1. 已知，則“”是“直線與直線垂直”的
A. 充要條件B. 必要而不充分條件
C. 充分而不必要條件D. 既不充分也不必要條件
2. 若數(shù)列滿足，，則（ ）
A. B. C. D.
3. 已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，其導(dǎo)函數(shù)為，的部分圖象如圖所示，則（ ）
A. 在區(qū)間上單調(diào)遞減B. 的一個(gè)增區(qū)間為
C. 的一個(gè)極大值為D. 的最大值為
4. 已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，若，則（ ）
A. 2B. C. D.
5. 已知點(diǎn)，點(diǎn)Q在圓上運(yùn)動，則線段的中點(diǎn)M的軌跡方程是（ ）.
A. B.
C. D.
6. 分形幾何學(xué)是數(shù)學(xué)家伯努瓦·曼德爾布羅在世紀(jì)年代創(chuàng)立一門新的數(shù)學(xué)學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決眾多傳統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域的難題提供了全新的思路，按照如圖1的分形規(guī)律可得知圖2的一個(gè)樹形圖，記圖2中第行黑圈的個(gè)數(shù)為，白圈的個(gè)數(shù)為，若，則（ ）
A. B. C. D.
7. 三個(gè)數(shù)，，的大小順序?yàn)椋? ）
A. B. C. D.
8. 已知，分別為雙曲線C：左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與雙曲線C的左、右兩支分別交于M，N兩點(diǎn)，且，，則雙曲線C的離心率是（ ）
A. B. C. D.
二、多項(xiàng)選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共20分．每題有多項(xiàng)符合題意，全對得5分，部分選對得2分，有錯(cuò)選得0分．）
9. 已知圓和圓交于兩點(diǎn),則（ ）
A. 兩圓的圓心距
B. 兩圓有3條公切線
C. 直線的方程為
D. 圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為
10. 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，已知，，．則（ ）
A.
B.
C. 時(shí)，的最小值為 13
D. 最大時(shí)，
11. 拋物線的焦點(diǎn)為F，P為其上一動點(diǎn)，當(dāng)P運(yùn)動到時(shí)，，直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 拋物線方程為
B. 存在直線，使得A、B兩點(diǎn)關(guān)于對稱
C. 最小值為6
D. 當(dāng)直線過焦點(diǎn)F時(shí)，以AF為直徑的圓與y軸相切
12. 已知有序數(shù)對滿足，有序數(shù)對滿足，定義，則（ ）
A. 的最小值為B. 取最小值時(shí)的值為
C. 的最小值為D. 取最小值時(shí)的值為
三、填空題：（本題共4小題，共20分．）
13. 在平面直角坐標(biāo)系中，是直線上不同的兩點(diǎn)，直線上的向量以及與它平行的非零向量都稱為直線的方向向量．已知直線的一個(gè)方向向量坐標(biāo)為，則直線的傾斜角為______．
14. 已知橢圓焦距為，過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，作垂直于長軸的直線交橢圓于兩點(diǎn)，則______．
15. 設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且，則______．
16. 已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_____________，若數(shù)列的前項(xiàng)和，則滿足不等式的的最小值為_____________．
四、解答題：（本題共6小題，共70分．）
17. 已知函數(shù).
（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）求函數(shù)的解集.
18. 在數(shù)列中，，
（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列.
（2）求數(shù)列前項(xiàng)和.
19. 已知圓的圓心在直線上，且經(jīng)過點(diǎn)．
（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)的直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程．
20. 已知公差不為0的等差數(shù)列的首項(xiàng)，且成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{bn}滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
21. 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，過的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若的周長為8.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)為橢圓上的動點(diǎn)，過原點(diǎn)作直線與橢圓分別交于點(diǎn)、（點(diǎn)不在直線上），求面積的最大值.
