本試題卷共4頁(yè)，分第I卷與第Ⅱ卷兩部分，全卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.
第I卷（選擇題共60分）
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 經(jīng)過、兩點(diǎn)的直線的傾斜角為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】求出直線的斜率，利用直線的斜率與傾斜角的關(guān)系可得出結(jié)果.
【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，且，故.
故選：B.
2. 在數(shù)列中，為前項(xiàng)和，若，，，則其公差（ ）
A. 3B. 4C. D.
【正確答案】A
【分析】先根據(jù)題意得到為等差數(shù)列，再求出，進(jìn)而結(jié)合即可求得其公差．
【詳解】由數(shù)列滿足，
則，所以為等差數(shù)列，
又，則，即，
又，則其公差為．
故選：A．
3. 拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程形式進(jìn)行求解即可.
【詳解】由，
因此該拋物線的焦點(diǎn)在橫軸的正半軸上，且，
所以該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為
故選：C
4. 如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，若，，，是的中點(diǎn)，則（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】B
【分析】直接利用向量的運(yùn)算法則計(jì)算得到答案.
【詳解】是的中點(diǎn)，
.
故選：B.
5. 若曲線表示橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】根據(jù)橢圓方程標(biāo)準(zhǔn)形式可得，從而得解.
【詳解】若曲線表示橢圓，
則，解得且，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故選： B．
6. 關(guān)于函數(shù)說法正確的是（ ）
A. 沒有最小值，有最大值B. 有最小值，沒有最大值
C. 有最小值，有最大值D. 沒有最小值，也沒有最大值
【正確答案】A
【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值即可
【詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>由，得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，沒有最小值，
故選：A
7. 是圓上恰有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于的（ ）
A 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分又不必要條件
【正確答案】A
【分析】首先計(jì)算圓心到直線的距離，再結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，以及充分，必要條件的定義，即可求解.
【詳解】若，則圓心到直線的距離，
則圓上恰有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，
反過來，若圓上恰有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，
則，即或，不一定，
所以是圓上恰有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于的充分不必要條件.
故選：A
8. 若，則（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】C
【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性分析判斷.
【詳解】因?yàn)椋?br>構(gòu)造函數(shù)，則，
令，解得；當(dāng)時(shí)，令，解得；
可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
且，所以，即.
故選：C.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)題意構(gòu)建，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性比較大小.
二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，選對(duì)但不全對(duì)的得2分.
9. 下列命題為真命題的是（ ）
A. 若空間向量，，滿足，則
B. 若三個(gè)非零向量，，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則，，必定共面
C. 若空間向量，，則
D. 對(duì)于任意空間向量，，必有
【正確答案】BD
【分析】令為零向量即可判斷A、C；由基底的概念判斷B；應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律、定義判斷D.
【詳解】若為零向量，有，但不一定成立，A錯(cuò)：
三個(gè)非零向量，，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則它們必共面，B對(duì)；
若為零向量，，，但不一定成立，C錯(cuò)：
由，，
而，所以，D對(duì).
故選：BD
10. 為了評(píng)估某治療新冠肺炎藥物的療效，現(xiàn)有關(guān)部門對(duì)該藥物在人體血管中的藥物濃度進(jìn)行測(cè)量．已知該藥物在人體血管中藥物濃度隨時(shí)間的變化而變化，甲、乙兩人服用該藥物后，血管中藥物濃度隨時(shí)間變化的關(guān)系如圖所示．則下列結(jié)論正確的是（ ）

A. 在時(shí)刻，甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同
B. 在時(shí)刻，甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率相同
C. 在這個(gè)時(shí)間段內(nèi)，甲、乙兩人血管中藥物濃度的平均變化率相同
D. 在和兩個(gè)時(shí)間段內(nèi)，甲血管中藥物濃度平均變化率相同
【正確答案】AC
【分析】利用圖象可判斷A選項(xiàng)；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷B選項(xiàng)；利用平均變化率的概念可判斷C選項(xiàng)；利用平均變化率的概念可判斷D選項(xiàng).
