1. 若復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A. 1B. C. 2D. 4
【答案】C
【解析】法1：因?yàn)?，所以?br>所以.
法2：因?yàn)椋?，?
故選：C.
2. 已知數(shù)列是等比數(shù)列，若，則的前6項(xiàng)和為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】設(shè)數(shù)列的公比為，依題意，，解得，
所以.
故選：A
3. 已知向量，若與垂直.則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由題意，向量，可得，
因?yàn)椋?br>所以，解得，
所以當(dāng)時(shí)，與垂直，
故選：A.
4. 眾數(shù)?平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)的分布形態(tài)有關(guān).根據(jù)某小區(qū)1000戶居民的月均用水量數(shù)據(jù)（單位：），得到如圖所示的頻率分布直方圖，記該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為，中位數(shù)為，平均數(shù)為，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】觀察頻率分布直方圖，發(fā)現(xiàn)是屬于右邊“拖尾”，所以平均數(shù)大于中位數(shù)為，
由于第一個(gè)小矩形面積為，
前2個(gè)小矩形面積之和為，
所以中位數(shù)位于之間，故可得，解得，
由頻率分布直方圖可知眾數(shù)，
故，
故選：D.
5. 已知函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因?yàn)闀r(shí)，是單調(diào)減函數(shù)，
又因?yàn)樵赗上單調(diào)，
所以，故時(shí)，單調(diào)遞誠，
則只需滿足，解得，
故選：B
6. 已知函數(shù)的部分圖像如圖，是相鄰的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)，直線的方程為，則函數(shù)的解析式為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】連接，與軸交于點(diǎn)，
由圖像的對(duì)稱性，知點(diǎn)也在函數(shù)的圖像上，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.
設(shè)，由，得，
所以的最小正周期滿足，
解得，即，解得，
，
因?yàn)辄c(diǎn)是圖像的一個(gè)最高點(diǎn)，
所以，結(jié)合，
解得，
故選：C.
7. 已知為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因?yàn)闉榉匠痰膬筛?br>由韋達(dá)定理，得，
則
故選：C.
8. 橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，以為直徑的圓與橢圓沒有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】以為直徑的圓的方程為，
依題意，橢圓短軸的端點(diǎn)在此圓外，
即，
解得，
則雙曲線的離心率為，
由，得，
所以所求離心率取值范圍.
故選：D
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知某批產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，且，現(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨機(jī)取3件，用表示這3件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間的產(chǎn)品件數(shù)，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】由正態(tài)分布的概念可知，故A正確；
由正態(tài)分布的性質(zhì)得，故B錯(cuò)誤；
則1件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間的概率為
所以，故C正確；
，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
10. 已知圓錐的頂點(diǎn)為為底面圓的直徑，，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)為的中點(diǎn)，與底面所成的角為，則（ ）
A. 該圓錐的側(cè)面積為
B. 該圓錐的體積為
C.
D. 該圓錐內(nèi)部半徑最大的球的表面積為
【答案】BCD
【解析】由已知，，，
易得等腰三角形的底邊長， ，
對(duì)于A，該圓錐的側(cè)面積為，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B該圓錐的體積為，B正確；
對(duì)于C，如圖，取中點(diǎn)為，連接，
則為與底面所成角為，故，C正確；
對(duì)于D，當(dāng)球與圓錐內(nèi)切時(shí)，表面積最大，此時(shí)球心在圓錐的高上，
設(shè)為，球半徑為，過向作垂線，垂足為，則，
又，所以，所以，
球的表面積為，D正確，
故選：BCD
11. 若為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)任意的，恒有，且，則（ ）
A. B.
C. 為偶函數(shù)D. 若，則
【答案】ABD
【解析】原式移項(xiàng)得，
即
對(duì)于A，令，則由
可得，
故（舍去）或，故A正確：
對(duì)于B，令，則，故.
由于x∈R，令，則，所以，即有，故B正確：
對(duì)于C，令，則，即，
因?yàn)?，所以，所以為偶函?shù)，
對(duì)左右兩邊同時(shí)求導(dǎo)得，所以為奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由A選項(xiàng)，若，
令，則，即，
令，則，即，
令，則，即，
令，則，即，
令，則，即，
令，則，即，
令，則，即，
由此可得的值有周期性，且周期為6，
且，
故，故D正確.
故選：ABD.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知集合，寫出滿足條件的整數(shù)的一個(gè)值__________.
【答案】中的任何一個(gè)值.
【解析】因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)椋?br>故整數(shù)所有可能取值為.
故答案為：中的任何一個(gè)值.
13. 已知，則__________.
【答案】4
【解析】由，整理得，
得，解得，所以.
另解：由題知，則，
利用基本不等式可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，解得.
故答案為：4
14. 小明參加一項(xiàng)籃球投籃測(cè)試，測(cè)試規(guī)則如下：若出現(xiàn)連續(xù)兩次投籃命中，則通過測(cè)式；若出現(xiàn)連續(xù)兩次投籃不中，則不通過測(cè)試.已知小明每次投籃命中的概率均為，則小明通過測(cè)試的概率為__________.
