1．（4分）下列車標圖案中，是中心對稱圖形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（4分）擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，下列事件是隨機事件的是（ ）
A．點數(shù)的和為1B．點數(shù)的和為6
C．點數(shù)的和大于12D．點數(shù)的和小于13
3．（4分）反比例函數(shù)y=?6x的圖象一定經(jīng)過的點是（ ）
A．（1，6）B．（3，2）C．（1，5）D．（﹣2，3）
4．（4分）已知二次函數(shù)y＝﹣3（x﹣2）2﹣1，下列說法正確的是（ ）
A．對稱軸為x＝﹣2B．頂點坐標為（2，1）
C．函數(shù)的最大值為﹣1D．函數(shù)的最小值為﹣1
5．（4分）已知m為一元二次方程x2+5x﹣1024＝0的根，那么﹣2m2﹣10m的值為（ ）
A．﹣2048B．﹣1024C．0D．2048
6．（4分）＜已知二次函數(shù)y＝ax2+3ax+4（a≠0）的部分圖象如圖，該拋物線的圖象過點A（﹣4，0），B（1，0），由圖象可知關(guān)于x的一元二次方程ax2+3ax+4＝0的兩個根分別是x1＝﹣4和x2＝（ ）
A．1B．﹣1C．4D．3
7．（4分）如圖，AB是⊙O的直徑，點A，B，C，D在⊙O上，∠ABC＝53°，則∠CDB的度數(shù)是（ ）
A．53°B．37°C．35°D．30°
8．（4分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝64°，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜64°）得到△ADE，DE交AC于點F．當α＝40°時，點D恰好落在BC上，此時∠AFE的度數(shù)為（ ）
A．90°B．94°C．100°D．104°
9．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2．以點C為圓心，CB長為半徑畫弧，分別交AB，AC于點E，D，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A．23πB．13π?3C．23π?3D．23π?23
10．（4分）關(guān)于x的多項式：Pn＝anxn+an﹣1xn﹣1+an﹣2xn﹣2+…+a2x2+a1x+a0，其中n為正整數(shù)，an，an﹣1，a0為互不相等且不為零的整數(shù)．比如當n＝3時，P3＝a3x3+a2x2+a1x+a0．交換任意兩項的系數(shù)，得到的新多項式稱為原多項式的“衍生多項式“．下列說法：
①P5共有15個不同的“衍生多項式”；
②若多項式Pn＝（2x﹣1）n，無論n為何值時，an+an﹣1+an﹣2+…+a1+a0＝l；
③若多項式P100＝（1﹣2x）100，a99+a97+…+a3+a1=1?31002．
其中正確的個數(shù)是（ ）
A．3個B．2個C．1個D．0個
二、填空題：（本大題B個小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案直接填寫在答題卡中對應的橫線上。
11．（4分）點P（﹣2，1）關(guān)于原點對稱的點P′的坐標是 ．
12．（4分）將拋物線y＝（x﹣2）2+1向下平移2個單位后所得的拋物線解析式為 ．
13．（4分）某汽車公司2024年10月份營業(yè)額為104億元，12月份營業(yè)額為125億元，已知該公司的營業(yè)額月平均增長率相同，設該公司10月到12月營業(yè)額平均月增長率為x，根據(jù)題意，可列出的方程是 ．
14．（4分）一個不透明口袋中裝有16個白球和若干個黑球，這些球除顏色外其余均相同，在不允許將球倒出來的前提下，為估計口袋中黑球的個數(shù)，采用了如下的方法：從口袋中隨機摸出1個球記下顏色后放回搖勻，不斷重復上述過程多次，發(fā)現(xiàn)摸到黑球的頻率穩(wěn)定在0.6，根據(jù)上述數(shù)據(jù)，可估計口袋中大約有 個黑球．
