一、單選題：本大題共8個(gè)小題，每個(gè)小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. =(2，-1，3)，=(-1，4，-2)，=(3，2，λ)，若，則實(shí)數(shù)等于（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)向量的數(shù)乘運(yùn)算和向量坐標(biāo)的相等即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以=(3，2，λ)=2(2，-1，3)+(-1，4，-2)=(3，3，4),
所以，
故選：C.
2. 過(guò)點(diǎn)且平行于直線(xiàn)的直線(xiàn)方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根據(jù)平行關(guān)系設(shè)直線(xiàn)方程，再代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求直線(xiàn)方程.
【詳解】設(shè)與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)是，代入點(diǎn)得，得，所以直線(xiàn)方程是.
故選：A
3. 如圖，空間四邊形OABC中，，點(diǎn)M在上，且，點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量的加減和數(shù)乘運(yùn)算直接求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?，所以?br>又點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，所以，
所以.
故選：B.
4. 如圖，在直二面角中，是直線(xiàn)上兩點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，且，，，那么直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出向量的坐標(biāo)，利用向量的夾角公式求得答案.
【詳解】如圖，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過(guò)點(diǎn)B作BC的垂線(xiàn)為x軸，以BC為y軸，BA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則 ,
故 ,
則 ,
故直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角的余弦值為 ，
故選：B.
5. “”是“直線(xiàn)與直線(xiàn)平行”的（ ）
A. 充要條件B. 必要不充分條件
C. 充分不必要條件D. 既不充分也不必要
【答案】A
【解析】
【分析】由可得直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，即充分條件成立；由直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，求得的值為，即必要條件成立；
【詳解】因?yàn)椋灾本€(xiàn)，直線(xiàn)，則與平行，故充分條件成立；
當(dāng)直線(xiàn)與直線(xiàn)平行時(shí)，，解得或，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與直線(xiàn)重合，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)，直線(xiàn)平行，故必要條件成立.
綜上知，“”是“直線(xiàn)與直線(xiàn)平行”的充要條件.
故選：A.
6. 如圖，平行六面體，其中，，，，，，則的長(zhǎng)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由，可得，再利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出．
【詳解】解：，，，，
，．
，
，
，
即的長(zhǎng)為.
故選：A．
7. 若直線(xiàn)與曲線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)直線(xiàn)所過(guò)的定點(diǎn)，結(jié)合直線(xiàn)與圓的切線(xiàn)性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.
【詳解】直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，
曲線(xiàn)表示以點(diǎn)為圓心，半徑為1，且位于直線(xiàn)右側(cè)的半圓（包括點(diǎn)，）．
當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，與曲線(xiàn)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，此時(shí)，直線(xiàn)記為；
當(dāng)與半圓相切時(shí)，由，得，切線(xiàn)記為．
分析可知當(dāng)時(shí)，與曲線(xiàn)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

故選：A．
8. 阿波羅尼斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，對(duì)圓錐曲線(xiàn)有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)Q，P的距離之比，那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓．已知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，且，若點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)點(diǎn)的軌跡方程可得，結(jié)合條件可得，即得.
【詳解】設(shè)，，所以，
又，所以．
因?yàn)榍?，所以?br>整理可得，
又動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是，
所以，解得，
所以，又，
所以，因，
所以的最小值為．
故選：C．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的是（ ）
A. 若非零向量，，滿(mǎn)足，，則有
B. 任意向量，，滿(mǎn)足
C. 若，，是空間的一組基底，且，則A，B，C，D四點(diǎn)共面
D. 已知向量，，若，則為銳角
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)共線(xiàn)向量的性質(zhì)、共面向量定義、空間夾角的計(jì)算公式逐一判斷即可.
