一、選擇題（40分）
1. 若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（ ）
A. x≥3B. x≤3C. x＞3D. x＜3
【答案】D
【解析】∵式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，
∴＞0，
解得x＜3，
故選：D．
2. 2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)項(xiàng)目圖標(biāo)設(shè)計(jì)，不僅注重刻畫運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，更注重項(xiàng)目本身的展示．下列項(xiàng)目圖標(biāo)既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A．不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；
B．既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，符合題意；
C．既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；
D．是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；
故選：B．
3. 下列詩句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ）
A. 魚戲蓮葉東B. 大漠孤煙直
C. 手可摘星辰D. 黃河入海流
【答案】C
【解析】A、是隨機(jī)事件，故不符合題意；
B、是隨機(jī)事件，故不符合題意；
C、是不可能事件，故符合題意；
D、是必然事件，故不符合題意；
故選：C．
4. 反比例函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，則反比例函數(shù)的解析式為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】將點(diǎn)代入得：，解得：，
∴反比例函數(shù)的解析式為，
故選：B．
5. 如圖，和是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，，的周長為8，則的周長為（ ）

A. 8B. 16C. 24D. 32
【答案】C
【解析】∵，，
∴，
∵和是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，，
∴和的相似比為，
∵的周長為8，
∴的周長為24．
故選：C
6. 估算的值在（ ）
A. 2和3之間B. 3和4之間
C. 4和5之間D. 5和3之間
【答案】B
【解析】，
∵，∴，∴．
故選B．
7. 如圖是三種化合物的結(jié)構(gòu)式及分子式，則按其規(guī)律第9個(gè)化合物的分子式為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】觀察圖形可得C右下角的數(shù)字是從1開始連續(xù)的正整數(shù)，H右下角的數(shù)字是從4開始的偶數(shù)，
∴第n個(gè)化合物的分子式為，
∴第9個(gè)化合物分子式為，
故選：D．
8. 已知實(shí)數(shù)滿足，，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】實(shí)數(shù)滿足，，
是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
，
，
故選：B．
9. 如圖，正方形的邊長為，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，點(diǎn)在的延長線上，，連接， 若為的中點(diǎn)，則線段的長為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】延長到，使，連接，過點(diǎn)作的垂線，垂足為
四邊形是正方形
，
在中，
為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)
為的中位線
四邊形是正方形
是等腰直角三角形
，
在中，由勾股定理得
故選：C．
10. 如果關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另一個(gè)根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，以下關(guān)于倍根方程的說法：
①方程倍根方程；
②若是倍根方程，則；
③若點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，則關(guān)于的方程是倍根方程；
其中正確的有（ ）
A. 0個(gè)B. 1個(gè)C. 2個(gè)D. 3個(gè)
【答案】C
【解析】
解得，
①錯(cuò)誤；
解，可知，，由題意可知，或
當(dāng)時(shí)，，將其代入
可知
當(dāng)時(shí)，，將其代入
可知
可知②正確；
點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上
將其代入，整理得，由十字相乘法，可知，解得，，從而判斷其符合倍根方程的定義．
故③正確．
所以正確的個(gè)數(shù)為2個(gè)
故選：C．
二、填空題（32分）
11. 計(jì)算：_________．
【答案】
【解析】
．
12. “四大名著”《紅樓夢(mèng)》《水滸傳》《三國演義》《西游記》是中國優(yōu)秀文化的重要組成部分．某校七年級(jí)準(zhǔn)備從這四部名著中隨機(jī)抽取兩本（先隨機(jī)抽取一本，不放回，再隨機(jī)抽取另一本）開展“名著共讀”活動(dòng)，則該年級(jí)的學(xué)生恰好抽取到《三國演義》和《西游記》的概率是______．
【答案】
【解析】把《紅樓夢(mèng)》《水滸傳》《三國演義》《西游記》四本書分別記為A，B，C，D，根據(jù)題意，畫出如下的樹狀圖：
由樹狀圖可知看出，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有12種，這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等．
