3.3 反比例函數(shù)
☆☆☆ 代表必考點，☆☆代表?？键c，☆星表示選考點。

夯實基礎(chǔ)
考點1. 反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)
1. 反比例函數(shù)定義
一般的，形如 (是常數(shù)，k≠0)的函數(shù)叫做反比例函數(shù)。其它表示形式：或。
因為x≠0，k≠0，相應(yīng)地y值也不能為0，所以反比例函數(shù)的圖象無限接近x軸和y軸，但與x軸.y軸永不相交 ．
2. 反比例函數(shù)的圖象及其性質(zhì)
反比例函數(shù)y＝eq \f(k,x)(k為常數(shù)，k≠0)的圖象總是關(guān)于原點成中心對稱的，它的位置和性質(zhì)受k的符號的影響.
考點2. 反比例函數(shù)解析式的確定（含k的幾何意義）
1. 求反比例函數(shù)的解析式方法
待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的一般步驟
（1）設(shè)反比例函數(shù)解析式為（k≠0）；
（2）把反比例函數(shù)圖像上已知一點的一對x，y的值代入解析式，得到一個關(guān)于待定系數(shù)k的方程；
（3）解這個方程求出待定系數(shù)k；
（4）將所求得的待定系數(shù)k的值代回所設(shè)的函數(shù)解析式即可．
2. 反比例函數(shù)的k的幾何意義
由y＝eq \f(k,x)(k≠0)的圖象上任意一點向兩坐標軸作垂線，兩垂線與坐標軸圍成的矩形的面積為|k| .
如圖①和②，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|；
同理可得S△OPA＝S△OPB＝eq \f(1,2)|xy|＝eq \f(1,2)|k|.
【易錯點提示】已知相關(guān)面積，求反比例函數(shù)的表達式，注意若函數(shù)圖象在第二、四象限，則k＜0.
考點3. 一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合問題
1. 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題基礎(chǔ)分析
（1）涉及自變量取值范圍型
當一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交時，聯(lián)立兩個解析式，構(gòu)造方程組，然后求出交點坐．針對時自變量x的取值范圍，只需觀察一次函數(shù)的圖象高于反比例函數(shù)圖象的部分所對應(yīng)的x的范圍.例如，如下圖，當時，x的取值范圍為或；同理，當時，x的取值范圍為或．
（2）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點坐標
1）從圖象上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點由k值的符號來決定.
①k值同號，兩個函數(shù)必有兩個交點；②k值異號，兩個函數(shù)可無交點，可有一個交點，可有兩個交點；
2）從計算上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點主要取決于兩函數(shù)所組成的方程組的解的情況．
2. 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題命題思想分析
一次函數(shù)和反比例函數(shù)是全國各省市中考的熱點內(nèi)容，也是中考的必考內(nèi)容.每年都有一些考生因為知識殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?br>（1）一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)是考查的基礎(chǔ)，也是高頻考點、必考點，所以對一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)必須理解熟記.
（2）這個考點多數(shù)省市在解答大題里出現(xiàn)，難度屬于中等偏上，分值8—10分左右。
（3）運用綜合知識解題，所以希望畢業(yè)班學(xué)生結(jié)合下面常出現(xiàn)考題類型復(fù)習(xí)相關(guān)知識點，各個擊破。
類型1.一次函數(shù)與反比例函數(shù)中由面積求點坐標
類型2.一次函數(shù)與反比例函數(shù)中求線段和的最小值問題
類型3.一次函數(shù)和反比例函數(shù)與不等式綜合問題
類型4.一次函數(shù)和反比例函數(shù)中求三角形面積問題
類型5.一次函數(shù)和反比例函數(shù)中求證問題
類型6.一次函數(shù)和反比例函數(shù)中求線段長問題
類型7.利用反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)探究平移問題
考點4. 反比例函數(shù)與幾何圖形結(jié)合
解反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合題，一般先設(shè)出幾何圖形中的未知數(shù)，然后結(jié)合函數(shù)的圖像用含未知數(shù)的式子表示出幾何圖形與圖像的交點坐標，再由函數(shù)解析式及幾何圖形的性質(zhì)寫出含未知數(shù)及待求字母系數(shù)的解方程（組）即可得所求幾何圖形的未知量或函數(shù)解析式中待定字母的值.
這類型的題目主要包括：
類型1. 反比例函數(shù)與三角形的綜合問題
類型2.反比例函數(shù)與平行四邊形的綜合問題
類型3.反比例函數(shù)與矩形的綜合問題
類型4.反比例函數(shù)與菱形的綜合問題
類型5.反比例函數(shù)與正方形形的綜合問題
類型6.反比例函數(shù)與圓的綜合問題
考點5. 反比例函數(shù)的實際應(yīng)用
反比例函數(shù)在工程問題、運動問題、化學(xué)等領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用。在物理學(xué)中也有重要應(yīng)用。
解答反比例函數(shù)實際應(yīng)用問題基本步驟：
（1題意找出自變量與因變量之間的乘積關(guān)系；
（2設(shè)出函數(shù)表達式；
（3）依題意求解函數(shù)表達式；
（4）根據(jù)反比例函數(shù)的表達式或性質(zhì)解決相關(guān)問題.
