2024-2025學(xué)年河南省南陽(yáng)市高一上學(xué)期期終質(zhì)量評(píng)估數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、單選題（本大題共8小題）
1．已知集合，，記.則下列等式成立的是（）
A．B．
C．D．
2．下列各組函數(shù)中是同一個(gè)函數(shù)的是（）
A．，
B．，
C．，
D．，
3．一元二次方程有一個(gè)正實(shí)根和一個(gè)負(fù)實(shí)根的充分不必要條件是（）
A．B．C．D．
4．如圖，一高為的球形魚缸，勻速注滿水所用時(shí)間為.若魚缸水深為時(shí)，勻速注水所用的時(shí)間為，則函數(shù)的圖像大致是（）
A． B．
C． D．
5．設(shè)集合，，函數(shù).若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
6．因?qū)W校政治老師比較緊缺，高一年級(jí)為了了解學(xué)生選科中包含“政治”這一科目的學(xué)生人數(shù)便于安排教學(xué).從高一年級(jí)中隨機(jī)抽取了五個(gè)班，把每個(gè)班選科中包含“政治”的人數(shù)作為樣本數(shù)據(jù).已知樣本平均數(shù)為7，樣本方差為4，且樣本數(shù)據(jù)各不相同，則樣本數(shù)據(jù)中的最大值為（）
A．8B．9C．10D．11
7．已知某種獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)率為，為了保證中獎(jiǎng)率大于，至少應(yīng)該購(gòu)買的獎(jiǎng)券數(shù)為（參考數(shù)據(jù)，）（）
A．4B．5C．6D．7
8．已知函數(shù)的圖象向左平移1個(gè)單位后關(guān)于y軸對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，恒成立，設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共4小題）
9．下列情境適合用古典概型來描述的是（）
A．向一條線段內(nèi)隨機(jī)地投射一個(gè)點(diǎn)，觀察點(diǎn)落在線段上不同位置
B．五個(gè)人站一排，觀察甲乙兩人相鄰的情況
C．從一副撲克牌（去掉大、小王共52張）中隨機(jī)選取1張，這張牌是紅色牌
D．某同學(xué)隨機(jī)地向靶心進(jìn)行射擊，這一試驗(yàn)的結(jié)果只有有限個(gè)：命中10環(huán)，命中9環(huán)，命中1環(huán)和脫靶
10．已知函數(shù)，若存在最小值，則實(shí)數(shù)a的可能取值為（）
A．B．0C．1D．2
11．甲乙兩人約定玩一種游戲，把一枚均勻的骰子連續(xù)拋擲兩次，游戲規(guī)則有如下四種，其中對(duì)甲有利的規(guī)則是（）
A．若兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是2，3，4，5，6，10，12其中之一，則甲獲勝，否則乙獲勝
B．若兩次擲出的點(diǎn)數(shù)中最大的點(diǎn)數(shù)大于4，則甲獲勝，否則乙獲勝
C．若兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是偶數(shù)，則甲獲勝；若兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是奇數(shù)，則乙獲勝
D．若兩次擲出的點(diǎn)數(shù)是一奇一偶，則甲獲勝；若兩次擲出的點(diǎn)數(shù)均是奇數(shù)或者偶數(shù)﹐則乙獲勝
12．已知，，，則下列結(jié)論一定成立的是（）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
三、填空題（本大題共4小題）
13．已知函數(shù)，則不等式的解集是 .
14．最近南陽(yáng)地區(qū)舉辦了“十萬教師大比武”活動(dòng)，其中評(píng)委分為專家評(píng)委（10人）和大眾評(píng)委（40人）兩組.某位青年教師參加比賽的得分情況如下：專家評(píng)委組的平均分為9分，方差為0.02；大眾評(píng)委組的平均分為8.5分，方差為0.02.則該教師本次比賽得分的方差是 .
