一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 集合，，則（ ）．
A. 或B.
C. 或D.
【答案】D
【解析】因為，
所以．
故選：D
2. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于第二象限，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】復(fù)數(shù)，其對應(yīng)的點在第二象限，
則，解得．
故選：A
3. 已知，設(shè)甲：；乙：，則甲是乙的（ ）．
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分又不必要條件
【答案】B
【解析】由，得，，
則x不一定推出；反之，當(dāng)時，一定有．
故甲是乙的必要不充分條件．
故選：B.
4. 已知平面向量，，則在上的投影向量為（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】依題意，，，
所以在上的投影向量為．
故選：B.
5. 在年巴黎奧運會上，我國網(wǎng)球選手鄭欽文歷經(jīng)場比賽，勇奪巴黎奧運會女子網(wǎng)球單打冠軍，書寫了中國網(wǎng)球新的歷史．某學(xué)校有2000名學(xué)生，一機構(gòu)在該校隨機抽取了名學(xué)生對鄭欽文奧運會期間場單打比賽的收看情況進行了調(diào)查，將數(shù)據(jù)分組整理后，列表如下：
從表中數(shù)據(jù)可以得出的正確結(jié)論為（ ）．
A. 表中的數(shù)值為
B. 觀看場次不超過場的學(xué)生的比例為
C. 估計該校觀看場次不超過場的學(xué)生約為人
D. 估計該校觀看場次不低于場的學(xué)生約為人
【答案】D
【解析】由表可知，，
解得，選項A錯誤；
觀看場次不超過場的學(xué)生的比例為，選項B錯誤；
觀看場次不超過場的學(xué)生的比例為，
則觀看場次不超過場的學(xué)生約為人，選項C錯誤；
觀看場次不低于場的學(xué)生的比例為，
則觀看場次不低于場的學(xué)生約為人，選項D正確．
故選：D
6. 已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，根據(jù)正弦定理有，
所以，有，
根據(jù)余弦定理，有，由，所以．
故選：C.
7. 設(shè)雙曲線的離心率為，實軸長為2，則雙曲線C上任意一點到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積為（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由已知，，，
所以，，則．
設(shè)為雙曲線C上任意一點，
則，即．
而雙曲線C的漸近線為，
所以點M到兩條漸近線的距離之積為．
故選：B.
8. 已知函數(shù)，且為偶函數(shù)，則滿足不等式的實數(shù)m的取值范圍為（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】依題意，，令，
由于為偶函數(shù)，故只需為奇函數(shù)，
由，得，
因為x∈R，定義域關(guān)于原點對稱，
，
由此可以驗證為奇函數(shù)．所以滿足題意，
又由為偶函數(shù)，得，
故的圖象關(guān)于直線對稱．
，
當(dāng)時，，
可知，當(dāng)時，單調(diào)遞增，則時，單調(diào)遞減．
原不等式即為，
等價于，即，解得．
故選：C.
二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．
9. 已知函數(shù)，則（ ）．
A. 的最小正周期為
B. 在上單調(diào)遞增
C. 的圖象關(guān)于直線對
D. 的圖象可由的圖象向左平移個單位得到
【答案】AC
【解析】由，所以最小正周期，選項A正確；
當(dāng)時，，此時先減后增，選項B錯誤；
的圖象關(guān)于直線對稱，當(dāng)時，，選項C正確；
的圖象向左平移個單位得到的圖象，選項D錯誤．
故選：AC
10. 已知橢圓的左、右焦點分別為，，過點的直線與橢圓E相交于P，Q兩點，則（ ）.
A. 以橢圓E的長軸為直徑的圓的方程為
B. 以為直徑的圓與橢圓E有且僅有2個公共點
C. 以為圓心，為半徑的圓與橢圓E有3個公共點
D. 以為直徑的圓與直線相離
【答案】ABD
【解析】對于A，以橢圓的長軸為直徑的圓的半徑為，圓心為原點，
故該圓的方程為，選項A正確；
對于B，由橢圓方程可得，故以為直徑的圓的半徑為1，圓心為原點，
故其方程為，由可得或，
故該圓與橢圓有且僅有2個公共點，選項B正確；
對于C，由于橢圓上的任意一點與左焦點的距離，
當(dāng)且僅當(dāng)為左頂點時取等號，
故以為圓心，為半徑的圓與橢圓只有一個公共點，選項C錯誤；
對于D，設(shè)為線段的中點，過點作直線l的垂線，
垂足分別為點，，，設(shè)Px,y，則，
因為F1-1,0，所以，
而，故，同理，
則，
即以為直徑的圓的圓心到直線l的距離大于該圓的半徑，選項D正確.