【易錯點提示】反比例函數(shù)的實際應(yīng)用需要注意的地方
解決反比例函數(shù)的實際問題時，先確定函數(shù)解析式，再利用圖象找出解決問題的方案，特別注意自變量的取值范圍。實際問題中的兩個變量往往都只能取非負值；作實際問題中的函數(shù)圖像時，橫、縱坐標的單位長度不一定相同。
考點1. 反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)
【例題1】（2024福建省）如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)的圖象與交于兩點，且點都在第一象限．若，則點的坐標為______．
【答案】
【解析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)以及勾股定理，完全平方公式的應(yīng)用，先根據(jù)得出，設(shè)，則，結(jié)合完全平方公式的變形與應(yīng)用得出
，結(jié)合，則，即可作答．
【詳解】如圖：連接
∵反比例函數(shù)的圖象與交于兩點，且
∴
設(shè)，則
∵
∴
則
∵點在第一象限
∴
把代入得
∴
經(jīng)檢驗：都是原方程的解
∵
∴
故答案為：
【變式練1】（2023阜新一模）已知反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象經(jīng)過點（﹣2，4），那么該反比例函數(shù)圖象也一定經(jīng)過點（ ）
A．（4，2）B．（1，8）C．（﹣1，8）D．（﹣1，﹣8）
【答案】C
【解析】∵反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象經(jīng)過點（﹣2，4），
∴k＝﹣2×4＝﹣8，
A.∵4×2＝8≠﹣8，∴此點不在反比例函數(shù)的圖象上，故本選項錯誤；
B.∵1×8＝8≠﹣8，∴此點不在反比例函數(shù)的圖象上，故本選項錯誤；
C.﹣1×8＝﹣8，∴此點在反比例函數(shù)的圖象上，故本選項正確；
D.（﹣1）×（﹣8）＝8≠﹣8，∴此點不在反比例函數(shù)的圖象上，故本選項錯誤．故選：C．
【變式練2】（2024陜西一模）已知反比例函數(shù)，下列說法不正確的是（ ）
A．圖象經(jīng)過點（﹣3，2）
B．圖象分別位于第二、四象限內(nèi)
C．在每個象限內(nèi)y的值隨x的值增大而增大
D．x≥﹣1時，y≥6
【答案】D
【解析】因為（﹣3）×2＝﹣6，
所以A正確，不符合題意；
因為反比例函數(shù)，
所以圖象分別位于第二、四象限內(nèi)；在每個象限內(nèi)y的值隨x的值增大而增大；
所以B、C正確，不符合題意；
當x≥﹣1時，y≥6或y＜0，
所以D錯誤，符合題意，故選：D．
【變式練3】（2024內(nèi)蒙古呼和浩特一模）點、在反比例函數(shù)的圖象上，若，則的取值范圍是______．
【答案】
【解析】反比例函數(shù)中k＞0，則同一象限內(nèi)y隨x的增大而減小，由于，得到，從而得到的取值范圍．
∵在反比例函數(shù)y=中，k＞0，
∴在同一象限內(nèi)y隨x增大而減小，
∵，
∴這兩個點在同一象限，
∴，
解得：，
故答案為：．
【點睛】此題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟悉反比例函數(shù)的增減性，當k＞0，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減??；當k＜0，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大．
【變式練4】（2024西藏一模）反比例函數(shù)經(jīng)過點，則下列說法錯誤的是（ ）
A．B．函數(shù)圖象分布在第一、三象限
C．當時，隨的增大而增大D．當時，隨的增大而減小
【答案】C
【解析】將點（2,1）代入中求出k值，再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)對四個選項逐一分析即可．
將點（2,1）代入中，解得：k=2，
A．k=2，此說法正確，不符合題意；
B．k=2﹥0,反比例函數(shù)圖象分布在第一、三象限，此說法正確，不符合題意；
C．k=2﹥0且x﹥0，函數(shù)圖象位于第一象限，且y隨x的增大而減小，此說法錯誤，符合題意；
D．k=2﹥0且x﹥0，函數(shù)圖象位于第一象限，且y隨x的增大而減小，此說法正確，不符合題意；
故選：C．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)，理解函數(shù)圖象上的點與解析式的關(guān)系是解答的關(guān)鍵．
考點2. 反比例函數(shù)解析式的確定（含k的幾何意義）
【例題2】（2024深圳）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形為菱形，，且點A落在反比例函數(shù)上，點B落在反比例函數(shù)上，則________．

【答案】8
【解析】本題主要考查反比例函數(shù)與幾何的綜合及三角函數(shù)；過點作軸的垂線，垂足分別為，然后根據(jù)特殊三角函數(shù)值結(jié)合勾股定理求得，，再求得點，利用待定系數(shù)法求解即可．
【詳解】過點作軸的垂線，垂足分別為，如圖，

∵，
∴，
∴設(shè)，則，
∴點，
∵點A在反比例函數(shù)上，
∴，
∴（負值已舍），則點，
∴，，
∴，
∵四邊形為菱形，
∴，，
∴點，
∵點B落在反比例函數(shù)上，
∴，
故答案為：8．
【變式練1】（2024福建一模）已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(2，﹣4)，那么這個反比例函數(shù)的解析式是( )
A．y=B．y=﹣C．y=D．y=﹣
【答案】D
【解析】設(shè)解析式y(tǒng)=，代入點(2,-4)求出即可．
設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=，將(2，-4)代入，得：-4=，
解得：k=-8，所以這個反比例函數(shù)解析式為y=-．故選：D．
