（滿分120分；考試時間90分鐘）
考生注意：
1.每位考生應(yīng)同時收到試卷和答題卷兩份材料，解答必須在答題卷上進行，寫在試卷上的解答一律無效；
2.答卷前，考生務(wù)必將姓名等相關(guān)信息在答題卷上填寫清楚；
3.本試卷共21道試題，滿分120分；考試時間90分鐘．
一、填空題（本大題滿分48分）本大題共有12題，考生應(yīng)在答題卷的相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每題填對得4分，否則一律得零分.
1. 與的等差中項為______.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)與的等差中項為，根據(jù)等差中項的定義得到方程，解得即可.
【詳解】設(shè)與的等差中項為，
則，解得，
所以與的等差中項為.
故答案為：
2. 正方體個面中，所在平面與平面垂直的面的個數(shù)為______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)判斷即可.
【詳解】在正方體中，
平面、平面、平面、平面均與平面垂直，
平面與平面平行，
故正方體的個面中，所在平面與平面垂直的面的個數(shù)為個.
故答案為：
3. 已知某校高一年級所有學生的體重（單位：kg），且最大值為98，最小值為44.在制作頻率分布直方圖時，要對這些體重數(shù)據(jù)進行分組.若組距為5，則將數(shù)據(jù)分成______組為宜.
【答案】
【解析】
【分析】計算出極差，即可得解.
【詳解】因為最大值為98，最小值為44，則，
又組距為5，則將數(shù)據(jù)分成組.
故答案為：
4. 在長方體中，若，則此長方體的中心到頂點的距離為______.
【答案】2
【解析】
【分析】根據(jù)長方體中心到頂點距離為體對角線的一半，結(jié)合已知即可求結(jié)果.
【詳解】由長方體中心到頂點的距離為體對角線的一半，而體對角線長為，
所以此長方體的中心到頂點的距離為2.
故答案為：2
5. 某校高三年級10名男生的身高數(shù)據(jù)（單位：）如下：168、171、173、176、176、180、183、184、186、191．該組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為______．
【答案】185
【解析】
【分析】利用80百分位數(shù)的定義求解即得.
【詳解】顯然該組數(shù)據(jù)已由小到大排列，由，得該組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為.
故答案為：185
6. 給定點，則在方向上的數(shù)量投影為______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)向量投影的定義及數(shù)量積、模長的坐標表示求在方向上的數(shù)量投影.
【詳解】由題設(shè)，，
所以.
故答案為：
7. 齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機選一匹進行一場比賽，則田忌的馬獲勝的概率為__________．
【答案】.
【解析】
【詳解】分析：由題意結(jié)合古典概型計算公式即可求得題中的概率值.
詳解：由題意可知了，比賽可能的方法有種，
其中田忌可獲勝的比賽方法有三種：田忌的中等馬對齊王的下等馬，
田忌的上等馬對齊王的下等馬，田忌的上等馬對齊王的中等馬，
結(jié)合古典概型公式可得，田忌的馬獲勝的概率為.
點睛：有關(guān)古典概型的概率問題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)．(1)基本事件總數(shù)較少時，用列舉法把所有基本事件一一列出時，要做到不重復、不遺漏，可借助“樹狀圖”列舉．(2)注意區(qū)分排列與組合，以及計數(shù)原理的正確使用.
8. 直三棱柱中，若，，則異面直線與所成角的余弦值為______.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得兩兩互相垂直，建立空間直角坐標系，利用空間向量法求解即可.
【詳解】因為在直三棱柱中，，
所以兩兩互相垂直，故建立如圖所示空間直角坐標系，
因為，設(shè)，
所以，，，
所以，，
所以，
所以異面直線與所成角余弦值為.
故答案為：
9. 設(shè)m、n是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，給出下列四個命題：①若，則；②若，則；③若，則或；④若，則.則其中正確命題的序號為______.
【答案】①③④
【解析】
【分析】利用平面的基本性質(zhì)、直觀想象，結(jié)合各項的描述判斷線面、面面的位置關(guān)系即可.
