能獲得__________元．
【答案】84
【解析】
【分析】分別求出甲、乙最終獲勝的概率，即可求出答案.
【詳解】乙最后獲勝的情況為第二局、第三局必須乙勝，其概率為：，
即甲最終獲勝的概率為，乙最終獲勝的概率為，
故甲的獎金為元.
故答案為：.
11. 如圖，已知四棱柱的底面為平行四邊形，，且，則異面直線與的夾角為__________．
【答案】
【解析】
【分析】將用不共面的向量表示出來，從而得到，然后由公式計算夾角余弦值即可.
【詳解】四棱柱的底面為平行四邊形，
，，
，而，
則，
，因此，
所以異面直線與BD的夾角的余弦值為.
故答案為：
12. 如圖是一座山示意圖，山呈圓錐形，圓錐的底面半徑為10公里，母線長為40公里，是母線上一點，且公里.為了發(fā)展旅游業(yè)，要建設一條最短的從繞山一周到的觀光鐵路.這條鐵路從出發(fā)后首先上坡，隨后下坡，則上坡段鐵路的長度為______________公里.
【答案】32
【解析】
【分析】先展開圓錐的側面，確定觀光鐵路路線，再根據實際意義確定下坡段的鐵路路線，最后解三角形得結果.
【詳解】沿母線將圓錐的側面展開，如圖：

記為上的任意一點，作，垂足為，連接，
由的長為，得，由兩點間線段最短，知觀光鐵路為圖中線段，
而，則，
上坡即到山頂的距離越來越小，下坡即到山頂的距離越來越大，
因此上坡段的鐵路，即圖中的線段，由，得.
故答案為：32
【點睛】關鍵點點睛：作出圓錐側面展開圖，確定鐵路對應線段是解決問題的關鍵.
二?選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題年題4分，第15-16題每題5分每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑）
13. 下列關于散點圖的說法中，正確的是（ ）
A. 任意給定統(tǒng)計數據，都可以繪制散點圖B. 從散點圖中可以看出兩個量是否具有一定的關系
C. 從散點圖中可以看出兩個量的因果關系D. 從散點圖中無法看出數據的分布情況
【答案】B
【解析】
【分析】根據散點圖的概念判斷即可.
【詳解】散點圖不適合用于展示百分比占比的數據，另外數據量較少的數據也不適合用散點圖表示，故A錯誤；
散點圖能看出兩個量是否具有一定關系，但是并一定是因果關系，故B正確，C錯誤；
散點圖中能看出數據的分布情況，故D錯誤.
故選：B
14. 已知平面，，兩兩垂直，直線a，b，c滿足，，，則直線a，b，c不可能滿足以下哪種關系（ ）
A. 兩兩垂直B. 兩兩異面C. 兩兩相交D. 兩兩平行
【答案】D
【解析】
【分析】對ABC作出相應空間圖形即可；對D，通過反證法即可得到其無法兩兩平行.
【詳解】如圖1，可得，，可能兩兩垂直，故A正確；
如圖2，可得，，可能兩兩相交，故C正確；
如圖3，可得，，可能兩兩異面，故B正確；

