TOC \ "1-3" \n \h \z \u
\l "_Tc157544735" 題型01 判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系
\l "_Tc157544736" 題型02 根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系求半徑
\l "_Tc157544737" 題型03 判斷直線與圓的位置關(guān)系
\l "_Tc157544738" 題型04 根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求半徑
\l "_Tc157544739" 題型05 根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求點(diǎn)到直線的距離
\l "_Tc157544740" 題型06 求圓平移到與直線相切時(shí)圓心坐標(biāo)
\l "_Tc157544741" 題型07 求圓平移到與直線相切時(shí)運(yùn)動(dòng)距離
\l "_Tc157544742" 題型08 圓和圓的位置關(guān)系
\l "_Tc157544743" 題型09 判斷或補(bǔ)全使直線成為切線的條件
\l "_Tc157544744" 題型10 利用切線的性質(zhì)求線段長(zhǎng)
\l "_Tc157544745" 題型11 利用切線的性質(zhì)求角度
\l "_Tc157544746" 題型12 證明某條直線時(shí)圓的切線
\l "_Tc157544747" 題型13 利用切線的性質(zhì)定理證明
\l "_Tc157544748" 題型14 切線的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用
\l "_Tc157544749" 題型15 作圓的切線
\l "_Tc157544750" 題型16 應(yīng)用切線長(zhǎng)定理求解
\l "_Tc157544751" 題型17 應(yīng)用切線長(zhǎng)定理求證
\l "_Tc157544752" 題型18 判斷三角形外接圓圓心位置
\l "_Tc157544753" 題型19 求外心坐標(biāo)
\l "_Tc157544754" 題型20 求特殊三角形外接圓的半徑
\l "_Tc157544755" 題型21 由三角形的內(nèi)切圓求長(zhǎng)度
\l "_Tc157544756" 題型22 由三角形的內(nèi)切圓求角度
\l "_Tc157544757" 題型23 由三角形的內(nèi)切圓求周長(zhǎng)、面積
\l "_Tc157544758" 題型24 求三角形的內(nèi)切圓半徑
\l "_Tc157544759" 題型25 直角三角形周長(zhǎng)、面積和內(nèi)切圓半徑的關(guān)系
\l "_Tc157544760" 題型26 三角形內(nèi)心有關(guān)的應(yīng)用
\l "_Tc157544761" 題型27 三角形外接圓與內(nèi)切圓綜合
題型01 判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系
1．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）已知⊙O的半徑為5，當(dāng)線段OA=6時(shí)，則點(diǎn)A與⊙O的位置關(guān)系是（ ）
A．在圓上B．在圓外C．在圓內(nèi)D．不能確定
【答案】B
【分析】根據(jù)點(diǎn)A到圓心的距離大于半徑即可求解．
【詳解】解：∵OA=6>5，
∴A點(diǎn)在圓外，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，掌握點(diǎn)到圓心的距離大于半徑時(shí)點(diǎn)在圓外，等于半徑時(shí)點(diǎn)在圓上，小于半徑時(shí)點(diǎn)在圓內(nèi)是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·廣東廣州·廣州大學(xué)附屬中學(xué)?？家荒＃┮阎袿的半徑是8，點(diǎn)P到圓心O的距離d為方程x2-4x-5=0的一個(gè)根，則點(diǎn)P在（ ）
A．⊙O的內(nèi)部B．⊙O的外部
C．⊙O上或⊙O的內(nèi)部D．⊙O上或⊙O的外部
【答案】A
【分析】先解一元二次方程，得到d值，再比較d與半徑8的大小，若d>8，則點(diǎn)P在⊙O的外部，若d2，
∴⊙C1與AB相離；
∵1255，
∴點(diǎn)F在圓O外，點(diǎn)D、E在圓O上，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的外接圓圓心在斜邊的中點(diǎn)上，以及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解題關(guān)鍵是關(guān)鍵網(wǎng)格的特點(diǎn)找到圓心的位置．
65．（2018·廣東汕尾·校考三模）如圖所示，要把殘破的輪片復(fù)制完整，已知弧上的三點(diǎn)A，B，C．

(1)用尺規(guī)作圖法找出所在圓的圓心；（保留作圖痕跡，不寫作法）
(2)設(shè)△ABC是等腰三角形，底邊BC=8cm，腰AB=5cm，求圓片的半徑R．
【答案】(1)見解析
(2)256cm
【分析】（1）作兩弦的垂直平分線，其交點(diǎn)即為圓心O；
（2）構(gòu)建直角△BOE，利用勾股定理列方程可得結(jié)論．
【詳解】（1）解：作法：分別作AB和AC的垂直平分線，設(shè)交點(diǎn)為O，則O為所求圓的圓心；

（2）連接AO、BO，AO交BC于E，
∵AB=AC，
∴AE⊥BC，
∴BE=12BC=12×8=4，
在Rt△ABE中，AE=AB2-BE2=52-42=3，
設(shè)⊙O的半徑為R，在Rt△BEO中，
∴OB2=BE2+OE2，
即R2=42+R-32，
∴R=256，
答：圓片的半徑R為256cm．
【點(diǎn)睛】本題綜合考查了垂徑定理，勾股定理、線段垂直平分線的尺規(guī)作圖等知識(shí)點(diǎn)，要注意作圖和解題中垂徑定理的應(yīng)用．
題型19 求外心坐標(biāo)
66．（2022·山東棗莊·?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，A0,-3，B2,-1，C2,3．則△ABC的外心坐標(biāo)為（ ）
A．0,0B．-1,1C．-2,-1D．-2,1
【答案】D
【分析】由BC兩點(diǎn)的坐標(biāo)可以得到直線BC∥y軸，則直線BC的垂直平分線為直線y=1，再由外心的定義可知△ABC外心的縱坐標(biāo)為1，則設(shè)△ABC的外心為P（a，-1），利用兩點(diǎn)距離公式和外心的性質(zhì)得到PA2=a2+1+32=a2+16=PB2=a-22+1+12=a2-4a+8，由此求解即可．
【詳解】解：∵B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1），C點(diǎn)坐標(biāo)為（2， 3），
∴直線BC∥y軸，
∴直線BC的垂直平分線為直線y=1，
∵外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，
∴△ABC外心的縱坐標(biāo)為1，
設(shè)△ABC的外心為P（a，1），
∴PA2=a2+1+32=a2+16=PB2=a-22+1+12=a2-4a+8，
∴a2+16=a2-4a+8，
解得a=-2，
∴△ABC外心的坐標(biāo)為（-2， 1），
故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，外心的性質(zhì)與定義，兩點(diǎn)距離公式，解題的關(guān)鍵在于能夠熟知外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)．
67．（2022·湖北武漢·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)三點(diǎn)A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P經(jīng)過點(diǎn)A、B、C，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ）
A．（6，8）B．（4，5）C．（4，318）D．（4，338）
【答案】C
【分析】先由題意可知，點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，可確定P的橫坐標(biāo)為4；設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，y），如圖作PE⊥OB于E，PF⊥OC于F，運(yùn)用勾股定理求得y即可．
【詳解】解：∵⊙P經(jīng)過點(diǎn)A、B、C，
∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，y），
作PE⊥OB于E，PF⊥OC于F，
由題意得：42+(y-4)2=12+y2，