15．要建造一段500m的高速公路，工程隊(duì)需要把60人分成兩組，一組完成一段200m的軟土地帶公路的建造任務(wù)，同時(shí)另一組完成剩下的300m的硬土地帶公路的建造任務(wù).據(jù)測(cè)算，軟、硬土地每米公路的工程量分別是5人天和3人天.要使全隊(duì)筑路工期最短，則需安排到硬土地工作的人數(shù)是人.
16．已知實(shí)數(shù)m，n滿足，則 .
四、解答題（本大題共6小題）
17．（1）已知，，，求證：；
（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
18．已知定義在R上的函數(shù)，滿足.
(1)求的解析式；
(2)若點(diǎn)在圖像上自由運(yùn)動(dòng)，求的最小值.
19．我市某高中對(duì)2023年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)考試成績(jī)（單位：分）進(jìn)行分析，隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將分?jǐn)?shù)按照，，，，，分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖：
(1)求a的值，并估計(jì)該校高一期中數(shù)學(xué)考試成績(jī)的平均分；
(2)估計(jì)該校高一期中數(shù)學(xué)考試成績(jī)的80%分位數(shù).
20．多選題是新高考中的一種題型，其規(guī)則如下：有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的或一個(gè)都不選的得0分．某同學(xué)正在參加西昌市半期考試，當(dāng)其做到多項(xiàng)選擇題11題和12題時(shí)，發(fā)現(xiàn)自己不會(huì)，在這兩個(gè)多項(xiàng)選擇題中，他選擇一個(gè)選項(xiàng)的概率是，選擇兩個(gè)選項(xiàng)的概率是，選擇三個(gè)選項(xiàng)的概率是，若該同學(xué)猜答案時(shí)題目與題目之間互不影響，且第11題和第12題的正確答案都是兩個(gè)選項(xiàng)．
(1)求該同學(xué)11題得2分的概率；
(2)求該同學(xué)第11，12題兩個(gè)題總共得分為7分的概率．
21．已知函數(shù)，.
(1)解不等式；
(2)若對(duì)任意的，存在，使得，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
22．已知（a，），且為奇函數(shù)，
(1)求a，b的值；
(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
答案
1．【正確答案】C
【分析】先根據(jù)集合對(duì)元素的要求，求得集合,再根據(jù)交集并集的定義判斷A,B兩項(xiàng)，根據(jù)集合新定義和的元素要求，分別求出集合判斷即得.
【詳解】由可得可能的取值有，即，均滿足，故.
對(duì)于A項(xiàng)，，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B項(xiàng)，，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C項(xiàng)，因，故，故C項(xiàng)正確；
對(duì)于D項(xiàng)，依題有，,則，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：C.
2．【正確答案】D
【分析】判斷是否為同一函數(shù)，一般考查兩個(gè)方面：① 定義域相同；② 對(duì)應(yīng)法則相同.只有兩個(gè)方面都分別相同，才能稱為同一函數(shù).
【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，因函數(shù)的定義域?yàn)镽，而函數(shù)的定義域?yàn)?，故該組函數(shù)不是同一函數(shù)，A項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B項(xiàng)，兩函數(shù)的定義域相同，但對(duì)應(yīng)法則不同，故該組函數(shù)也不是同一函數(shù)，B項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)的定義域?yàn)镽，故該組函數(shù)不是同一函數(shù)，C項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D項(xiàng)，兩函數(shù)的定義域都是，且對(duì)應(yīng)的法則相同，故該組函數(shù)是同一函數(shù)，D項(xiàng)正確.
故選：D.
3．【正確答案】C
【分析】求出方程有一個(gè)正實(shí)根和一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件，結(jié)合選項(xiàng)，判斷哪一個(gè)是該條件的真子集，即可得答案.