對D，設，且與均不重合，
假設：，由可得：，，
又，可知，，
又，可得：，
因為兩兩互相垂直，可知與相交，即與相交或異面，
若與或重合，同理可得與相交或異面，
可知假設錯誤，由此可知三條直線不能兩兩平行，故D錯誤.
故選：D.
15. 有下列幾何對象：①長度為的短棍（粗細忽略不計）；②面積為的正方形紙片（厚度忽略不計，不可折疊）；③體積為的正四面體木塊.關于上述幾何對象能否單獨完全裝入一個棱長為的正方體盤子（壁厚度忽略不計），正確的結論是（ ）
A. 僅①②能B. 僅②③能
C. 僅①③能D. ①②③均能
【答案】D
【解析】
【分析】通過比較正方體體對角線的長可以判斷①，通過比較正方體對角面的面積可以判斷②，計算正四面體的棱長，與正方體中最大的正四面體的棱長比較，可以判斷③.
【詳解】①棱長為的正方體盤子，體對角線長為，
所以長度為的短棍（粗細忽略不計）放入正方體體對角線的位置就可以裝入；
②棱長為的正方體盤子，對角面的面積為，
所以面積為的正方形紙片（厚度忽略不計，不可折疊）放入正方體對角面的位置就可以裝入；
③設正四面體棱長為，如圖正四面體，是面中心，是四面體的高，
則，，
體積,所以，
棱長為的正方體中最大的正四面體為面對角線構成的正四面體，此時正四面體的邊長為，，所以可以裝入.
故選：D
16. 設數列的前項和為，若對任意正整數，總存在正整數，使得，有結論：①可能為等差數列；②可能為等比數列．關于以上兩個結論，正確的判斷是（ ）
A. ①成立，②成立B. ①不成立，②成立
C. ①成立，②不成立D. ①不成立，②不成立
【答案】C
【解析】
【分析】根據題設條件，逐項判斷即可：取，則，滿足題設，即可判斷①；對是否等于1進行討論，結合有理數性質即可判斷②.
【詳解】對于①，取，則，滿足題設，①成立；
對于②；假設存在，，公比為，
當時，，，則，當時，對任意正整數，不存在正整數m，使得，
當時，，要使，則需，
即，由為常數，為確定的正整數，得是確定的數，
而為任意正整數，是變量，且當趨近于無窮大的正整數時，
趨近于）或趨近于無窮大（），因此②不成立.
故選：C
三?解答題（本大題共78分，第17-19題每題14分，第20-21題每題18分．解答下列各題必須在答題紙的相應位置寫出必要的步驟）
17. 如圖，在棱長為1的正方體中，及分別為棱和的中點．
（1）求證：平面；
（2）若為棱的中點，求證：平面．
【答案】（1）證明見解析；
（2）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）利用中位線定理與線面平行的判定定理即可得證；
（2）利用線面垂直的性質與判定定理即可得解.
【小問1詳解】
在正方體中，E，F，G分別為棱和的中點，
，且，則四邊形是平行四邊形，，
而平面平面DEG，所以平面DEG.
【小問2詳解】
在正方體中，平面，面，則，
由是正方形邊的中點，得，則，
為棱的中點，在正方形中，，
則，即，則，
又平面DEG，所以平面DEG.
18. 如圖，在正四棱錐中，底面邊長為2，高為4．
（1）求直線與平面所成角的大?。?br>（2）求二面角的大?。?br>【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）連接，取中點，利用正四棱錐的結構特征及線面角的定義求出線面.
（2）作出二面角的平面角，利用幾何法求出二面角的大小.
【小問1詳解】
在正四棱錐中，連接，取中點，連接
則為正方形的中心，平面，是直線與平面所成的角，
由，得，而，在中，，
所以直線與平面所成角的大小為.
【小問2詳解】
在中，過作于，連接，
由≌，得，而，
則≌，，即，
因此是二面角的平面角，，
，，
，在中，，，
，，
所以二面角的大小為.
19. 某公司積極投入本市“五個新城”建設，將總部遷入其中一個新城．該公司2021年第一季度的營業(yè)收入為1.1億元，利潤為0.16億元．預測顯示：在以2021年為第一年的未來十年（每年4個季度，共40個季度）內，該公司每一季度的營業(yè)收入比上一季度增加0.05億元，利潤比上一季度增長．據此預測，解答以下問題：
（1）求2021年至2026年，該公司六年共24個季度營業(yè)收入共計多少億元？
（2）該公司在哪年哪季度的利潤將首次超過該季度的營業(yè)收入的？
【答案】（1）
（2）年第4季度
【解析】
【分析】（1）由已知，可知該公司營業(yè)收入組成首項為，公差為的等差數列，利用等差數列求和公式計算即可；
（2）設季度后的利潤將首次超過該季度的營業(yè)收入的，則得，利用計算器解得的最小值為，即可得到答案.
【小問1詳解】
由已知，該公司2021年第一季度起其營業(yè)收入組成首項為，公差為的等差數列，
則2021年至2026年，六年共24個季度營業(yè)收入共計，
即2021年至2026年，該公司六年共24個季度營業(yè)收入共計億元.
【小問2詳解】
設季度后的利潤將首次超過該季度的營業(yè)收入的，
因為該公司2021年第一季度的利潤為0.16億元，
每一季度的營業(yè)收入比上一季度增加0.05億元，利潤比上一季度增長，
所以，
因為，所以利用計算器解得的最小值為，又，
所以該公司在年第4季度的利潤將首次超過該季度的營業(yè)收入的.
20. 某學校為了獲得該校全體高中學生的體育鍛煉情況，按男?女學生的比例分別抽樣調查了48名男生和27名女生的每周鍛煉時間．通過計算得到男生每周鍛煉時間的平均數為7.6小時，方差為7；女生每周鍛煉時間的平均數為6.4小時，方差為8．
（1）若該校男生總數為1280，求該校學生總數；
（2）若所選27名女生每周鍛煉時間從小到大排列后的第9至第13個數據依次為5?5.3?5.6?5.8?5.9，求所選女生樣本的第40百分位數；
（3）求所有樣本數據的平均數和方差（精確到0.001）．
【答案】（1）2000；
（2）5.6； （3）平均數為7.168，方差為7.692.
【解析】
【小問1詳解】
設該校學生總數為，依題意，，解得，
所以該校學生總數為2000.
【小問2詳解】
由，得所選女生樣本的第40百分位數為第11個數5.6.
【小問3詳解】
所有樣本數據的平均數；
所有樣本數據的方差為.
21. 已知數列滿足（為正整數）．
（1）設是公差為2的等差數列．當時，求的值；
（2）設．求正整數，使得對一切正整數，均有；
（3）設．當時，求數列的通項公式．
【答案】（1），
（2）5 （3）
【解析】
【分析】（1）根據公差化簡計算得出,再代入求值即可；
（2）代入求出，再分類得出數列的單調性即可得出；
（3）分和兩種情況分別應用累加法及分組求和法求出通項公式.
【小問1詳解】
，是公差為2的等差數列，
所以，所以，又因為，
所以，即，
，即．
【小問2詳解】
因為，所以，
所以，當，單調遞減，所以，
當，單調遞增，所以，
所以數列最小值為，所以，使得對一切正整數，均有；
【小問3詳解】
因為，所以，
所以化簡得，
當時，，
求和得，
所以；
當時，，
則.
綜上所述，.
【點睛】關鍵點點睛：本題第3問關鍵是得到，進而分情況利用累加法及分組求和法進行求解.

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