解得，y=318，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是確定圓的條件，解題的關(guān)鍵是理解經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)作圓，圓心是過任意兩點(diǎn)的線段的垂直平分線的交點(diǎn)．
68．（2022·廣東深圳·統(tǒng)考二模）如圖，在單位長(zhǎng)度為1的正方形網(wǎng)格中建立直角坐標(biāo)系，一條圓弧恰好經(jīng)過網(wǎng)格點(diǎn)A、B、C，請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格圖中進(jìn)行下列操作（以下結(jié)果保留根號(hào)）：
(1)利用網(wǎng)格找出該圓弧所在圓的圓心D點(diǎn)的位置，則D點(diǎn)的坐標(biāo)為_______；
(2)連接AD、CD，若扇形DAC是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖，則該圓錐底面半徑為_______；
(3)連接AB，將線段AB繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)一周，求線段AB掃過的面積．
【答案】(1)（2，0）
(2)52
(3)4π
【分析】（1）線段AB與BC的垂直平分線的交點(diǎn)為D；
（2）連接AC，先判斷∠ADC=90°，則可求AC的弧長(zhǎng)，該弧長(zhǎng)即為圓錐底面圓的周長(zhǎng)，由此可求底面圓的半徑；
（3）設(shè)AB的中點(diǎn)為E，線段AB的運(yùn)動(dòng)軌跡是以D為圓心DA、DE分別為半徑的圓環(huán)面積．
【詳解】（1）解：過點(diǎn)（2，0）作x軸垂線，過點(diǎn)（5，3）作與BC垂直的線，
兩線的交點(diǎn)即為D點(diǎn)坐標(biāo)，
∴D（2，0），
故答案為：（2，0）；
（2）解：連接AC，
∵A（0，4），B（4，4），C（6，2），
∴AD=25，CD=25，AC=210，
∵AC2＝AD2+CD2，
∴∠ADC＝90°，
∴AC的長(zhǎng)=14×2π×25=5π，
∵扇形DAC是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖，
∴5π=2πr，
∴r=52，
故答案為：52；
（3）解：設(shè)AB的中點(diǎn)為E，
∴E（2，4），
∴DE＝4，
∴S＝π×（AD2﹣DE2）＝4π，
∴線段AB掃過的面積是4π.
,
【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的展開圖，垂徑定理，能夠由三點(diǎn)確定圓的圓心位置，理解圓錐展開圖與圓錐各部位的對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
題型20 求特殊三角形外接圓的半徑
69．（2023·遼寧阜新·統(tǒng)考一模）如圖，⊙O是等邊△ABC的外接圓，若AB=3，則⊙O的半徑是（ ）
A．32B．32C．3D．52
【答案】C
【分析】作直徑AD，連接CD，如圖，利用等邊三角形的性質(zhì)得到∠B=60°，關(guān)鍵圓周角定理得到∠ACD=90°，∠D=∠B=60°，然后利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求解．
【詳解】解：作直徑AD，連接CD，如圖，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B=60°，
∵AD為直徑，
∴∠ACD=90°，
∵∠D=∠B=60°，則∠DAC=30°，
∴CD=12AD，
∵AD2=CD2+AC2，即AD2=(12AD)2+32，
∴AD=23，
∴OA=OB=12AD=3．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓與外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心．也考查了等邊三角形的性質(zhì)、圓周角定理和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．
70．（2022·江蘇無錫·無錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，則△ABC的外接圓的半徑是 ．
【答案】258
【分析】通過作輔助線AD⊥BC，可將求△ABC外接圓的半徑轉(zhuǎn)化為求Rt△BOD的斜邊長(zhǎng)，再利用等腰三角形的性質(zhì)即可．
【詳解】解：如圖，作AD⊥BC，垂足為D，則O一定在AD上，
∴AD=52-32=4，
設(shè)OA=r，OB2=OD2+BD2，
即r2=4-r2+32，
解得r=258．
故答案為：258．
【點(diǎn)睛】此題主要考查等腰三角形外接圓半徑的求法，正確利用勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
71．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·校聯(lián)考一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=-12x2+bx+c的圖像與x軸交于點(diǎn)A-1,0和點(diǎn)B4,0，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)D．
(1)求二次函數(shù)表達(dá)式和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(2)連接AC、BC，求△ABC外接圓的半徑；
(3)點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PC，求PC+55PB的最小值；
(4)如圖2，點(diǎn)E為對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上一點(diǎn)，且點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為-3，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)，沿平行于x軸的直線a向右運(yùn)動(dòng)，連接EM，過點(diǎn)M作EM的垂線b，記直線b與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)為N，當(dāng)直線b與直線a重合時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)總路程．
【答案】(1)y=-12x2+32x+2，32,258
(2)52
(3)855
(4)10940
【分析】（1）把A-1,0和點(diǎn)B4,0代入y=-12x2+bx+c求出b和c的值，即可得出函數(shù)表達(dá)式，將其化為頂點(diǎn)式，即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式，求出AC2=5,BC2=20,AB2=25，根據(jù)勾股定理逆定理，得出∠ACB=90°，最后根據(jù)直角三角形的外心與斜邊中點(diǎn)重合，即可求解；
（3）過點(diǎn)P作PM⊥BC于點(diǎn)M，作BC關(guān)于x軸的對(duì)稱線段BC'，
則C'0,-2，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)M'在BC'，PM'⊥BC'，通過證明△BPM∽△BCO，得出PM=55PB，則PC+55PB=PC+PM=PC+PM'
當(dāng)點(diǎn)C、P、M'三點(diǎn)共線時(shí)，PC+55PB取最小值，即為CM″的長(zhǎng)度，用等面積法求出CM″的長(zhǎng)度即可；
（4）連接NE，先求出點(diǎn)E5,-3，根據(jù)D32,258，C0,2，可設(shè)Mm,2,N32,n，K32,2，再根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式得出KM2，KN2，ME2，NE2，然后根據(jù)勾股定理可得：KM2+KN2=MN2=NE2-ME2，即可得出n關(guān)于m的表達(dá)式10n=2m2-13m+35，將其化為頂點(diǎn)式后可得當(dāng)m134時(shí)，n隨m的增大而增大，再求出當(dāng)0≤m≤134時(shí)，點(diǎn)N經(jīng)過的路程為，以及當(dāng)134≤m≤5時(shí)，點(diǎn)N經(jīng)過的路程為，即可求解．
【詳解】（1）解：把A-1,0和點(diǎn)B4,0代入y=-12x2+bx+c得：
0=-12-b+c0=-8+4b+c，解得：b=32c=2，
∴該二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=-12x2+32x+2，
∵y=-12x2+32x+2=-12x-322+258，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為32,258；
（2）解：把x=0代入y=-12x2+32x+2得y=2，
∴C0,2，
∵A-1,0，B4,0，C0,2，
