一、單選題（本大題共8小題）
1．若復(fù)數(shù)，且，則（ ）
A．2B．C．D．1
2．命題“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知向量滿足，且，則（ ）
A．B．C．D．
4．為了分析某次數(shù)學(xué)模擬考試成績，在90分及以上的同學(xué)中隨機(jī)抽取了100名同學(xué)的成績，得到如下成績分布表：
根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．所抽取的100名同學(xué)的成績的中位數(shù)小于120
B．所抽取的100名同學(xué)的成績低于130所占比例超過
C．所抽取的100名同學(xué)的成績的極差不小于40且不大于60
D．所抽取的100名同學(xué)的成績的平均分?jǐn)?shù)介于100至110之間
5．已知曲線，從上任取一點(diǎn)向軸作垂線段為垂足，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為（ ）
A．B．
C．D．
6．已知函數(shù)，曲線y=fx與y=gx有兩個(gè)交點(diǎn)Ax1,y1,Bx2,y2，則（ ）
A．B．C．D．
7．已知圓臺(tái)的體積為，上?下底面的半徑分別為為圓臺(tái)的一條母線，若為圓臺(tái)上底面內(nèi)的一條直線，圓臺(tái)的母線與所成的角的最小值為，則的值為（ ）
A．2B．C．D．1
8．若不等式恒成立，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．對(duì)于函數(shù)和，下列說法正確的是（ ）
A．與有相同的最小正周期
B．與一定不存在相同的零點(diǎn)
C．與的圖象有相同的對(duì)稱軸
D．存在區(qū)間與均單調(diào)遞增
10．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（ ）
A．
B．若，則
C．若，則
D．若，則
11．已知拋物線的準(zhǔn)線為，為上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則（ ）
A．與相離
B．的最小值為
C．的最大值為
D．四邊形的面積的最小值為2
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則 .
13．已知分別為第一象限角和第三象限角，，則 .
14．已知集合是由個(gè)連續(xù)正整數(shù)構(gòu)成的集合，記集合中所有元素的和為，若，則集合中最小的元素為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若.
(1)求；
(2)若，求的周長.
16．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若函數(shù)的極小值小于0，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
17．如圖，在五棱錐中，，，.

(1)證明：；
(2)求平面與平面夾角的正弦值.
18．某學(xué)校信息科技小組為了研究“加密信息傳遞過程中被破解問題”的一項(xiàng)“微課題”，進(jìn)行了一次探究活動(dòng).將傳遞的信息編碼分別用“”四種字符代替，并隨機(jī)等可能發(fā)送，每次只傳遞一種字符，且在發(fā)送過程中，“”四種字符被破解情況如下：
（每一種傳遞字符等可能被破解，如“傳遞字符”等可能被破解為“”）
(1)若破解后信息字符為“”，求破解正確的概率；
(2)現(xiàn)已知連續(xù)三次傳遞信息字符均為“”，設(shè)被破解后信息字符正確的個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)若連續(xù)三次傳遞信息，被破解后信息字符均為“”，設(shè)傳遞信息字符只有一種的概率為，傳遞信息字符只有兩種的概率為，傳遞信息字符有三種的概率為，請(qǐng)比較的大小，并說明理由.
19．已知雙曲線的焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)重合，且直線被雙曲線的兩條漸近線截得的線段長為，過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方），過點(diǎn)作直線分別交橢圓于另外兩點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線的傾斜角為鈍角，且的面積為，證明：；
(3)若，證明：直線的斜率為定值.
答案
1．【正確答案】C
【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)相等可得，解得，
∴，，
∴.
故選：C.
2．【正確答案】B
【詳解】根據(jù)存在量詞命題的否定可得.
故選：B.
3．【正確答案】B
【詳解】因?yàn)?，所以，所?br>，
所以，
故選.
