考試時間120分鐘，滿分150分
注意事項：
1．答題前，考生務必在答題卡上將自己的姓名、座位號、準考證號用0.5毫米的黑色簽字筆填寫清楚，考生考試條形碼由監(jiān)考老師粘貼在答題卡上的“貼條形碼區(qū)”．
2．選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡上對應題目標號的位置上，如需改動，用橡皮擦擦干凈后再填涂其它答案：非選擇題用0.5毫米的黑色簽字筆在答題卡的對應區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域答題的答案無效；在草稿紙上、試卷上答題無效．
3．考試結束后由監(jiān)考老師將答題卡收回．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．在空間直角坐標系中，點關于軸的對稱點的坐標為（ ）
A．B．C．D．
2．若直線的方向向量為，且過點，則直線的方程為（ ）
A．B．C．D．
3．成都市某高中為鼓勵全校師生增強身體素質，推行了陽光校園跑的措施，隨機調查了10名同學在某天校園跑的時長（單位：分鐘），得到統(tǒng)計數據如下：20，25，32，38，40，43，56，62，67，74，則這組數據的第70百分位數是（ ）
A．56B．59C．62D．64.5
4．設為定點，動點滿足，則動點的軌跡方程為（ ）
A．B．C．D．
5．不透明的口袋里有4個白球，2個紅球，這6個球除了顏色外完全相同，從中不放回地抽取2個球，則抽出的2個球均為白球的概率為（ ）
A．B．C．D．
6．已知圓，直線，若圓上至少有3個點到直線的距離為1，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．或D．或
7．如圖，在平行六面體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
8．設為雙曲線上的兩點，線段的中點為，則（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求；全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．在空間直角坐標系中，，則（ ）
A．B．點到直線的距離為
C．D．直線與平面所成角的正弦值為
10．已知事件，事件發(fā)生的概率分別為，則下列說法正確的是（ ）
A．若事件與事件互斥，則
B．若事件與事件相互獨立，則
C．若事件發(fā)生時事件一定發(fā)生，則
D．若，則事件與事件相互獨立
11．已知橢圓與雙曲線的左、右焦點相同，分別為，橢圓與雙曲線在第一象限內交于點，且，橢圓與雙曲線的離心率分別為，則下列說法正確的是（ ）
A．B．當時，
C．的最小值為D．的最大值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．設一組數據的平均數為11，則的平均數為______．
13．過三點的圓的標準方程為______．
14．已知橢圓的上頂點為分別為橢圓的左、右焦點，過點作線段的垂線，垂線與橢圓交于兩點，若橢圓的離心率為，且，則的周長為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（13分）“世界圖書與版權日”又稱“世界讀書日”，2024年4月23日是第29個“世界讀書日”．自“世界讀書日”確定以來，某高校每年都會舉辦讀書知識競賽活動來鼓勵該校學生閱讀，現(xiàn)從參加競賽的學生中抽取100人，將他們的競賽成績分成六組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，第6組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求這100名學生成績的眾數和平均數（取各組區(qū)間中間值計算）；
（2）已知成績落在的學生平均成績?yōu)?2，方差為9，落在的學生平均成績?yōu)?7，方差為4，求這兩組成績的總體平均數和總體方差．
16．（15分）已知圓是直線上的一動點，過點作圓的切線，切點分別為．
（1）當點的橫坐標為2時，求切線的方程；
（2）當點在直線上運動時，求四邊形面積的最小值．
17．（15分）
甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃一次，規(guī)則如下：若命中，則此人繼續(xù)投籃一次，若未命中，則換對方投籃一次．已知甲每次投籃的命中率均為，乙每次投籃的命中率均為，甲、乙每次投籃的結果相互獨立，第一次投籃者為甲．
（1）求第3次投籃者為乙的概率；
（2）求前4次投籃中甲投籃次數不少于3次的概率．
18．（17分）
在平行四邊形中（如圖1），為的中點，將等邊沿折起，連接，且（如圖2）．