兩本是《三國演義》和《西游記》的結(jié)果有2種，
所以P（兩本是《三國演義》和《西游記》）．
13. 一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和的差是，則它的邊數(shù)為______．
【答案】7
【解析】設(shè)多邊形的邊數(shù)為，由題意得，
解得：，
故答案為：7．
14. 2024龍年春晚主題為“龍行龘龘（），欣欣家國”“龘”這個(gè)字引發(fā)一波熱門關(guān)注，據(jù)記載，“龘”出自第一部楷書字典《玉篇》，“龍行龘龘”形容龍騰飛的樣子，昂揚(yáng)而熱烈，某服裝店購進(jìn)一款印有“龘”字圖案的上衣，據(jù)店長統(tǒng)計(jì)，該款上衣1月份銷售量為115件，3月份銷售量為216件，設(shè)該款上衣銷售量的月平均增長率為，則可列方程為________．
【答案】
【解析】根據(jù)題意得：，
故答案為：．
15. 如圖，把三角形紙片折疊，使點(diǎn)、點(diǎn)都與點(diǎn)重合，折痕分別為DE，，得到，若厘米，則的邊的長為______厘米．
【答案】
【解析】過點(diǎn)作于，
∵，，
∴，
由翻折得，，
∴，
故答案為：
16. 若數(shù)使關(guān)于的不等式組有且只有四個(gè)整數(shù)解，且使關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則符合條件的所有整數(shù)的和為 _______．
【答案】0
【解析】，
解①得，，
解②得，，
；
不等式組有且僅有四個(gè)整數(shù)解，
，
解得：；
關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，
，，
，；
為整數(shù)，且，
可以是，，，
則符合條件的所有整數(shù)的和為；
故答案為：0．
17. 如圖，在菱形中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，已知，則_______，=______．
【答案】 23
【解析】過點(diǎn)B作于點(diǎn)M，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
過點(diǎn)F作交AD、的延長線于點(diǎn)P、Q，在PD上截取，連接，
∵是菱形，
∴，，，
由旋轉(zhuǎn)可得，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴DP=2，
∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
又∵，
∴．
18. 一個(gè)四位數(shù)，其中均為兩位數(shù)，的十位數(shù)字相同且，則的最小值是_____；將放在的左邊形成一個(gè)新的四位數(shù)，我們稱為的“合構(gòu)數(shù)”，若的百位數(shù)字與它的個(gè)位數(shù)字相乘所得的積能被它的百位數(shù)字加4的和整除，且能被17整除，則滿足條件的的最小值是_______．
【答案】
【解析】設(shè)較大的兩位數(shù)是，則較小的兩位數(shù)是，
則，
∵A是四位數(shù)，
當(dāng)時(shí)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，符合題意；
∴ 的最小值是，
∵能被17整除，
∴，中必有一個(gè)是的整數(shù)倍，即為，68，；
當(dāng)時(shí)，，數(shù)，這時(shí)不能被整除，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，數(shù)，這時(shí)不能被整除，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，數(shù)，這時(shí)能被整除，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，數(shù)，這時(shí)能被整除，符合題意；
當(dāng)時(shí)，，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，數(shù)，這時(shí)能被整除，不符合題意；
故滿足條件的的最小值是，
故答案為：1023，．
三、解答題（19題8分，其余各題每題10分，共78分）
19. 計(jì)算：
（1）；
（2）．
解：（1）原式；
（2）原式
.
20. 每年的4月15日是我國全民國家安全教育日．某中學(xué)在全校七、八年級(jí)共800名學(xué)生中開展“國家安全法”知識(shí)競(jìng)賽，并從七、八年級(jí)學(xué)生中各抽取20名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)這部分學(xué)生的競(jìng)賽成績（競(jìng)賽成績均為整數(shù)，滿分10分，6分及以上為合格）．相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)、整理如下：
八年級(jí)抽取的學(xué)生的競(jìng)賽成績：
4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10．
七、八年級(jí)抽取的學(xué)生的競(jìng)賽成績統(tǒng)計(jì)表
七年級(jí)抽取的學(xué)生的競(jìng)賽成績條形統(tǒng)計(jì)圖
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）填空：______，______，______；
（2）估計(jì)該校七、八年級(jí)共800名學(xué)生中競(jìng)賽成績達(dá)到9分及以上的人數(shù)；
（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)分析，從一個(gè)方面評(píng)價(jià)兩個(gè)年級(jí)“國家安全法”知識(shí)競(jìng)賽的學(xué)生成績誰更優(yōu)異．
解：（1）七年級(jí)抽取的20名學(xué)生中，將成績按從小到大的順序排列，由條形統(tǒng)計(jì)圖可知，第10位學(xué)生的成績是7分，第11位學(xué)生的成績是8分，