【點睛】本題主要考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，求反比例函數(shù)解析式只需要知道其圖像上一點的坐標即可．
【變式練2】（2024青島一模）反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點A（m，），則反比例函數(shù)的表達
式為 ．
【答案】y＝．
【解析】∵反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點A（m，），
∴＝m．
∴m＝8，
∴反比例函數(shù)解析式為：y＝．
【變式練3】（2024深圳一模）如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的頂點A，B在x軸的正半軸上，反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象經(jīng)過頂點D，分別與對角線AC，邊BC交于點E，F(xiàn)，連接EF，AF．若點E為AC的中點，△AEF的面積為1，則k的值為（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】D
【解析】首先設(shè)A（a，0），表示出D（a，），再根據(jù)D，E，F(xiàn)都在雙曲線上，依次表示出坐標，再由S△AEF＝1，轉(zhuǎn)化為S△ACF＝2，列出等式即可求得．
解：設(shè)A（a，0），
∵矩形ABCD，
∴D（a，），
∵矩形ABCD，E為AC的中點，
則E也為BD的中點，
∵點B在x軸上，
∴E的縱坐標為，
∴，
∵E為AC的中點，
∴點C（3a，），
∴點F（3a，），
∵△AEF的面積為1，AE＝EC，
∴S△ACF＝2，
∴，
解得：k＝3．
【變式練4】（2024大連一模）如圖，直線AB與反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象交于A，B兩點，與x軸交于點C，且AB＝BC，連接OA．已知△OAC的面積為12，則k的值為 ．
【答案】8．
【解析】根據(jù)題意設(shè)B（，a），A（，2a），利用待定系數(shù)法表示出直線AB的解析式為y＝﹣x+3a，則C（，0），根據(jù)三角形面積公式得到××2a＝12，從而得到k的值．
解：設(shè)AM⊥x軸于M，BN⊥x軸于N，
∵AM∥BN，
∴＝，
∵AB＝BC，
∴＝，
設(shè)B（，a），A（，2a），
設(shè)直線AB的解析式為y＝mx+n，
∴，解得，
∴直線AB的解析式為y＝﹣x+3a，
當y＝0時，﹣x+3a＝0，解得x＝，
∴C（，0），
∵△OAC的面積為12，
∴××2a＝12，
∴k＝8．
考點3. 一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合問題
【例題3】（2024山東威海）如圖，在平面直角坐標系中，直線與雙曲線交于點，．則滿足的的取值范圍______．
【答案】或
【解析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，根據(jù)圖象解答即可求解，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．
由圖象可得，當或時，，
∴滿足的的取值范圍為或．
【變式練1】（2024山東濱州一模）在同一平面直角坐標系中，函數(shù)與 （k為常數(shù)且）的圖象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根據(jù)題意中的函數(shù)解析式和函數(shù)圖象的特點，可以判斷哪個選項中的圖象是正確的．
根據(jù)函數(shù)可得，該函數(shù)圖象與y軸的交點在x軸上方，排除B、D選項，
當k＞0時，函數(shù)的圖象在第一、二、三象限，函數(shù)在第二、四象限，故選項A正確，故選：A．
【點睛】本題考查反比例函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
【變式練2】（2024湖南益陽一模）如圖，已知點A是一次函數(shù)y＝2x﹣4的圖象與x軸的交點，將點A向上平移2個單位后所得點B在某反比例函數(shù)圖象上．
（1）求點A的坐標；
（2）確定該反比例函數(shù)的表達式．
【答案】（1）（2，0）；（2）y＝．
【解析】（1）把y＝0代入一次函數(shù)y＝2x﹣4，求出x，即可得到點A的坐標；
（2）根據(jù)平移的性質(zhì)求出點B的坐標，設(shè)所求反比例函數(shù)解析式為y＝，將B點坐標代入，即可求出該反比例函數(shù)的表達式．
解：（1）∵點A是一次函數(shù)y＝2x﹣4的圖象與x軸的交點，
∴當y＝0時，2x﹣4＝0，解得x＝2，
∴點A的坐標為（2，0）；
（2）將點A（2，0）向上平移2個單位后得點B（2，2）．
設(shè)過點B的反比例函數(shù)解析式為y＝，
則2＝，解得k＝4，
∴該反比例函數(shù)的表達式為y＝．
考點4. 反比例函數(shù)與幾何圖形結(jié)合
【例題4】（2024江蘇蘇州）如圖，點A為反比例函數(shù)圖象上的一點，連接，過點O作的垂線與反比例的圖象交于點B，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，三角形相似的判定和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．過A作軸于C，過B作軸于D，證明，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方求解即可．
【詳解】解：過A作軸于C，過B作軸于D，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴（負值舍去），故選：A．
【變式練1】（2024黑龍江齊齊哈爾一模）如圖，點A是反比例函數(shù)圖象上一點，過點A作AB⊥y軸于點D，且點D為線段AB的中點．若點C為x軸上任意一點，且△ABC的面積為4，則k=_______．
【答案】
【解析】設(shè)點，利用即可求出k的值．
設(shè)點，
∵點D為線段AB的中點．AB⊥y軸
∴，
又∵，
∴．
【點睛】本題考查利用面積求反比例函數(shù)的k的值，解題的關(guān)鍵是找出．