∴AC2=5,BC2=20,AB2=25，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC外接圓半徑=12AB=12×5=52；
（3）解：過點(diǎn)P作PM⊥BC于點(diǎn)M，作BC關(guān)于x軸的對(duì)稱線段BC'，
則C'0,-2，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)M'在BC'上，PM'⊥BC'，
∵∠CBO=∠PBM,∠PMB=∠COB，
∴△BPM∽△BCO，
∴PMPB=OCBC=225=55，
∴PM=55PB，
∴PC+55PB=PC+PM=PC+PM'
當(dāng)點(diǎn)C、P、M'三點(diǎn)共線且CM'⊥BC'時(shí)，PC+55PB取最小值，即為CM″的長(zhǎng)度，
∵S△BCC'=12?CC'?OB=12?BC'?CM''，
∴12×4×4=12×25×CM″
∴CM″=855，即PC+55PB的最小值為855．
（4）解：連接NE，
把y=-3代入y=-12x2+32x+2得-3=-12x2+32x+2，
解得：x1=5,x2=-2，
∴E5,-3，
∵D32,258，C0,2，
∴設(shè)Mm,2,N32,n，K32,2，
∴KM2=m-322，KN2=2-n2，ME2=5-m2+2+32，NE2=5-322+n+32，
根據(jù)勾股定理可得：KM2+KN2=MN2=NE2-ME2，
∴m-322+2-n2=5-322+n+32-5-m2+2+32，
整理得：10n=2m2-13m+35，
∴n=15m2-1310m+72=15m-1342+11180，
∴當(dāng)m134時(shí)，n隨m的增大而增大，
∵動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)，直線b與直線a重合時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，E5,-3，
∴0≤m≤5，
∵當(dāng)m=0時(shí)，n=72，
當(dāng)m=134時(shí)，n=11180，
當(dāng)m=5時(shí)，n=2，
∴當(dāng)0≤m≤134時(shí)，點(diǎn)N經(jīng)過的路程為：72-11180=16980，
當(dāng)134≤m≤5時(shí)，點(diǎn)N經(jīng)過的路程為：2-11180=4980，
∴點(diǎn)N經(jīng)過的總路程為：16980+4980=21880=10940．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，解題的關(guān)鍵是掌握用待定系數(shù)法求解函數(shù)表達(dá)式，直角三角形外接圓圓心為斜邊中點(diǎn)，胡不歸問題的解決方法，以及勾股定理和二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和勾股定理．
題型21 由三角形的內(nèi)切圓求長(zhǎng)度
72．（2022·陜西西安·校考模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，AB＝4，∠C＝45°，則2AC+BC的最大值為 ．
【答案】410.
【分析】根據(jù)題意，畫出ΔABC的外接圓，當(dāng)AC1為圓O的直徑時(shí)，2AC+BC有最大值，由等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理得到BC=4,AC=42，求解即可．
【詳解】解：過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，
∵∠C=45°，
∴△BCD為等腰直角三角形，
∴BD=CD，
設(shè)BD=CD=a,延長(zhǎng)AC至點(diǎn)F，使得CF=a,
作△ABF的外接圓⊙O，過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，則AE=1/2AB=2，∠AOE=∠AFB，
∴OE=4,OA=22+42=25,
∴2AC+BC=2(AC+22BC)=2(AC+CF)=2AF≤2(0A+OF)
∴2AC+BC=2AC+22BC的最大值為2×45=410.
故答案為：410.
【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外接圓、圓周角定理、等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
73．（2022·四川瀘州·二模）如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC，AC相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，已知AB＝6，AC＝5，BC＝7，則DE的長(zhǎng)是（ ）
A．1277B．1077C．977D．877
【答案】D
【分析】連接OD、OE、OB，OB交DE于H，作AG⊥BC交BC于點(diǎn)G，利用 AB2-BG2=AC2-CG2，求出BG=307，進(jìn)一步可得AG=1267，求出S△ABC=12AG·BC=66，設(shè)⊙O的半徑為r，利用S△ABC=126+7+5·r=66，求出r=263，求出BD=4，進(jìn)一求出OB=2423，再證明OB垂直平分DE，利用面積法可得12HE?OB=12OE?BE，求得HE長(zhǎng)即可求得答案．
【詳解】解：連接OD、OE、OB，OB交DE于H，作AG⊥BC交BC于點(diǎn)G，如圖，
∵AB＝6，AC＝5，BC＝7，
∴AB2-BG2=AC2-CG2，即62-BG2=52-7-BG2，解得：BG=307，
∴AG=AB2-BG2=1267，
∴S△ABC=12AG·BC=66，
設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，
則S△ABC=126+7+5·r=66，解得：r=263，
∵ △ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC，CA分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，
∴∠ODB=∠OEB=90°，
又∵OD=OE， OB=OB，
∴Rt△ODB≌△Rt△OEB，
∴BD=BE，
同理， CE=CF，AD=AF，
∵BE+CE=BC=7，
∴BD+BE+CE+CF=14，
∴2AD=(6+5+7)-14=4，即AD=2，
∴BD=4，
∴OB=BD2+OD2=2423，
∵BE=BD，OE=OD，
∴OB垂直平分DE，
∴DH=EH，OB⊥DE，
∵12HE·OB=12OE·BE，
∴HE=OE?BEOB=263×424232=477，
∴DE=2EH=877，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，面積法等，正確添加輔助線，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
74．（2022·云南文山·一模）如圖，BC是⊙O的直徑，點(diǎn)A是⊙O上的一點(diǎn)，點(diǎn)D是△ABC的內(nèi)心，若BC＝5，AC＝3，則BD的長(zhǎng)度為（ ）
A．2B．3C．10D．342
【答案】C
【分析】如圖，過點(diǎn)D分別作DE⊥AB于E，DF ⊥BC于F， DH⊥AC于H， 連接AD， CD，求出AB的長(zhǎng)，根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)，求出BE的長(zhǎng)，再根據(jù)S△ABC = S△ABD + S△BDC + S△ADC，求出DE的長(zhǎng)，由勾股定理即可得答案．
【詳解】解： 如下圖，過點(diǎn)D分別作DE⊥AB于E，DF ⊥BC于F， DH⊥AC于H， 連接AD， CD，
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BAC= 90°，
∵BC＝5，AC＝3，
∴AB=BC2-AC2=52-32=4 ，
∵點(diǎn)D是△ABC的內(nèi)心，
∴ DE= DF= DH，AE= АН，BE= BF，CF= CH，
設(shè)BE= x，則BF= x，AE=4- x，CF=5-x，CH=5-x，AН=4-x，
∵AC=3，
∴4-x+5-x=3，
解得：x=3
∴BE=3，
設(shè)DE= r，
∵S△ABC = S△ABD + S△BDC + S△ADC，
∴12r(3+4+5)=12×3×4 ，
解得：r= 1，
∴ DE= 1，
在Rt△BDE中，BD=BE2+DE2=32+12=10 ，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，內(nèi)心的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作垂線，構(gòu)造直角．
75．（2023·福建福州·福建省福州延安中學(xué)?？级＃┤鐖D上，ΔABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,O為內(nèi)心，過點(diǎn)O的直線分別與AC、AB相交于D、E，若DE=CD+BE，則線段CD的長(zhǎng)為 .