【答案】
【解析】設(shè)第一次投籃成功為事件B，通過測(cè)試為事件A，
則，
所以，
所以，
故答案為：
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文子說明?證明過程或演算步驟.
15. 已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且.
（1）求；
（2）若，求周長的最大值.
解：（1）由b及正弦定理
得
所以
因?yàn)?br>化簡得
因?yàn)?，所以，所?br>所以.
（2）法一：由余弦定理
有
因?yàn)?br>所以
即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立
所以的周長.
即周長的最大值為6.
法二：由正弦定理，即
的周長
因?yàn)?，所?br>所以
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)取得最大值為6
法三：（幾何法）：如圖1所示，延長到點(diǎn)，使得
使得，
要使的周長最大，則需滿足長度最大
將問題轉(zhuǎn)化為已知一邊，一對(duì)角，求另一邊的長度的最大值
由圖2可得.當(dāng)為該圓直徑時(shí)，最大.
即
所以.

16. 如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，，平面平面為的中點(diǎn).
（1）求證：平面平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值.
（1）證明：方法一；由，有，
，
因?yàn)闉檎叫?，故?br>又平面平面交于平面，
所以，平面，
又平面，所以，
又平面平面，
故平面，又平面，
所以平面平面.
方法二；因?yàn)闉檎叫危剩?br>而平面平面交于平面，
所以平面，又平面，
所以，
平面和平面交線平行于.
故是平面和平面所成二面角的平面角.
.有，
故平面平面.
方法三：取中點(diǎn)為，先證明：，
，點(diǎn)為的中點(diǎn).，
而平面平面交于平面，
所以，平面，又平面，
所以，，
由已知，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)?
故，
，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，即，取，得，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，即，取，得，
，故，
所以，平面平面.
（2）解：取中點(diǎn)為.
由（1）知，，
建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，
所以，，
顯然可知平面的法向量為PD=0,1,-1，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，，
取，得，
則，
所以平面和平面所成銳二面角的余弦值為.
17. 已知拋物線的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線與軸相交于點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)滿足直線的斜率之積為，記點(diǎn)的軌跡為.
（1）求的方程；
（2）過點(diǎn)且斜率為的直線與軸相交于點(diǎn)，與相交于兩點(diǎn)，若.求的值.
解：（1）設(shè)點(diǎn)，
由題意知.
直線的斜率分別，
所以，
化簡得
點(diǎn)的軌跡方程為.
（2）方法一，設(shè)，
由題意知直線的方程為，所以，
聯(lián)立方程組，消去整理得，
，，
由得，，
故有，即，
解得.
方法二：設(shè)，
由題意知直線的方程為，所以，
聯(lián)立方程組，消去整理得.
，，
由得，，
故有，即，
解得.
方法三：設(shè)，
由題意知直線的方程為，所以.
因?yàn)?，所以線段的中點(diǎn)為，
，
又因?yàn)?，所以點(diǎn)也是的中點(diǎn)，
聯(lián)立方程組，
-②得，
即，
所以，
又因?yàn)?，所以?br>解得.
18. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程；
（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（3）設(shè)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
解：（1），
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)在處的切線方程為.
（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>①當(dāng)時(shí)，恒成立，
令，則，
若：若，
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；
②當(dāng)時(shí)，，
令，則，
（i）當(dāng)，即時(shí)，
若或：若，
所以在上遞增，在上遞減，在上遞增.
（ii）當(dāng)，即時(shí)，恒成立，在上遞增.
（iii）當(dāng)，即時(shí)，若或：
若，
所以在上遞增，在上遞減，在上遞增，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上遞增，在上遞減，在上遞增；
當(dāng)時(shí)，在上遞增；
當(dāng)時(shí)，在上遞增，在上遞減，在上遞增.
（3）由得恒成立
因?yàn)椋春愠闪?
設(shè)，則，
因?yàn)椋?br>同構(gòu)可得
令因?yàn)?，所以?br>下面先證
設(shè)，于是，
令，則，當(dāng)時(shí)，：
當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
所以，
即，
所以，即
故實(shí)數(shù)取值范圍為
19. 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）在和之間插入1個(gè)數(shù)，使成等差數(shù)列；在和之間插入2個(gè)數(shù)，使成等差數(shù)列；依次類推，在和之間插入個(gè)數(shù)，使成等差數(shù)列.
（i）若，求；
（ii）對(duì)于（i）中的，是否存在正整數(shù)，使得成立？若存在，求出所有的正整數(shù)對(duì)；若不存在，說明理由.
解：（1）當(dāng)時(shí)，得；
當(dāng)時(shí)，，
兩式相減得，
所以是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.
所以.
（2）①
設(shè)，
所以，
上面兩式相減得，
所以
所以，
所以.
②
因?yàn)槎际沁f減數(shù)列；
所以；
則，
令，即恒成立，
所以數(shù)列單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，；
則
所以；
當(dāng)時(shí)，；
則，
所以，，成立，解得，存在；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；不滿足題意，故不存在：
綜上所述，當(dāng)正整數(shù)對(duì)取和時(shí)，成立.

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