15．（4分）如圖，在平面直角坐標系中，直角三角形ABO的直角頂點O在原點，斜邊AB∥x軸交y軸于點C，經(jīng)過頂點A的反比例函數(shù)解析式為y=?2x(x＜0)，若AB＝3AC，則經(jīng)過頂點B的反比例函數(shù)解析式為 ．
16．（4分）若關(guān)于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則點P（m+5，﹣m﹣6）在第 象限．
17．（4分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，點D為AC弧的中點，對角線AC經(jīng)過圓心，延長AC與過點B的⊙O的切線BF交于點F．若AB=BF=33，則BC的長度 ；AD的長度為 ．
18．（4分）若一個四位自然數(shù)M=abcd，滿足b≥c，且c＝a﹣b，c＝b﹣d．則稱四位數(shù)M為“等差奇異數(shù)”．例如：四位自然數(shù)6514，因為5＞1，1＝6﹣5，1＝5﹣4，所以6514是“等差奇異數(shù)”．若M=ab32是一個“等差奇異數(shù)”，則滿足條件的M的值是 ．若M=abcd是一個“等差奇異數(shù)”，將M千位上的數(shù)字與百位上的數(shù)字對調(diào)，十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字對調(diào)，組成一個新的四位數(shù)記為M′，記P(M)=M?M′27，Q(M)=M+M′11，且P(M)3和Q(M)9都是整數(shù)，則滿足條件的M的值為 ．
三、解答題：（本大題8個小題，19題8分，其余每題各10分，共78分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應的位置上。
19．（8分）解方程：
（1）x2+4x﹣2＝0；
（2）（x+3）2＝5（x+3）．
20．（10分）在學習了矩形與菱形的相關(guān)知識后，小明同學進行了更深入的研究，他發(fā)現(xiàn)，過矩形的一條對角線的中點作這條對角線的垂線，與矩形兩邊相交的兩點和這條對角線的兩個端點構(gòu)成的四邊形是菱形，可利用證明三角形全等得到此結(jié)論．根據(jù)他的想法與思路，完成以下作圖與填空：
（1）如圖，在矩形ABCD中，點O是對角線AC的中點．用尺規(guī)過點O作AC的垂線，分別交AB，CD于點E，F(xiàn)，連接AF，CE．（不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）已知：矩形ABCD，點E，F(xiàn)分別在AB，CD上，EF經(jīng)過對角線AC的中點O，且EF⊥AC．求證：四邊形AECF是菱形．
證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD．
∴① ，∠OCF＝∠OAE．
∵點O是AC的中點，
∴② ．
∴△CFO≌△AEO（AAS）．
∴③ ．
又∵OA＝OC，
∴四邊形AECF是平行四邊形．
∵EF⊥AC，
∴四邊形AECF是菱形．
進一步思考，如果四邊形ABCD是平行四邊形呢？請你模仿題中表述，寫出你猜想的結(jié)論：④ ．
21．（10分）如圖，二次函數(shù)y＝x2+4x﹣5的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C，點D是拋物線的頂點，連接AC，AD，CD．
（1）求B點的坐標；
（2）求△ACD的周長．
22．（10分）一個不透明袋子里裝有1個紅球，1個藍球，2個黃球（這些球除顏色外完全相同），把這些球放在口袋中攪勻．
（1）若從中隨機摸出1個球，則摸到紅球的概率是 ；
（2）小新從口袋中隨機摸出一球，記下顏色后不放回，隨后小穎從口袋里剩下的球中隨機摸出一球，記下顏色后不放回，請用列表或樹狀圖求出小新和小穎都沒有摸到黃球的概率．
23．（10分）某超市以每個20元的價格進了一批新型兒童玩具，當每個售價為34元時，超市平均每天可售出100個，國慶期間為了擴大銷售，增加盈利，在售價不低于進價的前提下超市決定采取降價促銷方式招提顧客，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：在一定范圍內(nèi)，當玩具的單價每降低1元，超市每天可多售出10個．設每個玩具售價下降了x元，超市每天的銷售利潤為w元．