【詳解】選項(xiàng)A，在時(shí)刻，兩圖象相交，說明甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同，即選項(xiàng)A正確；
選項(xiàng)B，在時(shí)刻，兩圖象的切線斜率不相等，即兩人的不相等，
說明甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率不相同，即選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C，由平均變化率公式知，甲、乙兩人在內(nèi)，
血管中藥物濃度的平均變化率均為，即選項(xiàng)C正確；
選項(xiàng)D，在和兩個(gè)時(shí)間段內(nèi)，甲血管中藥物濃度的平均變化率分別為
和，顯然不相同，即選項(xiàng)D不正確．
故選：AC.
11. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列說法正確的是（ ）
A. B. 數(shù)列是遞增數(shù)列
C. 數(shù)列的最小項(xiàng)為和D. 滿足的最大正整數(shù)
【正確答案】ABD
【分析】先根據(jù)求出，即可判斷選項(xiàng)A、B；再利用二次函數(shù)性質(zhì)可判斷選項(xiàng)C；最后根據(jù)解不等式即可判斷選項(xiàng)D.
【詳解】
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
.
數(shù)列是遞增數(shù)列，故選項(xiàng)A、B正確；
，
當(dāng)或時(shí)最小，即數(shù)列的最小項(xiàng)為和，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，
令，得，，即滿足的最大正整數(shù)，故選項(xiàng)D正確.
故選：ABD
12. 已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，，為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 拋物線的方程為B. 若，則點(diǎn)到軸的距離為6
C. 的最小值為5D. 若，則的面積為
【正確答案】ACD
【分析】對(duì)于A：直接根據(jù)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離可得；對(duì)于B：利用拋物線的定義以及梯形中位線的長(zhǎng)度公式來求解；對(duì)于C：直接利用兩點(diǎn)之間線段最短來解答；對(duì)于D：利用焦半徑公式求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可用面積公式求解.
【詳解】由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4可得，
即拋物線的方程為，A正確；
過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，
由拋物線的定義得，
所以點(diǎn)到軸的距離為，B錯(cuò)誤；
根據(jù)圖像點(diǎn)的位置可得，C正確；
設(shè)，不妨取，則，
得，
所以，D正確
故選：ACD.
第II卷（非選擇題共90分）
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則__________.
【正確答案】-2或-1
【分析】利用截距的概念分類討論計(jì)算即可.
【詳解】若該直線過原點(diǎn)，顯然符合題意，易得；
若該直線不過原點(diǎn)，顯然時(shí)，直線不符合題意，
當(dāng)時(shí)，令時(shí)，令時(shí)，
依題意有：，解得：或（舍），
綜上：或，
故-2或-1.
14. 已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．
【正確答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到在區(qū)間上恒成立，求出，從而得到.
【詳解】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
在區(qū)間上恒成立，
即，又，
故，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故
15. 已知分別是雙曲線的上、下焦點(diǎn)，過的直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若，則的值為____________．
【正確答案】29
【分析】根據(jù)雙曲線方程及已知有在雙曲線的下支上，應(yīng)用雙曲線定義及，即可求目標(biāo)式的值.
【詳解】由題設(shè)，故在雙曲線的下支上，如下圖示，
根據(jù)雙曲線定義：，
所以.
故
16. 如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，、分別為與的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為______.

【正確答案】##
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量點(diǎn)到平面距離公式進(jìn)行計(jì)算.
【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，故平面的法向量為，
又，則點(diǎn)到平面的距離為.
故
四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
17. 在遞增的等比數(shù)列中，，，其中.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【正確答案】（1）；（2）.
【詳解】試題分析：（1）由及得，，進(jìn)而的，可得通項(xiàng)公式；
（2）利用分組求和即可，一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列.
試題解析：
（1）設(shè)數(shù)列的公比為，
則，
又，
∴，或，（舍）.
∴，即.
故（）.
（2）由（1）得，.
∴
.
18. 已知圓經(jīng)過點(diǎn)，且圓心在直線上.
（1）求圓的方程；
（2）已知直線經(jīng)過點(diǎn)，直線與圓相交所得的弦長(zhǎng)為8，求直線的方程．
【正確答案】（1）
（2）或
【分析】（1）借助待定系數(shù)法設(shè)出方程，代入計(jì)算即可得；
（2）借助圓的弦長(zhǎng)公式，設(shè)出直線方程計(jì)算即可得.
