1．集合或，，若（R為實(shí)數(shù)集），則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【正確答案】C
【分析】表示出N中不等式的解集，確定出N，根據(jù)N與M的補(bǔ)集不為空集，找出a的范圍即可，進(jìn)而求解結(jié)論．
【詳解】解：∵全集R，或，，，
∴，
結(jié)合數(shù)軸可知，當(dāng)時(shí)，，
故（R為實(shí)數(shù)集）時(shí)，a的取值范圍為，
故選：C．
2．命題“”的否定為（ ）
A．B．
C．D．
【正確答案】C
【分析】由存在量詞命題的否定的定義即可得到；
【詳解】由題意，命題“”的否定為，
故選：C.
3．冪函數(shù)在上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．或B．C．1D．2
【正確答案】D
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義以及單調(diào)性求得的值.
【詳解】由于函數(shù)是冪函數(shù)，所以，解得或，
當(dāng)時(shí)，，在上遞減，符合題意.
當(dāng)時(shí)，，在上遞增，不符合題意.
綜上所述，的值為.
故選：D
4．若函數(shù)，則的值為（ ）
A．1B．C．D．
【正確答案】C
【分析】利用的解析式，從內(nèi)而外依次求解函數(shù)值即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
則.
故選：C.
5．函數(shù)的圖像大致為（ ）
A． B．
C． D．
【正確答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可判斷選項(xiàng).
【詳解】設(shè)，
對任意，，
所以，
所以的定義域?yàn)椋?br>，
所以函數(shù)為奇函數(shù).
令，
可得，即，
所以，可得，
由可得，解得，
所以的定義域?yàn)椋?br>又，
所以函數(shù)為奇函數(shù)，排除BD選項(xiàng)，
當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，
則，，
所以，排除A選項(xiàng).
故選：C
6．已知，，且，則的最小值為（ ）
A．5B．6C．7D．9
【正確答案】A
【分析】將所求式子變形為，利用“1”的代換結(jié)合基本不等式求解.
【詳解】，，，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，
所以的最小值為5.
故選：A.
7．荀子《勸學(xué)》中說：“不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海．”所以說學(xué)習(xí)是日積月累的過程，每天進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)，前進(jìn)不止一小點(diǎn)．我們可以把看作是每天的“進(jìn)步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是若“進(jìn)步”的值是“退步”的值的100倍，大約經(jīng)過參考數(shù)據(jù)：，（ ）天．
A．200天B．210天C．220天D．230天
【正確答案】D
【分析】由題設(shè)得方程，根據(jù)指對數(shù)關(guān)系、對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求值即可.
【詳解】設(shè)經(jīng)過x天“進(jìn)步”的值是“退步”的值的100倍，則，即，
．
故選：D．
8．已知函數(shù)，若，則（ ）
A．B．
C．D．以上選項(xiàng)均有可能
【正確答案】C
【分析】作出函數(shù)的圖象結(jié)合可得到a,b的取值范圍以及a,b之間的關(guān)系式，整理變形即可判斷出答案.
【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖：
由題意可知，，且由圖象可知，，
所以即，
所以，即，，
即，
故選：C
二、多選題
9．下列函數(shù)中，與函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
【正確答案】ACD
【分析】根據(jù)兩函數(shù)定義域相同且解析式一致即為相等函數(shù)，一一判斷即可.
【詳解】解：的定義域?yàn)椋?br>對于A，的定義域?yàn)?，與的定義域不同，不是同一函數(shù)；
對于B，定義域?yàn)?，與定義域相同，對應(yīng)關(guān)系相同，是同一函數(shù)；
對于C，的定義域?yàn)椋c定義域不同，不是同一函數(shù)；
對于D，，與的對應(yīng)關(guān)系不同，不是同一函數(shù)．
故選：ACD．
10．環(huán)境污染已經(jīng)觸目驚心，環(huán)境質(zhì)量已經(jīng)成為“十三五”實(shí)現(xiàn)全面建成小康社會(huì)奮斗目標(biāo)的短板和瓶頸．南昌某化工廠每一天中污水污染指數(shù)與時(shí)刻（時(shí)）的函數(shù)關(guān)系為其中為污水治理調(diào)節(jié)參數(shù)，且規(guī)定每天中的最大值作為當(dāng)天的污水污染指數(shù)，則使該廠每天的污水污染指數(shù)不超過的的取值可以為（ ）
A．B．C．D．
【正確答案】AB
【分析】利用換元法，則，故將表示成關(guān)于的分段函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性即可得出.