【變式練2】（2024山西一模）如圖，平行四邊形的頂點在軸的正半軸上，點在對角線上，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過、兩點．已知平行四邊形的面積是，則點的坐標為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如圖，分別過點D、B作DE⊥x軸于點E，DF⊥x軸于點F，延長BC交y軸于點H
∵四邊形是平行四邊形∴易得CH=AF
∵點在對角線上，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過、兩點
∴ 即反比例函數(shù)解析式為∴設(shè)點C坐標為
∵ ∴ ∴ ∴∴
∴，點B坐標為
∵平行四邊形的面積是∴解得（舍去）
∴點B坐標為故應(yīng)選：B
【點睛】本題是反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合問題，涉及到相似三角形的的性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)，解答關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造方程求解．
考點5. 反比例函數(shù)的實際應(yīng)用
【例題5】（2024河北?。┕?jié)能環(huán)保已成為人們的共識．淇淇家計劃購買500度電，若平均每天用電x度，則能使用y天．下列說法錯誤的是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若x減小，則y也減小D. 若x減小一半，則y增大一倍
【答案】C
【解析】本題考查的是反比例函數(shù)的實際應(yīng)用，先確定反比例函數(shù)的解析式，再逐一分析判斷即可．
∵淇淇家計劃購買500度電，平均每天用電x度，能使用y天．
∴，
∴，
當時，，故A不符合題意；
當時，，故B不符合題意；
∵，，
∴當x減小，則y增大，故C符合題意；
若x減小一半，則y增大一倍，表述正確，故D不符合題意；故選：C．
【變式練1】（2024湖北宜昌一模）已知經(jīng)過閉合電路的電流（單位：）與電路的電阻（單位：）是反比例函數(shù)關(guān)系．根據(jù)下表判斷和的大小關(guān)系為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根據(jù)電流與電路的電阻是反比例函數(shù)關(guān)系，由反比例函數(shù)圖像是雙曲線，在同一象限內(nèi)x和y的變化規(guī)律是單調(diào)的，即可判斷
∵電流與電路的電阻是反比例函數(shù)關(guān)系
由表格：；
∴在第一象限內(nèi)，I隨R的增大而減小
∵
∴
【點睛】本題考查雙曲線圖像的性質(zhì)；解題關(guān)鍵是根據(jù)表格判斷出雙曲線在第一象限，單調(diào)遞減.
【變式練2】 （2024山西一模）根據(jù)物理學(xué)知識，在壓力不變的情況下，某物體承受的壓強是它的受力面積的反比例函數(shù)，其函數(shù)圖象如圖所示，當時，該物體承受的壓強p的值為_________ Pa．
【答案】400
【解析】先根據(jù)待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式，再把S=0.25代入，問題得解．
設(shè)反比例函數(shù)的解析式為，
由圖象得反比例函數(shù)經(jīng)過點（0.1,1000），
∴，
∴反比例函數(shù)的解析式為，
當S=0.25時，．
【點睛】考查反比例函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．
考點1. 反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)
1. （2024廣西）已知點，在反比例函數(shù)的圖象上，若，則
有（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象，熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征是解題的關(guān)鍵．根據(jù)點，在反比例函數(shù)圖象上，則滿足關(guān)系式，橫縱坐標的積等于2，結(jié)合即可得出答案．
【詳解】 點，在反比例函數(shù)的圖象上，
，，
，
，，
．故選：A．
2.（2024廣州） 如圖，平面直角坐標系中，矩形的頂點在函數(shù)的圖象上，，．將線段沿軸正方向平移得線段（點平移后的對應(yīng)點為），交函數(shù)的圖象于點，過點作軸于點，則下列結(jié)論：
①；
②的面積等于四邊形的面積；
③的最小值是；
④．
其中正確的結(jié)論有______．（填寫所有正確結(jié)論的序號）
【答案】①②④
【解析】由，可得，故①符合題意；如圖，連接，，，與的交點為，利用的幾何意義可得的面積等于四邊形的面積；故②符合題意；如圖，連接，證明四邊形為矩形，可得當最小，則最小，設(shè)，可得的最小值為，故③不符合題意；如圖，設(shè)平移距離為，可得，證明，可得，再進一步可得答案．
【詳解】∵，，四邊形是矩形；
∴，
∴，故①符合題意；
如圖，連接，，，與的交點為，
∵，
∴，
∴，
∴的面積等于四邊形的面積；故②符合題意；
如圖，連接，
∵軸，，
∴四邊形為矩形，
∴，
∴當最小，則最小，
設(shè)，
∴，
∴，
∴的最小值為，故③不符合題意；
如圖，設(shè)平移距離為，
∴，
∵反比例函數(shù)為，四邊形為矩形，
∴，，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故④符合題意；
故答案為：①②④
【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，平移的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．
3. （2024貴州?。┮阎c在反比例函數(shù)的圖象上．
（1）求反比例函數(shù)的表達式；
（2）點，，都在反比例函數(shù)的圖象上，比較a，b，c的大小，并說明理由．
【答案】（1）