22. 已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若存在不相等的實(shí)數(shù)，，使得，證明：．
2024-2025學(xué)年江蘇省南京市高二上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)檢測試卷
一、選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分．題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意．）
1. 已知，則“”是“直線與直線垂直”的
A. 充要條件B. 必要而不充分條件
C. 充分而不必要條件D. 既不充分也不必要條件
【正確答案】C
【詳解】“直線與直線垂直” 的充要條件為 ，因此“”是“直線與直線垂直”的充分而不必要條件，選C.
2. 若數(shù)列滿足，，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】根據(jù)遞推式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，可得an是周期為的周期數(shù)列，從而可求得答案.
【詳解】數(shù)列an滿足，，
，
，
，
，
，
是周期為的周期數(shù)列，
而，
故．
故選：A
3. 已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，其導(dǎo)函數(shù)為，的部分圖象如圖所示，則（ ）
A. 在區(qū)間上單調(diào)遞減B. 的一個(gè)增區(qū)間為
C. 的一個(gè)極大值為D. 的最大值為
【正確答案】B
【分析】
由導(dǎo)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上為正，則原函數(shù)在此區(qū)間上為增函數(shù)，若導(dǎo)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上為負(fù)，則原函數(shù)在此區(qū)間上為減函數(shù)，若導(dǎo)函數(shù)在某一個(gè)點(diǎn)左右兩側(cè)的函數(shù)值異號，則此點(diǎn)就為極值點(diǎn)，逐個(gè)判斷即可
【詳解】由的部分圖像可得：
在上，，所以單調(diào)遞增，所以A不正確，B正確；
由，導(dǎo)函數(shù)在左右兩側(cè)的函數(shù)值異號，
所以是的一個(gè)極小值，所以C不正確，
同理可知是的一個(gè)極大值，并不一定是最大值，D不正確.
故選：B.
4. 已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，若，則（ ）
A. 2B. C. D.
【正確答案】C
【分析】根據(jù)等差、等比數(shù)列的性質(zhì)分析求解.
【詳解】由題意可得，解得，
所以.
故選：C.
5. 已知點(diǎn)，點(diǎn)Q在圓上運(yùn)動，則線段的中點(diǎn)M的軌跡方程是（ ）.
A. B.
C. D.
【正確答案】C
【分析】設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，得出點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓方程，即可得到線段的中點(diǎn)M的軌跡方程.
【詳解】由題意，，
在圓中，點(diǎn)Q在圓上，線段的中點(diǎn)為M，
設(shè)，則，
∴，即：，
故選：C.
6. 分形幾何學(xué)是數(shù)學(xué)家伯努瓦·曼德爾布羅在世紀(jì)年代創(chuàng)立的一門新的數(shù)學(xué)學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決眾多傳統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域的難題提供了全新的思路，按照如圖1的分形規(guī)律可得知圖2的一個(gè)樹形圖，記圖2中第行黑圈的個(gè)數(shù)為，白圈的個(gè)數(shù)為，若，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】每個(gè)白圈在下一行產(chǎn)生一個(gè)白圈一個(gè)黑圈，一個(gè)黑圈在下一行產(chǎn)生一個(gè)白圈兩個(gè)黑圈，從而可得遞推公式，然后由遞推公式可求得結(jié)果.
【詳解】由題可知，每個(gè)白圈在下一行產(chǎn)生一個(gè)白圈一個(gè)黑圈，
一個(gè)黑圈在下一行產(chǎn)生一個(gè)白圈兩個(gè)黑圈，
所以有，，
又因?yàn)椋?，所以，，，?br>，，，，，．
故選：A．
7. 三個(gè)數(shù)，，的大小順序?yàn)椋? ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】據(jù)題意可設(shè)，求導(dǎo)，從而可根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號得出在上單調(diào)遞減，并且可得出，，，從而得出，，的大小順序．
【詳解】設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，則lnx>1，可得，
可知在上單調(diào)遞減，
因?yàn)?，，?br>且e2>4>3，則，所以．
故選：D．
8. 已知，分別為雙曲線C：左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與雙曲線C的左、右兩支分別交于M，N兩點(diǎn)，且，，則雙曲線C的離心率是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】由正弦定理和雙曲線的定義可得是正三角形，從而．在中，由余弦定理即可得到答案.