【詳解】設(shè)，則當(dāng)時(shí)，.
可得，
則，
顯然在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，
則，且,
則有，解得，
又，故調(diào)節(jié)參數(shù)應(yīng)控制在內(nèi)，
結(jié)合選項(xiàng)可知：AB正確，CD錯(cuò)誤；
故選：AB.
11．已知x，y均為正實(shí)數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．
【正確答案】BC
【分析】由基本不等式判斷各選項(xiàng)．
【詳解】A選項(xiàng)：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號，故A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)：，由A知，則，故B正確；
C選項(xiàng)：，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號，故C正確；
D選項(xiàng)：由，得，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號，故D錯(cuò)誤.
故選：BC．
三、填空題
12．若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則常數(shù)a的取值范圍為 ．
【正確答案】
【分析】判斷函數(shù)單調(diào)性再結(jié)合零點(diǎn)存在定理求解.
【詳解】因?yàn)樵谏暇鶠樵龊瘮?shù)，
所以函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，且函數(shù)圖象連續(xù)不間斷，
故若在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則
解得．
故常數(shù)a的取值范圍為．
故
13．已知滿足對于任意不相等的實(shí)數(shù)、都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【正確答案】
【分析】分析可知，函數(shù)在R上為減函數(shù)，根據(jù)分段函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】不妨取，由可得，所以，函數(shù)在R上為減函數(shù)，
且，則，解得.
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為.
14．已知函數(shù)，對任意的，恒成立，則的取值范圍為 ．
【正確答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性，可得，然后構(gòu)造新函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果．
【詳解】，定義域?yàn)椋?br>則，可知函數(shù)為奇函數(shù)，
又均為增函數(shù)，所以為增函數(shù)，
由，得，即，
則，即，
由題意可知，對任意的，恒成立，
令，
所以，解得，
所以的取值范圍為．
故．
四、解答題
15．計(jì)算下列各值
(1)；
(2)．
【正確答案】(1)
(2)0
【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪運(yùn)算求解即可；
（2）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合換底公式運(yùn)算求解.
【詳解】（1）原式
.
（2）原式
.
16．已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)，且當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，.
（1）求函數(shù)在上的解析式；
（2）判斷函數(shù)在?∞,0上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明你的結(jié)論；
（3）解不等式.
【正確答案】（1）；（2）為增函數(shù)，證明見解析；（3）.
（1）根據(jù)已知區(qū)間對應(yīng)的解析式，設(shè)，得到，代入已知解析式時(shí)，利用奇偶性，即可求出對應(yīng)的解析式；進(jìn)而可得結(jié)果；
（2）任取實(shí)數(shù)，作差比較與大小，利用函數(shù)單調(diào)性的定義，即可得出結(jié)果；
（3）根據(jù)函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，分別討論和兩種情況，結(jié)合所給不等式，分別求解，即可得出結(jié)果.
【詳解】（1）根據(jù)題意，為定義在上的奇函數(shù)，則，
設(shè)，則，則，
又由為上的奇函數(shù)，則，則；
（2）函數(shù)在?∞,0上為增函數(shù)；
證明；根據(jù)題意，任取實(shí)數(shù)，
則，
由，得，且，；
則，即函數(shù)在?∞,0上為增函數(shù)；
（3）由（2）知函數(shù)在?∞,0上為增函數(shù)，又為定義在上的奇函數(shù)，
則在上也為增函數(shù)，
∵，，
∴當(dāng)時(shí)，，，成立；
當(dāng)時(shí)，，則或，解得；
所以，不等式解集為.
方法點(diǎn)睛：
用定義法判斷函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性的一般步驟：
（1）取值：任取，且；
（2）作差：計(jì)算；
（3）定號：通過化簡整理，得到的正負(fù)；
（4）得出結(jié)論：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，得出結(jié)論.
