1. 若復(fù)數(shù)，，則（ ）.
A. B. C. 2D. 5
【答案】A
【解析】.
故選：A.
2. 已知函數(shù)定義域為，則命題：“函數(shù)為偶函數(shù)”是命題“，滿足”的（ ）.
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】若為偶函數(shù)，則有，充分性滿足；
若，
則有.，即，
而為奇函數(shù)，因此必要性不滿足.
故命題：“函數(shù)為偶函數(shù)”是命題“，滿足”的充分不必要條件.
故選：A.
3. 已知向量，的模相等且夾角為，若向量與向量垂直，則實數(shù)（ ）.
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】由，則，
即，
即.
解得.
故選：D.
4. 為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：
根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（ ）
A. 該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元農(nóng)戶比率估計為6%
B. 該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為10%
C. 估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元
D. 估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間
【答案】C
【解析】因為頻率直方圖中的組距為1，所以各組的直方圖的高度等于頻率.樣本頻率直方圖中的頻率即可作為總體的相應(yīng)比率的估計值.
該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶的比率估計值為,故A正確；
該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計值為,故B正確；
該地農(nóng)戶家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間比例估計值為,故D正確；
該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值的估計值為(萬元)，超過6.5萬元，故C錯誤.
綜上，給出結(jié)論中不正確的是C.
故選：C.
5. 已知，分別為軸、軸上的動點，若以線段為直徑的圓過點，則線段的中點的軌跡方程為（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】設(shè)點的坐標為，則點的坐標為，點的坐標為，
由圓的性質(zhì)可知，
當時，直線斜率不存在，
此時直線斜率為，所以，，，
當時，有，即，
整理得：，
經(jīng)檢驗在直線上，
所以的軌跡方程為：.
故選：B.
6. 設(shè)函數(shù)，則不等式的解集為（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】函數(shù)的定義域為，
且，即為偶函數(shù)，
當時與，與均在上單調(diào)遞增，
所以與均在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，則不等式等價于，
即，解得或，
即不等式的解集為.
故選：B.
7. 已知三棱錐的所有頂點都在球O的球面上，是球O的直徑.若平面平面，，，球O的體積為，則三棱錐的體積為（ ）
A. 9B. 18C. 27D. 36
【答案】A
【解析】如圖，三棱錐的所有頂點都在球O的球面上，是球O的直徑
O為中點，
∴，，
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，
設(shè)，由球O的體積為，可得，
則，
∴三棱錐的體積為9，
故選∶A．
8. 如圖，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)，從雙曲線一個焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點.若雙曲線的左、右焦點分別為，，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖中的，兩點反射后，分別經(jīng)過點和，且，，則的離心率為（ ）.

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】連接，，根據(jù)題意，，，三點共線，，，三點共線.，且由知，故.
所以.
可設(shè)，，.
由于
，故.
從而，，故，.
在中，由余弦定理得，
，解得，
所以.
故選：C.

