1、注重生活聯(lián)系，形式活潑多樣。初中生的數(shù)學(xué)思維能力正逐步由直觀形象思維向抽象思維發(fā)展。這個發(fā)展需要一定的過程。
2、注重動手操作，引導(dǎo)學(xué)生“做”數(shù)學(xué)。有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不能單純地依賴模仿與記憶，自主探索與合作交流也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方法。
3、注重“過程”和數(shù)學(xué)思想方法。新教材通過讓學(xué)生親身經(jīng)歷知識的形成過程，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程更多地成為其發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、了解數(shù)學(xué)、體驗數(shù)學(xué)的過程。
專題7.9 角度計算的綜合大題專項訓(xùn)練（30道）
【蘇科版】
考卷信息：
本套訓(xùn)練卷共30題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，涵蓋了平面直角坐標(biāo)系中的規(guī)律問題所有類型！
一．解答題（共30小題）
1．（2022?金水區(qū)校級期末）“三等分一個任意角”是數(shù)學(xué)史上一個著名問題．今天人們已經(jīng)知道，僅用圓規(guī)和直尺是不可能作出的．有人曾利用如圖所示的圖形進行探索，其中ABCD是長方形，F(xiàn)是DA延長線上一點，G是CF上一點，且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F．請寫出∠ECB和∠ACB的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
2．（2022春?渠縣期末）∠MON＝90°，點A，B分別在射線OM、ON上運動（不與點O重合）．
（1）如圖①，AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的平分線，隨著點A、點B的運動，∠AEB＝ °；
（2）如圖②，若BC是∠ABN的平分線，BC的反向延長線與∠OAB的平分線交于點D．
①若∠BAO＝60°，則∠D＝ °；
②隨著點A，B的運動，∠D的大小是否會變化？如果不變，求∠D的度數(shù)；如果變化，請說明理由．
3．（2022?永春縣期末）在直角三角板ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝∠B＝45°，將三角板的頂點A放置在直線DE上．
（1）如圖，在AB邊上任取一點P（不同于點A，B），過點P作直線l∥DE，當(dāng)∠1＝8∠2時，求∠2的度數(shù)；
（2）將三角板繞頂點A轉(zhuǎn)動，并保持點B在直線DE的上方．過點B作FH∥DE（F在H的左側(cè)），求∠DAC與∠FBC之間的數(shù)量關(guān)系．
4．（2022春?亭湖區(qū)校級期中）平移是一種常見的圖形變換，如圖1，△ABC經(jīng)過平移后得到△A1B1C1，連接BA1，AC1，若BA1平分∠ABC，C1A平分∠A1C1B1，則稱這樣的平移為“平分平移”．
（1）如圖1，△ABC經(jīng)過“平分平移”后得到△A1B1C1，請問AC和A1C1有怎樣的位置關(guān)系： ．
（2）如圖2，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，△ABC經(jīng)過“平分平移”后得到△A1B1C1，求∠AOB的度數(shù)．
（3）如圖3，在（2）的條件下，BD平分∠ABA1，C1D平分∠AC1A1，求∠BDC1的度數(shù)．
（4）如圖4，△ABC經(jīng)過“平分平移”后得到△A1B1C1，BD平分∠ABA1，C1D平分∠AC1A1，若∠BAC＝α，則∠BDC1＝ ．（用含α的式子表示）
5．（2022春?如皋市期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC交△ABC的邊AC于點D，E為直線AC上一點，過點E向直線AC的右邊作射線EF，使EF∥BC，作∠CEF的平分線EG交射線BD于點G．
（1）如圖1，∠ABC＝40°，點E與點A重合，求∠G的度數(shù)；
（2）若∠ABC＝α，
①如圖2，點E在DC的延長線上，求∠G的度數(shù)（用含有α的式子表示）；
②點E在直線AC上滑動，當(dāng)存在∠G時，其度數(shù)是否發(fā)生變化？若不變，請說明理由；若變化，請直接用含α的式子表示∠G的度數(shù)．