【詳解】①若，有或，又，則，對；
②若，則相交或或，錯；
③若，，則，滿足；
若，設(shè)，在內(nèi)作直線，
又，則，而，所以，
由，則.
綜上，或，對；
④若，將分別看作法向量所在直線，又，則，對.
故答案為：①③④
10. 甲、乙兩人組成“星隊”參加投籃比賽，每輪比賽由甲、乙在罰球區(qū)各投一次，已知甲、乙每輪投中的概率分別為.在每輪比賽中，甲和乙是否投中互不影響，各輪之間也互不影響，則“星隊”在兩輪比賽中共投中3球的概率為______.
【答案】
【解析】
【分析】應(yīng)用互斥、對立事件的概率求法及獨立事件乘法公式求目標事件的概率即可.
【詳解】由“星隊”在兩輪比賽中共投中3球，即其中有一輪甲、乙有一人未投中，
所以其概率為.
故答案為：
11. 如圖的工藝品是由九個圓柱焊接而成.這些圓柱具有共同的軸，最下邊的圓柱的高為10cm、底面半徑為5cm.從由下至上第二個圓柱開始，每個圓柱的底面半徑與高都分別是其下面一個圓柱的底面半徑與高的0.8倍，則這個工藝品的表面積（含最下邊圓柱的下底面積）約為______（精確到）
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)已知第個圓柱的高，底面半徑，應(yīng)用等比數(shù)列前n項和公式求工藝品的表面積.
【詳解】由題設(shè)，第個圓柱的高，底面半徑，
所以，第個圓柱的側(cè)面積為，底面積為，
則側(cè)面積之和為，
底面積之和為，
所以工藝品的表面積為.
故答案為：
12. 已知正四面體ABCD的棱長為6，P是空間一點，若，則點P到平面BCD的距離的最大值為______.
【答案】
【解析】
【分析】若的中點分別為，且的中點為，應(yīng)用向量加法的幾何意義可得，進而確定的軌跡及的位置，結(jié)合已知求點P到平面BCD的距離的最大值.
【詳解】由，即，
若的中點分別為，且的中點為，則，
所以，即在以為球心，為半徑的球面上，
由題設(shè)，易知都在面內(nèi)，則面，
又面，即面，即，同理，
而，，易知，故為正四面體外接球球心，
到面BCD的距離，
到面BCD的距離，則，所以，
綜上，點P到平面BCD的距離的最大值為.
故答案為：
二、選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案，考生應(yīng)在答題卷的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得4分，否則一律得零分.
13. 同時擲兩顆骰子，則所得點數(shù)互不相等的概率是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】應(yīng)用列舉法求古典概型的概率.
【詳解】擲兩顆骰子，所有情況如下：
由上表，一共有36種情況，所得點數(shù)互不相等有30種情況，
所以所求概率為.
故選：B
14. 如圖，在正方體中，分別為的中點，則與平面垂直的直線可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作出與平面平行的平面，證明面即可.
【詳解】連接，如下圖所示：
因為分別為的中點，故//，//，
又面面，故//面；
又面面，故//面；
又面，故面//面；
則垂直于平面的直線一定垂直于面；
顯然面面，故，
又，面，
故面，又面，故；
同理可得，又面，
故面，也即面；
若其它選項的直線垂直于平面，則要與平行，顯然都不平行.
故選：D.
15. 某校有學生500人，其中男生320人，女生180人.某人想了解該校全體學生的身高（單位：cm）信息，從男生、女生中分別隨機抽取人進行測量.如果已知男生樣本的均值為173.5，方差為17，女生樣本的均值為163.83，方差為30.03，但原始測量數(shù)據(jù)已丟失.設(shè)總體均值與方差分別為與，則下列說法正確的是（ ）．
A. 若，可算出總樣本的均值與方差，且將其分別作為與的估計值是合適的
B. 若，無法算出總樣本的均值與方差
C. 若，可算出總樣本的均值與方差，且將其分別作為與的估計值是合適的
D. 若，無法算出總樣本的均值與方差
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)已知，分層抽樣分析數(shù)據(jù)的前提及樣本特征與總體特征的關(guān)系判斷A、C、D；對于總體數(shù)據(jù)各層中的數(shù)據(jù)差異非常小的情況下也可分析總體特征判斷B.
