江西省萍鄉(xiāng)市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．第Ⅰ卷1至2頁(yè)，第Ⅱ卷3至4頁(yè)．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡上考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考試科目”與考生本人的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致．
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，用0.5毫米的黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答．若在試題卷上作答，答題無(wú)效．
3．考試結(jié)束后，監(jiān)考員將試題卷、答題卡一并收回．
第Ⅰ卷
一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知集合，若，則a的值可能為（）
A. ，3B. C. ，3，8D. ，8
【答案】D
【解析】
【分析】由集合與元素的關(guān)系分類討論即可求解.
【詳解】由題意若，解得或，若，解得，
當(dāng)時(shí)，滿足題意，
當(dāng)時(shí)，違背了集合中元素間的互異性，
當(dāng)時(shí)，滿足題意，
綜上所述，a的值可能為，8.
故選：D.
2. 下列說(shuō)法正確的是（）
A. 若是奇函數(shù)，則
B. 若（m為常數(shù)）是冪函數(shù)，則不等式的解集為
C. 函數(shù)在上是減函數(shù)
D. 與為同一函數(shù)
【答案】B
【解析】
【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)判斷A；利用冪函數(shù)的定義確定的值，從而利用單調(diào)性解不等式，可判斷B；利用反比例函數(shù)的單調(diào)性判定C；利用函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系判斷D.
【詳解】對(duì)于A，若是奇函數(shù)，且定義域中包含0，才有，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，若（m為常數(shù)）是冪函數(shù)，則，得，
所以，其在上為減函數(shù)，
若，則，
解得，B正確；
對(duì)于C，函數(shù)在和上是減函數(shù)，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，函數(shù)，與不是同一函數(shù)，D錯(cuò)誤.
故選：B.
3. 下列命題為真命題的是（）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，，則D. 若，則
【答案】C
【解析】
【分析】利用不等式的性質(zhì)證明正確選項(xiàng)，舉反例排除錯(cuò)誤選項(xiàng)即可.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，無(wú)意義，故A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，無(wú)意義，故B錯(cuò)誤，
對(duì)于C，若且，則，，故C正確，
對(duì)于D，令，則，，顯然，故D錯(cuò)誤，
故選：C
4. 太空中水資源有限，要通過(guò)回收水的方法制造可用水，回收水是將宇航員的尿液、汗液和太空中的水收集起來(lái)經(jīng)過(guò)特殊凈水器處理成飲用水循環(huán)使用．凈化過(guò)程中，每過(guò)濾一次可減少水中雜質(zhì)10%，要使水中雜質(zhì)減少到原來(lái)的1%以下，至少需要過(guò)濾的次數(shù)為（參考數(shù)據(jù)：）（）
A. 42次B. 43次C. 44次D. 45次
【答案】C
【解析】
【分析】由條件列不等式，結(jié)合指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可.
【詳解】設(shè)經(jīng)過(guò)次過(guò)濾達(dá)到要求，原來(lái)水中雜質(zhì)為1，
由題意，即，
所以，
所以，
所以至少需要過(guò)濾的次數(shù)為44次.
故選：C.
5. 已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，若，，，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先比較出，由已知可得函數(shù)在上為增函數(shù)，從而可解.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，
所以，
由于，
又，，則，
所以，
函數(shù)是定義域?yàn)镽偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，
則在上為增函數(shù)，
所以，
即.
故選：A
6. 甲、乙兩選手進(jìn)行象棋比賽，已知每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，若采用三局二勝制，則乙最終獲勝的概率為（）
A. 0.36B. 0.352C. 0.288D. 0.648
【答案】B
【解析】
【分析】由題意可得乙最終獲勝有兩種情況：一是前兩局乙獲勝，二是前兩局乙勝一局，第三局乙獲勝，然后由獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式求解即可.
【詳解】由題意可得乙最終獲勝有兩種情況：
一是前兩局乙獲勝，則獲勝的概率為，
二是前兩局乙勝一局，第三局乙獲勝，則獲勝的概率為，
而這兩種情況是互斥的，所以乙最終獲勝的概率為.
故選：B.
7. 若把函數(shù)的圖象平移，可以使圖象上的點(diǎn)變換成點(diǎn)，則函數(shù)的圖象經(jīng)此平移變換后所得的圖象大致形狀為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先由平移法則得函數(shù)表達(dá)式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)即可判斷.
【詳解】由題意可知圖象上點(diǎn)變換成點(diǎn)，
意味著函數(shù)的圖象向右平移一個(gè)單位且向下平移2個(gè)單位，
此時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為，
若，則時(shí)，且單調(diào)遞減，時(shí)，且單調(diào)遞增，
對(duì)比選項(xiàng)可知D選項(xiàng)符合題意.