（2），理由見解析
【解析】本題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)圖象上點的坐標特點，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，關(guān)鍵是掌握凡是函數(shù)圖象經(jīng)過的點必能滿足解析式．
（1）把點代入可得k的值，進而可得函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)反比例函數(shù)表達式可得函數(shù)圖象位于第一、三象限，再根據(jù)點A、點B和點C的橫坐標即可比較大小．
【小問1詳解】
解：把代入，得，
∴，
∴反比例函數(shù)的表達式為；
【小問2詳解】
解：∵，
∴函數(shù)圖象位于第一、三象限，
∵點，，都在反比例函數(shù)的圖象上，，
∴，
∴．
考點2. 反比例函數(shù)解析式的確定（含k的幾何意義）
1. （2024湖南?。┰谝欢l件下，樂器中弦振動的頻率f與弦長l成反比例關(guān)系，即（k為常數(shù)．），若某樂器的弦長l為0.9米，振動頻率f為200赫茲，則k的值為________．
【答案】180
【解析】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，把，代入求解即可．
【詳解】把，代入，得，
解得，
故答案為：180．
2. （2024江蘇連云港）杠桿平衡時，“阻力阻力臂動力動力臂”．已知阻力和阻力臂分別為和，動力為，動力臂為．則動力關(guān)于動力臂的函數(shù)表達式為__________．
【答案】
【解析】本題考查了根據(jù)實際問題列反比例函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)題意可得，進而即可求解，掌握杠桿原理是解題的關(guān)鍵．
由題意可得，，
∴，即，
故答案為：．
3. （2024黑龍江齊齊哈爾）如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過平行四邊形的頂點，在軸上，若點，，則實數(shù)的值為______．
【答案】
【解析】本題考查了反比例函數(shù)，根據(jù)的縱坐標相同以及點在反比例函數(shù)上得到的坐標，進而用代數(shù)式表達的長度，然后根據(jù)列出一元一次方程求解即可．
【詳解】是平行四邊形
縱坐標相同
的縱坐標是
在反比例函數(shù)圖象上
將代入函數(shù)中，得到
的縱坐標為
即：
解得：
4. （2024江蘇揚州）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為，點B在反比例函數(shù)的圖像上，軸于點C，，將沿翻折，若點C的對應(yīng)點D落在該反比例函數(shù)的圖像上，則k的值為_____．
【答案】
【解析】本題考查了反比例函數(shù)的幾何意義，掌握求解的方法是解題的關(guān)鍵．
如圖，過點作軸于點．根據(jù)，，設(shè)，則，由對稱可知，，即可得，，解得，根據(jù)點B的對應(yīng)點D落在該反比例函數(shù)的圖像上，即可列方程求解；
【詳解】解：如圖，過點作軸于點．
∵點A的坐標為，
∴，
∵，軸，
設(shè)，則，
由對稱可知，，
∴，
∴，，
∴，
∵點B的對應(yīng)點D落在該反比例函數(shù)的圖像上，
∴，
解得：，
∵反比例函數(shù)圖象在第一象限，
∴
5. （2024黑龍江綏化）如圖，已知點，，，在平行四邊形中，它的對角線與反比例函數(shù)的圖象相交于點，且，則______．
【答案】
【解析】本題考查了反比例函數(shù)與平行四邊形綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定，分別過點，作軸的垂線，垂足分別為，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，證明得出，，進而可得，即可求解．
【詳解】如圖所示，分別過點，作軸的垂線，垂足分別為，
∵四邊形是平行四邊形，點，，，
∴，
∴，即，則，
∵軸，軸，
∴
∴
∴
∴，
∴
∴
故答案為：．
考點3. 一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合問題
1. （2024黑龍江大慶）在同一平面直角坐標系中，函數(shù)與的大致圖象
為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象，根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)，逐項分析判斷，即可求解．
∵
當時，一次函數(shù)經(jīng)過第一、二、三象限，
當時，一次函數(shù)經(jīng)過第一、三、四象限
A.一次函數(shù)中，則當時，函數(shù)圖象在第四象限，不合題意，
B.一次函數(shù)經(jīng)過第二、三、四象限，不合題意，
一次函數(shù)中，則當時，函數(shù)圖象在第一象限，故C選項正確，D選項錯誤，故選：C．
2. （2024山東棗莊）列表法、表達式法、圖像法是三種表示函數(shù)的方法，它們從不同角度反映了自變量與函數(shù)值之間的對應(yīng)關(guān)系．下表是函數(shù)與部分自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系：
（1）求、的值，并補全表格；
（2）結(jié)合表格，當?shù)膱D像在的圖像上方時，直接寫出的取值范圍．
【答案】（1），補全表格見解析
（2）的取值范圍為或；
【解析】
【小問1詳解】
解：當時，，即，
當時，，即，
∴，
解得：，
∴一次函數(shù)為，
當時，，
∵當時，，即，
∴反比例函數(shù)為：，
當時，，
當時，，
當時，，
補全表格如下：
【小問2詳解】
由表格信息可得：兩個函數(shù)的交點坐標分別為，，
∴當?shù)膱D像在的圖像上方時，的取值范圍為或；
3. （2024湖北?。┮淮魏瘮?shù)經(jīng)過點，交反比例函數(shù)于點．
（1）求；
（2）點在反比例函數(shù)第一象限的圖象上，若，直接寫出的橫坐標的取值范圍．
【答案】（1），，； （2）．
【解析】
小問1詳解】