（1）降價后超市平均每天可售出 個玩具；
（2）求w與x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；
（3）超市將每個玩具的售價定為多少元時，可使每天獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？
24．（10分）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D為AB中點，動點P以每秒1個單位長度的速度沿折線B→C→A方向運動，當點P運動到點A時停止運動，設運動時間為x秒（0＜x＜14），△BPD的面積為y1．
（1）請直接寫出y1關(guān)于x的函數(shù)表達式井注明自變量x的取值范圍；
（2）在給出的平面直角坐標系中畫出y1的圖象，并寫出y1的一條性質(zhì)；
（3）如圖2，y2=24x（x＞0）的圖象如圖所示，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出y1＝y(tǒng)2時x的取值．（結(jié)果保留一位小數(shù)，誤差不超過0.2）
25．（10分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）過點（2，﹣5），交x軸于點A（﹣3，0）和點B，交y軸于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖，點P是直線AC上方拋物線上一動點，連接PA、PC．求△PAC面積最大值及此時點P的坐標；
（3）將原拋物線沿x軸正半軸平移2個單位長度得到新拋物線y，重拋物線y與x軸的負半軸交于點M，點N為平移后的新拋物線上一動點，當∠NMB＝∠CAB，請直接寫出所有符合條件的點N的坐標．
26．（10分）在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于點D．
（1）如圖1，若∠ACB＝60°，AC＝8，求AB的長度；
（2）如圖2．AB＝AC．點P、Q分別是AC，AB邊上的點連接PQ交AD于點E，以QE為直角邊構(gòu)造等腰Rt△QEF．∠EQF＝90°，在AB上取一點R，連接FR、FA，當∠AFR＝∠FQR，F(xiàn)R＝EP時，求證：AP+AR=2AQ；
（3）如圖3，點G在BC的上方，連接DG．將DG繞點G逆時針旋轉(zhuǎn)90°到HG，連接DH．若BD＝6．DG＝12．連接BH交DG于點M，將△DHM沿直線HM翻折至△ABC所在的平面內(nèi)，得到△D'HM．當AM+D'M的值最小時，求點D'到BD的距離．
2024-2025學年重慶市南川區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上題號右側(cè)正確答案所對應的方框涂黑。
1．【解答】解：A選項車標圖案不是中心對稱圖形，不符合題意；
B選項車標圖案不是中心對稱圖形，不符合題意；
C選項車標圖案是中心對稱圖形，符合題意；
D選項車標圖案不是中心對稱圖形，不符合題意；
故選：C．
2．【解答】解：A、兩枚骰子的點數(shù)的和為1，是不可能事件，故不符合題意；
B、兩枚骰子的點數(shù)之和為6，是隨機事件，故符合題意；
C、點數(shù)的和大于12，是不可能事件，故不符合題意；
D、點數(shù)的和小于13，是必然事件，故不符合題意；
故選：B．
3．【解答】解：A．將x＝1代入反比例函數(shù)y=?6x得到y(tǒng)＝﹣6≠6，故A項不符合題意；
B．將x＝3代入反比例函數(shù)y=?6x得到y(tǒng)＝﹣2≠2，故B項不符合題意；
C．將x＝1代入反比例函數(shù)y=?6x得到y(tǒng)＝﹣6≠5，故C項不符合題意；
D．將x＝﹣2代入反比例函數(shù)y=?6x得到y(tǒng)＝3，故D項符合題意．
故選：D．
4．【解答】解：由題意可得：
該函數(shù)的對稱軸為x＝2，頂點坐標為（2，﹣1），
∵﹣3＜0，