故選：D.
8. 已知，且滿足，則的值為（）
A. 0B. 2C. 4D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，判斷出的單調(diào)性、奇偶性，利用性質(zhì)可得答案.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>令，因?yàn)樵谏隙紴閱握{(diào)遞增函數(shù)，
所以在上都為單調(diào)遞增函數(shù)，
又時(shí)，，所以為奇函數(shù)，
所以，所以，又，
所以，可得，即.
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性解題.
二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）
A. 命題“有一個(gè)奇數(shù)不能被3整除”的否定是“有一個(gè)奇數(shù)能被3整除”
B. “菱形是正方形”是全稱命題
C. 式子化簡(jiǎn)后為
D. “”是“，有為真命題”的充分不必要條件
【答案】AD
【解析】
【分析】對(duì)于A，由命題否定的定義即可判斷；對(duì)于B，由全稱量詞命題的定義即可判斷；對(duì)于C，首先，由此即可進(jìn)一步化簡(jiǎn)驗(yàn)算；對(duì)于D，首先得“，有為真命題”的充要條件，由此即可求解.
【詳解】對(duì)于A，命題“有一個(gè)奇數(shù)不能被3整除”的否定是“所有的奇數(shù)能被3整除”，故A符合題意；
對(duì)于B，“菱形是正方形”即“所有的菱形是正方形”是全稱命題，故B不符合題意；
對(duì)于C，若式子有意義，則，即，
所以，故C不符合題意；
對(duì)于D，，有，等價(jià)于，有，等價(jià)于，
所以“”是“，有為真命題”的必要不充分條件，故D符合題意.
故選：AD.
10. 已知定義在上的函數(shù)滿足，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則下列說(shuō)法正確的是（）
A. B. 圖象的對(duì)稱中心為
C. 在區(qū)間上單調(diào)遞減D. 滿足的x的取值范圍是
【答案】BC
【解析】
【分析】選項(xiàng)A，只需將代入等式，求解即可；選項(xiàng)B，將等式變形為，可得出其對(duì)稱性；選項(xiàng)C，結(jié)合對(duì)稱性和函數(shù)的單調(diào)性，可得出函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；選項(xiàng)D，先討論函數(shù)在上的符號(hào)，結(jié)合的符號(hào)，解不等式即可.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，將代入等式，可得，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B，若函數(shù)滿足，即，
則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，選項(xiàng)B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
所以函數(shù)在區(qū)間上也單調(diào)遞減，選項(xiàng)C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，
由，可得：
當(dāng)時(shí)，，解得，則；
當(dāng)時(shí)，，解得，則；
所以不等式的解集為，選項(xiàng)D不正確.
故選：BC.
11. 已知樣本甲：與樣本乙：滿足關(guān)系，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）
A. 樣本乙的極差等于樣本甲的極差
B. 若某個(gè)為樣本甲的中位數(shù)，則是樣本乙的中位數(shù)
C. 樣本乙的眾數(shù)小于樣本甲的眾數(shù)
D. 若某個(gè)為樣本甲的平均數(shù)，則是樣本乙的平均數(shù)
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用極差、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的定義和性質(zhì)即可求解．
【詳解】由樣本甲：，，，…，與樣本乙：，，，…，滿足，知：
樣本乙的極差不等于樣本甲的極差，例如樣本甲：0，1，2與樣本乙：，故A中結(jié)論不正確；
不妨令，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，則，
所以若某個(gè)為樣本甲中位數(shù)，則是樣本乙的中位數(shù)，故B中結(jié)論正確；
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，則樣本乙的眾數(shù)等于樣本甲的眾數(shù)，故C中結(jié)論不正確；
若某個(gè)為樣本甲的平均數(shù)，則不一定是樣本乙的平均數(shù)，
例如樣本甲：0，1，2與樣本乙：，故D中結(jié)論不正確．
故選：ABD．
12. 已知函數(shù)，若函數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)相同，則的取值可能是（）
A. 2B. C. 0D. 4
【答案】AC
【解析】
【分析】通過(guò)零點(diǎn)相同可確定，解得，，進(jìn)而確定函數(shù)與函數(shù)的解析式，利用零點(diǎn)相同將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成方程無(wú)解或與方程的解相同，進(jìn)而求解.
【詳解】設(shè)的零點(diǎn)為，則，又，
故，解得，則．
，
因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的零點(diǎn)相同，
所以方程無(wú)解或與方程的解相同，
所以或，解得，
所以．
故選：AC
第Ⅱ卷
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 某班擬從2名男學(xué)生和1名女學(xué)生中隨機(jī)選派2名學(xué)生去參加一項(xiàng)活動(dòng)，則恰有一名女學(xué)生和一名男學(xué)生去參加活動(dòng)的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】由列舉法求古典概型概率即可.