【詳解】由于男生、女生總?cè)藬?shù)不相等，需要用分層抽樣的方式估計出樣本的均值和方差，
此時所得樣本特征可作為總體特征的估計值，故不合適、合適，A、D錯，C對；
在情況下，只有所有男生、女生身高都在各自身高均值附近波動且幅度很小時，可以算出總樣本的均值與方差，B錯；
故選：C.
16. 在多面體中，已知，且它們兩兩之間的距離為4.若，則該多面體的體積為（ ）.

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】采用補形法，補成一個三棱柱，利用柱體的體積公式計算即可.
【詳解】
如圖所示，用一個完全相同的多面體與多面體組合；
因為，所以，又，
則，從而，
因為，，所以四邊形為平行四邊形，則，
又平面，平面，所以平面，
同理可得，平面，又，所以平面平面，
所以組合體是一個三棱柱，又兩兩之間的距離為4，
不妨將三棱柱看作直三棱柱（側(cè)棱與底面垂直），
所以，
此時三棱柱的高，，
所以，
故選：A.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于側(cè)棱之間的距離為定值，而側(cè)棱與底面所成角不是定值，所以可以取側(cè)棱垂直于底面的特殊情況，這仍滿足題意；此時補形后的三棱柱的高為側(cè)棱長，進而根據(jù)柱體的體積公式計算即可.
三、解答題（本大題滿分56分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題卷的相應(yīng)編號規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.
17. 某大型超市從一家貿(mào)易公司購進600袋白糖．為了了解這些白糖的重量情況，從中抽取了21袋白糖，稱出各袋白糖的重量（單位：g）如下：
486 494 496 498 499 493 492
498 490 497 504 489 495 503
498 502 509 498 487 501 508
若設(shè)這21袋白糖的平均重量為，標準差為.
（1）求與（精確到0.1）；
（2）試估計在這600袋白糖中重量位于與之間的共有多少袋？所占的百分比是多少？
【答案】（1），
（2）400袋，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)均值定義計算均值，根據(jù)方差公式計算出方差，然后得標準差；
（2）直接計數(shù)即可得，然后計算所占百分比即可．
【小問1詳解】
根據(jù)題意，，
.
【小問2詳解】
質(zhì)量位于與之間等于在區(qū)間上的白糖的袋數(shù)，共有14袋，所占的百分比為.
由此估計600袋白糖中質(zhì)量位于與之間的共有袋，所占的百分比為.
18. 在四棱錐中，底面為平行四邊形，分別是棱的中點.
（1）求證：平面；
（2）若平面與平面所成的角為，求證：平面.
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）取中點，連接，，由線面平行的判定定理即可得證；
（2）先由題意得到，，由線面垂直的判定定理證明平面，從而得證.
【小問1詳解】
取中點，連接，，
為的中點，且，
是的中點，底面是平行四邊形，且，
且，
四邊形為平行四邊形，所以，
又平面，平面，
平面.
【小問2詳解】
平面，所以為與平面所成的角，
，又平面，，，
即為等腰直角三角形，
為中點，，
又平面，平面，，
又底面是平行四邊形且，平行四邊形為矩形，則，
又平面，平面，
平面，，
又平面，
平面，
由（1）可知，平面.
19. 為了推廣一種新飲料，某飲料企業(yè)開展了有獎促銷活動：將6罐飲料裝一箱，每箱中都放置2罐能中獎的飲料.
（1）若甲從一箱這種新飲料中隨機抽取2罐，能中獎的概率為多少？
（2）若甲、乙、丙三人中的每個人都從自己購買的一箱這種新飲料中隨機抽取2罐，試判斷：“甲、乙、丙三人中恰有一人中獎”與“甲、乙、丙三人都中獎或都未中獎”，哪一個發(fā)生的可能性更大？并說明理由.
【答案】（1）
（2）“甲、乙、丙三人中恰有一人中獎”比“甲、乙、丙三人都中獎或都未中獎”發(fā)生的可能性更大，理由見解析
【解析】
【分析】（1）利用間接法及古典概型的概率公式計算可得；
（2）利用相互獨立事件及互斥事件的概率公式計算可得.