【詳解】由題意知一元二次方程的兩根為，
要使得方程有一個(gè)正實(shí)根和一個(gè)負(fù)實(shí)根，需，
結(jié)合選項(xiàng)知，只有?，
即一元二次方程有一個(gè)正實(shí)根和一個(gè)負(fù)實(shí)根的充分不必要條件是，
故選：C
4．【正確答案】D
【分析】將容器看做一個(gè)球體，根據(jù)的實(shí)際意義求解．
【詳解】將容器看做一個(gè)球體，在剛開始注水時(shí)，由于球體的截面積較小，對(duì)于相同的時(shí)間，
高度的變化較大，即較大，
到水注入球體的一半時(shí)，由于球體的截面積較大，的變化率較小，接近于球體的頂端時(shí)，的變化率又較大．
故選：D．
5．【正確答案】B
【分析】函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化有兩個(gè)根，設(shè)，，即與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，作出的圖象，結(jié)合圖象分析實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化有兩個(gè)根，設(shè)，，則與
函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，
由題可得：，作出的圖象如下：
由題可得，，，
所以要使與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍.
故選：B
6．【正確答案】C
【分析】分析題意，利用均值和方差的定義列方程求解即可.
【詳解】設(shè)五個(gè)班級(jí)參加的人數(shù)分別為，由題意得，,分析得必定為，故，解得，或，，解得或，顯然人數(shù)從低到高為，故最大值為.
故選：C
7．【正確答案】C
【分析】從對(duì)立事件考慮較簡(jiǎn)單，即考慮每張獎(jiǎng)券不中獎(jiǎng)概率為，依題須使不中獎(jiǎng)率不超過，列出不等式，利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性解之，并用近似值代入估算即得.
【詳解】不妨設(shè)至少購(gòu)買張獎(jiǎng)券，依題意，，即，
兩邊取常用對(duì)數(shù)化簡(jiǎn)得：，即，
代入，，計(jì)算即得：，即至少要買6張獎(jiǎng)券.
故選：C.
8．【正確答案】C
【分析】先結(jié)合條件判斷函數(shù)的對(duì)稱性質(zhì)和單調(diào)性，再分別界定三個(gè)自變量的值或者范圍，利用函數(shù)對(duì)稱性和單調(diào)性即得.
【詳解】依題可知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且在區(qū)間上單調(diào)遞增,則在區(qū)間上單調(diào)遞減.
因，則，，故，即.
故選：C.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵在于，得知了函數(shù)在上的單調(diào)性之后，如何判斷三個(gè)自變量的大小范圍，考慮到三個(gè)都是大于1的，且有一個(gè)是，故對(duì)于和，就必然先考慮它們與的大小，而這需要利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到.
9．【正確答案】BC
【分析】利用古典概型的定義判斷即可.
【詳解】對(duì)于A，實(shí)驗(yàn)結(jié)果有無數(shù)個(gè)，顯然不是古典概型，故錯(cuò)誤，對(duì)于B，實(shí)驗(yàn)結(jié)果有限且等可能，故正確，對(duì)于C，實(shí)驗(yàn)結(jié)果有限且等可能，故正確，對(duì)于D，顯然實(shí)驗(yàn)并非等可能，故錯(cuò)誤.
故選：BC
10．【正確答案】CD
【分析】運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求得的的值域，再由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，可得的值域，由題意列出不等式，求解即可得到所求范圍．
【詳解】函數(shù)函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，的范圍是；
時(shí)，，，
由題意存在最小值，，
故選：CD．
11．【正確答案】AB
【分析】確定把一枚均勻的骰子連續(xù)拋擲兩次，共有多少個(gè)基本事件，然后分別計(jì)算每個(gè)選項(xiàng)中甲獲勝的基本事件數(shù)，即可比較兩人獲勝的概率，即可得答案.
