1. 已知集合，若，則a的值可能為（ ）
A. ，3B. C. ，3，8D. ，8
【答案】D
【解析】由題意若，解得或，若，解得，
當(dāng)時，滿足題意，
當(dāng)時，違背了集合中元素間的互異性，
當(dāng)時，滿足題意，
綜上所述，a的值可能為，8.
故選：D.
2. 下列說法正確的是（ ）
A. 若是奇函數(shù)，則
B. 若（m為常數(shù)）是冪函數(shù)，則不等式的解集為
C. 函數(shù)在上是減函數(shù)
D. 與為同一函數(shù)
【答案】B
【解析】對于A，若是奇函數(shù)，且定義域中包含0，才有，A錯誤；
對于B，若（m為常數(shù)）是冪函數(shù)，則，得，
所以，其在上為減函數(shù)，
若，則，
解得，B正確；
對于C，函數(shù)在和上是減函數(shù)，C錯誤；
對于D，函數(shù)，與不是同一函數(shù)，D錯誤.
故選：B.
3. 下列命題為真命題的是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，，則D. 若，則
【答案】C
【解析】對于A，當(dāng)時，無意義，故A錯誤；
對于B，當(dāng)時，無意義，故B錯誤；
對于C，若且，
則，，故C正確；
對于D，令，則，，顯然，故D錯誤.
故選：C.
4. 太空中水資源有限，要通過回收水的方法制造可用水，回收水是將宇航員的尿液、汗液和太空中的水收集起來經(jīng)過特殊凈水器處理成飲用水循環(huán)使用．凈化過程中，每過濾一次可減少水中雜質(zhì)10%，要使水中雜質(zhì)減少到原來的1%以下，至少需要過濾的次數(shù)為（參考數(shù)據(jù)：）（ ）
A. 42次B. 43次C. 44次D. 45次
【答案】C
【解析】設(shè)經(jīng)過次過濾達(dá)到要求，原來水中雜質(zhì)為1，
由題意，即，
所以，
所以，
所以至少需要過濾的次數(shù)為44次.
故選：C.
5. 已知函數(shù)是定義域為R的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，若，，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因為函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，
由于，
又，，則，所以，
函數(shù)是定義域為R的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，
則在上為增函數(shù)，所以，
即.
故選：A.
6. 甲、乙兩選手進(jìn)行象棋比賽，已知每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，若采用三局二勝制，則乙最終獲勝的概率為（ ）
A. 0.36B. 0.352C. 0.288D. 0.648
【答案】B
【解析】由題意可得乙最終獲勝有兩種情況：
一是前兩局乙獲勝，則獲勝的概率為，
二是前兩局乙勝一局，第三局乙獲勝，則獲勝的概率為，
而這兩種情況是互斥的，所以乙最終獲勝的概率為.
故選：B.
7. 若把函數(shù)圖象平移，可以使圖象上的點變換成點，則函數(shù)的圖象經(jīng)此平移變換后所得的圖象大致形狀為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由題意可知圖象上的點變換成點，
意味著函數(shù)的圖象向右平移一個單位且向下平移2個單位，
此時對應(yīng)的函數(shù)解析式為，
若，則時，且單調(diào)遞減，
時，且單調(diào)遞增，對比選項可知D選項符合題意.
故選：D.
8. 已知，且滿足，則的值為（ ）
A. 0B. 2C. 4D. 8
【答案】C
【解析】因為，所以，
令，因為在上都為單調(diào)遞增函數(shù)，
所以在上都為單調(diào)遞增函數(shù)，
又時，，所以為奇函數(shù)，
所以，所以，
又，所以，可得，即
故選：C.
二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9. 下列說法錯誤的是（ ）
A. 命題“有一個奇數(shù)不能被3整除”的否定是“有一個奇數(shù)能被3整除”
B. “菱形是正方形”是全稱命題
C. 式子化簡后為
D. “”是“，有為真命題”的充分不必要條件
【答案】AD
【解析】對于A，命題“有一個奇數(shù)不能被3整除”的否定是“所有的奇數(shù)能被3整除”，
故A符合題意；
對于B，“菱形是正方形”即“所有的菱形是正方形”是全稱命題，故B不符合題意；
對于C，若式子有意義，則，即，
所以，故C不符合題意；
對于D，，有，等價于，有，等價于，
所以“”是“，有為真命題”的必要不充分條件，故D符合題意.