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）點在線段上，若點到平面的距離為，求平面與平面所成角的余弦值．
19．（17分）
一動圓與圓外切，與圓內切．
（1）設動圓圓心的軌跡為，求曲線的方程；
（2）①若點是直線上的動點，直線與曲線分別交于兩點，證明：直線過定點；
②設和的面積分別為和，求的最大值．
2024~2025學年度上期高中2023級期末考試
數學參考答案及評分標準
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．解：點關于軸的對稱點的坐標為，故選C．
2．解：直線的方向向量為直線的斜率，整理得：，故選A．
3．解：數據個數共有10個，且為從小到大排列，這組數據的第70百分位數為第7個數據56和第8個數據62的平均數59，故選B．
4．解：，雙曲線的方程為，故選B．
5．解：從4個白球，2個紅球中不放回抽取2個球，共有15種情況，其中抽出2球均為白球有6種情況，，故選C．
6．解：根據題意知，圓心到直線的距離，故選A．
7．解：設，又，故選D．
8．解：設，兩式相減，得
，
直線的方程為：，代入雙曲線中，得，
，故選B．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求；全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．解：A選項：，故A錯誤；
B選項：取，
點到直線的距離，故B正確；
C選項：，故C正確；
D選項：易求平面的法向量，故D錯誤；故選BC．
10．解：A選項：事件與事件互斥，，故A正確；B選項：事件與事件相互獨立，，
，故B正確；
C選項：若事件發(fā)生時事件一定發(fā)生，，故C錯誤；
D選項：事件與事件相互獨立，事件與事件相互獨立，故D正確；故選ABD．
11．解：A選項：為焦點三角形，，故A正確；
B選項：根據橢圓和雙曲線的定義，可得，
，在中，由余弦定理，可得：
，
，整理得，
，當時，，故B錯誤；
C選項：，故C正確；
D選項：，故取，
，故D正確；故選ACD．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．90 解：的平均數的平均數．
13． 解：設圓的方程為，代入三點，有圓的標準方程為．
14．26 解：離心率為等邊三角形，設，直線的方程為，代入中，得，
，
周長．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（13分）
解：（1）眾數：75，
第1至第6組的頻率分別為，
平均數：
；
（2）根據題意可知，成績落在的學生人數為20人，成績落在的學生人數為30人，
總體平均數：，
總體方差：．
16．（15分）
解：（1）點在直線上，且點的橫坐標為點的坐標為，
①當切線的斜率不存在時，滿足題意，此時，切線的方程為；
②當切線的斜率存在時，設斜率為，此時切線方程為，
即：，設圓心到切線的距離為，根據題意可得：，
，
此時，切線方程為，
化簡，得，
切線方程為或；
（2）為公共邊，，
，
又當最小時，最小，
由題意可知，當時，最小，
此時，，
，
四邊形面積的最小值為．
17．（15分）
解：（1）設事件"甲第次投籃投進"，事件"乙第次投籃投進"，事件"第三次投籃者為乙"，
根據題意可知，與互斥，
；
（2）設事件"前4次投籃中甲投籃次數不少于3次"，根據題意可知：
，
事件互斥，且每次投籃的結果相互獨立，
．
18．（17分）
解：（1）證明：連接，在中，，
，
在中，，
同理可得：，
平面；
（2）設為的中點，，
平面平面，
平面平面，
又平面平面平面，
平面以點為坐標原點，為軸，為軸，過點且平行于的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
，
，
設平面的法向量為，
，，
取，
設直線與平面所成角為，
（其他解法酌情給分）
（3）設，
，，
設點到平面的距離為，
，
，
是線段上靠近點的三等分點，易求平面的法向量為，
設平面的法向量為，
，
．
取，
設平面與平面所成的角為，
．
19．（17分）解：（1）設動圓的半徑為，動圓與圓外切，，
又動圓與圓內切，且圓在圓內部，，
，
又，
，
動圓圓心的軌跡的方程為；
（2）①設點，
則直線的方程為，
代入橢圓中，
得：，
，
，
同理可得：，
，
直線的方程為，
整理得：，
直線恒過定點；
（其他解法酌情給分）
（2）根據題意，直線恒過定點，
，
點到直線的距離為點到直線的距離的3倍，
，
，
，
設直線，代入橢圓中，
得：，
，
，
設，
在上單調遞增，
，
，
1
2
3
4
5
6
7
8
C
A
B
B
C
A
D
B
9
10
11
BC
ABD
ACD

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