【詳解】對(duì)于A，把一枚均勻的骰子連續(xù)拋擲兩次，共有36個(gè)基本事件，
兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是2，3，4，5，6，10，12的基本事件有：
，
，共19種，
則甲獲勝的概率為，乙獲勝概率小于，故此種情況對(duì)甲有利，A正確；
對(duì)于B，兩次擲出的點(diǎn)數(shù)中最大的點(diǎn)數(shù)大于4，最大的點(diǎn)數(shù)為5或6，
最大的點(diǎn)數(shù)為5時(shí)，基本事件共有9個(gè)，最大的點(diǎn)數(shù)為6時(shí)，基本事件共有11個(gè)，
此時(shí)共有20個(gè)基本事件，則甲獲勝的概率為，故此種情況對(duì)甲有利，B正確；
對(duì)于C，兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是偶數(shù)，共有，
，共18個(gè)基本事件，
則兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是奇數(shù)，也有18個(gè)基本事件，
此時(shí)甲、乙獲勝的概率均為，此時(shí)對(duì)甲并不有利；
對(duì)于D，兩次擲出的點(diǎn)數(shù)是一奇一偶，則基本事件有個(gè)，
兩次擲出的點(diǎn)數(shù)均是奇數(shù)或者偶數(shù)，基本事件也是個(gè)，
此時(shí)甲、乙獲勝的概率均為，此時(shí)對(duì)甲并不有利；
故選：AB
12．【正確答案】ABD
【分析】利用數(shù)形結(jié)合的方法，即分別作出以及的圖象，即可判斷A，C；利用中間變量，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，比較大小，可判斷B，D.
【詳解】對(duì)于A，函數(shù)均為R上的增函數(shù)，
且時(shí)，兩函數(shù)值相等，均為1，時(shí)，兩函數(shù)值相等，均為9，
作出函數(shù)的圖象如圖：
由圖可知當(dāng)時(shí)，，即，A正確；
對(duì)于B，時(shí)，，
由于，故，故，B正確；
對(duì)于C，作出函數(shù)的圖象如圖，
由圖象可知當(dāng)時(shí)，，即，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，則，，，
由于，故，即，D正確，
故選：ABD
方法點(diǎn)睛：（1）比較一次函數(shù)值與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)值的大小關(guān)系，可采用數(shù)形結(jié)合的方法，即作出函數(shù)圖象，可比較函數(shù)值大小關(guān)系；
（2）比較指數(shù)冪以及對(duì)數(shù)值的大小關(guān)系，可尋找中間量，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)行大小比較.
13．【正確答案】
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)可得，進(jìn)而根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.
【詳解】,
所以,
由于函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，
所以，
故
14．【正確答案】0.06/
【分析】利用總方差公式求解即可.
【詳解】設(shè)本次比賽的總方差為，易知總平均數(shù)為
由總方差公式得.
故0.06
15．【正確答案】28
【分析】設(shè)安排到硬土地工作的人數(shù)為x人，求出兩地帶的工作時(shí)間，確定兩地帶同時(shí)完工，全隊(duì)筑路工期才最短，解方程并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性說明，即可得答案.
【詳解】設(shè)安排到硬土地工作的人數(shù)為x人，則安排到軟土地工作的人數(shù)為人，
則在軟土地帶工作時(shí)間為，在硬土地帶工作時(shí)間為，
要使全隊(duì)筑路工期最短，需兩地帶同時(shí)完工，
即，即，解得，
由于，而，
由于為增函數(shù)，在上單調(diào)遞減，
故只有當(dāng)時(shí)，兩地帶最接近于同時(shí)完工，
故需安排到硬土地工作的人數(shù)是28人，
故28
16．【正確答案】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得，進(jìn)而根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.
【詳解】由可得，
記，由于函數(shù)單調(diào)遞減，所以單調(diào)遞增，
由可得，
又，因此，
由可得，
所以，可得，
故
17．【正確答案】（1）證明見解析；（2）
【分析】（1）由乘“1”法結(jié)合基本不等式即可得證；
（2）由（1）中結(jié)論可得，由此轉(zhuǎn)換成解一元二次不等式即可得解.
【詳解】（1）∵，，，
∴，
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）,
∴.