【詳解】由，結(jié)合正弦定理得，
因?yàn)?，所以，?br>又，即，
則，所以．
設(shè)，則，
又，則，解得，
所以，，
所以是正三角形，從而．
在中，由，
得，得，所以．
故選：C．
二、多項(xiàng)選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共20分．每題有多項(xiàng)符合題意，全對得5分，部分選對得2分，有錯(cuò)選得0分．）
9. 已知圓和圓交于兩點(diǎn),則（ ）
A. 兩圓的圓心距
B. 兩圓有3條公切線
C. 直線的方程為
D. 圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為
【正確答案】CD
【分析】根據(jù)圓的一般方程求出圓心與半徑,利用兩點(diǎn)間的距離公式求解圓心距判斷；根據(jù)兩圓的位置關(guān)系,判斷；將兩圓的方程作差,得公共弦所在直線方程,即可判斷C；通過圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為圓心到直線的距離加半徑,即可判斷.
【詳解】圓的圓心,半徑；圓的圓心,半徑.
對于,兩圓的圓心距,錯(cuò)誤;
對于,兩圓相交于兩點(diǎn),有2條公切線,錯(cuò)誤;
對于,將兩個(gè)圓的方程作差,得即直線的方程為,正確;
對于,圓心到直線的距離圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為正確.
故選:CD.
10. 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，已知，，．則（ ）
A.
B.
C. 時(shí)，的最小值為 13
D. 最大時(shí)，
【正確答案】AC
【分析】根據(jù)，，即可得到，進(jìn)而即可判斷A；根據(jù)，，，，從而列出和的方程組，求解即可判斷B；結(jié)合A選項(xiàng)知，從而得到，再結(jié)合，進(jìn)而即可C；結(jié)合選項(xiàng)A和B知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，進(jìn)而即可判斷D．
【詳解】對于A，由，則，又，則，故A正確；
對于B，結(jié)合選項(xiàng)A知，，，
又，所以，解得，故B錯(cuò)誤；
對于C，結(jié)合選項(xiàng)A知，又，所以時(shí)，的最小值為13，故C正確；
對于D，結(jié)合選項(xiàng)A和B知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)最大時(shí)，，故D錯(cuò)誤．
故選：AC．
11. 拋物線的焦點(diǎn)為F，P為其上一動點(diǎn)，當(dāng)P運(yùn)動到時(shí)，，直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 拋物線的方程為
B. 存在直線，使得A、B兩點(diǎn)關(guān)于對稱
C. 的最小值為6
D. 當(dāng)直線過焦點(diǎn)F時(shí)，以AF為直徑的圓與y軸相切
【正確答案】ACD
【分析】根據(jù)得到故,A正確，中點(diǎn)在拋物線上，B 錯(cuò)誤,，C正確，計(jì)算D正確，得到答案.
【詳解】,故，,故,A正確；
設(shè),設(shè)中點(diǎn)，則，相減得到,即,因?yàn)锳、B兩點(diǎn)關(guān)于對稱，所以,故,故,點(diǎn)在拋物線上，不成立，故不存在，B錯(cuò)誤；
過作垂直于準(zhǔn)線于,則，當(dāng)共線時(shí)等號成立，故C正確；
如圖所示：為中點(diǎn)，故,故為直徑的圓與軸相切，故D正確；
故選：ACD.
12. 已知有序數(shù)對滿足，有序數(shù)對滿足，定義，則（ ）
A. 的最小值為B. 取最小值時(shí)的值為
C. 的最小值為D. 取最小值時(shí)的值為
【正確答案】BC
【分析】將表示為函數(shù) 圖象上的點(diǎn)到直線 上的點(diǎn)的距離的平方，利用導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)切線的關(guān)系即可求解.