故選：AD.
10. 已知定義在上的函數(shù)滿足，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則下列說法正確的是（ ）
A.
B. 圖象的對稱中心為
C. 在區(qū)間上單調(diào)遞減
D. 滿足的x的取值范圍是
【答案】BC
【解析】對于選項A，將代入等式，可得，
選項A錯誤；
對于選項B，若函數(shù)滿足，即，
則函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，選項B正確；
對于選項C，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
且函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，
所以函數(shù)在區(qū)間上也單調(diào)遞減，選項C正確；
對于選項D，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，
由，可得：
當(dāng)時，，解得，則；
當(dāng)時，，解得，則；
所以不等式的解集為，選項D不正確.
故選：BC.
11. 已知樣本甲：與樣本乙：滿足關(guān)系，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A. 樣本乙的極差等于樣本甲的極差
B. 若某個為樣本甲的中位數(shù)，則是樣本乙的中位數(shù)
C. 樣本乙眾數(shù)小于樣本甲的眾數(shù)
D. 若某個為樣本甲的平均數(shù)，則是樣本乙的平均數(shù)
【答案】ACD
【解析】由樣本甲：，，，…，與樣本乙：，，，…，滿足，知：
樣本乙的極差不等于樣本甲的極差，例如樣本甲：0，1，2與樣本乙：，
故A中結(jié)論不正確；
不妨令，
因為在上單調(diào)遞減，則，
所以若某個為樣本甲的中位數(shù)，則是樣本乙的中位數(shù)，故B中結(jié)論正確；
因為在上單調(diào)遞減，則樣本乙的眾數(shù)等于樣本甲的眾數(shù)，故C中結(jié)論不正確；
若某個為樣本甲的平均數(shù)，則不一定是樣本乙的平均數(shù)，
例如樣本甲：0，1，2與樣本乙：，故D中結(jié)論不正確．
故選：ABD．
12. 已知函數(shù)，若函數(shù)與函數(shù)的零點相同，則的取值可能是（ ）
A. 2B. C. 0D. 4
【答案】AC
【解析】設(shè)的零點為，則，又，
故，解得，則．
，
因為函數(shù)與函數(shù)的零點相同，
所以方程無解或與方程的解相同，
所以或，解得，
所以．
故選：AC.
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 某班擬從2名男學(xué)生和1名女學(xué)生中隨機選派2名學(xué)生去參加一項活動，則恰有一名女學(xué)生和一名男學(xué)生去參加活動的概率是______．
【答案】
【解析】設(shè)2名男學(xué)生分別為,1名女學(xué)生為，
所以選派2名學(xué)生去參加一項活動共有：三種情況，
符合題意的情況有兩種，
所以恰有一名女學(xué)生和一名男學(xué)生去參加活動的概率是.
14. 在一次籃球比賽中，某球隊共進(jìn)行了9場比賽，得分分別26，37，23，45，32，36，40，42，51，則這組數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)為______．
【答案】40
【解析】將得分從小到大排列有
又，所以這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為第6個數(shù)，即40.
15. 已知關(guān)于x的一元二次不等式的解集為，則的最小值為______．
【答案】
【解析】因為區(qū)間是關(guān)于的一元二次不等式的解集，
則a，b是關(guān)于的一元二次方程的兩個不同的實數(shù)根，
則有，，，，
所以，且a，b是兩個不同的正數(shù)，
則有，
當(dāng)且僅當(dāng)時即，等號成立，
滿足，故的最小值是.
16. 記表示不超過x的最大整數(shù)，例如，．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍為______．
【答案】
【解析】如圖所示：
若，則函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象只有1個交點，
即函數(shù)恰有1個零點，不符合題意；
如圖所示：
若函數(shù)恰有2個零點，且，
所以函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有兩個交點，
顯然當(dāng)時，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有1個交點，
只需保證當(dāng)時，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有1個交點，
則，解不等式組得，
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為.
四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 已知，集合，．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．
解：（1）當(dāng)時，集合，可得或，
所以.
（2）由題知，集合A是集合B的真子集，
當(dāng)時，，即，符合題意，
當(dāng)時，則，即，且滿足，兩式不能同時取等號，
解得，
綜上，實數(shù)a的取值范圍為．
18. 已知函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明；
（2）用二分法求方程在區(qū)間上的一個近似解（精確度為0.1）．
解：（1）在單調(diào)遞增；證明如下：
任取，不妨設(shè)，
，
因為，則，，，
可得，即，
所以在上單調(diào)遞增.