【答案】2或12/12或2
【分析】分析判斷出符合題意的DE的情況，并求解即可；
【詳解】解：①如圖，作DE//BC，OF⊥BC，OG⊥AB，連接OB，則OD⊥AC，
∵DE//BC，
∴∠OBF=∠BOE
∵O為ΔABC的內(nèi)心，
∴∠OBF=∠OBE，
∴∠BOE=∠OBE
∴BE=OE，
同理，CD=OD，
∴DE=CD+BE，
AB=BC2+AC2=62+82=10
∵O為ΔABC的內(nèi)心，
∴OF=OD=OG=CD，
∴BF=BG，AD=AG
∴AB=BG+AG=BC-CD+AC-CD=6-CD+8-CD=10
∴CD=2
②如圖，作DE⊥AB，
由①知，BE=4，AE=6，
∵∠ACB=∠AED，∠CAB=∠EAD
∴ΔABC～ΔADE
∴ABAC=ADAE
∴AD=AB?AEAC=10×68=152
∴CD=AC-AD=8-152=12
∵DE=AD2-AE2=1522-62=92
∴DE=BE+CD=4+12=92
∴CD=12
故答案為：2或12．
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)心的性質(zhì)、勾股定理、三角形的相似，根據(jù)題意正確分析出符合題意的情況并應(yīng)用性質(zhì)定理進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．
題型22 由三角形的內(nèi)切圓求角度
76．（2022·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，若∠I=116°，則∠A等于（ ）
A．50°B．52°C．54°D．56°
【答案】B
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠IBC+∠ICB＝64°，根據(jù)內(nèi)心的概念得到∠ABC+∠ACB＝128°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．
【詳解】解：∵∠I＝116°，
∴∠IBC+∠ICB＝64°，
∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，
∴∠IBC＝12∠ABC，∠ICB＝12∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB＝128°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝52°，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)心，掌握三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
77．（2022·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡雙語實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，△ABC中，∠A=80°，點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，則∠BOC的度數(shù)為（ ）
A．100°B．160°C．80°D．130°
【答案】D
【分析】由題意，先得到∠ABC+∠ACB=100°，再由內(nèi)心的性質(zhì)，得到∠OBC+∠OCB=50°，即可求出∠BOC的度數(shù)．
【詳解】解：∵∠A=80°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°，
∵點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB)=12×100°=50°，
∴∠BOC=180°-50°=130°．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)心的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是掌握所學(xué)的知識(shí)，正確的求出角的度數(shù)．
題型23 由三角形的內(nèi)切圓求周長(zhǎng)、面積
78．（2020·貴州遵義·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，△ABC中，AB＝7cm，AC＝8cm，BC＝6cm，點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，過點(diǎn)O作EF//AB，與AC、BC分別交于點(diǎn)E、F，則△CEF的周長(zhǎng)為（ ）
A．14cmB．15cmC．13cmD．10.5cm
【答案】A
【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)心的定義得到AO、BO是∠CAB和∠CBA的角平分線，結(jié)合平行線的性質(zhì)可證明∠EAO＝∠EOA，∠FOB＝∠FBO，于是得到EO＝EA，OF＝FB，故此可得到EF＝AE＋BF，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可．
【詳解】解：連接OA、OB．
∵點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，
∴AO、BO分別是∠CAB和∠CBA的角平分線．
∴∠EAO＝∠BAO，∠FBO＝∠ABO．
∵EF//BA，
∴∠EOA＝∠OAB，∠FOB＝∠OBA．
∴∠EAO＝∠EOA，∠FOB＝∠FBO．
∴EO＝EA，OF＝FB．
∴EF＝AE＋BF，
∴△CEF的周長(zhǎng)＝CE＋CF＋EF＝CE＋EA＋CF＋FB＝CA＋CB＝14，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是三角形的內(nèi)心、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定，明確三角形的內(nèi)心是三條角平分線的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
79．（2018·海南省直轄縣級(jí)單位·統(tǒng)考一模）如圖，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)從四塊全等的等腰直角三角形紙板上裁下四塊不同的紙板（陰影部分），他們的具體裁法如下：甲同學(xué)：如圖1所示裁下一個(gè)正方形，面積記為S1；乙同學(xué)：如圖2所示裁下一個(gè)正方形，面積記為S2；丙同學(xué)：如圖3所示裁下一個(gè)半圓，使半圓的直徑在等腰Rt△的直角邊上，面積記為S3；丁同學(xué)：如圖所示裁下一個(gè)內(nèi)切圓，面積記為S4則下列判斷正確的是（ ）
①S1=S2；②S3=S4；③在S1，S2，S3，S4中，S2最?。?br>A．①②B．②③C．①③D．①②③
【答案】B
【分析】分別計(jì)算結(jié)果再比較大?。唧w如下：若設(shè)四塊全等的等腰直角三角形的腰長(zhǎng)為1，則斜邊長(zhǎng)為2，只要把四個(gè)圖中陰影部分的面積都用等腰直角三角形的腰長(zhǎng)表示，就可比較它們的大?。鶕?jù)直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，可求圖1中S1=14；設(shè)圖2中正方形的邊長(zhǎng)為x，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得x的值，所以可知S2=29；在圖3中，設(shè)半圓的半徑為r，根據(jù)切線長(zhǎng)定理可求得S3=（32﹣2）π；在圖4中，設(shè)三角形的內(nèi)切圓半徑為R，根據(jù)切線長(zhǎng)定理可求得R=1﹣22，所以S4=（32-2）π；根據(jù)以上計(jì)算的值進(jìn)行比較即可判斷．
【詳解】圖1中，設(shè)四塊全等的等腰直角三角形的腰長(zhǎng)為1，則斜邊長(zhǎng)為2，圖1中陰影正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為22，S1=14；
圖2中，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則3x=2，x=23，S2=29；
圖3中，設(shè)半圓的半徑為r，則1+r=2，r=2﹣1，S3=（32﹣2）π；
圖4中，設(shè)三角形的內(nèi)切圓半徑為R，則2﹣2R=2，解得：R=1﹣22，S4=（32-2）π；
根據(jù)以上計(jì)算的值進(jìn)行比較，S3=S4，在S1，S2，S3，S4中，S2最小，所以正確的是②③．
故選B．
80．（2023·廣東江門·統(tǒng)考二模）一個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為8，內(nèi)切圓半徑為1，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)等于 ．