解：∵一次函數(shù)經(jīng)過點，點，
∴，
解得，
∴點，
∵反比例函數(shù)經(jīng)過點，
∴；
【小問2詳解】
解：∵點，點，
∴，
∴，，
由題意得，
∴，
∴，
∴的橫坐標的取值范圍為．
4. （2024四川巴中）如圖，在平面直角坐標系中，直線與反比例函數(shù)的圖象交于兩點，點的橫坐標為1．
（1）求的值及點的坐標．
（2）點是線段上一點，點在直線上運動，當時，求的最小值．
【答案】（1）， （2）
【解析】【分析】（1）先求解A的坐標，再求解反比例函數(shù)解析式，再聯(lián)立兩個解析式可得B的坐標；
（2）由，證明，可得，求解,證明，如圖，當時，最短；再進一步利用勾股定理與等面積法求解即可；
【小問1詳解】
解：∵直線與反比例函數(shù)的圖象交于兩點，點的橫坐標為1．
∴，
∴,
∴，
∴反比例函數(shù)為：；
∴，
解得：，，
∴；
【小問2詳解】
解：∵，
∴，
∵，，
∴，,
∴，
∴，，
如圖，當時，最短；
∴；
【點睛】本題考查是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合，求解函數(shù)解析式，一元二次方程的解法，勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，理解題意是解本題的關(guān)鍵.
5.（2024甘肅威武） 如圖，在平面直角坐標系中，將函數(shù)的圖象向上平移3個單位長度，得到一次函數(shù)的圖象，與反比例函數(shù)的圖象交于點．過點作x軸的平行線分別交與的圖象于C，D兩點．
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；
（2）連接，求的面積．
【答案】（1）一次函數(shù)的解析式為；反比例函數(shù)的解析式為；
（2）
【解析】【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合：
（1）先根據(jù)一次函數(shù)圖象的平移規(guī)律，再把點A的坐標分別代入對應(yīng)的一次函數(shù)解析式和反比例函數(shù)解析式中，利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先分別求出C、D的坐標，進而求出的長，再根據(jù)三角形面積計算公式求解即可．
【小問1詳解】
解：∵將函數(shù)的圖象向上平移3個單位長度，得到一次函數(shù)的圖象，
∴，
把代入中得：，解得，
∴一次函數(shù)的解析式為；
把代入中得：，解得，
∴反比例函數(shù)的解析式為；
【小問2詳解】
解：∵軸，，
∴點C和點D的縱坐標都為2，
在中，當時，，即；
在中，當時，，即；
∴，
∵，
∴．
6. （2024江蘇連云港）如圖1，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于點A、B，與軸交于點C，點A的橫坐標為2．
（1）求的值；
（2）利用圖像直接寫出時的取值范圍；
（3）如圖2，將直線沿軸向下平移4個單位，與函數(shù)的圖像交于點D，與軸交于點E，再將函數(shù)的圖像沿平移，使點A、D分別平移到點C、F處，求圖中陰影部分的面積．
【答案】（1） （2）或 （3）8
【解析】【分析】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用：
（1）先求出點坐標，再將點代入一次函數(shù)的解析式中求出的值即可；
（2）圖像法求不等式的解集即可；
（3）根據(jù)平移的性質(zhì)，得到陰影部分的面積即為的面積，進行求解即可．
【小問1詳解】
點在的圖像上，
當時，．
∴，
將點代入，得．
【小問2詳解】
由（1）知：，
聯(lián)立，解得：或，
∴；
由圖像可得：時的取值范圍為：或．
【小問3詳解】
∵，
∴當時，，
∴，
∵將直線沿軸向下平移4個單位，
∴，直線的解析式為：，設(shè)直線與軸交于點H
∴當時，，當時，，
∴，，
∴，
∴，
如圖，過點作，垂足為，
∴．
又，，
．
連接，
∵平移，
∴，，
∴四邊形為平行四邊形，
∴陰影部分面積等于的面積，即．
7.（2024甘肅臨夏）如圖，直線與雙曲線交于，兩點，已知點坐標為．
（1）求，的值；
（2）將直線向上平移個單位長度，與雙曲線在第二象限的圖象交于點，與軸交于點，與軸交于點，若，求的值．
【答案】（1） （2）
【解析】
【小問1詳解】
解：∵點A在反比例函數(shù)圖象上，
∴，解得，
將代入，
；
【小問2詳解】
解：如圖，過點C作軸于點F，
，
，，
，
，
，，
∵直線向上平移m個單位長度得到，
令，得，令，得，
，，
，，
，
雙曲線過點C，
，
解得或（舍去），
．
【點睛】本題是反比例函數(shù)的綜合題，考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，全等三角形的判定和性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，正確表示點C的坐標是解題的關(guān)鍵．
考點4. 反比例函數(shù)與幾何圖形結(jié)合
1. （2024四川宜賓）如圖，等腰三角形中，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A、B及的中點M，軸，與y軸交于點N．則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】作過作的垂線垂足為，與軸交于點，如圖，
在等腰三角形ABC中，，是中點，
設(shè)，，
由中點為，，故等腰三角形中，
∴，
∴，
∵AC的中點為M，
∴，即，
由在反比例函數(shù)上得，
∴，
解得：，
由題可知，，
∴．
故選：B．
2. （2024江西?。┤鐖D，是等腰直角三角形，，雙曲線經(jīng)過點B，過點作x軸的垂線交雙曲線于點C，連接．
（1）點B的坐標為______；
（2）求所在直線的解析式．
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】題目主要考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合問題，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)的相應(yīng)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