∴二次函數(shù)圖象開口向下，函數(shù)有最大值，為y＝﹣1，
∴A、B、D選項錯誤，C選項正確．
故選：C．
5．【解答】解：由題意可知：m2+5m﹣1024＝0，
則m2+5m＝1024，
∴﹣2m2﹣10m＝﹣2（m2+5m）＝﹣2×1024＝﹣2048，
故選：A．
6．【解答】解：由題意可得：二次函數(shù)y＝ax2+3ax+4的圖象過點A（﹣4，0），B（1，0），
∴原方程的解是x1＝﹣4，x2＝1．
故選：A．
7．【解答】解：由條件可知∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝37°，
由圓周角定理得：∠CDB＝∠BAC＝37°，
故選：B．
8．【解答】解：∵將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜64°）得到△ADE，
∴AB＝AD，∠B＝∠ADE，
∵∠BAD＝α＝40°，∠BAC＝64°，
∴∠B＝∠ADB＝ADE＝70°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝64°﹣40°＝24°，
∴∠AFE＝∠ADE+∠DAC＝70°+24°＝94°，
故選：B．
9．【解答】解：如圖，連接CE，作EF⊥BC于點F，
由條件可知csB=BCAB=12，
∴∠B＝60°，
∵CB＝CE，
∴△BCE是等邊三角形，
∴BE＝BC＝2，
∴EF=sinB?BE=32×2=3，
∴S△BCE=12BC?EF=12×2×3=3，
∴S扇BCE=60°π×22360°=23π，
∴S陰=S扇BCE?S△BCE=23π?3，
故選：C．
10．【解答】解：①P5共有6×52=15個不同的“衍生多項式”，故①正確；
②若多項式Pn=(2x?1)n，令x＝1，則an+an?1+an?2+?+a1+a0=(2?1)n=1，故②正確；
③若多項式 P100=(1?2x)100=a100x100+a99x99+a98x98+?+a1x+a0，
當x＝1時，a100+a99+a98+…a1+a0＝（﹣1）100＝1①，
當x＝﹣1時，a100?a99+a98???a1+a0=(?3)100②，
①﹣②得：2（a99+a97+…a1）＝1﹣3100，
∴a99+a97+?+a1=1?31002，故③正確；
故選：A．
二、填空題：（本大題B個小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案直接填寫在答題卡中對應的橫線上。
11．【解答】解：點P（﹣2，1）關(guān)于原點對稱的點的坐標是（2，﹣1），
故答案為：（2，﹣1）．
12．【解答】解：根據(jù)平移法則得的拋物線解析式為：y＝（x﹣2）2+1﹣2，
即y＝（x﹣2）2﹣1，
故答案為：y＝（x﹣2）2﹣1．
13．【解答】解：由題意得，104（1+x）2＝125，
故答案為：104（1+x）2＝125．
14．【解答】解：摸到黑球的頻率穩(wěn)定在0.6，即摸到黑球的概率為0.6，
設口袋中有16個白球和x個黑球，
根據(jù)題意，得x16+x=0.6，
解得x＝24，
經(jīng)檢驗，x＝24是原方程的解，
估計口袋中大約有24個黑球．
故答案為：24．
15．【解答】解：設經(jīng)過頂點B的反比例函數(shù)解析式為y=kx （k為常數(shù)，k≠0）．
由條件可知點A，B的縱坐標相等．
∴AB⊥OC．
∴S△AOC=12×|?2|=1．
∵AB＝3AC，
∴BC＝2AC．
∴S△BOC＝2S△AOC＝2，
∵S△BOC=12k．
∴12k=2．
∴k＝4，
則經(jīng)過頂點B的反比例函數(shù)解析式為y=4x．
故答案為：y=4x．
16．【解答】解：由題意可知：Δ＝42+4m＞0，
∴m＞﹣4，
∴m+5＞0，﹣m﹣6＜0，
∴點P（m+5，﹣m﹣6）在第四象限，
故答案為：四．
17．【解答】解：四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，點D為AC弧的中點，BF是⊙O的切線，如圖，連接OB，
∴∠BOF＝90°，
∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∵AB=BF=33，