（2）因為函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)且單調(diào)的，
可知其在區(qū)間上的零點即為方程在區(qū)間上的解，
且，，可得在內(nèi)有且僅有一個零點，
在區(qū)間上利用二分法列表如下：
此時解在區(qū)間，此區(qū)間長度為，，滿足精確度為0.1，故區(qū)間，
即內(nèi)任意一個實數(shù)都是對應(yīng)方程符合精確度要求的一個近似解，
比如2.6是方程在上的一個近似解．
19. 已知函數(shù)（，且），從下面兩個條件中選擇一個進(jìn)行解答．
①的反函數(shù)經(jīng)過點；②的解集為．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）若，，求的最值及對應(yīng)x的值．
解：（1）若選①：由題知，函數(shù)的反函數(shù)為，則，即；
若選②：由題知，的解集為，
因為，所以，即.
（2）由（1）知，，則，
令，則，
當(dāng)，即時，；當(dāng)，即時，，
綜上：當(dāng)時，；當(dāng)時，．
20. 從某學(xué)校800名男生中隨機抽取50名測量身高，被測學(xué)生身高全部介于155cm和195cm之間，將測量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組，第二組，…，第八組，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第六組的人數(shù)為4．
（1）求第七組的頻率；
（2）估計該校800名男生身高的中位數(shù)；
（3）從樣本身高屬于第六組和第八組的男生中隨機抽取兩名，若他們的身高分別為x，y，記為事件E，求．
解：（1）第六組的頻率為，
則第七組的頻率為.
（2）由圖知，身高在的頻率為，
在的頻率為，
在的頻率為，
在的頻率為，
由于，，
設(shè)這所學(xué)校的800名男生的身高中位數(shù)為m，則，
由，得，
所以這所學(xué)校800名男生身高的中位數(shù)為174.5cm.
（3）樣本身高在第六組的人數(shù)為4，設(shè)為a，b，c，d，
在第八組的人數(shù)為，設(shè)為A，B，
則從中隨機抽取兩名男生有：，，，，，，，，，，，，，，共15種情況，
當(dāng)且僅當(dāng)隨機抽取的兩名男生在同一組時，事件E發(fā)生，所以事件E包含的基本事件為，，，，，，共7種情況，
所以．
21. 已知，函數(shù)，．
（1）若，求不等式的解集；
（2）求不等式的解集；
（3），不等式恒成立，求a的取值范圍．
解：（1）令，，即，
解得或，
所以或，解得.
（2）依題意得，，即，
當(dāng)時，；當(dāng)時，x的解集為空集；當(dāng)時，.
（3）依題意得，因為，所以，
又，，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得等號，所以，即．
22. 近幾年，直播平臺作為一種新型的學(xué)習(xí)渠道，正逐漸受到越來越多人們的關(guān)注和喜愛．某平臺從2020年建立開始，得到了很多網(wǎng)民的關(guān)注，會員人數(shù)逐年增加．已知從2020到2023年，每年年末該平臺的會員人數(shù)如下表所示（注：第4年數(shù)據(jù)為截止到2023年10月底的數(shù)據(jù)）．
（1）請根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，從下列三個模型中選擇一個恰當(dāng)?shù)哪Ｐ凸浪阍撈脚_建立年后會員人數(shù)y（千人），求出你所選擇模型的解析式，并預(yù)測2023年年末的會員人數(shù)；
①；②（且）；③（且）；
（2）為了更好的維護(hù)管理平臺，該平臺規(guī)定第x年的會員人數(shù)上限為千人，請根據(jù)（1）中得到的函數(shù)模型，求k的最小值．
解：（1）由數(shù)據(jù)可知，函數(shù)是一個增函數(shù)，且增長越來越快，故選擇模型③，
由表格中的數(shù)據(jù)可得，，，解得，，，
故函數(shù)模型的解析式為，
當(dāng)時，預(yù)測2023年年末的會員人數(shù)為千人.
（2）由題知，對，都有，令，則，
令，則不等式右邊等價于函數(shù)，
因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，
故，即k的最小值為7．區(qū)間
中點
中點函數(shù)值
區(qū)間長度
1
建立平臺第x年
1
2
3
4
會員人數(shù)y（千人）
28
36
52
82

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