【詳解】由 ，得： ，
的最小值可轉(zhuǎn)化為函數(shù) 圖象上的點(diǎn)到
直線 上的點(diǎn)的距離的平方的最小值，
由 得： ，
與直線 平行的直線的斜率為 ，
則令 ，解得： ， 切點(diǎn)坐標(biāo)為 ，
到直線 的距離 .
即函數(shù) 上的點(diǎn)到直線 上的點(diǎn)的距離的最小值為 .
所以的最小值為 ，
過 與 垂直的直線為 ，即 .
由 ，解得： ，即當(dāng)最小時(shí)， .
故選:BC.
三、填空題：（本題共4小題，共20分．）
13. 在平面直角坐標(biāo)系中，是直線上不同的兩點(diǎn)，直線上的向量以及與它平行的非零向量都稱為直線的方向向量．已知直線的一個(gè)方向向量坐標(biāo)為，則直線的傾斜角為______．
【正確答案】
【分析】根據(jù)直線的方向向量求出直線的斜率，再利用斜率與傾斜角的關(guān)系可求出直線的傾斜角.
【詳解】因?yàn)橹本€的一個(gè)方向向量為，
所以直線的斜率，
設(shè)直線的傾斜角為，則，
因?yàn)?，所以?br>即直線的傾斜角為.
故
14. 已知橢圓的焦距為，過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，作垂直于長軸的直線交橢圓于兩點(diǎn)，則______．
【正確答案】##
【分析】由題意可知，得，然后可求出，從而可求出橢圓方程，再將代入橢圓方程中求出，從而可求得.
【詳解】由題意可知，得，所以，
所以橢圓方程為，
橢圓的右焦點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，，得，
所以.
故
15. 設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且，則______．
【正確答案】
【分析】根據(jù)題意，求導(dǎo)可得，令，即可得到，然后代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>令，則，即，
解得，所以，
所以.
故
16. 已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_____________，若數(shù)列的前項(xiàng)和，則滿足不等式的的最小值為_____________．
【正確答案】 ①. ②. 6
【分析】根據(jù)給定遞推公式變形構(gòu)造新數(shù)列即可得解；利用裂項(xiàng)相消法求出，再借助數(shù)列單調(diào)性計(jì)算得解.
【詳解】在數(shù)列中，，由得：，而，
于是得數(shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則，即，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
顯然，，
則，
由得：，即，令，則，即數(shù)列{bn}是遞增數(shù)列，
由，得，而，因此，，從而得，，
所以滿足不等式的的最小值為6.
故；6
四、解答題：（本題共6小題，共70分．）
17. 已知函數(shù).
（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）求函數(shù)的解集.
【正確答案】（1）
（2）（0，）
【分析】（1）求出、的值，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程；
（2）求得函數(shù)的定義域?yàn)?，然后在上解不等式即可得解?
【小問1詳解】
依題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>且，
，，
因此，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；
【小問2詳解】
依題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>且，令且，
故不等式的解集為（0，）
18. 在數(shù)列中，，
（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列.
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【正確答案】（1）證明見解析
（2）
【分析】（1）利用等比數(shù)列的定義證明即可；
（2）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到，然后分組求和即可.
【小問1詳解】
由得，
，
所以數(shù)列為首項(xiàng)為1，公比為4 的等比數(shù)列.
【小問2詳解】
由（1）得，則，
.
19. 已知圓的圓心在直線上，且經(jīng)過點(diǎn)．
（1）求圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)的直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程．
【正確答案】（1）
（2）或
【分析】（1）由已知設(shè)出圓心的坐標(biāo)，再求出的中點(diǎn)，利用求出
的值，進(jìn)而可以求出圓心和半徑，即可解決問題；
（2）先判斷直線斜率是否存在，存在的話根據(jù)點(diǎn)斜式方程設(shè)出直線方程，求出圓心到直線的距離，然后利用
求出直線的斜率即可解決問題.