6．（2022春?信陽期末）已知：如圖1，在△ABC中，CD是AB邊上的高，∠A＝∠DCB．
（1）試說明∠ACB＝90°；
（2）如圖2，如果AE是角平分線，AE、CD相交于點F．那么∠CFE與∠CEF的大小相等嗎？請說明理由．
7．（2022春?鼓樓區(qū)期末）【概念認識】
如圖①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，則BD，BE叫做∠ABC的“三分線”．其中，BD是“鄰AB三分線”，BE是“鄰BC三分線”．
【問題解決】
（1）如圖②，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝45°，若∠B的三分線BD交AC于點D，則∠BDC＝ °；
（2）如圖③，在△ABC中，BP、CP分別是∠ABC鄰AB三分線和∠ACB鄰AC三分線，且BP⊥CP，求∠A的度數(shù)；
【延伸推廣】
（3）如圖④，直線AC、BD交于點O，∠ADB的三分線所在的直線與∠ACB的三分線所在的直線交于點P．若∠A＝66°，∠B＝45°，∠ADB＝m°，直接寫出∠DPC的度數(shù)．
8．（2022?渦陽縣期末）如圖（a）所示，將兩塊直角三角尺的直角頂點C疊放在一起．
（1）若∠DCE＝25°，則∠ACB＝ °；若∠ACB＝130°，則∠DCE＝ °．
（2）如圖（b）所示，若兩個同樣的三角板，將60°銳角的頂點A疊放在一起，則∠DAB與∠CAE有何數(shù)量關(guān)系，請說明理由．
（3）如圖（c）所示，已知∠AOB＝α，∠COD＝β（α，β都是銳角）．若把它們的頂點O疊放在一起，則∠AOD與∠BOC有何數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論．
9．（2022春?豐澤區(qū)期末）已知在△ABC中，∠A，∠ABC，∠ACB的度數(shù)之比為2：1：6，CD平分∠ACB，在直角三角形DEF中，∠E＝90°，∠F＝60°．如圖1，△DEF的邊DF在直線AB上，將△DEF繞點D逆時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜180°），完成下列問題．
（1）在△ABC中，∠ACB＝ °，∠BDC＝ °；
（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，如圖2，當(dāng)α＝ °時，DE∥AC；當(dāng)α＝ °時，DE⊥AC；
（3）如圖3，當(dāng)點C在△DEF內(nèi)部時，邊DE，DF分別交BC，AC的延長線于N，M兩點．
①此時，α的取值范圍是 ；
②∠CMD與∠CND之間有一種始終保持不變的數(shù)量關(guān)系，請寫出該數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
10．（2022春?大豐區(qū)期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°．
（1）如圖1，若∠B＝∠C，則∠C＝ 度；
（2）如圖2，若∠ABC的角平分線BE交DC于點E，且BE∥AD，試求出∠C的度數(shù)；
（3）①如圖3，若∠ABC和∠DCB的角平分線交于點E，試求出∠BEC的度數(shù)；
②在①的條件下，若延長BA、CD交于點F（如圖4）．將原來條件“∠A＝140°，∠D＝80°”改為“∠F＝40°”．其他條件不變．則∠BEC的度數(shù)為 ．
11．（2022春?豐澤區(qū)期末）如圖，清晨小明沿著一個五邊形廣場周圍的小路，按逆時針方向跑步．
（1）小明每從一條街道轉(zhuǎn)下一條街道時，身體轉(zhuǎn)過的角是哪個角，在圖上標(biāo)出；
（2）他每跑一圈，身體轉(zhuǎn)過的角度之和是多少？
（3）你是怎么得到的？
（4）如果廣場是六邊形、八邊形的形狀，那么還有類似的結(jié)論嗎？
12．（2022春?井研縣期末）已知在四邊形ABCD中，∠A＝x，∠C＝y(tǒng)，（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°）．
（1）∠ABC+∠ADC＝ （用含x、y的代數(shù)式表示）；
（2）如圖1，若x＝y(tǒng)＝90°，DE平分∠ADC，BF平分與∠ABC相鄰的外角，請寫出DE與BF的位置關(guān)系，并說明理由．
（3）如圖2，∠DFB為四邊形ABCD的∠ABC、∠ADC相鄰的外角平分線所在直線構(gòu)成的銳角，
①當(dāng)x＜y時，若x+y＝140°，∠DFB＝30°，試求x、y．
②小明在作圖時，發(fā)現(xiàn)∠DFB不一定存在，請直接指出x、y滿足什么條件時，∠DFB不存在．