【答案】18
【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)AD＝x，則BD＝8?x，由切線長(zhǎng)定理得AD＝AF＝x，BD＝BE＝8?x，可證明四邊形OECF為正方形，則CE＝CF＝1，再由三角形的周長(zhǎng)公式求出這個(gè)三角形周長(zhǎng)．
【詳解】根據(jù)題意，作圖如下：
即有：AB=8，∠C＝90°，⊙O是△ABC內(nèi)切圓，
設(shè)AD＝x，則BD＝8?x，
∵⊙O是△ABC內(nèi)切圓，
∴AD＝AF＝x，BD＝BE＝8?x．∠C＝∠OFC＝∠OEC＝90°，OE＝OF，
∴四邊形OECF為正方形．
∴CE＝CF＝1．
∴這個(gè)三角形周長(zhǎng)：AD+DB+BE+CE+CF+FA=2x＋2(8?x)＋2＝18．
故答案為：18．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心，以及切線長(zhǎng)定理，方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
81．（2023·河南鄭州·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考一模）如圖，等邊△ABC內(nèi)切圓的圖形來自我國(guó)古代的太極圖，等邊三角形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于等邊△ABC的內(nèi)心成中心對(duì)稱．若等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6，則圓中的黑色部分的面積是 ．
【答案】32π
【分析】先作AD⊥BC，作BE⊥AC于點(diǎn)E，AD和BE交于點(diǎn)O，再根據(jù)邊長(zhǎng)求出AD=33，即可求出OD=3，然后根據(jù)面積公式即可求出答案．
【詳解】作AD⊥BC，作BE⊥AC于點(diǎn)E，AD和BE交于點(diǎn)O，如圖所示：
∵等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6
∴AB=6，則BD=3，
∵∠ADB=90°，
∴AD=33，
∴OD=13AD=3，
根據(jù)太極圖的對(duì)稱性，黑色部分的面積占內(nèi)切圓面積的一半，
∴S黑=12π·OD2=12π×（3）2
∴S黑=32π，
故答案為：32π
【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形以及三角形的內(nèi)切圓，解題關(guān)鍵是求出圓的半徑．
82．（2022·貴州銅仁·統(tǒng)考三模）已知任意三角形的三邊長(zhǎng)，如何求三角形面積？
古希臘的幾何學(xué)家海倫解決了這個(gè)問題，在他的著作《度量論》一書中給出了計(jì)算公式—海倫公式S=pp-ap-bp-c（其中a，b，c是三角形的三邊長(zhǎng)，p=a+b+c2，S為三角形的面積），并給出了證明
例如：在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5，那么它的面積可以這樣計(jì)算：
∵a＝3，b＝4，c＝5
∴p=a+b+c2=6
∴S=pp-ap-bp-c=6×3×2×1=6
事實(shí)上，對(duì)于已知三角形的三邊長(zhǎng)求三角形面積的問題，還可用我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解決．
根據(jù)上述材料，解答下列問題：
如圖，在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝9
（1）用海倫公式求△ABC的面積；
（2）求△ABC的內(nèi)切圓半徑r．
【答案】（1）102；（2）r=2．
【分析】（1）先根據(jù)BC、AC、AB的長(zhǎng)求出P，再代入到公式S=pp-ap-bp-c即可求得S的值；
（2）根據(jù)公式S=12r（AC+BC+AB），代入可得關(guān)于r的方程，解方程得r的值．
【詳解】解：（1）∵BC＝5，AC＝6，AB＝9，
∴p=BC+AC+AB2=5+6+92=10，
∴S=pp-ap-bp-c=10×5×4×1=102；
故△ABC的面積102；
（2）∵S=12r（AC+BC+AB），
∴102=12r（5+6+9），
解得：r=2，
故△ABC的內(nèi)切圓半徑r=2．
【點(diǎn)睛】本題主要三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、二次根式的應(yīng)用，熟練掌握三角形的面積與內(nèi)切圓半徑間的公式是解題的關(guān)鍵．
題型24 求三角形的內(nèi)切圓半徑
83．（2022·貴州銅仁·統(tǒng)考一模）如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD，AB=CD，∠B=60°，AD=83，分別以B和C為圓心，以大于12BC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P和Q，直線PQ與BA延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，連接CE，則ΔBCE的內(nèi)切圓半徑是（ ）

A．4B．43C．2D．23
【答案】A
【分析】分別以B和C為圓心，以大于12BC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P和Q，連接P，Q則PQ為BC的垂直平分線，可得EB=EC，又∠B=60°，所以△EBC為等邊三角形，作等邊三角形EBC的內(nèi)切圓，設(shè)圓心為M，則M在直線PQ上，連接BM，過M作BC垂線垂足為H，在Rt△BMH中，BH=12BC=12AD=43，∠MBH=12∠B=30°，通過解直角三角形可得出MH的值即為△BCE的內(nèi)切圓半徑的長(zhǎng)．
【詳解】解：有題意得PQ為BC的垂直平分線，
∴EB=EC，
∵∠B=60°，
∴△EBC為等邊三角形，
作等邊三角形EBC的內(nèi)切圓，設(shè)圓心為M，
∴M在直線PQ上，
連接BM，過M作MH垂直BC于H，垂足為H，
∵AD=83
∴BH=12BC=12AD=43 ，
∵∠MBH=12∠B=30°，
∴在Rt△BMH中,MH=BH×tan30°=43×33=4．
∴ΔBCE的內(nèi)切圓半徑是4．
故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線定理，等邊三角形的判定，等邊三角形內(nèi)切圓半徑的求法，解直角三角形，解題關(guān)鍵在于理解題意，運(yùn)用正確的方法求三角形內(nèi)切圓半徑．
84．（2019·福建·校聯(lián)考二模）如圖，ΔABC是一塊綠化帶，將陰影部分修建為花圃.已知AB=15，AC=9，BC=12，陰影部分是ΔABC的內(nèi)切圓，一只自由飛翔的小鳥將隨機(jī)落在這塊綠化帶上，則小鳥落在花圃上的概率為（ ）.
A．16B．π6C．π8D．π5
【答案】B
【分析】由AB=5，BC=4，AC=3，得到AB2=BC2+AC2，根據(jù)勾股定理的逆定理得到△ABC為直角三角形，于是得到△ABC的內(nèi)切圓半徑=4+3-52=1，求得直角三角形的面積和圓的面積，即可得到結(jié)論．
【詳解】解：∵AB=15，BC=12，AC=9，
∴AB2=BC2+AC2，
∴△ABC為直角三角形，
∴△ABC的內(nèi)切圓半徑=9+12-152=3，
∴S△ABC=12AC?BC=12×9×12=54，
S圓=9π，
∴小鳥落在花圃上的概率=π6 ，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查幾何概率，直角三角形內(nèi)切圓的半徑等于兩直角邊的和與斜邊差的一半及勾股定理的逆定理，解題關(guān)鍵是熟練掌握公式．
85．（2021·江蘇蘇州·?？家荒＃┮阎粋€(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為5、7、8，則其內(nèi)切的半徑為 ．
【答案】3
【分析】如圖，AB=7，BC=5，AC=8，內(nèi)切圓的半徑為r，切點(diǎn)為G、E、F，作AD⊥BC于D，設(shè)BD=x，則CD=5-x．由AD2=AB2-BD2=AC2-CD2，可得72-x2=82-（5-x）2，解得x=1，推出AD=43，由12?BC?AD=12?（AB+BC+AC）?r，列出方程即可解決問題．
【詳解】解：如圖，AB=7，BC=5，AC=8，內(nèi)切圓的半徑為r，切點(diǎn)為G、E、F，作AD⊥BC于D，設(shè)BD=x，則CD=5-x．
由勾股定理可知：AD2=AB2-BD2=AC2-CD2，
即72-x2=82-（5-x）2，解得x=1，
∴AD=43，