（1）過點B作軸，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出，即可確定點B的坐標；
（2）根據(jù)點確定反比例函數(shù)解析式，然后即可得出，再由待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式即可．
【小問1詳解】
解：過點B作軸于D，如圖所示：
∵是等腰直角三角形，，，
∴，
∴，
∴，
故答案為：；
【小問2詳解】
由（1）得，代入，
得，
∴，
∵過點作x軸的垂線交雙曲線于點C，
∴當時，，
∴，
設(shè)直線的解析式為，將點B、C代入得：
，解得，
∴直線的解析式為．
3. （2024江蘇蘇州） 如圖，中，，，，，反比例函數(shù)的圖象與交于點，與交于點E．

（1）求m，k的值；
（2）點P為反比例函數(shù)圖象上一動點（點P在D，E之間運動，不與D，E重合），過點P作，交y軸于點M，過點P作軸，交于點N，連接，求面積的最大值，并求出此時點P的坐標．
【答案】（1），
（2）最大值是，此時
【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)，反比例函數(shù)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是：
（1）先求出B的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出直線的函數(shù)表達式，把D的坐標代入直線的函數(shù)表達式求出m，再把D的坐標代入反比例函數(shù)表達式求出k即可；
（2）延長交y軸于點Q，交于點L．利用等腰三角形的判定與性質(zhì)可得出，設(shè)點P的坐標為，，則可求出，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【小問1詳解】
解： ，，
．
又，
．
，
點．
設(shè)直線的函數(shù)表達式為，
將，代入，得，
解得，
∴直線的函數(shù)表達式為．
將點代入，得．
．
將代入，得．
【小問2詳解】
解：延長交y軸于點Q，交于點L．

，，
．
軸，
，．
，
，
，
．
設(shè)點P的坐標為，，則，．
．
．
當時，有最大值，此時．
4. （2024山東煙臺）如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點，將正比例函數(shù)圖象向下平移個單位后，與反比例函數(shù)圖象在第一、三象限交于點B，C，與x軸，y軸交于點D，E，且滿足．過點B作軸，垂足為點F，G為x軸上一點，直線與關(guān)于直線成軸對稱，連接．
（1）求反比例函數(shù)的表達式；
（2）求n的值及的面積．
【答案】（1） （2），
【解析】【分析】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用：
（1）先求出的值，進而求出反比例函數(shù)的解析式即可；
（2）根據(jù)平移規(guī)則，得到平移后的解析式，聯(lián)立兩個解析式，表示出的坐標，過點，作軸的平行線交軸于點,根據(jù)，進而求出的值，進而根據(jù)對稱性得出，勾股定理求得，進而求得的長，即可求解．
【小問1詳解】
解：∵正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點，
∴，
∴，
∴；
∴；
【小問2詳解】
∵
∴
∴
∴
∵將正比例函數(shù)圖象向下平移個單位，
∴平移后的解析式為：，
如圖所示，過點，作軸的平行線交軸于點，則，是等腰直角三角形，
∴
∴
∴
設(shè)，則
∴，
∴，
∵，，在上
∴
解得：（負值舍去）
∴，
∴的解析式為，
當時，，則，
∴，，則
∵直線與關(guān)于直線成軸對稱，軸，
∴，和是等腰直角三角形，
∴
∴，
∵和是等腰直角三角形，
∴
∴
5. （2024江蘇鹽城）小明在草稿紙上畫了某反比例函數(shù)在第二象限內(nèi)的圖像，并把矩形直尺放在上面，如圖．
請根據(jù)圖中信息，求：
（1）反比例函數(shù)表達式；
（2）點C坐標．
【答案】（1）
（2）
【解析】【分析】本題考查反比例函數(shù)、銳角三角函數(shù)：
（1）設(shè)反比例函數(shù)表達式為，將點A的坐標代入表達式求出k值即可；
（2）設(shè)點C的坐標為，則，，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，進而根據(jù)求出m的值即可．
小問1詳解】
解：由圖可知點A的坐標為，
設(shè)反比例函數(shù)表達式為，
將代入，得：，解得，
因此反比例函數(shù)表達式為；
【小問2詳解】
解：如圖，作軸于點E，軸于點D，
由圖可得，，
設(shè)點C的坐標為，則，，
，
矩形直尺對邊平行，
，
，
，即，
解得或，
點C在第二象限，
，，
點C坐標為．
考點5. 反比例函數(shù)的實際應(yīng)用
1. （2024吉林省）已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示．
（1）求這個反比例函數(shù)的解析式（不要求寫出自變量R的取值范圍）．
（2）當電阻R為時，求此時的電流I．
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的實際應(yīng)用：
（1）直接利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）根據(jù)（1）所求求出當時I的值即可得到答案．
【小問1詳解】
解：設(shè)這個反比例函數(shù)的解析式為，
把代入中得：，
解得，
∴這個反比例函數(shù)的解析式為；
【小問2詳解】
解：在中，當時，，
∴此時的電流I為．
考點1. 反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)
1．已知點A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在反比例函數(shù)y＝（k＜0）的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為（ ）