17．已知函數(shù)．
(1)解關(guān)于x的方程；
(2)若不等式對任意恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
【正確答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，直接解方程即可得解；
（2）將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，再利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與二次函數(shù)的最值即可得解.
【詳解】（1）根據(jù)題意得，，即，
解得或舍去，
所以；
（2）不等式對任意恒成立，即恒成立，
當(dāng)時(shí)，有，
所以，
則，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．
18．第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，即2022年北京冬奧會(huì)于2022年2月4日開幕.冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”早在2019年9月就正式亮相，到如今已是“一墩難求”，并衍生出很多不同品類的吉祥物手辦.某企業(yè)承接了“冰墩墩”玩具手辦的生產(chǎn)，已知生產(chǎn)此玩具手辦的固定成本為200萬元.每生產(chǎn)x萬盒，需投入成本h（x）萬元，當(dāng)產(chǎn)量小于或等于50萬盒時(shí)；當(dāng)產(chǎn)量大于50萬盒時(shí)，若每盒玩具手辦售價(jià)200元，通過市場分析，該企業(yè)生產(chǎn)的玩具手辦可以全部銷售完.（利潤=銷售總價(jià)-成本總價(jià)，銷售總價(jià)=銷售單價(jià)×銷售量，成本總價(jià)=固定成本+生產(chǎn)中投入成本）
(1)求“冰墩墩”玩具手辦銷售利潤y（萬元）關(guān)于產(chǎn)量x（萬盒）的函數(shù)關(guān)系式；
(2)當(dāng)產(chǎn)量為多少萬盒時(shí)，該企業(yè)在生產(chǎn)中所獲得利潤最大，最大利潤為多少萬元.
【正確答案】(1)；
(2)產(chǎn)量為70萬盒，最大利潤為1200萬元.
【分析】（1）根據(jù)產(chǎn)量的范圍，分段列出函數(shù)關(guān)系式，即得答案.
（2）求出每段函數(shù)的最大值，再比較大小即可作答.
【詳解】（1）依題意，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以銷售利潤y（萬元）關(guān)于產(chǎn)量x（萬盒）的函數(shù)關(guān)系式為.
（2）當(dāng) 時(shí)，單調(diào)遞增，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號；
當(dāng) 時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，而，
因此當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)產(chǎn)量為70萬盒時(shí)，該企業(yè)在生產(chǎn)中所獲得利潤最大，最大利潤為1200萬元.
19．若函數(shù)滿足：對任意正數(shù)，都有，則稱函數(shù)為“H函數(shù)”．
(1)試判斷函數(shù)與是否為“H函數(shù)”，并說明理由；
(2)若函數(shù)是“H函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(3)若函數(shù)為“H函數(shù)”，，對任意正數(shù)s、t，都有，，證明：對任意，都有．
【正確答案】(1)是“H函數(shù)”， 不是“H函數(shù)”，理由見解析
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)“H函數(shù)”的定義并結(jié)合舉反例的方法進(jìn)行判斷即可；
（2）根據(jù)函數(shù)是“H函數(shù)”列出不等式，轉(zhuǎn)化為求最值問題即可；
（3）由題意令，得到，進(jìn)而得到和即可得證.
【詳解】（1）對于任意，，，
所以，
即成立，
故是“H函數(shù)”；
對于，
取，則，．
因?yàn)?，故不是“H函數(shù)”
（2）因?yàn)楹瘮?shù)是“H函數(shù)”，
所以對于任意的，有恒成立，
即恒成立，
所以恒成立，
又，故，則，
則，即，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為
（3）由函數(shù)為“H函數(shù)”，可知對于任意正數(shù)，
都有，，且，
令，可知，即，
故對于自然數(shù)k與正數(shù)s，
都有，
對任意，可得，又，
所以，
同理，
故
方法點(diǎn)睛：針對一般的函數(shù)新定義問題的方法和技巧：
（1）可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡單的應(yīng)用，從而加深對信息的理解；
（2）可用自己的語言轉(zhuǎn)述新信息所表達(dá)的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說明對此信息理解的較為透徹；
（3）發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，并從描述中體會(huì)信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；
（4）如果新信息是課本知識(shí)的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用書上的概念.

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