4．【正確答案】C
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，根據(jù)人數(shù)分布可知，所以所抽取的100名同學(xué)的成績的中位數(shù)不小于120，所以A選項(xiàng)不正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，所抽取的100名同學(xué)的成績低于130的人數(shù)為，
故所抽取的名同學(xué)的成績低于所占比例低于，所以B選項(xiàng)不正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，所抽取的100名同學(xué)的成績的極差最大值為，極差最小值大于，所以C選項(xiàng)正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，成績的平均分?jǐn)?shù)，所以D選項(xiàng)不正確，
故選：C.
5．【正確答案】A
【詳解】解：設(shè)，依題意可知
即
因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以，
即，
故選：A.
6．【正確答案】D
【詳解】當(dāng)x>0時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)為奇函數(shù)，
所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)0,1對(duì)稱，
函數(shù)，所以函數(shù)為奇函數(shù)，
函數(shù)的圖象也關(guān)于點(diǎn)0,1對(duì)稱.
則兩點(diǎn)也關(guān)于點(diǎn)0,1對(duì)稱，
所以，
則，
故選：D.
7．【正確答案】B
【詳解】依題意，設(shè)圓臺(tái)的高為，則有，解得，
為圓臺(tái)上底面內(nèi)的一條直線，圓臺(tái)的母線與所成的角的最小值即為母線與底面所成的角，
所以.
故選：B.
8．【正確答案】C
【詳解】依題意，設(shè)，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>令，解得或.
易知函數(shù)在上均單調(diào)遞減，
若恒成立，則，即，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，即的最小值為，
故選：C.
9．【正確答案】ABD
【詳解】對(duì)于A，函數(shù)，又函數(shù)，
所以函數(shù)與有相同的最小正周期，故A正確；
對(duì)于B，對(duì)于函數(shù)的零點(diǎn)，可令，解得；
對(duì)于函數(shù)的零點(diǎn)，可令，解得，
由于，所以函數(shù)與一定不存在相同的零點(diǎn)，故B正確；
對(duì)于C，對(duì)于函數(shù)的對(duì)稱軸，可令，解得；
對(duì)于函數(shù)的對(duì)稱軸，可令，解得，
由于，所以函數(shù)與一定不存在相同的對(duì)稱軸，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，對(duì)于函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，可令，解得；
對(duì)于函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，可令，解得，
由于，可令，則區(qū)間為函數(shù)與的一個(gè)共同單調(diào)遞增區(qū)間，故D正確.
故選：ABD.
10．【正確答案】ABD
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)椋?br>所以，解得或，
所以或.
對(duì)于A選項(xiàng)，在等比數(shù)列中，，又，所以，所以A選項(xiàng)正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，若，則數(shù)列遞增，，即，所以，所以B選項(xiàng)正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，若，則數(shù)列遞減，，即，所以，所以C選項(xiàng)不正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，若，則數(shù)列遞減，，又，
所以，所以D選項(xiàng)正確，
故選：ABD.
11．【正確答案】BCD
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，拋物線的準(zhǔn)線的方程為，的圓心到直線的距離為，小于的半徑1，與相交，選項(xiàng)A錯(cuò)誤.
對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，.
令函數(shù)，則，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，
∵時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值5，故的最小值為，選項(xiàng)B正確.
對(duì)于C選項(xiàng)，，
，
∵，∴，，，故的最大值為，選項(xiàng)C正確.
對(duì)于D選項(xiàng)，由題意得，，.
在中，.
由選項(xiàng)B得的最小值為，所以，故四邊形的面積的最小值為2，選項(xiàng)D選項(xiàng)正確.
故選：BCD.
12．【正確答案】54
【詳解】，
因?yàn)?，所以?br>即.又，解得，
所以.
故54.
13．【正確答案】
【詳解】依題意，，
因?yàn)椋?br>即，
所以，又，
所以，，
所以.
故答案為.