【小問1詳解】
6罐飲料機抽出2罐有種取法,
兩罐都不中獎有種取法，
所以兩罐都不中獎的概率，
故甲能中獎的概率為；
【小問2詳解】
由（1）可知隨機抽取2罐，能中獎的概率為，不能中獎的概率為，
則“甲、乙、丙三人中恰有一人中獎”的概率；
“甲、乙、丙三人都中獎或都未中獎” 的概率，
所以“甲、乙、丙三人中恰有一人中獎”比“甲、乙、丙三人都中獎或都未中獎”發(fā)生的可能性更大.
20. 如圖，在圓錐P-O中，AB是底面圓的直徑，點C，D在圓上，CD垂直平分線段OB，E是PB的中點，.
（1）求二面角的正切值；
（2）設(shè)AE與PO交于點M，Q是圓上的動點，DM，QM與平面ACE所成角的大小分別為，求，并證明.
【答案】（1）
（2）,證明見詳解.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)向量法先求出二面角的余弦值，然后即可求正切值；
（2）利用向量法即可求出線面角的正弦值，然后根據(jù)直線與圓相切即可求解.
【小問1詳解】
設(shè)與OB的交點為,過點作的平行線交底面圓于，
因為點C，D在圓上，CD垂直平分線段OB，E是PB的中點，
所以，又因為底面圓，底面圓，
所以
則以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
因為，,
所以，
因為底面圓，底面圓,所以又因為且，所以平面,所以平面的法向量為,
則,,
設(shè)平面的法向量，
則，
設(shè)二面角所成的平面角為，
所以
則，由圖可知為銳角，所以，
【小問2詳解】
由可得，
設(shè)平面的法向量m=x1,y1,z1，
則，
,
,
所以,
設(shè)，
因為為底面圓上的動點，底面圓的方程為，
所以，
則，，，
，
令，則或，
所以，所以，
因為在上單調(diào)遞增，
所以.
21. 若數(shù)列與都是嚴格增數(shù)列且無公共項，將它們的項合并在一起并按由小到大的順序排列，在得到的新數(shù)列中，來自的任意兩項均不相鄰，則稱為的“隔數(shù)列”.
（1）若是首項與公差均為整數(shù)的等差數(shù)列，，且數(shù)列是數(shù)列的“隔數(shù)列”，求的通項公式；
（2）若，是首項為1，公比為的等比數(shù)列，且數(shù)列是數(shù)列的“隔數(shù)列”，求整數(shù)的值；
（3）設(shè)是公比為的無窮等比數(shù)列，其前項和為，若是的“隔數(shù)列”，求的取值范圍．
【答案】（1）或
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，則且，依題意可得，即可求出與，即可求出；
（2）設(shè)的公比為，依題意可得或，即可求出的取值范圍，從而得解；
（3）依題意可得且，對一切正整數(shù)恒成立，即可求出的取值范圍.
【小問1詳解】
設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，則且，
由數(shù)列是數(shù)列的“隔數(shù)列”，
則，且，
所以且，即，所以或，
所以或；
【小問2詳解】
設(shè)的公比為，
因為數(shù)列是數(shù)列的“隔數(shù)列”，
即數(shù)列是數(shù)列的“隔數(shù)列”，
所以或，
解得或，即或，
所以或，
所以整數(shù)的值為.
【小問3詳解】
因為是“隔數(shù)列”，
所以與都是嚴格增數(shù)列，
由是嚴格增數(shù)，可知對一切正整數(shù)恒成立，
又由是嚴格增數(shù)列，可知，即對一切正整數(shù)恒成立，
所以且，
這時因為對于一切大于等于的整數(shù)恒成立，
故必有，
即對一切正整數(shù)恒成立，
即對一切正整數(shù)恒成立，
即對一切正整數(shù)恒成立，所以，即，
所以的取值范圍為.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是理解所給定義，再結(jié)合等差（等比）數(shù)列的基本量計算即可.
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