二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）
9 已知，函數(shù)，則（ ）.
A. 關(guān)于直線對稱
B. 的最大值為
C. 在上不單調(diào)
D. 在，方程（為常數(shù)）最多有3個解
【答案】BC
【解析】若，則，
即，即，
若，則，
即，即，
故，
故的大致圖象如圖，
對于A：由圖象可得不關(guān)于直線對稱，故A錯誤；
對于B：由圖象可得的最大值為，故B正確；
對于C：當時，，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故C正確：
對于D：由圖象，當時，方程在有4個解，故D錯誤.
故選：BC.
10. 已知為坐標原點，點是拋物線的焦點，過點的直線交于兩點，為上的動點（與均不重合），且點位于第一象限，過點向軸作垂線，垂足記為點，點，則（ ）
A. B.
C. 的最小值為D. △OMN面積的最小值為2
【答案】ABD
【解析】對于A選項，由題意知，故，所以，故A正確；
對于B選項，由題意知軸，所以，
所以，
又，即，故B正確；
對于C選項，由拋物線的性質(zhì)知，，
因此當三點共線時，取得最小值，
此時，
即，故C錯誤；
對于D選項，設(shè)直線的方程為，
與拋物線的方程聯(lián)立得，
故，，
因此
，
又因為點到直線距離為，
所以△OMN的面積為，
當時，△OMN的面積取最小值2，故D正確．
故選：ABD．
11. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 至少有一個零點
B. 存在，使得有且僅有一個極值點
C. 點是曲線的對稱中心
D. 當時，在上單調(diào)遞減
【答案】ACD
【解析】對A：由，當時，，
故在上必有零點，即至少有一個零點，故A正確；
對B：若存在，使得有且僅有一個極值點，
則有唯一變號零點，
由二次函數(shù)性質(zhì)可知，二次函數(shù)在上不可能有唯一變號零點，
故不存在，使得有且僅有一個極值點，故B錯誤；
對C：
，
有，
故點是曲線的對稱中心，故C正確；
對D：，
當，，由，則，
故在上單調(diào)遞減，故D正確.
故選：ACD.
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）
12. 在單調(diào)遞增的等差數(shù)列中，若，，則__________.
【答案】0
【解析】因為數(shù)列為等差數(shù)列，則，
又因為，且數(shù)列單調(diào)遞增，可得，，
則公差，所以.
故答案為：0.
13. 已知，則的值為__________.
【答案】
【解析】由，
得，
則，
即得，
即，
則.
故答案為：.
14. 甲、乙兩班參加了同一學(xué)科的考試，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成績?yōu)?2分，方差為90分；乙班的平均成績?yōu)?0分，方差為60分．那么甲、乙兩班全部90名學(xué)生的平均成績是______分，方差是______分．
【答案】 ①. 80 ②.
【解析】甲、乙兩班全部90名學(xué)生的平均成績?yōu)榉郑?br>方差為
故答案為：80，
四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）
15. 已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的圖象在處的切線方程；
（2）求函數(shù)的最小值.
解：（1），
所以函數(shù)的圖象在處的切線斜率.
又，切點坐標為，
所以函數(shù)的圖象在處的切線方程為，即.
（2）函數(shù)的定義域為，
令，得.
當時，，在上單調(diào)遞減；
當時，，在上單調(diào)遞增.
所以函數(shù)的最小值為.
16. 在中，角所對的邊分別為，，，已知.
（1）求；
（2）若的面積為，且，求的最小值.
解：（1）由正弦定理得，
即，
由余弦定理可得，
因為B∈0,π，
所以.
（2）由已知，所以.
因為，所以，
可得，
所以
，
又，
當且僅當，時取等號，
所以的最小值為.
17. 如圖，在四棱錐中，是以為斜邊等腰直角三角形，，，平面平面，.
（1）證明：．
（2）為的中點，求直線BM與平面所成角的正弦值.
（1）證明：設(shè)的中點為，連接，，，
因為，，，
所以四邊形為正方形，
所以，
因為是以為斜邊的等腰直角三角形，
所以，
又因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
又，平面，
所以平面，
因為平面，
所以．
（2）解：以為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
易知，，，，，
則，，，
設(shè)平面的法向量為，
可得，令，則，所以，
設(shè)直線與平面所成的角為，
則，
即直線BM與平面所成角的正弦值為.
18. 隨著春季學(xué)期開學(xué)，某市市場監(jiān)管局加強了對學(xué)校食堂食品安全管理，助力推廣校園文明餐桌行動，培養(yǎng)廣大師生文明餐桌新理念，以“小餐桌”帶動“大文明”，同時踐行綠色發(fā)展理念．該市某中學(xué)有A，B兩個餐廳為老師與學(xué)生們提供午餐與晚餐服務(wù)，王同學(xué)、張老師兩人每天午餐和晚餐都在學(xué)校就餐，近一個月（30天）選擇餐廳就餐情況統(tǒng)計如下：
假設(shè)王同學(xué)、張老師選擇餐廳相互獨立，用頻率估計概率．
（1）估計一天中王同學(xué)午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的概率；
（2）記X為王同學(xué)、張老師在一天中就餐餐廳的個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（3）假設(shè)M表示事件“A餐廳推出優(yōu)惠套餐”，N表示事件“某學(xué)生去A餐廳就餐”，，已知推出優(yōu)惠套餐的情況下學(xué)生去該餐廳就餐的概率會比不推出優(yōu)惠套餐的情況下去該餐廳就餐的概率要大，證明：．
（1）解：設(shè)事件C為“一天中王同學(xué)午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐”，
因為30天中王同學(xué)午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的天數(shù)為，
所以．
（2）解：由題意知，王同學(xué)午餐和晚餐都選擇A餐廳就餐的概率為0.3，
王同學(xué)午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐的概率為0.1，
張老師午餐和晚餐都選擇A餐廳就餐的概率為0.2，
張老師午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐的概率為0.4，
記X為王同學(xué)、張老師在一天中就餐餐廳的個數(shù)，則X的所有可能取值為1、2，
所以，，
所以X的分布列為
所以X的數(shù)學(xué)期望
（3）證明：由題知，
所以，
所以，
所以，
即：，
所以，
即.
19. 記直線為橢圓的上準線.已知橢圓的上、下焦點分別為，，若橢圓上有一點，記到上準線的距離為，且是與的等差中項.
（1）當取最大值時，求橢圓的離心率；
（2）令，的面積為，判斷數(shù)列的單調(diào)性并加以證明.
解：（1）由題意可知，，
準線的方程為，
根據(jù)橢圓的定義可得，
則，
設(shè)點，則有，
橢圓下頂點的坐標為，上頂點的坐標為，
因為在上，則，即，
解得，
可知的最大值為，此時，
所以橢圓的離心率.
（2）因為，則，
且，可得，
則，，
，
所以，則，
構(gòu)造函數(shù)，
則，
當時，，所以；
當時，，所以在時單調(diào)遞減；
且，，即，
綜上所述，當時，單調(diào)遞減，
注意到，
所以且當時，單調(diào)遞減.選擇餐廳情況（午餐，晚餐）
王同學(xué)
9天
6天
12天
3天
張老師
6天
6天
6天
12天
X
1
2
P
0.1
0.9

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