∴∠FAB＝∠F，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠FAB＝∠F，
∵∠FOB＝∠FAB+∠OBA，
∴∠FOB+∠F＝∠FAB+∠OBA+∠F＝90°，
∴∠FAB＝∠OBA＝∠F＝30°，
∴BC＝ABtan∠BAC=33tan30°=3，
∴∠ACB＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等邊三角形，
OC＝BC＝OB＝OA＝3，
AC＝6，
∵點D為AC弧的中點，
AD=CD，
AD＝CD，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AD2+CD2＝2AD2＝AC2，
∴AD=22AC=32，
故答案為：3；32．
18．【解答】解：∵M=ab32是一個“等差奇異數(shù)”，
∴a﹣b＝3，
b﹣2＝3，
解得：a＝8，b＝5，
∴M的值是8532；
∵M=abcd是一個“等差奇異數(shù)”，
∴c＝a﹣b，c＝b﹣d，
∴a＝b+c，b＝c+d，
∴a＝2c+d，
∴M＝1000a+100b+10c+d，
由條件可知M′=badc=1000b+100a+10d+c，
∴M﹣M′＝1000a+100b+10c+d﹣（1000b+100a+10d+c）＝900a﹣900b+9c﹣9d，
M+M′＝1000a+100b+10c+d+1000b+100a+10d+c＝1100a+1100b+11c+11d，
∴P(M)=M?M′27
=900a?900b+9c?9d27
=100(a?b)+c?d3，
Q(M)=M+M′11
=1100a+1100b+11c+11d11
＝100（a+b）+c+d，
∴P(M)3=100(a?b)+c?d9
=11(a?b)+a?b+c?d9
=11(a?b)+2c+d?b+c?d9
=11(a?b)+3c?b9，
Q(M)9=100(a+b)+c+d9
=11(a+b)+a+b+c+d9
=11(a+b)+3b+c9，
∵P(M)3和Q(M)9都是整數(shù)，
∴3c?b9，3b+c9都是整數(shù)，
當3c?b9是整數(shù)時，
∵b≥c，1≤b≤9，1≤c≤9，
當b＝0，c＝0，
∴a＝0，d＝0，
∵1≤a≤9，
∴此種情況不存在；
當b＝3，c＝1，
3b+c9不是整數(shù)，
∴此種情況不存在；
當b＝6，c＝5，
3b+c9不是整數(shù)，
∴此種情況不存在；
當b＝9，c＝0，
3b+c9=3是整數(shù)，
∴M的值為9909；
故答案為：8532，9909．
三、解答題：（本大題8個小題，19題8分，其余每題各10分，共78分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應的位置上。
19．【解答】解：（1）x2+4x﹣2＝0，
Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×1×（﹣2）＝24＞0，
x=?b±b2?4ac2a=?4±242，
x1=?2+6，x2=?2?6；
（2）原方程移項得（x+3）2﹣5（x+3）＝0，
（x+3）（x+3﹣5）＝0，
（x+3）（x﹣2）＝0，
∴x+3＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝2．
20．【解答】（1）解：圖形如圖所示：
（2）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD．
∴①∠OFC＝∠OEA，∠OCF＝∠OAE．
∵點O是AC的中點，
∴②OC＝OA．
∴△CFO≌△AEO（AAS）．
∴③OF＝OE．
又∵OA＝OC，
∴四邊形AECF是平行四邊形．
∵EF⊥AC，
∴四邊形AECF是菱形．
進一步思考，如果四邊形ABCD是平行四邊形呢？請你模仿題中表述，寫出你猜想的結(jié)論：④四邊形AECF是菱形．
故答案為：∠OFC＝∠OEA，OC＝OA，OF＝OE，四邊形AECF是菱形．