【詳解】A：因?yàn)?，，是非零向量，所以由，，可得，因此本選項(xiàng)說(shuō)法正確；
B：因?yàn)橄蛄浚?不一定是共線(xiàn)向量，因此不一定成立，所以本選項(xiàng)說(shuō)法不正確；
C：因?yàn)?，，是空間的一組基底，
所以三點(diǎn)不共線(xiàn)，又因?yàn)椋?br>所以A，B，C，D四點(diǎn)共面，因此本選項(xiàng)說(shuō)法正確；
D：，當(dāng)時(shí)，
，若向量，同向，則有，
所以有，而，所以向量，不能同向，因此為銳角，故本選說(shuō)法正確，
故選：ACD
10. 下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 直線(xiàn)的傾斜角范圍是
B. 若直線(xiàn)與直線(xiàn)互相垂直，則
C. 過(guò)兩點(diǎn)，的直線(xiàn)方程為
D. 經(jīng)過(guò)點(diǎn)且在x軸和y軸上截距都相等的直線(xiàn)方程為
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)直線(xiàn)斜率和傾斜角的關(guān)系，直線(xiàn)位置關(guān)系以及直線(xiàn)方程的應(yīng)用，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.
【詳解】對(duì)A：直線(xiàn)，其斜率，設(shè)直線(xiàn)傾斜角，
故可得，則，故A正確；
對(duì)B：直線(xiàn)與直線(xiàn)互相垂直，則，
解得或，故錯(cuò)誤；
對(duì)：過(guò)兩點(diǎn)，的直線(xiàn)方程為，故C正確；
對(duì)D：經(jīng)過(guò)點(diǎn)且在x軸和y軸上截距都相等的直線(xiàn)方程為和，故D錯(cuò)誤；
故選：AC.
11. 已知三棱錐，，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E為中點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B. 異面直線(xiàn)與所成的角的余弦值為
C. 與平面所成的角的正弦值為D. 三棱錐外接球的表面積為
【答案】ACD
【解析】
【分析】對(duì)于A：取AC的中點(diǎn)F，連接PF,BF，證明出面，即可得到.對(duì)于B、C：先證明出，，.可以以P為原點(diǎn)，為xyz軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.利用向量法求解；對(duì)于D：把三棱錐還以為正方體，則三棱錐的外接球即為正方體的外接球.即可求解.
【詳解】對(duì)于A：
在三棱錐，，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，取AC的中點(diǎn)F，連接PF,BF，則.
又，所以面，所以.故A正確.
對(duì)于B：因?yàn)椋?所以面，所以，.
在三棱錐，，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以三棱錐為正三棱錐，所以.
所以.
可以以P為原點(diǎn)，為xyz軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.
則，，，，.
所以,.
設(shè)異面直線(xiàn)與所成的角為，則.
即異面直線(xiàn)與所成的角的余弦值為.故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：，.
設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為，則,不妨設(shè)x=1，則.
設(shè)與平面所成的角為，則.
即與平面所成的角的正弦值為.故C正確.
對(duì)于D：把三棱錐還以為正方體，則三棱錐的外接球即為正方體的外接球.
設(shè)其半徑為R，由正方體的外接球滿(mǎn)足,所以.
所以球的表面積為.故D正確.
故選：ACD.
12. 已知圓，點(diǎn)是直線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)、，切點(diǎn)分別是和，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的有（ ）
A. 圓上恰有一個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離
B. 切線(xiàn)長(zhǎng)的最小值
C. 四邊形面積的最小值為
D. 直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)
【答案】ABD
【解析】
【分析】計(jì)算出圓心到直線(xiàn)的距離，比較與的大小，可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用勾股定理可判斷B選項(xiàng)；利用三角形的面積公式可判斷C選項(xiàng)；求出直線(xiàn)的方程，可求得該直線(xiàn)所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)，可判斷D選項(xiàng)的正誤.
【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓心到直線(xiàn)的距離為.
對(duì)于A選項(xiàng)，，所以，圓上有兩個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，由切線(xiàn)的性質(zhì)可知，所以，，
故當(dāng)時(shí)，取最小值，且，故，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，由切線(xiàn)長(zhǎng)定理可得，又因?yàn)椋?br>所以，，所以，四邊形的面積為，
即四邊形面積的最小值為，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)，則，
線(xiàn)段的中點(diǎn)為，，
所以，以線(xiàn)段為直徑的圓的方程為，
將圓和圓的方程作差可得，
即，即，
由，解得，故直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，D錯(cuò).