∴七年級(jí)抽取學(xué)生的成績的中位數(shù)是，即；
同理可求得八年級(jí)抽取學(xué)生成績的中位數(shù)是8，即；
八年級(jí)抽取的學(xué)生成績中，8分出現(xiàn)的次數(shù)最多，
∴眾數(shù)是8，即，
故答案為：7.5，8，8；
（2）（人），
即該校七、八年級(jí)共800名學(xué)生中競(jìng)賽成績達(dá)到9分及以上的約有200人；
（3）八年級(jí)“國家安全法”知識(shí)競(jìng)賽的學(xué)生成績更優(yōu)異，因?yàn)榘四昙?jí)的中位數(shù)高于七年級(jí)的中位數(shù)．
21. 在學(xué)習(xí)了菱形的相關(guān)知識(shí)后，小明同學(xué)進(jìn)行了關(guān)于菱形的判定方法的深入研究，他發(fā)現(xiàn)對(duì)于一個(gè)任意平行四邊形，滿足對(duì)角線平分其中一個(gè)內(nèi)角，則該平行四邊形是菱形．可利用三角形的全等和菱形的判定得到此結(jié)論，請(qǐng)根據(jù)這個(gè)思路完成作圖和填空．
（1）尺規(guī)作圖：在四邊形中，作的角平分線，交于點(diǎn)，在上取一點(diǎn)、使得，連接（不要求寫作法，保留作圖痕跡）：
（2）在（1）所作的圖中，其中，求證：四邊形是菱形．（請(qǐng)補(bǔ)全下面的證明過程）
證明：，_____①_____，
四邊形是平行四邊形，
平分，
_____②_____，
，
，
_____③_____，
，
平行四邊形是菱形．
請(qǐng)根據(jù)題目表述及證明過程，寫出你的結(jié)論：_____④_____是菱形．
（1）解：如圖所示，即為所求；
（2）證明：，，
四邊形是平行四邊形，
平分，
，
，
，
，
，
平行四邊形是菱形．
請(qǐng)根據(jù)題目表述及證明過程，寫出你的結(jié)論：對(duì)角線平分其中一個(gè)內(nèi)角的平行四邊形是菱形．
故答案為：，，，對(duì)角線平分其中一個(gè)內(nèi)角的平行四邊形．
22. 為響應(yīng)“把中國人的飯碗牢牢端在自己手中”的號(hào)召，確保糧食安全，優(yōu)選品種，提高產(chǎn)量，某農(nóng)業(yè)科技小組對(duì)A、B兩個(gè)玉米品種進(jìn)行實(shí)驗(yàn)種植對(duì)比研究．去年A、B兩個(gè)品種各種植了10畝．收獲后A、B兩個(gè)品種的售價(jià)均為2.4元/kg，且B品種的平均畝產(chǎn)量比A品種高100千克，A、B兩個(gè)品種全部售出后總收入為21600元．
（1）求A、B兩個(gè)品種去年平均畝產(chǎn)量分別是多少千克？
（2）今年，科技小組優(yōu)化了玉米的種植方法，在保持去年種植面積不變的情況下，預(yù)計(jì)A、B兩個(gè)品種平均畝產(chǎn)量將在去年的基礎(chǔ)上分別增加a%和2a%．由于B品種深受市場(chǎng)歡迎，預(yù)計(jì)每千克售價(jià)將在去年的基礎(chǔ)上上漲a%，而A品種的售價(jià)保持不變，A、B兩個(gè)品種全部售出后總收入將增加，求a的值．
解：（1）設(shè)A、B兩個(gè)品種去年平均畝產(chǎn)量分別是x、y千克，
由題意得，解得．
答：A．B兩個(gè)品種去年平均畝產(chǎn)量分別是400、500千克
（2）根據(jù)題意得：．
令a%=m，則方程化為：．
整理得10m2-m=0，
解得：m1=0（不合題意，舍去），m2=0.1
所以a%=0.1，所以a=10，
答：a的值為10．
23. 如圖，在矩形中，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿折線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)它到達(dá)點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿射線運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作直線平行于，點(diǎn)為直線上的一點(diǎn)，滿足的面積為2，設(shè)點(diǎn)、點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，的面積為，的長度為．
（1）分別求出，與的函數(shù)關(guān)系，并注明的取值范圍；
（2）在坐標(biāo)系中畫出，的函數(shù)圖象，并寫出函數(shù)，的一條性質(zhì)；
（3）結(jié)合函數(shù)圖象，請(qǐng)直接寫出當(dāng)時(shí)的取值范圍．（近似值保留一位小數(shù)，誤差不超過）
解：（1）當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，
當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，
當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，
綜上所述，
的面積為2
（2）函數(shù)圖象如圖所示：
（3）觀察圖象可知時(shí)，的取值范圍為：（右端值可為4.6，4.7，4.8，4.9）．
24. 今年校慶期間，小南和小開相約從宿舍大門出發(fā)去參觀學(xué)校的津之南美術(shù)館．如圖，小南選擇路線1：，小開選擇路線．經(jīng)勘測(cè)，A，D，E三點(diǎn)共線，且點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東方向上，點(diǎn)在點(diǎn)的正西方向，且在點(diǎn)的北偏西方向；點(diǎn)在點(diǎn)的正北方向，且在點(diǎn)的正東方向，所有點(diǎn)A，B，C，M，D，E都在同一平面內(nèi)．測(cè)量得知，點(diǎn)恰好為中點(diǎn)，米，米．
（1）求A，E兩地之間的距離（結(jié)果保留根號(hào)）；
（2）已知小南的速度為每分鐘50米，小開的速度為每分鐘60米，小南和小開同時(shí)從宿舍大門A出發(fā)沿著各自選擇的路線勻速前往津之南美術(shù)館M，請(qǐng)通過計(jì)算時(shí)間說明他們倆誰先到達(dá)M（時(shí)間精確到0.1）？（參考數(shù)據(jù)：）
解：（1）如圖，作于N，交于H，