【詳解】設(shè)2名男學(xué)生分別為,1名女學(xué)生為，
所以選派2名學(xué)生去參加一項(xiàng)活動(dòng)共有：三種情況，
符合題意的情況有兩種，
所以恰有一名女學(xué)生和一名男學(xué)生去參加活動(dòng)的概率是.
故答案為：.
14. 在一次籃球比賽中，某球隊(duì)共進(jìn)行了9場(chǎng)比賽，得分分別26，37，23，45，32，36，40，42，51，則這組數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)為______．
【答案】40
【解析】
【分析】利用百分位數(shù)的定義求解即可.
【詳解】將得分從小到大排列有
又，所以這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為第6個(gè)數(shù)，即40.
故答案為：40
15. 已知關(guān)于x的一元二次不等式的解集為，則的最小值為______．
【答案】##
【解析】
【分析】由題可得a，b是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系可求出的值，進(jìn)而可得，再由不等式“1”的代換即可求出答案.
【詳解】因?yàn)閰^(qū)間是關(guān)于的一元二次不等式的解集，
則a，b是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
則有，，，，
所以，且a，b是兩個(gè)不同的正數(shù)，
則有
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)即，等號(hào)成立，
滿足，故的最小值是.
故答案為： .
16. 記表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如，．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______．
【答案】
【解析】
【分析】通過(guò)數(shù)形結(jié)合首先得，進(jìn)一步若要滿足題目條件，只需，由此即可得解.
【詳解】如圖所示：

若，則函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象只有1個(gè)交點(diǎn)，
即函數(shù)恰有1個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；
如圖所示：

若函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，且，
所以函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
顯然當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，
只需保證當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，
則，解不等式組得，
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：首先得到，進(jìn)一步通過(guò)畫圖，列出滿足題意的不等式組即可順利得解.
四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
17. 已知，集合，．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知求得集合，，由交集運(yùn)算即可得出結(jié)果.
（2）根據(jù)已知條件得集合A是集合B的真子集，討論，兩種情況，求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)時(shí)，集合，可得或，
所以；
【小問(wèn)2詳解】
由題知，集合A是集合B的真子集，
當(dāng)時(shí)，，即，符合題意，
當(dāng)時(shí)，則，即，且滿足，兩式不能同時(shí)取等號(hào)，解得，
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
18. 已知函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明；
（2）用二分法求方程在區(qū)間上的一個(gè)近似解（精確度為0.1）．
【答案】18. 單調(diào)遞增，證明見解析
19. 2.6（內(nèi)任意一個(gè)實(shí)數(shù)都是對(duì)應(yīng)方程符合精確度要求的一個(gè)近似解）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合單調(diào)性的定義分析證明；
（2）根據(jù)單調(diào)性以及零點(diǎn)存在性定理可知在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合二分法分析求解.
【小問(wèn)1詳解】
在單調(diào)遞增；證明如下：
任取，不妨設(shè)，，
因?yàn)椋瑒t，，，
可得，即，
所以在上單調(diào)遞增.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是連續(xù)且單調(diào)的，
可知其在區(qū)間上的零點(diǎn)即為方程在區(qū)間上的解，
且，，可得在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，
在區(qū)間上利用二分法列表如下：
此時(shí)解在區(qū)間，此區(qū)間長(zhǎng)度為，，滿足精確度為0.1，故區(qū)間，
即內(nèi)任意一個(gè)實(shí)數(shù)都是對(duì)應(yīng)方程符合精確度要求的一個(gè)近似解，比如2.6是方程在上的一個(gè)近似解．
19. 已知函數(shù)（，且），從下面兩個(gè)條件中選擇一個(gè)進(jìn)行解答．
①的反函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)；②的解集為．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若，，求的最值及對(duì)應(yīng)x的值．
【答案】（1）
（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)所選的條件，利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)解方程求參數(shù)a即可；
（2）由（1）得，換元法有，則，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求最值，并確定對(duì)應(yīng)x的值.