故選：ABD.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 已知直線(xiàn)，直線(xiàn)，若，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____．
【答案】或
【解析】
【分析】根據(jù)兩直線(xiàn)垂直的充要條件求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，解得或，
故答案為：或
14. 已知是所在平面外一點(diǎn)，，且，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)___________.
【答案】
【解析】
【分析】由可得出關(guān)于的表達(dá)式，再利用空間向量的減法可求得、、的值，即可得解.
【詳解】因?yàn)?，則，
所以，，
所以，，，，因此，.
故答案為：.
15. 已知三點(diǎn)點(diǎn)在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)__．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)，由點(diǎn)在直線(xiàn)上求出，表示出和，，利用二次函數(shù)求出最小值，得到點(diǎn)的坐標(biāo).
【詳解】設(shè)，∵，
則由點(diǎn)在直線(xiàn)OP上可得存在實(shí)數(shù)λ使得 ，
所以，則，
所以，，
所以，
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為：.
故答案為：
16. 唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)?，若將軍從點(diǎn)處出發(fā)，河岸線(xiàn)所在直線(xiàn)方程為，并假定將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即回到軍營(yíng)，則“將軍飲馬”的最短總路程為_(kāi)__________．
【答案】##
【解析】
【分析】先求出點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，點(diǎn)到圓心的距離減去半徑即為最短.
【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，
則的中點(diǎn)為， ,
故解得，
由知軍營(yíng)所在區(qū)域中心為，
要使從點(diǎn)到軍營(yíng)總路程最短，即為點(diǎn)到軍營(yíng)最短的距離為，
“將軍飲馬”的最短總路程為，
故答案為：
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
17. 如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱PA的長(zhǎng)為2，且PA與AB、AD的夾角都等于60°，M是PC的中點(diǎn)，設(shè)，，.
（1）試用表示向量；
（2）求BM的長(zhǎng).
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】利用空間向量基本定理用基底表示；（2）在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上運(yùn)用空間向量數(shù)量積運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算.
【小問(wèn)1詳解】
【小問(wèn)2詳解】
，所以，則BM的長(zhǎng)為.
18. 已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為、、，試求：
（1）邊上的高所在的直線(xiàn)方程；
（2）的面積．
【答案】（1）
（2）24
【解析】
【分析】（1）先求出直線(xiàn)的斜率，進(jìn)而得邊上的高的斜率，由點(diǎn)斜式寫(xiě)出方程即可；
（2）先求出及直線(xiàn)方程，再由點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式求得到的距離，即可求得面積.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?，則邊上的高的斜率為3，又經(jīng)過(guò)A點(diǎn)，故方程為，化簡(jiǎn)得．
【小問(wèn)2詳解】
，直線(xiàn)方程為，整理得，
則到的距離為，則的面積為.
19. 如圖，某海面上有O，A，B三個(gè)小島（面積大小忽略不計(jì)），A島在O島的北偏東45°方向距O島千米處，B島在O島的正東方向距O島20千米處．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，O的正東方向?yàn)閤軸的正方向，1千米為一個(gè)單位長(zhǎng)度，建立平面直角坐標(biāo)系．圓C經(jīng)過(guò)O，A，B三點(diǎn)．
（1）求圓C的方程；
（2）若圓C區(qū)域內(nèi)有未知暗礁，現(xiàn)有一船D在O島的南偏西30°方向距O島40千米處，正沿著北偏東45°方向行駛，若不改變方向，試問(wèn)該船有沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)?
【答案】（1）；
（2）該船有觸礁的危險(xiǎn)．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，設(shè)出圓C的一般方程，利用待定系數(shù)法求解作答.
（2）求出船D的航線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程，再利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式計(jì)算判斷作答.
小問(wèn)1詳解】
依題意，因A島在O島的北偏東45°方向距O島千米處，則點(diǎn)，
又B島在O島的正東方向距O島20千米處，則，
設(shè)過(guò)O，A，B三點(diǎn)的圓C的方程為，
則，解得，
所以圓C的方程為．
【小問(wèn)2詳解】
因船D在O島的南偏西30°方向距O島40千米處，則，
而船D沿著北偏東45°方向行駛，則船D的航線(xiàn)所在直線(xiàn)l的斜率為1，直線(xiàn)l的方程為，
由（1）知，圓C的圓心為，半徑，
則圓心C到直線(xiàn)l的距離，則，
所以該船有觸礁的危險(xiǎn).