14．【正確答案】
【詳解】因?yàn)榧鲜怯蓚€(gè)連續(xù)正整數(shù)構(gòu)成的集合，
所以集合是公差為1，項(xiàng)數(shù)為的等差數(shù)列，
集合中所有元素的和為，
設(shè)集合中最小的元素為，
則，整理得，
所以，
因?yàn)闉檎麛?shù)，所以為正整數(shù)，
由，則當(dāng)時(shí)，，不符合為正整數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，不符合為正整數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，不符合為正整數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，不符合為正整數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，不符合為正整數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，不符合為正整數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，不符合為正整數(shù)，
當(dāng)時(shí)， ，符合為正整數(shù).
故答案為.
15．【正確答案】(1)或；
(2).
【詳解】（1）依題意，，
所以，
因?yàn)?，所以或，所以?
（2）由，
根據(jù)正弦定理和三角形內(nèi)角和定理可得，
又，所以，即，
又，所以，
在中，因?yàn)?，則，所以，
所以.
根據(jù)正弦定理可得，即，
所以，
所以的周長為.
16．【正確答案】(1)
(2).
【詳解】（1）依題意，函數(shù)的定義域?yàn)镽，
當(dāng)時(shí)，，則，
，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，
即.
（2）由題意得，，
當(dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)不存在極值，不合題意.
當(dāng)時(shí)，令，即，則.
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.
所以函數(shù)在處取得極小值，
且.
又因?yàn)?，則等價(jià)于，
令，
則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
又，所以當(dāng)時(shí)，，
即不等式的解集為，
故實(shí)數(shù)的取值范圍是.
17．【正確答案】(1)證明見解析
(2).
【詳解】（1）證明：在中，，所以，
所以，即，
又，所以，
因?yàn)椋矫?，所以平面?br>又平面，所以；
（2）連接，在中，，
所以，
在中，，
所以，所以，即，
由（1）知，，又因?yàn)?，平面?br>所以平面.
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
過點(diǎn)作⊥軸于點(diǎn)，
因?yàn)?，所以?br>又，故，
則，

故，
設(shè)平面的法向量為，
則即不妨令，則，
則為平面的一個(gè)法向量，
依題意，為平面的一個(gè)法向量，
設(shè)平面與平面的夾角為，
則，
又因?yàn)椋?br>所以平面與平面夾角的正弦值為.
18．【正確答案】(1)
(2)分布列見解析，1
(3)，證明見解析
【詳解】（1）記破解后信息字符為為事件，傳遞信息字符為為事件，
由于傳遞信息字符為時(shí)，均有的可能破解后信息字符為，
則，，
所以，
所以；
（2）由（1）可知，若傳遞信息字符為，則被破解正確的概率為，
所有可能的取值為，
，
，
，
，
的分布列為
.
（3）記“傳遞信息字符只有一種”為事件A，“傳遞信息字符只有兩種”為事件，
“傳遞信息字符有三種”為事件，“被破解后信息字符均為''”為事件，
事件A中，由（1）可知，傳遞信息字符為中的某一個(gè)，
故，，
所以，
事件B中，傳遞信息字符為中的某兩個(gè)，且有1個(gè)字符被傳遞了2次，順序有種，
故，，
故，
事件C中，傳遞信息字符中各一次，順序不定，
，，
，
則，
，
，
所以.
19．【正確答案】(1)
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【詳解】（1）依題意，雙曲線的焦點(diǎn)為，則，
又雙曲線的漸近線方程為，則，解得，
所以，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）證明：由直線的傾斜角為鈍角，可設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立整理得，
則恒成立，所以，
，
解得，因?yàn)椋裕?br>即直線的方程為，
連接，又有，解得，從而可得，
所以，且，
所以，所以.
根據(jù)對(duì)稱性可知，
所以，
所以.
（3）證明：因?yàn)?，所以?br>設(shè)，由，可得，
又均在橢圓上，則有
即
所以，
整理得，
同理可得，所以直線的方程為，
此時(shí)直線的斜率為，
因?yàn)?，所以直線的斜率為定值.
分?jǐn)?shù)區(qū)間
人數(shù)
14
16
18
30
20
2
傳遞信息字符
破解后信息字符
0
1
2
3

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