故選：ABD.
11. 如圖，在正方體中，O是線段的中點，點P在棱上運動，則（ ）．

A. 點P在平面上的射影不可能是點O
B. 點P在平面上的射影到B，D兩點的距離相等
C. 當(dāng)點P與頂點A重合時，直線與平面所成角的正切值為
D. 當(dāng)點P與頂點重合時，點P到平面的距離等于
【答案】BCD
【解析】 對于A，如圖，連接，因平面，平面,
則,
又, 平面，故得平面，
又平面，故直線，同理，
又平面,故得直線平面．
當(dāng)P為線段的中點時，，此時點O是點P在平面上的射影，故A錯誤；
對于B，連接，，，由A項已得平面,
而平面，故得平面平面，為這兩平面的交線，
于是點P在平面上的射影在直線上，顯然為線段的中垂線，故B正確；
對于C，因平面，則與平面所成的角等于與平面所成的角，
即，設(shè)正方體棱長為1，則，故C正確；

對于D，如圖，設(shè)正方體棱長為1，平面，
因,,
由，可得,解得，
而,即點C到平面的距離等于，
故點P（即點）到平面的距離等于，故D正確．
故選：BCD.
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知，且，則__________．
【答案】
【解析】由且，得，
則．
故答案為：
13. 甲、乙、丙、丁、戊5人站成兩排照相，前排站2人，后排站3人，其中甲和乙須左右相鄰，丙不站前排，則不同的站法共有__________種（用數(shù)字作答）．
【答案】20
【解析】當(dāng)甲和乙站前排，丙站后排時，不同站法有（種）；
當(dāng)甲和乙站后排，丙站后排時，不同站法有（種），
所以不同的站法共有（種）．
故答案為:20.
14. 人們很早以前就開始探索高次方程的數(shù)值求解問題，牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程的一種數(shù)值解法——牛頓法，如圖，在橫坐標(biāo)為的點處作的切線，該切線與x軸的交點為；在橫坐標(biāo)為的點處的切線與x軸的交點為；一直繼續(xù)下去，得到，，，…，，它們越來越逼近的零點r．在一定精確度下，用四舍五入法取值，當(dāng)，近似值相等時，該值可作為函數(shù)的一個零點r．用“牛頓法”求方程的近似解r，可以構(gòu)造函數(shù)，若，得到該方程的近似解r約為__________（精確到0.1）．
【答案】3.3
【解析】由，得．
當(dāng)時，，，
則過點的切線方程為，
令，得．
又，，
則過點的切線方程為，
令，得，此時與近似值相等，故近似解r約為3.3．
故答案為：3.3
四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球……設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列．

（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和．
解：（1）由題意可知，
，，，……
，
數(shù)列的一個遞推關(guān)系為，，
當(dāng)時，利用累加法可得，
，
將代入得，滿足，
所以數(shù)列的通項公式為，．
（2）由（①）知，，
則
．
16. 已知某學(xué)校為提高學(xué)生課外鍛煉積極性，開展了豐富的課外活動，為了解學(xué)生對開展的課外活動的滿意程度，該校隨機抽取了350人進行調(diào)查，整理得到如下列聯(lián)表：
（1）根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為該校學(xué)生對課外活動的滿意情況與性別因素有關(guān)聯(lián)？
（2）從這350名樣本學(xué)生中任選1名學(xué)生，設(shè)事件A＝“選到的學(xué)生是男生”，事件B＝“選到的學(xué)生對課外活動滿意”，比較和的大小，并解釋其意義，
附：
解：（1）提出零假設(shè)：該校學(xué)生對課外活動的滿意情況與性別因素?zé)o關(guān)聯(lián)，
根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到，
所以根據(jù)小概率值獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，
即認為該校學(xué)生對課外活動的滿意情況與性別因素?zé)o關(guān)聯(lián)．
（2）解法1：依題意得，，
,
則．
解法2： 依題意得，，，
，，
所以，，
則．
意義：男生對課外活動滿意的概率比女生對課外活動滿意的概率大；或者男生對課外活動滿意的人數(shù)比女生對課外活動滿意的人數(shù)多等等．
17. 如圖，在幾何體中，四邊形是梯形，，，與相交于點N，平面，，H是的中點，，．
（1）點P在上，且，證明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