（2）由于，可將x看作（1）中的a，看作（1）中的b，
根據(jù)（1）的結(jié)論，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為4，
所以有成立，解得.
所以m的取值范圍為.
18．【正確答案】(1)
(2)8
【分析】（1）用替換已知中的，然后解方程；
（2）利用基本不等式求最值.
【詳解】（1）因?yàn)?，?br>所以，②
由①②可解得.
（2）由題知：，
∴
（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“＝”）.
∴的最小值為8.
19．【正確答案】(1)，平均分為93
(2)115
【分析】（1）根據(jù)頻率之和即可求解，進(jìn)而根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式即可求解，
（2）根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算即可求解.
【詳解】（1）由，解得.
即數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)冢?br>頻率，頻率，
頻率，頻率，
頻率，頻率，
所以平均分是：
（2）由（1）知樣本數(shù)據(jù)中數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)?10分以下所占比例為，在130分以下所占比例為，
因此，80%分位數(shù)一定位于內(nèi)，
由，
所以樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為115.
20．【正確答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)條件概率的計(jì)算公式，結(jié)合題意，可得答案.
（2）根據(jù)題意，結(jié)合（1）以及概率乘法公式，可得答案.
【詳解】（1）設(shè)“該同學(xué)11題只選一個(gè)選項(xiàng)”為事件，則，
設(shè)“該同學(xué)11題選的一個(gè)選項(xiàng)是正確的”為事件，則，
易知“該同學(xué)11題得2分”等價(jià)于“該同學(xué)11只選一個(gè)選項(xiàng)且該選項(xiàng)是對(duì)得”，
即為，所以.
（2）由（1）可得“該同學(xué)12題的2分”的概率為，
該同學(xué)選兩個(gè)選項(xiàng)的情況有六種情況，正確的只有一種，
則事件“該同學(xué)選的兩個(gè)選項(xiàng)是正確的”的概率為，
所以事件“該同學(xué)每個(gè)題得5分”的概率為，
事件“該同學(xué)11題和12題總共得7分”等價(jià)于事件“該同學(xué)一個(gè)題得2分，另一個(gè)題得5分”，
則概率為.
21．【正確答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用對(duì)數(shù)運(yùn)算及換底公式變形函數(shù)，換元并結(jié)合二次不等式求解即得.
（2）求出函數(shù)在上的值域，再分類探討函數(shù)在上的值域，借助集合的包含關(guān)系列式求解即得.
【詳解】（1）函數(shù)，
由，得，令，則不等式可化為：，
整理得，解得或，
即或，解得或，
所以原不等式的解集是.
（2）當(dāng)時(shí)，，，
因此函數(shù)的值域是，依題意，是函數(shù)，值域的子集，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，
有，則，解得，于是；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，
有，則，無解，不存在符合條件的實(shí)數(shù)a；
當(dāng)時(shí)，（表示數(shù)中最大者），
由，得，與矛盾，由，得，與矛盾，
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：
一般地，已知函數(shù)，
①若，，總有成立，故；
②若，，有成立，故；
③若，，有成立，故；
④若，，有，則的值域是值域的子集．
22．【正確答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)求得，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可得解；
（2）將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，再利用兩次換元法，結(jié)合基本不等式求得的最小值，從而得解.
【詳解】（1）由題意，，即，
又為奇函數(shù)，所以函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
則必有，得，
故的定義域?yàn)椋?br>因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，，
驗(yàn)證：當(dāng)，時(shí)，，定義域?yàn)椋?br>而，
所以是奇函數(shù)，
綜上：，.
（2）由（1）知，，，
由有意義，得，故，
因?yàn)椋院愠闪ⅲ?br>設(shè)，
令，則，即，
再令，則，，
得，
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)“＝”成立，
所以，
故，可得，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.
結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：
一般地，已知函數(shù)，
（1）若，，總有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，則的值域是值域的子集.

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