【小問1詳解】
因?yàn)閳A的圓心在直線上，
所以設(shè)圓的圓心為：，
由，
所以的中點(diǎn)，
由題知：，
所以，
即，解得，
所以圓心為，半徑
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【小問2詳解】
①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，
所以方程為：，代入中解得：
，此時(shí)，
滿足題意；
②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，
設(shè)直線方程為：，
由圓心到直線的距離為：
，
由，
所以，
解得：，
所以直線的方程為：，
綜上，直線的方程為：或.
20. 已知公差不為0的等差數(shù)列的首項(xiàng)，且成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{bn}滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）依題意可求得等差數(shù)列 的公差，從而可數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）由已知可得 ，則，兩式相減，可得，當(dāng)時(shí)也適合，
故 ，用錯(cuò)位相減法即可
【小問1詳解】
設(shè)等差數(shù)列公差為，
由
得：．
因，所以
所以．
【小問2詳解】
①
②
②－① 得：．
所以
當(dāng)時(shí)，，
所以
，
，
上述兩式相減得
，
所以
21. 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，過的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若的周長為8.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)為橢圓上的動點(diǎn)，過原點(diǎn)作直線與橢圓分別交于點(diǎn)、（點(diǎn)不在直線上），求面積的最大值.
【正確答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根據(jù)周長可求，再根據(jù)離心率可求，求出后可求橢圓的方程.
（2）當(dāng)直線軸時(shí)，計(jì)算可得的面積的最大值為，直線不垂直軸時(shí)，可設(shè)，聯(lián)立直線方程和橢圓方程可求，設(shè)與平行且與橢圓相切的直線為：，結(jié)合橢圓方程可求的關(guān)系，從而求出該直線到直線的距離，從而可求的面積的最大值為.
【詳解】（1）由橢圓的定義可知，的周長為，
∴，，又離心率，∴， ，
所以橢圓方程為.
（2）當(dāng)直線軸時(shí)，；
當(dāng)直線不垂直軸時(shí)，設(shè)，
，，
∴.
設(shè)與平行且與橢圓相切的直線為：，
，
∵，
∴，
∴距的最大距離為，
∴，
綜上，面積的最大值為.
方法點(diǎn)睛：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是基本量的確定，而面積的最值的計(jì)算，則可以轉(zhuǎn)化為與已知直線平行且與橢圓相切的直線與已知直線的距離來計(jì)算，此類轉(zhuǎn)化為面積最值計(jì)算過程的常規(guī)轉(zhuǎn)化.
22. 已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若存在不相等的實(shí)數(shù)，，使得，證明：．
【正確答案】（1）答案見解析
（2）證明見解析
【分析】（1）由已知條件求出，分情況討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可得函數(shù)的單調(diào)性；
（2）由（1）可判斷出，結(jié)合，得出，設(shè)，化簡得，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證，然后換元，令，即證成立，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，即可得證．
【小問1詳解】
函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，由得，所以在上單調(diào)遞增；
由得，所以在上單調(diào)遞減；
故時(shí)，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
【小問2詳解】
證明：，，
由（1）可知，當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，
故不存在不相等的實(shí)數(shù)，使得，所以．
由得，即，
不妨設(shè)，則，則，
要證，只需證，
即證，只需證，
令，則只需證，即證，
令，則，
所以在上是增函數(shù)，所以，
從而，故.
方法點(diǎn)睛：對于函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，方程的解為，若，則可以認(rèn)為函數(shù)在區(qū)間上“極值點(diǎn)偏移”．極值點(diǎn)偏移問題的一般處理方法有：
（1）（對稱構(gòu)造）構(gòu)造輔助函數(shù)：對于型，構(gòu)造函數(shù)；對結(jié)論型，構(gòu)造函數(shù)，通過研究的單調(diào)性獲得不等式；
（2）（比值代換）通過代數(shù)變形將所證的雙變量不等式通過代換化為單變量的函數(shù)不等式，利用函數(shù)單調(diào)性證明；
（3）（差值代換）通過代數(shù)變形，將所證的雙變量不等式通過代換化為單變量的函數(shù)不等式，利用函數(shù)單調(diào)性證明.

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