一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1.已知集合，，則（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】由，
解得或.
所以或，
又，所以.
故選：D.
2.已知復數(shù)，則（ ）
A.2B.4C.8D.16
【答案】A
【解析】
由題意得，
所以.
故選：A.
3.已知角終邊上一點，則的值為（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】由題意得，，
所以.
故選：D.
4. 已知函數(shù)過定點M，點M在直線上且，則的最小值為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由題設，恒過點，則，
所以，
當且僅當時等號成立，
所以目標式最小值為.
故選：A
5. 設與是兩個向量，則是或的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】由得，則，
若或，可得，即，可知必要性成立；
若則，即，無法得出或，
綜上所述，是或的必要不充分條件.
故選：B.
6. 首項為-24的等差數(shù)列，從第10項起為正數(shù)，則公差d的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由等差數(shù)列的通項公式可得：，
∵從第10項開始為正數(shù)，∴，解得，
∴公差的取值范圍是，故選：D.
7. 已知函數(shù)，若，且，則的取值范圍為（ ）
A. 1,+∞B.
C. D.
【答案】C
【解析】
因為，，所以且，則，
故，令，則在1,+∞上恒成立，
所以在1,+∞上單調遞增，則，即的取值范圍是.
故選：C
8. 如圖，棱長為的正方體中，為線段的中點，分別為線段和 棱 上任意一點，則的最小值為（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】連接，過作，連接，過作.
因為平面平面，，所以平面.
因為平面，所以.所以.
又因為，所以.即.
因為，所以.
在中，.
因為，所以.
即，.所以.
即的最小值為
故選：C
二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分）
9. 下列說法正確的有（ ）
A. 命題，的否定是，.
B. P是所在平面內一點，若，則P是的垂心
C. 關于x的方程有一正一負根，則
D. 若，，，則此三角形有兩解
【答案】AB
【解析】A選項：命題的否定是，A正確；
B選項：由，得，所以，，
同理，，故是三角形的垂心，所以B正確；
C選項：當方程有一正一負根時，，解得，C選項錯誤；
D選項：由正弦定理，得，即，
得，不符合題意，此時三角形無解，故D錯誤.
故選：AB.
10. 若把曲線上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線，則（ ）
A.
B. 在上單調遞減
C. 圖象關于對稱
D. 與有2個交點
【答案】AC
【解析】把曲線上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變得到，
再把向左平移個單位長度得到，
又，
所以，故A正確；
當時，，因為在上不單調，
所以在上不單調，故B錯誤；
因為，所以圖象關于對稱，故C正確；
令，解得，所以在上單調遞增，且，
令，解得，所以在上單調遞減，且，
因為函數(shù)在定義域上單調遞增，當時，令，解得，
在同一平面直角坐標系中畫出與的圖象如下所示：

由圖可知與有且僅有一個交點，故D錯誤.
故選：AC
11. 如圖，在三棱錐的平面展開圖中，，分別是，的中點，正方形的邊長為2，則在三棱錐中（ ）
A. 的面積為B.
C. 平面平面D. 三棱錐的體積為
【答案】ABD
【解析】
對于A，易知，故A正確；
對于B，連接交于G
，
根據正方形的性質易知，
所以有，
又平面，所以平面，
平面，所以，故B正確；
對于C，由上可知為平面與平面的夾角，
易知，則不垂直，故C錯誤；
對于D，由題意可知兩兩垂直，
則，故D正確
故選：ABD
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 已知，則______.
【答案】3
【解析】因為，
所以.
故答案為：3.
13. 在四面體中，，，，，則該四面體外接球的表面積為______.
【答案】
【解析】如圖所示：
由，，可知.
因為，，所以，即.
設的中點為，則，
所以為四面體外接球的球心，四面體的外接球半徑，
所以外接球表面積.
故答案為：
14. 已知函數(shù)，若恒成立，則最大值為__________．
【答案】
【解析】因為函數(shù)，
若，當時，恒成立，所以，
當時，恒成立，所以，所以；
設，，
當時，，是增函數(shù)
當時，，是減函數(shù)
則
故答案為： .
四、解答題（本題共5小題，共77分，其中15題13分，16題15分，17題15分，18題17分，19題17分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
15. 已知數(shù)列的前項和，其中.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若對于任意正整數(shù)，都有，求實數(shù)的最小值.
解：（1）當時，，
則，
當時，，滿足上式，所以.
（2）由
.
所以，即的最小值為.
16. 如圖，三棱柱中，側面與側面均為邊長為的正方形，、分別是、的中點，且．

（1）證明：平面；
（2）求二面角的正切值．
（1）證明：連接交于點，連接、，
在三棱柱中，且，故四邊形為平行四邊形，
因為，則為的中點，
又因為為的中點，所以，，
因為平面，平面，因此，平面.
（2）解：因為三棱柱中，側面與側面均為邊長為的正方形，
則，又因為，所以，，則，
因為，，，、平面，
所以，平面，
以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，

則點、、、，
設平面的法向量為，，，
則，取，則，
設平面的法向量為，，
則，取，可得，
所以，，則，
故，
由圖可知，二面角為銳角，故二面角的正切值為.
17. 在中，角的對邊分別為，
且．
（1）求角的大??；
（2）若，角的平分線交于點，求線段的長．
解：（1）由，
由正弦定理可得,
又，所以，
所以，可得，
又，所以，所以，
可得，
（2）中，，
由余弦定理得，
解得（舍），或，
由，得，
即，
故線段BD的長為.
18.已知函數(shù)
（1）若，求函數(shù)的單調區(qū)間；
（2）若存在，使成立，求整數(shù)的最小值．
解：（1）由題意可知，，，
當時，令，或；
時，，在單調遞增；
時，，在單調遞減；
綜上所述，增區(qū)間為，減區(qū)間為
（2）原式等價于，
即存在，使成立．
設，，則，
設，則，∴在上單調遞增．
又，，
根據零點存在性定理，可知在上有唯一零點，
設該零點為，則，且，即，
∴.
由題意可知，又，，
∴a的最小值為5．
19.定義：在一個有窮數(shù)列的每相鄰兩項之間插入這兩項的和，形成新的數(shù)列，我們把這樣的操作稱為該數(shù)列的一次“和擴充”，例如：數(shù)列1，2，3經過第一次“和擴充”后得到數(shù)列1，3，2，5，3；第二次“和擴充”后得到數(shù)列1，4，3，5，2，7，5，8，3.設數(shù)列a，b，c經過n次“和擴充”后得到的數(shù)列的項數(shù)為，所有項的和為.
（1）若，，，求，；
（2）若，求正整數(shù)n的最小值；
（3）是否存在實數(shù)a，b，c，使得數(shù)列為等比數(shù)列?若存在，求a，b，c滿足的條件；若不存在，請說明理由.
解：（1），第一次“和擴充”后得到數(shù)列，
第二次“和擴充”后得到數(shù)列，
，；
（2）數(shù)列經每一次“和擴充”后是在原數(shù)列的相鄰兩項中增加一項，
數(shù)列經過次“和擴充”后得到的數(shù)列的項數(shù)為，
則經第次“和擴充”后增加的項數(shù)為，
所以，所以，
其中數(shù)列經過1次“和擴充”后，得到，
故，故是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，
所以，故，
則，即，
又，解得，最小值為10；
（3）因為，
，依次類推，，
故
，
若使為等比數(shù)列，則或.

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