∵12?BC?AD=12?（AB+BC+AC）?r，
12×5×43=12×20×r，
∴r=3，
故答案為：3
【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、勾股定理、三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用面積法求內(nèi)切圓的半徑，屬于中考?？碱}型．
題型25 直角三角形周長(zhǎng)、面積和內(nèi)切圓半徑的關(guān)系
86．（2022·廣東梅州·統(tǒng)考二模）如圖，在四邊形材料ABCD中， AD∥BC ，∠A=90°，AD=9cm，AB=20cm，BC=24cm．現(xiàn)用此材料截出一個(gè)面積最大的圓形模板，則此圓的半徑是（ ）
A．11013cmB．8cmC．62cmD．10cm
【答案】B
【分析】如圖所示，延長(zhǎng)BA交CD延長(zhǎng)線于E，當(dāng)這個(gè)圓為△BCE的內(nèi)切圓時(shí)，此圓的面積最大，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：如圖所示，延長(zhǎng)BA交CD延長(zhǎng)線于E，當(dāng)這個(gè)圓為△BCE的內(nèi)切圓時(shí)，此圓的面積最大，
∵AD∥BC，∠BAD=90°，
∴△EAD∽△EBC，∠B=90°，
∴EAEB=ADBC，即EAEA+20=924，
∴EA=12cm，
∴EB=32cm，
∴EC=EB2+BC2=40cm，
設(shè)這個(gè)圓的圓心為O，與EB，BC，EC分別相切于F，G，H，
∴OF=OG=OH，
∵S△EBC=S△EOB+S△COB+S△EOC，
∴12EB?BC=12EB?OF+12BC?OG+12EC?OH，
∴24×32=24+32+40?OF，
∴OF=8cm，
∴此圓的半徑為8cm，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)切圓半徑與三角形三邊的關(guān)系，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
87．（2022·廣東深圳·統(tǒng)考二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，半徑為2，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A．30﹣4πB．303-4πC．60﹣16πD．303-16π
【答案】A
【分析】先由切線長(zhǎng)定理和勾股定理算出三角形另外兩邊的長(zhǎng)，再根據(jù)圖中陰影部分的面積=△ABC的面積-⊙O的面積，然后利用三角形的面積公式和圓的面積公式計(jì)算即可．
【詳解】解：過點(diǎn)O作AB、AC、BC的垂線，垂足分別為D、E、F，如圖，
∵OE⊥AC，OF⊥BC，∠C=90°，
∴四邊形CEOF是矩形，
∵OE=OF，
∴四邊形CEOF是正方形，
∴CE=CF=OE=OF=2，
∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，
∴BF=BD，AE=AD=AC-CE=5-2=3，
設(shè)BF=BD=x，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
∴52+(2+x)2=(3+x)2，
解得x=10，
∴BC=12，AB=13，
∴S陰影部分=S△ABC-S⊙O=12×5×12-π×22=30-4π．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線長(zhǎng)定理、勾股定理、三角形與圓的面積公式．
題型26 三角形內(nèi)心有關(guān)的應(yīng)用
88．（2022上·廣東河源·九年級(jí)校考期末）如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與各邊相切于D，E，F(xiàn)，且∠FOD=∠EOD=120°，則△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．等邊三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】根據(jù)已知易得∠EOF=120°，由切線的性質(zhì)可得OE⊥AB，OD⊥BC，OF⊥AC，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理即可求得∠A=∠B=∠C=60°，即可判定△ABC是等邊三角形．
【詳解】解：∵∠FOD=∠EOD=120°，
∴∠EOF=360°-∠FOD-∠EOD=120°，
∵△ABC的內(nèi)切圓⊙O與各邊相切于D，E，F(xiàn)，
∴OE⊥AB，OD⊥BC，OF⊥AC，
∴∠OEB=∠ODB=∠OEA=∠OFA=∠OFC=∠ODC=90°，
∵四邊形內(nèi)角和為360°，
∴∠A=∠B=∠C=360°-90°-90°-120°=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)定理、等邊三角形的判定和四邊形內(nèi)角和定理，切線的性質(zhì)：過切點(diǎn)的直徑垂直于切線．
89．（2022·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CE分別是△ABC中線和高線，則（ ）
A．D點(diǎn)是△ABC的內(nèi)心B．D點(diǎn)是△ABC的外心
C．E點(diǎn)是△ABC的內(nèi)心D．E點(diǎn)是△ABC的外心
【答案】B
【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得D是△ABC的外心，據(jù)此即可求解．
【詳解】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，
∵CD是△ABC中線，
∴D點(diǎn)是△ABC的外心．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外心，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
90．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖所示）．若直角三角形的內(nèi)切圓半徑為3，小正方形的面積為49，則大正方形的面積為 ．
【答案】289
【分析】設(shè)直角三角形的三邊分別為a,b,c，較長(zhǎng)的直角邊為a,較短的直角邊為b, c為斜邊，由切線長(zhǎng)定理可得，直角三角形的內(nèi)切圓的半徑等于a+b-c2，即a+b-c=6，根據(jù)小正方的面積為49，可得a-b2=49，進(jìn)而計(jì)算c2即a2+b2即可求解．
【詳解】解：設(shè)四個(gè)全等的直角三角形的三邊分別為a,b,c，較長(zhǎng)的直角邊為a,較短的直角邊為b, c為斜邊，
∵直角三角形的內(nèi)切圓半徑為3，小正方形的面積為49，
∴ a+b-c2=3，a-b2=49，
∴ a+b-c=6①，a-b=7②，
∴a=13+c2,b=c-12，
∵a2+b2=c2③，
∴13+c22+c-122=c2，
解得c=17或c=-5（舍去），
大正方形的面積為c2=172=289，
故答案為：289．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線長(zhǎng)定理，勾股定理，解一元二次方程，二元一次方程組，掌握直角三角形的內(nèi)切圓的半徑等于a+b-c2是解題的關(guān)鍵．
91．（2024上·廣西柳州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）學(xué)校要舉辦運(yùn)動(dòng)會(huì)，九（1）班同學(xué)正在準(zhǔn)備各種道具，小聰同學(xué)現(xiàn)有一塊三角形的紙片，要在三角形紙片中截下一塊圓形紙片做道具，要求截下的圓與三角形的三條邊都相切．小聰用A，B，C表示三角形紙片的三個(gè)頂點(diǎn)（如圖1）．請(qǐng)你按要求完成：
(1)尺規(guī)作圖：在圖1中找出圓心點(diǎn)O（要求：保留作圖痕跡，標(biāo)明字母，不寫作法）；
(2)若紙片三邊長(zhǎng)分別是：BC=8，AC=6，AB=10，⊙O與邊AB，BC，CA分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)（如圖2），求小聰截得的圓形道具的面積．
【答案】(1)見解析
(2)小聰截得的圓形道具的面積是4π
【分析】本題考查三角形內(nèi)切圓，切線長(zhǎng)定理等知識(shí)點(diǎn)；
（1）用尺規(guī)作∠ACB和∠CAB的角平分線，交點(diǎn)即為圓心點(diǎn)O；