【小問1詳解】
設(shè)圓M的方程為，
因?yàn)閳AM經(jīng)過點(diǎn)，，且圓心在直線上，
依題意有
解得，，，
所以圓M的方程為．
【小問2詳解】
設(shè)圓心到直線l的距離為d，
則弦長(zhǎng)，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，所以直線的斜率存在，
設(shè)其方程為，即，
，解得，，
所以所求直線l的方程為或．
19. 如圖所示，在四棱錐中，平面平面，底面為矩形，，，，點(diǎn)M在棱上且．
（1）證明：平面；
（2）求平面與平面的夾角的余弦值．
【正確答案】（1）證明見解析
（2）
【分析】（1）先證明M是的中點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)O，連接，從而證明，從而可證明.
（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．利用向量法求解即可.
【小問1詳解】
因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面?br>根據(jù)條件可知，所以平面，
所以．
所以，同理可得，
又，所以是等邊三角形，
因?yàn)?，所以M是的中點(diǎn)．
如圖，連接，與交于點(diǎn)O，連接，則O是的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面?br>【小問2詳解】
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
則．
由（1）知是平面的一個(gè)法向量．
設(shè)為平面的法向量．因?yàn)椋?br>所
令，可得．
設(shè)平面與平面的夾角為，
則
．
20. 在數(shù)列中，.
（1）證明：數(shù)列為常數(shù)列.
（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和，并證.
【正確答案】（1）證明見解析
（2），證明見解析
【分析】（1）根據(jù)條件得到，又，即可證明結(jié)果；
（2）根據(jù)（1）得到，從而有，利用錯(cuò)位相減法，即可得到，再利用，即可證明結(jié)果.
【小問1詳解】
令，得，則，
因?yàn)棰?，所以?
①②得，即.
又，得到，所以數(shù)列為常數(shù)列.
【小問2詳解】
由（1）可得，所以是公差為1等差數(shù)列，
所以.
因?yàn)?，所以③?br>④，
③④得，
所以，
又因?yàn)?，所以，得證.
21. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓C： ()的左、右焦點(diǎn)分別為，且焦距為，橢圓C的上頂點(diǎn)為B，且．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l過點(diǎn)，且與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)（不與B重合），直線BM與直線BN分別交直線于P，Q兩點(diǎn)．判斷是否存在定點(diǎn)G，使得點(diǎn)P，Q關(guān)于點(diǎn)G對(duì)稱，并說明理由．
【正確答案】（1）；
（2）存在，理由見解析.
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出，即可求解得結(jié)果.
（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出點(diǎn)縱坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算即可得解.
【小問1詳解】
依題意，，，
則，解得，而半焦距，于是，
所以橢圓C的方程為．
小問2詳解】
顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，，
由消去y得，
，即，
則，
直線的方程為，直線的方程為，
設(shè)兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為，于是，，
顯然
，因此
所以存在，使得點(diǎn)P，Q關(guān)于點(diǎn)G對(duì)稱．
思路點(diǎn)睛：解答直線與橢圓的題目時(shí)，常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系求解．
22. 已知函數(shù)．
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）存在且，使成立，求的取值范圍．
【正確答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2）．
【分析】（1）先求，再由得增區(qū)間，由得減區(qū)間；
（2）先轉(zhuǎn)化為在上存在減區(qū)間，即有解，分離參數(shù)得有解，只需即可．
【小問1詳解】
由題意得，令得，
時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
時(shí)，，在上單調(diào)遞減；
綜上，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
【小問2詳解】
由題意存在且，不妨設(shè)，
由（1）知時(shí)，單調(diào)遞減．
等價(jià)于，
即，
即存在且，使成立．
令，則在上存在減區(qū)間．
即上有解集，即在上有解，
即，；
令，，，
時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
時(shí)，，在單調(diào)遞減，
∴，∴．
難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值及不等式有解問題，屬于難題．不等式有解問題不能只局限于判別式是否為正，不但可以利用一元二次方程根的分布列不等式組解答，還可以轉(zhuǎn)化為有解（即可）或轉(zhuǎn)化為有解（即可），本題（2）就是用這種方法求得k的取值范圍的．

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