【小問(wèn)1詳解】
若選①：由題知，函數(shù)的反函數(shù)為，則，即；
若選②：由題知，的解集為，
因?yàn)椋?，即?br>【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，，則，
令，則，
當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，，
綜上：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
20. 從某學(xué)校800名男生中隨機(jī)抽取50名測(cè)量身高，被測(cè)學(xué)生身高全部介于155cm和195cm之間，將測(cè)量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組，第二組，…，第八組，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第六組的人數(shù)為4．
（1）求第七組的頻率；
（2）估計(jì)該校800名男生身高的中位數(shù)；
（3）從樣本身高屬于第六組和第八組的男生中隨機(jī)抽取兩名，若他們的身高分別為x，y，記為事件E，求．
【答案】（1）0.06
（2）174.5cm （3）
【解析】
【分析】（1）由頻率和（即小矩形的面積和）為，求得結(jié)果即可；
（2）頻率分布直方圖中的中位數(shù)兩側(cè)矩形的面積和（頻率）各占；
（3）由古典概型計(jì)算公式分別計(jì)算基本事件總數(shù)和事件E包含的基本事件個(gè)數(shù)，求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
第六組的頻率為，
則第七組的頻率為；
【小問(wèn)2詳解】
由圖知，身高在的頻率為，
在的頻率為，
在的頻率為，
在的頻率為，
由于，，
設(shè)這所學(xué)校的800名男生的身高中位數(shù)為m，則，
由，得，
所以這所學(xué)校800名男生身高的中位數(shù)為174.5cm；
【小問(wèn)3詳解】
樣本身高在第六組的人數(shù)為4，設(shè)為a，b，c，d，
在第八組的人數(shù)為，設(shè)為A，B，
則從中隨機(jī)抽取兩名男生有：，，，，，，，，，，，，，，共15種情況，
當(dāng)且僅當(dāng)隨機(jī)抽取的兩名男生在同一組時(shí)，事件E發(fā)生，所以事件E包含的基本事件為，，，，，，共7種情況，
所以．
21. 已知，函數(shù)，．
（1）若，求不等式的解集；
（2）求不等式的解集；
（3），不等式恒成立，求a的取值范圍．
【答案】（1）
（2）答案見解析（3）
【解析】
【分析】（1）運(yùn)用換元法求解不等式即可.
（2）討論參數(shù)范圍，求解不等式即可.
（3）運(yùn)用分離參數(shù)法結(jié)合基本不等式求解參數(shù)范圍即可.
【小問(wèn)1詳解】
令，，即，解得或，所以或，解得；
【小問(wèn)2詳解】
依題意得，，即，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，x的解集為空集；當(dāng)時(shí)，；
【小問(wèn)3詳解】
依題意得，因?yàn)?，所以?br>又，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得等號(hào)，所以，即．
22. 近幾年，直播平臺(tái)作為一種新型的學(xué)習(xí)渠道，正逐漸受到越來(lái)越多人們的關(guān)注和喜愛．某平臺(tái)從2020年建立開始，得到了很多網(wǎng)民的關(guān)注，會(huì)員人數(shù)逐年增加．已知從2020到2023年，每年年末該平臺(tái)的會(huì)員人數(shù)如下表所示（注：第4年數(shù)據(jù)為截止到2023年10月底的數(shù)據(jù)）．
（1）請(qǐng)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，從下列三個(gè)模型中選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)哪Ｐ凸浪阍撈脚_(tái)建立年后會(huì)員人數(shù)y（千人），求出你所選擇模型的解析式，并預(yù)測(cè)2023年年末的會(huì)員人數(shù)；
①；②（且）；③（且）；
（2）為了更好的維護(hù)管理平臺(tái)，該平臺(tái)規(guī)定第x年的會(huì)員人數(shù)上限為千人，請(qǐng)根據(jù)（1）中得到的函數(shù)模型，求k的最小值．
【答案】（1）選擇模型③，，84
（2）7
【解析】
【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可選擇模型③，將表格中的數(shù)據(jù)代入函數(shù)模型解析式，求出三個(gè)參數(shù)的值，即可得出函數(shù)模型解析式，再將代入函數(shù)模型解析式，即可得解；
（2）由已知可得出，令，則，令，求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值，即可得實(shí)數(shù)k的最小值.
【小問(wèn)1詳解】
由數(shù)據(jù)可知，函數(shù)是一個(gè)增函數(shù)，且增長(zhǎng)越來(lái)越快，故選擇模型③，
由表格中的數(shù)據(jù)可得，，，解得，，，
故函數(shù)模型的解析式為，
當(dāng)時(shí)，預(yù)測(cè)2023年年末的會(huì)員人數(shù)為千人；
【小問(wèn)2詳解】
由題知，對(duì)，都有，令，則，
令，則不等式右邊等價(jià)于函數(shù)，
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，
故，即k的最小值為7．區(qū)間
中點(diǎn)
中點(diǎn)函數(shù)值
區(qū)間長(zhǎng)度
1
建立平臺(tái)第x年
1
2
3
4
會(huì)員人數(shù)y（千人）
28
36
52
82

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