（2）連接OD，OE，OF，根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得CE=CF=OE=r，BE=BD=8-r，AF=AD=6-r，最后根據(jù)AB=AD+BD=10列方程求解即可．
【詳解】（1）如圖所示：點(diǎn)O即為所求；
（2）連接OD，OE，OF，
在△ABC中，BC=6，AC=8，AB=10
∵AB2=BC2+AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠C=90°
∴⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)為D，E，F(xiàn)，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
BD=BE，AD=AF，CE=CF
∵∠C=∠CEO=∠CFO=90°，OE=OF
∴四邊形ODCE為正方形，
∴設(shè)CE=CF=OE=r，
∴BE=BD=8-r，AF=AD=6-r，
∴8-r+6-r=10，
解得r=2，
∴S圓=πr2=4π，
∴小聰截得的圓形道具的面積是4π．
題型27 三角形外接圓與內(nèi)切圓綜合
92．（2023·山東泰安·?？级＃┤鐖D，點(diǎn)I為的△ABC內(nèi)心，連接AI并延長(zhǎng)交△ABC的外接圓于點(diǎn)D，若AI=2CD，點(diǎn)E為弦AC的中點(diǎn)，連接EI，IC，若IC=6，ID=5，則IE的長(zhǎng)為（ ）
A．5B．4.5C．4D．3.5
【答案】C
【分析】由已知條件可得到ID=BD=DC=5，過點(diǎn)D作DF⊥IC于F，連接EF，可得四邊形EIDF為平行四邊形，可得IE=DF，即可求出IE的長(zhǎng)．
【詳解】解：連接BD，如圖，
∵I為△ABC的內(nèi)心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ACI=∠ICB
∴BD=CD，
又∵∠DIC=∠DAC+∠ACI，∠ICD=∠ICB+∠BCD，∠DAC=∠BAD=∠BCD，
∴∠DIC=∠ICD，
∴ID=CD，
∴ID=BD=DC=5，
∵AI=2CD，
∴AI=2CD=10，
過點(diǎn)D作DF⊥IC于F，連接EF，
∴IF=FC=12IC=3，
在Rt△IFD中，由勾股定理得，DF=ID2-IF2=52-32=4，
∵點(diǎn)E為弦AC的中點(diǎn)
∴EF為△AIC的中位線，
∴EF∥AD，EF=12AI=5=ID，
∴四邊形EIDF為平行四邊形，
∴IE=DF=4，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題是三角形外接圓和內(nèi)切圓綜合，考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，內(nèi)心等等，正確作出輔助線構(gòu)造平行四邊形是解題的關(guān)鍵．
93．（2022·湖北武漢·?？寄M預(yù)測(cè)）圖，⊙O是△ABC的外接圓，點(diǎn)I是△ABC內(nèi)心，連接AI并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，若AB＝9，BC＝14，CA＝13，則AIAD的值是（ ）
A．37B．59C．411 D．913
【答案】C
【分析】作BM∥AD交CA延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接BI，可得∠ABM=∠BAD，∠CAD=∠M，再由點(diǎn)I是△ABC內(nèi)心，可得∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠IBC，從而得到∠M=∠ABM=∠BAD=∠CAD，AB=AM=9，∠CBD=∠BAD，進(jìn)而得到BD=ID，再證得△MBC∽△ABD，可得IDAD=711，即可求解．
【詳解】：如圖，作BM∥AD交CA延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接BI，
∴∠ABM=∠BAD，∠CAD=∠M，
∵點(diǎn)I是△ABC內(nèi)心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠IBC，
∴∠M=∠ABM=∠BAD=∠CAD，
∴AB=AM=9，
∴MC=AM+AC=22，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠CBD=∠BAD，
∵∠BAD+∠ABI=∠BID，∠IBC+∠BAD=∠IBD，
∴∠IBD=∠BID，
∴BD=ID，
∵∠D=∠C，
∴△MBC∽△ABD，
∴BCBD=MCAD，
∴14BD=22AD，
∴14ID=22AD，解得：IDAD=711，
∴AIAD=AD-IDAD=1-IDAD=411．
故選：C
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)切圓和外接圓的綜合，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，作出適當(dāng)輔助線是解題的關(guān)鍵．
94．（2020·河北邢臺(tái)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在⊙O中，AB=AC，BC＝6，AC=310．I是△ABC的內(nèi)心，則線段OI的值為（ ）
A．1B．5-10C．10-3D．1310
【答案】B
【分析】連接AO，延長(zhǎng)AO交BC于H，連接OB．想辦法求出OH，IH即可解決問題．
【詳解】解：如圖，連接AO，延長(zhǎng)AO交BC于H，連接OB．
∵AB=AC，
∴AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=CH=3，
∴AH=AC2-CH2=3102-32=9，
設(shè)OA=OB=x，
在Rt△BOH中，
∵OB2=OH2+BH2，
∴x2=（9-x）2+32，
∴x=5，
∴OH=AH-AO=9-5=4，
∵S△ABC=12?BC?AH=12?（AB+AC+BC）?IH，
∴IH=6×9310+310+6=10-1，
∴OI=OH-IH=4-（10-1）=5-10，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是三角形的內(nèi)心和外心、等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，掌握本題的輔助線的作法是解題的關(guān)鍵．
95．（2021·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，其周長(zhǎng)為20，⊙I是△ABC的內(nèi)切圓，其半徑為3，則△BIC的外接圓直徑為 .
【答案】1433
【分析】設(shè)△BIC的外接圓圓心為O，連接OB，OC，作CD⊥AB于點(diǎn)D，在圓O上取點(diǎn)F，連接FB，F(xiàn)C，作OE⊥BC于點(diǎn)E，設(shè)AB＝c，BC＝a，AC＝b，根據(jù)三角形內(nèi)心定義可得S△ABC＝12lr＝12×20×3＝12AB?CD，可得bc＝40，根據(jù)勾股定理可得BC＝a＝7，再根據(jù)I是△ABC內(nèi)心，可得IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)和圓周角定理可得∠BOC＝120°，再根據(jù)垂徑定理和勾股定理即可求出OB的長(zhǎng)．
【詳解】解：如圖，設(shè)△BIC的外接圓圓心為O，連接OB，OC，作CD⊥AB于點(diǎn)D，
在圓O上取點(diǎn)F，連接FB，F(xiàn)C，作OE⊥BC于點(diǎn)E，
設(shè)AB＝c，BC＝a，AC＝b，
∵∠BAC＝60°，
∴AD＝12b，
CD＝AC?sin60°＝32b，
∴BD＝AB﹣AD＝c﹣12b，
∵△ABC周長(zhǎng)為l＝20，△ABC的內(nèi)切圓半徑為r＝3，
∴S△ABC＝12lr＝12×20×3＝12AB?CD，
∴203=32b?c，
∴bc＝40，
在Rt△BDC中，根據(jù)勾股定理，得
BC2＝BD2+CD2，
即a2＝（c﹣12b）2+（32b）2，
整理得：a2＝c2+b2﹣bc，
∵a+b+c＝20，
∴a2＝c2+b2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝（20﹣a）2﹣3×40，
解得a＝7，
∴BC＝a＝7，
∵I是△ABC內(nèi)心，
∴IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠IBC+∠ICB＝60°，
∴∠BIC＝120°，
∴∠BFC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∵OE⊥BC，
∴BE＝CE＝72，∠BOE＝60°，
∴OB＝BEsin60°=7232=733.