21．【解答】解：（1）二次函數(shù)y＝x2+4x﹣5的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側(cè)），
令y＝0，得：x2+4x﹣5＝0，
解得x1＝﹣5，x2＝1，
∴B（1，0）；
（2）二次函數(shù)y＝x2+4x﹣5的圖象與y軸交于點C，點D是拋物線的頂點，
當x＝0時，y＝﹣5，
∴C（0，﹣5），
∵y＝x2+4x﹣5＝（x+2）2﹣9，
∴D（﹣2，﹣9），
由（1）知點A的坐標為（﹣5，0），
∴AC=52+52=52，AD=[?2?(?5)]2+[0?(?9)]2=310，CD=(?2?0)2+[?5?(?9)]2=25，
∴△ACD的周長=25+52+310．
22．【解答】解：（1）從1個紅球，1個藍球，2個黃球中隨機摸出1個球，則摸到紅球的概率是14，
故答案為：14；
（2）兩個黃球分別記為黃1和黃2，列表如下：
由上表可知，一共有12種結(jié)果，并且它們出現(xiàn)的可能相等，其中小新和小穎都沒有摸出黃球的有2種，
∴P=212=16．
答：小新和小穎都沒有摸出黃球的概率16．
23．【解答】解：（1）每天可售出（10x+100）個玩具；
故答案為：（10x+100）；
（2）由題意可得：w＝﹣10x2+40x+1400，其中x的取值范圍是0＜x≤14；
（3）w＝﹣10x2+40x+1400＝﹣10（x﹣2）2+1440，
其中0＜x≤14，
所以，當x＝2時，w有最大值1440，
此時玩具的售價為34﹣2＝32（元），
答：該超市將每個玩具的售價定為32元時，可使每天獲得的利潤最大，最大利潤是1440元．
24．【解答】解：（1）過點D作DE⊥BC，DF⊥AC，則四邊形DECF為矩形，
∵D為AB中點，AC＝6，
∴DE=CF=12AC=3，DF=CE=12BC=4，
當0＜x≤8時，BP＝x，DE＝3，
y1=12DE?BP=12×3×x=3x2，
當8＜x＜14時，CP＝x﹣8，AP＝14﹣x，
y1=12AC?BC?12CP?BC?12AP?DF=12×6×8?12×（x﹣8）×8?12×（14﹣x）×4＝2x﹣28，
綜上所述，y1=32x(0＜x≤8)28?2x(8＜x＜14)；
（2）圖象如圖2所示；
性質(zhì)為：增減性：當0＜x＜8時，y隨x的增大而增大；當8＜x＜14時，y隨x的增大而減?。?br>最值：該函數(shù)在自變量的取值范圍內(nèi)，有最大值，無最小值；當x＝8時，函數(shù)取得最大值12．
（3）結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出y1＝y(tǒng)2時x的取值為4或13.1．
25．【解答】解：（1）在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）過點（2，﹣5），交x軸于點A（﹣3，0）和點B，代入得：
4a+2b+3=?59a?3b+3=0，
解得：a=?1b=?2，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如圖1，過點P作PD⊥x軸，交x軸于D，交BC于E，
拋物線y＝﹣x2﹣2x+3（a≠0）交y軸于點C，
當x＝0時，y＝3，
∴C（0，3），
設直線AC的解析式為y＝kx+b，將點A，點C的坐標代入得：
?3k+b=0b=3，
解得：k=1b=3，
∴直線AC的解析式為y＝x+3，
∵A（﹣3，0），
∴OA＝3，
設P（m，﹣m2﹣2m+3），則E（m，m+3），
∴PE＝y(tǒng)P﹣yE
＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）
＝﹣m2﹣3m，
∴S△PAC＝S△PAE+S△PCE
=12PE?AD+12PE?OD
=12PE?(AD+OD)
=12PE?OA
=12(?m2?3m)×3
=?32m2?92m，
∵點P是直線AC上方拋物線上一動點，
∴﹣3＜m＜0，
∵?32＜0，
∴當x=??922×(?32)=?32時，
S最大=?32×(?32)2?92×(?32)=278，
∴y=?(?32)2?2×(?32)+3=154，
∴P(?32，154)，
故△PAC面積最大值為278，此時點P的坐標為(?32，154)；