由題意知，
，
，
四邊形是矩形，
．
設(shè)，則，
在中，，
在中，，
，
解得，即，
，
，
在中，，
A，E兩地之間的距離為米；
（2）在中，，
由（1）知四邊形是矩形，
，
等腰中，，
，
，
（米），
（米），
小南所用時(shí)間為：（分鐘），
小開所用時(shí)間為：（分鐘），
，
小開先到達(dá)M．
25. 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，直線與反比例函數(shù)的圖象在第一象限相交于點(diǎn)，
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）如圖2，點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，連接，，試問在軸上是否存在一點(diǎn)，使的面積與的面積相等，若存在，請(qǐng)求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）新定義：如圖3，在平面內(nèi)，如果三角形的一邊等于另一邊的3倍，這兩條邊中較長的邊稱為“麒麟邊”，兩條邊所夾的角稱為“麒麟角”，則稱該三角形為“麒麟三角形”，如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，為“麒麟三角形”， 為“麒麟邊”， 為“麒麟角”，其中，兩點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，且點(diǎn)橫坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)為直角三角形時(shí)，求的值．
解：（1）設(shè)直線的表達(dá)式為：，
由點(diǎn)，點(diǎn)得，解得
所以直線的表達(dá)式為：，
當(dāng)時(shí)，即，則，
即點(diǎn)，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式得：，
即反比例函數(shù)的表達(dá)式為：；
（2）存在，理由：
點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，
則點(diǎn)，
當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，
過點(diǎn)作直線，交軸于點(diǎn)，則點(diǎn)為所求點(diǎn)，
直線的表達(dá)式為：，，
則直線的表達(dá)式為：，
令，則，解得：，則點(diǎn)，
則，
當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，
則點(diǎn)的坐標(biāo)為：，
即點(diǎn)，
綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或；
（3）為“麒麟三角形”， 為“麒麟邊”， 為“麒麟角”，
，
是直角三角形，
不可能為斜邊，即，
或，
如圖1，當(dāng)時(shí)，過作軸于，過作軸于，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
點(diǎn)坐標(biāo)為，
，
此時(shí)，點(diǎn)不可能在反比例函數(shù)上，故該情況不存在；
②如圖2，當(dāng)時(shí)，過作軸于，過作軸交于，
，
，
，
，
，
，
，，
設(shè)，，
，
，
點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)坐標(biāo)．
，在上，
，
解得：；
綜上，，
則點(diǎn)的坐標(biāo)為：，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式得：．
26. 在中，，，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞著點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接．
（1）如圖1，，點(diǎn)恰好為中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，若，求的長度；
（2）如圖2，與交于點(diǎn)，連接，在延長線上有一點(diǎn)，，求證：；
（3）如圖3，與交于點(diǎn)，且平分，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，連接，，點(diǎn)為延長線上一點(diǎn)，將沿直線翻折至所在平面內(nèi)得到，連接，在，運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)取得最小值，且時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值．
（1）解：，，，
，，，
點(diǎn)為中點(diǎn)，，
，
將繞著點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，
，，；
（2）證明：如圖1，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，
，，
，，
，
，，
，，
，
將繞著點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，
，，
，
，
，，
，
又，，
，
，
，
；
（3）解：如圖2，在上截取，連接，
平分，
，
又，
，
，
，
當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)三點(diǎn)共線，且時(shí)，有最小值，
如圖3，
，，
，
將沿直線翻折至所平面內(nèi)得到，
，，
，
，
，
，
，
，
又，
點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)三點(diǎn)共線，
將沿直線翻折至所在平面內(nèi)得到，
，
，
，，
，
，
，
，
．年級(jí)
七年級(jí)
八年級(jí)
平均數(shù)
7.4
7.4
中位數(shù)
眾數(shù)
7
合格率
90%

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