（1）證明：方法1：依題意可知，直線，，兩兩垂直，以點A為坐標(biāo)原點，
直線，，分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
依題意得，，，，
因為，所以，所以，
又，所以，
又，，從而得，
所以向量，，共面，
又平面，平面，平面，
所以平面．
方法2：如圖，在，上取點M，Q，且滿足，，
連接，，，
因，，有，
所以，且，
又因為，，，
所以，有，
所以，且，
又，所以，且，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
又平面，平面，
所以平面．
（2）解：由（1）方法1可知，，，，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
取，則平面的一個法向量為，
設(shè)平面的法向量為，
則，即．
取，則平面的一個法向量為，
則，
由圖知二面角為鈍角，
故二面角的余弦值為．
18. 已知為拋物線的焦點，過點的直線與拋物線相交于Ax1,y1，兩點．
（1）證明：是常數(shù)；
（2）過點作直線的垂線與拋物線的準(zhǔn)線相交于點，與拋物線相交于，兩點（點的橫坐標(biāo)小于點的橫坐標(biāo)）．
①求的值；
②是否存在最小值？若存在，請求出這個最小值；若不存在，請說明理由．
（1）證明：由已知，點的坐標(biāo)為1,0，且可設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立方程組，消去，
得（*），
因為，
所以，為方程（*）的兩個實根，且，
因為點，在拋物線上，
所以，為常數(shù)．
（2）解：在題設(shè)條件下，直線，都不與坐標(biāo)軸平行且，
由（1）可知直線的方程為：，
①因為拋物線的準(zhǔn)線方程為，
代入的方程可得點的坐標(biāo)為，
由（1）可知，，，
，，
因此，，
，
即的值為．
②存在最小值，
設(shè)點，的坐標(biāo)分別為，，
因為點均在拋物線上，
所以，，，，
由，有，即，
變形可得，
則（**），
同理，，
根據(jù)拋物線的定義可知，，，
，，
所以
．
由（**）知，，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時取“＝”，
同理，，當(dāng)且僅當(dāng)時取“＝”，
由題設(shè)，，
所以，，
所以，
，
由題意可知，，同時成立，
此時，取得最小值，
故存在最小值，最小值為．
另解：
存在最小值，
假設(shè)直線的傾斜角為，根據(jù)題意可設(shè)，
如圖，設(shè)點在軸上的射影為點，
拋物線的準(zhǔn)線與軸相交于點，
根據(jù)拋物線的定義，由題設(shè)點的位置可知
，
所以，，
同理可得，，，，
所以
，
令，，
則，
由，可得，
易知函數(shù)為增函數(shù)，
所以，
上式中，當(dāng)且僅當(dāng)，即時（此時）等號成立，
所以，，
所以，存在最小值，該最小值當(dāng)且僅當(dāng)時取得.
19. 已知函數(shù)．
（1）若，求函數(shù)的極值；
（2）若，，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若，且，證明：．
（1）解：當(dāng)時，，
令，即，則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
所以，當(dāng)時，取得極大值，
當(dāng)時，取得極小值．
（2）解：令，
則，且，，
設(shè)，則，
又令，則，
①若，即時，
由于在區(qū)間上為增函數(shù)，可知，
則即在區(qū)間上為增函數(shù)，故，
所以即在區(qū)間上為增函數(shù)，
則，則在區(qū)間上為增函數(shù)，
所以，即時，恒成立，
所以，當(dāng)時，符合條件．
②若，即時，
由于為單調(diào)遞增函數(shù)，且，
所以，，
則時，，
可知）即在區(qū)間上為減函數(shù)，則，
故即在區(qū)間上為減函數(shù)，則，
則在區(qū)間上為減函數(shù)，所以，不符合題意，
綜上所述，當(dāng)，時，a的取值范圍為．
（3）證明:欲證，
只需證明，
由（2）可知，當(dāng)時，，即有，
進而得，其中，當(dāng)且僅當(dāng)時“＝”成立，
則，，…，，
所以
，
所以.觀看場次
觀看人數(shù)占調(diào)查
人數(shù)的百分比
性別
課外活動
合計
滿意
不滿意
男
150
100
250
女
50
50
100
合計
200
150
350
0.1
0.05
0.01
2.706
3841
6.635

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