（3）由題意得：M（﹣1，0），
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴y′＝﹣（x+1﹣2）2+4＝﹣（x﹣1）2+4，
①當∠N1MB＝∠CAB時，如圖2，
∴MN1∥AC，
∴設直線MN1的解析式為y＝x+b1，則有
﹣1+b1＝0，
解得：b1＝1，
∴直線MN1的解析式為y＝x+1，
聯(lián)立y=x+1y=?(x?1)2+4，
解得：x1=?1y1=0，x2=2y2=3，
∴N1（2，3）；
②當∠N2MB＝∠CAB時，如圖3，
∴直線MN1與直線MN2關(guān)于x軸對稱，
∴直線MN2經(jīng)過N1關(guān)于x軸對稱點（2，﹣3），
同理可求直線MN2的解析式為y＝﹣x﹣1，
聯(lián)立得y=?x?1y=?(x?1)2+4，
解得：x1=?1y1=0，x2=4y2=?5，
∴N2（4，﹣5）；
綜上所述：N的坐標為（2，3）或（4，﹣5）．
26．【解答】（1）解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵∠C＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∵AC＝8，
∴CD=12AC=4，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2＝AC2﹣DC2，
∴AD=43，
∵∠ADB＝90°，∠ABC＝45°，
∴BD=AD=43，
在Rt△ADB中，AB2＝AD2+BD2，
∴AB=46；
（2）證明：過點Q作QN⊥AB交AD的延長線于點N，如圖2，
∵AB＝AC，∠ABC＝45°，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝45°，
∵QN⊥AB，
∴△QAN是等腰直角三角形，
∴AQ＝QN，
在Rt△QEF中，QE＝QF，∠EQF＝90°，
∴∠AQF＝∠NQE，
在△AFQ，△NQE中，
AQ=NQ∠AQF=∠NQEQF=QE，
∴△AQF≌△NQE（SAS），
∴∠QAF＝∠N＝45°，AF＝NE，
∴∠CAE＝∠FAQ，
∵∠AQE+∠APE＝90°，∠AQE+∠FQR＝90°，
∴∠APQ＝∠AQF，
∵∠AFR＝∠FQR，
∴∠APQ＝∠AFR，
在△APE，△AFR中，
∠PAE=∠FAR∠APE=∠AFRPE=RF，
∴△APE≌△AFR（AAS），
∴AP＝AF，AR＝AE，
∴AP＝NE，
在Rt△AQN中，AN=2AQ，
∴AE+EN=2AQ，
∴AR+AP=2AQ；
（3）解：∵將DG繞點G逆時針旋轉(zhuǎn)90°到HG，
∴△GDH是等腰直角三角形，
∵將△DHM沿直線HM翻折至△ABC所在的平面內(nèi)，得到△D'HM．
∴D′M＝DM，
∴AM+D′M＝AM+DM，
當A、M、D三點共線時，AM+DM的值最小，
又∵M為BH、DG的交點，如圖3，設DD′交BH于點M，過點D′作D′R⊥BC于點R，
由題可知：BD＝6，DG＝12，
設DM＝x，則GM＝GD﹣DM＝12﹣x，
∵GD⊥BC，△GDH是等腰直角三角形，
∴GH∥BD，
∴△MBD∽△MHG，
∴MDMG=BDGH，即x12?x=612，
解得：x＝4，即DM＝4，
在Rt△BMD中，BM=213，
KD=BD?DMBM=121313，BK=BD2?DK2=62?(121313)2=181313，
∴sin∠KDB=BKBD=1813136=31313，
∵D′D=2KD=241313，
∴D′R＝DD′?sin∠KDB=241313×31313=7213．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
D
C
A
A
B
B
C
A
小穎
小新
紅
藍
黃1
黃2
紅
﹣
（紅，藍）
（紅，黃1）
（紅，黃2）
藍
（藍，紅）
﹣
（藍，黃1）
（藍，黃2）
黃1
（黃1，紅）
（黃1，藍）
﹣
（黃1，黃2）
黃2
（黃2，紅）
（黃2，藍）
（黃2，黃1）
﹣

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