∴外接圓直徑為1433．
故答案為：1433．
【點(diǎn)睛】本題屬于圓的綜合題，考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，三角形的外接圓與外心，解直角三角形，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用以上知識(shí)．屬于中考選擇題的壓軸題，很有難度．
一、單選題
1．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，AC是⊙O的切線，B為切點(diǎn)，連接OA，OC．若∠A=30°，AB=23，BC=3，則OC的長(zhǎng)度是（ ）

A．3B．23C．13D．6
【答案】C
【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)及正切的定義得到OB=2，再根據(jù)勾股定理得到OC=13．
【詳解】解：連接OB，
∵AC是⊙O的切線，B為切點(diǎn)，
∴OB⊥AC，
∵∠A=30°，AB=23，
∴在Rt△OAB中，OB=AB?tan∠A=23×33=2，
∵BC=3，
∴在Rt△OBC中，OC=OB2+BC2=13，
故選C．

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB為⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于點(diǎn)C，連接AC，若∠ACD=50°，則∠BAC的度數(shù)為（ ）

A．30°B．40°C．50°D．60°
【答案】B
【分析】連接OC，先根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得∠OCD=90°，從而可得∠OCA=40°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得．
【詳解】解：如圖，連接OC，

∵直線CD與⊙O相切，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵∠ACD=50°，
∴∠OCA=40°，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA=40°，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A的切線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
3．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)O是△ABC外接圓的圓心，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，連接OB，IA．若∠CAI=35°，則∠OBC的度數(shù)為（ ）

A．15°B．17.5°C．20°D．25°
【答案】C
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)心的定義可得∠BAC的度數(shù)，然后由圓周角定理求出∠BOC，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì)得出答案．
【詳解】解：連接OC，
∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，∠CAI=35°，
∴∠BAC=2∠CAI=70°，
∴∠BOC=2∠BAC=140°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=180°-∠BOC2=180°-140°2=20°，
故選：C．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)心的定義和圓周角定理，熟知三角形的內(nèi)心是三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
4．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD,AD⊥AB，以D為圓心，AD為半徑的弧恰好與BC相切，切點(diǎn)為E．若ABCD=13，則sinC的值是（ ）

A．23B．53C．34D．74
【答案】B
【分析】作CF⊥AB延長(zhǎng)線于F點(diǎn)，連接DE，根據(jù)圓的基本性質(zhì)以及切線的性質(zhì)，分別利用勾股定理求解在Rt△DEC和Rt△BFC，最終得到DE，即可根據(jù)正弦函數(shù)的定義求解．
【詳解】解：如圖所示，作CF⊥AB延長(zhǎng)線于F點(diǎn)，連接DE，

∵AD⊥AB，AB∥CD，
∴∠FAD=∠ADC=∠F=90°，
∴四邊形ADCF為矩形，AF=DC，AD=FC，
∴AB為⊙D的切線，
由題意，BE為⊙D的切線，
∴DE⊥BC，AB=BE，
∵ABCD=13，
∴設(shè)AB=BE=a，CD=3a，CE=x，
則BF=AF-AB=CD-AB=2a，BC=BE+CE=a+x，
在Rt△DEC中，DE2=CD2-CE2=9a2-x2，
在Rt△BFC中，F(xiàn)C2=BC2-BF2=a+x2-2a2，
∵DE=DA=FC，
∴9a2-x2=a+x2-2a2，
解得：x=2a或x=-3a（不合題意，舍去），
∴CE=2a，
∴DE=CD2-CE2=9a2-4a2=5a，
∴sinC=DEDC=5a3a=53，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線的判定與性質(zhì)，解直角三角形，以及正弦函數(shù)的定義等，綜合性較強(qiáng)，熟練運(yùn)用圓的相關(guān)性質(zhì)以及切線的性質(zhì)等是解題關(guān)鍵．
5．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙I與BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若⊙I的半徑為r，∠A=α，則BF+CE-BC的值和∠FDE的大小分別為（ ）
A．2r，90°-αB．0，90°-αC．2r，90°-α2D．0，90°-α2
【答案】D
【分析】如圖，連接IF，IE．利用切線長(zhǎng)定理，圓周角定理，切線的性質(zhì)解決問題即可．
【詳解】解：如圖，連接IF，IE．
∵△ABC的內(nèi)切圓⊙I與BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，
∴BF=BD，CD=CE，IF⊥AB，IE⊥AC，
∴BF+CE-BC=BD+CD-BC=BC-BC=0，∠AFI=∠AEI=90°，
∴∠EIF=180°-α，
∴∠EDF=12∠EIF=90°-12α．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，圓周角定理，切線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握切線的性質(zhì)，屬于中考常考題型．
6．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D在斜邊AB上，以AD為直徑的半圓O與BC相切于點(diǎn)E，與AC相交于點(diǎn)F，連接DE．若AC=8，BC=6，則DE的長(zhǎng)是（ ）

A．4109B．8109C．8027D．83
【答案】B
【分析】連接OE，AE，首先根據(jù)勾股定理求出AB=AC2+BC2=10，然后證明出△BCA∽△BEO，利用相似三角形的性質(zhì)得到OE=409，BE=103，證明出△DBE∽△EBA，利用相似三角形的性質(zhì)求出DE=8109．
【詳解】如圖所示，連接OE，AE，

∵∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=AC2+BC2=10，
∵以AD為直徑的半圓O與BC相切于點(diǎn)E，
∴OE⊥BC，
∵∠C=90°，
∴∠C=∠OEB=90°，
∴AC∥OE，
∴∠A=∠EOB，
∴△BCA∽△BEO，
∴OEAC=OBAB=BE6，即OE8=10-OE10=BE6，
∴OE=409，BE=103，
∴CE=CB-BE=6-103=83，
∴AE=AC2+CE2=8310，
∵∠OEB=90°，
∴∠OED+∠DEB=90°，
∵∠ODE+∠EAD=90°，∠ODE=∠OED，
∴∠EAD=∠DEB，
又∵∠B=∠B，
∴△DBE∽△EBA，
∴DEAE=BEAB，即DE8310=10310，
∴解得DE=8109．
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查了圓與三角形綜合題，切線的性質(zhì)定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．
7．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）如圖，等圓⊙O1和⊙O2相交于A，B兩點(diǎn)，⊙O1經(jīng)過⊙O2的圓心O2，若O1O2=2，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A．2πB．43πC．πD．23π
【答案】D
【分析】先證明△ACO1≌△BCO2，再把陰影部分面積轉(zhuǎn)換為扇形面積，最后代入扇形面積公式即可．
【詳解】如圖，連接O2B，O1B，
∵等圓⊙O1和⊙O2相交于A，B兩點(diǎn)
∴O1O2⊥AB,AC=BC
∵⊙O1和⊙O2是等圓
∴O1A=O1O2=O1B=O2B
∴△O1O2B是等邊三角形
∴∠O1O2B=60°
∵∠ACO1=∠BCO2=90°,AC=BC,O1A=O2B
∴△ACO1≌△BCO2
∴S=S△ACO1+S圖形BCO1=S△BCO2+S圖形BCO1=S扇形BO1O2=60π22360=2π3．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了相交弦定理，全等的判定及性質(zhì)，扇形的面積公式，轉(zhuǎn)化思想是解題的關(guān)鍵．
8．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）在△ABC中，BC=3,AC=4，下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．1

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