A．y3＜y2＜y1B．y1＜y3＜y2C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y1
【答案】C
【解析】∵，k＜0，
∴函數(shù)圖象的兩個分支分別在第二、四象限內(nèi)，且在每一個象限內(nèi)y隨x的增大而增大，
又∵點A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3），
∴點A，B在第二象限內(nèi)，點C在第四象限內(nèi)，
∴y1＞0，y2＞0，y3＜0，
又∵﹣4＜﹣2，
∴y1＜y2，
∴y3＜y1＜y2．故選：C．
2.若點A（1，1）、B（2，2）是雙曲線上的點，則1 2（填“＞”，“＜”或“=”）．
【答案】＞
【解析】∵比例函數(shù)中=3＞0，∴此函數(shù)圖象在一、三象限，且在每一象限內(nèi)隨的增大而減小，∵點A（1，1）、B（2，2）是此雙曲線上的點，2＞1＞0，∴A、B兩點在第一象限，由2＞1，得1＞。
3.若點，在反比例函數(shù)的圖象上，且，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．或
【答案】B
【解析】∵反比例函數(shù)，∴圖象經(jīng)過第二、四象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，
①若點A、點B同在第二或第四象限，∵，∴a-1＞a+1，此不等式無解；
②若點A在第二象限且點B在第四象限，∵，∴，解得：；
③由y1＞y2，可知點A在第四象限且點B在第二象限這種情況不可能．
綜上，的取值范圍是．故選：B．
【點睛】本題考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意要分情況討論，不要遺漏．
考點2. 反比例函數(shù)解析式的確定（含k的幾何意義）
1．如圖，矩形OABC的面積是4，點B在反比例函數(shù)的圖象上．則此反比例函數(shù)的解析式為 ．
【答案】y＝．
【解析】設(shè)BC＝a，AB＝b，則B點坐標為（﹣a，﹣b），AB?BC＝ab＝4，
將點B（﹣a，﹣b）代入y＝中，得k＝xy＝（﹣a）×（﹣b）＝ab＝4，
∴y＝．
2. 如圖，點A在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，過點A作AB⊥x軸于點B，若△OAB的面積為3，則k＝_______．
【答案】6
【解析】設(shè)點的坐標為，則，先利用三角形的面積公式可得，再將點代入反比例函數(shù)的解析式即可得．
由題意，設(shè)點的坐標為，
軸于點，
，
的面積為3，
，
解得，
將點代入得：
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的比例系數(shù)與幾何面積，熟練掌握反比例函數(shù)的幾何應(yīng)用是解題關(guān)鍵．
3. 如圖，過的圖象上點A，分別作x軸，y軸的平行線交的圖象于B，D兩點，以，為鄰邊的矩形被坐標軸分割成四個小矩形，面積分別記為，，，，若，則的值為（ ）

A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】【分析】設(shè)，則，，，根據(jù)坐標求得，，推得，即可求得．
【詳解】設(shè)，則，，
∵點A在的圖象上
則，
同理∵B，D兩點在的圖象上，
則
故，
又∵，
即，
故，∴，故選：C．
【點睛】考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，矩形的面積公式等，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4. 如圖，正方形的頂點A，B在y軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點C和的中點E，若，則k的值是（ ）

A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】由正方形的性質(zhì)得，可設(shè)，，根據(jù)可求出的值．
【詳解】∵四邊形是正方形，
∵
∵點為的中點，
∴
設(shè)點C的坐標為，則,
∴，
∵點C，E在反比例函數(shù)的圖象上，
∴，
解得，，故選：B．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征：反比例函數(shù)（k為常數(shù)，）的圖象是雙曲線，圖象上的點的橫縱坐標的積是定值k，即．
5．已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(2，﹣4)，那么這個反比例函數(shù)的解析式是( )
A．y=B．y=﹣C．y=D．y=﹣
【答案】D
【解析】設(shè)解析式y(tǒng)=，代入點(2,-4)求出即可．
設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=，將(2，-4)代入，得：-4=，
解得：k=-8，所以這個反比例函數(shù)解析式為y=-．故選：D．
【點睛】本題主要考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，求反比例函數(shù)解析式只需要知道其圖像上一點的坐標即可．
考點3. 一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合問題
1. 一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一坐標系中的大致圖象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】一次函數(shù)與y軸交點為（0，1），A選項中一次函數(shù)與y軸交于負半軸，故錯誤；
B選項中，根據(jù)一次函數(shù)y隨x增大而減小可判斷a0，即a0，反比例函數(shù)過一、三象限，則-a>0，即a

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