20. 如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為菱形，E，F(xiàn)分別為PA，BC的中點(diǎn)．
（1）證明：EF∥平面PCD
（2）若PD⊥平面ABCD，，且，求直線(xiàn)AF與平面DEF所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取PD的中點(diǎn)G，連接CG，EG，則由三角形中位線(xiàn)定理可得，再結(jié)合底面四邊形為菱形，可得四邊形EGCF為平行四邊形，從而得然后由線(xiàn)面平行的判定定理可證得結(jié)論，
（2）由已知可得兩兩垂直，所以以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D—xyz，然后利用空間向量求解即可
【小問(wèn)1詳解】
證明：取PD的中點(diǎn)G，連接CG，EG，
因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PA，BC的中點(diǎn)，
所以，
又底面ABCD為菱形，所以，
所以，
所以四邊形EGCF為平行四邊形，
所以
又平面PCD．平面PCD，
所以EF//平面PCD．
【小問(wèn)2詳解】
解：連接，
因?yàn)镻D⊥平面ABCD，平面ABCD，
所以，
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，，
所以為等邊三角形，
因?yàn)镕為BC的中點(diǎn)，
所以，
因?yàn)椤危?br>所以，
所以?xún)蓛纱怪保?br>所以以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D—xyz．
因?yàn)椋訢（0，0，0），F(xiàn)(，0，0），A（0，2，0），E（0，1，2），
則．
設(shè)平面DEF的法向量，則
，令，得．
設(shè)直線(xiàn)AF與平面DEF所成的角為θ，
則，
所以直線(xiàn)AF與平面DEF所成角的正弦值為
21. 已知圓C的圓心坐標(biāo)為C（3，0），且該圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，4）．
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線(xiàn)n交圓C于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)M，N異于A點(diǎn)），若直線(xiàn)AM，AN的斜率之積為2，求證：直線(xiàn)n過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．
【答案】（1）；
（2）證明見(jiàn)解析；定點(diǎn).
【解析】
【分析】（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)為，求出即得解；
（2）直線(xiàn)n斜率不存在時(shí)，不存在；直線(xiàn)n斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)n：，，，，，求出直線(xiàn)的方程為即得解.
【小問(wèn)1詳解】
解：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)為，把代入得，
故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
【小問(wèn)2詳解】
證明：當(dāng)直線(xiàn)n斜率不存在時(shí)，設(shè)，，
直線(xiàn)，的斜率之積為2，，
，即，
點(diǎn)在圓上，
，
聯(lián)立，，舍去，
當(dāng)直線(xiàn)n斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)n：，，，，，
①
聯(lián)立方程，
，，
代入①，得，
化簡(jiǎn)得或，
若，則直線(xiàn)過(guò)，與題設(shè)矛盾， 舍.
直線(xiàn)n的方程為：，所以且
所以
所以過(guò)定點(diǎn)．
22. 如圖，在三棱錐中，側(cè)面是等邊三角形，，．

（1）證明：平面平面；
（2）若，點(diǎn)在棱上，且二面角的大小為，求．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取中點(diǎn)，連接、，證明出平面，再利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；
（2）妨設(shè)，在底面內(nèi)作交于點(diǎn)，然后以點(diǎn)為原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用空間向量法可得出關(guān)于的等式，結(jié)合的取值范圍解出的值，即可得解.
【小問(wèn)1詳解】
取中點(diǎn)，連接、．

在等邊三角形中，為的中點(diǎn)，則．
在直角三角形中，，為的中點(diǎn)，則，
因?yàn)?，，，所以，?br>所以，，即，
又因?yàn)椋?、平面，所以，平面?br>因?yàn)槠矫?，因此，平面平?
【小問(wèn)2詳解】
不妨設(shè)，在直角三角形中，，
因?yàn)椋瑒t，，
在底面內(nèi)作交于點(diǎn)，
因?yàn)槠矫?，?br>以點(diǎn)為原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，
，，，．
設(shè)，
則．
設(shè)平面的法向量為，
則，取，則，
易知，平面的一個(gè)法向量為，
所以，

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