13．（2022春?長春期末）如圖1，直線OM⊥ON，垂足為O，三角板的直角頂點C落在∠MON的內(nèi)部，三角板的另兩條直角邊分別與ON、OM交于點D和點B．
【片斷一】（1）小孫說：由四邊形內(nèi)角和知識很容易得到∠OBC+∠ODC的值．
如果你是小孫，得到的正確答案應(yīng)是：∠OBC+∠ODC＝ °．
【片斷二】（2）小悟說：連結(jié)BD（如圖2），若BD平分∠OBC，那么BD也平分∠ODC．請你說明當(dāng)BD平分∠OBC時，BD也平分∠ODC的理由．
【片斷三】（3）小空說：若DE平分∠ODC、BF平分∠MBC，我發(fā)現(xiàn)DE與BF具有特殊的位置關(guān)系．請你先在備用圖中補全圖形，再判斷DE與BF有怎樣的位置關(guān)系并說明理由．
14．（2022春?無錫期中）閱讀并解決下列問題：
（1）如圖①，△ABC中，∠A＝60°，∠ABC、∠ACB的平分線交于點D，則∠BDC＝ ．
（2）如圖②，五邊形ABCDE中，AE∥BC，EF平分∠AED，CF平分∠BCD，若∠EDC＝72°，求∠EFC的度數(shù)．
15．（2022春?冠縣期末）某同學(xué)在學(xué)習(xí)過程中，對教材的一個有趣的問題做如下探究：
【習(xí)題回顧】
已知：如圖1，在△ABC中，角平分線BO、CO交于點O．求∠BOC的度數(shù)．
（1）若∠A＝40°，請直接寫出∠BOC＝ ；
【變式思考】
（2）若∠A＝α，請猜想∠BOC與α的關(guān)系，并說明理由；
【拓展延伸】
（3）已知：如圖2，在△ABC中，角平分線BO、CO交于點O，OD⊥OB，交邊BC于點D，點E在CB的延長線上，作∠ABE的平分線交CO的延長線于點F．若∠F＝β，猜想∠BAC與β的關(guān)系，并說明理由．
16．（2022春?淅川縣期末）[規(guī)律探索]探索三角形的內(nèi)（外）角平分線形成的角的規(guī)律：
在三角形中，由三角形的內(nèi)角平分線外角平分線所形成的角存在一定的規(guī)律．
規(guī)律1：三角形的兩個內(nèi)角的平分線形成的鈍角等于90°加上第三個內(nèi)角度數(shù)的一半；
規(guī)律2：三角形的兩個外角的平分線形成的銳角等于90°減去與這兩個外角不相鄰的內(nèi)角度數(shù)的一半．
[問題呈現(xiàn)]如圖①，點P是△ABC的內(nèi)角平分線BP與CP的交點，點M是△ABC的外角平分線BM與CM的交點，則∠P＝90°+12∠A，∠M＝90°?12∠A．
說明∠P＝90°+12∠A如下：
∵BP、CP是△ABC的角平分線，
∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ABC．
∴∠A+2（∠1+∠2）＝180°．…………①
∴∠1+∠2＝90°?12∠A．
∴∠P＝180°﹣（∠1+∠2）＝90°+12∠A．
請你仔細閱讀理解上面的說理過程，完成下列問題：
（1）上述說理過程中步驟①的依據(jù)是 ．
（2）結(jié)合圖①，寫出說明∠M＝90°?12∠A的說理過程．
[拓展延伸]如圖②，點Q是△ABC的內(nèi)角平分線BQ與△ABC的外角（∠ACD）平分線CQ的交點．若∠A＝50°，則∠Q的大小為 度．
17．（2022?驛城區(qū)校級期末）在圖1中，已知△ABC中，∠B＞∠C，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝40°，求∠DAE的度數(shù)．
（2）在圖2中，∠B＝x，∠C＝y(tǒng)，其他條件不變，若把“AD⊥BC于D”改為“F是AE上一點，F(xiàn)D⊥BC于D”，試用x、y表示∠DFE＝ ；
（3）在圖3中，當(dāng)點F是AE延長線上一點，其余條件不變，則（2）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請說明為什么；若不成立，請寫出成立的結(jié)論，并說明為什么．
（4）在圖3中，分別作出∠BAE和∠EDF的角平分線，交于點P，如圖4．試用x、y表示∠P＝ ．
18．（2022春?鎮(zhèn)江期末）定義：在一個三角形中，如果有一個角是另一個角的2倍，我們稱這兩個角互為“開心角”，這個三角形叫做“開心三角形”．例如：在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝35°，則∠A與∠B互為“開心角”，△ABC為“開心三角形”．
【理解】
（1）若△ABC為開心三角形，∠A＝144°，則這個三角形中最小的內(nèi)角為 °；
（2）若△ABC為開心三角形，∠A＝70°，則這個三角形中最小的內(nèi)角為 °；
（3）已知∠A是開心△ABC中最小的內(nèi)角，并且是其中的一個開心角，試確定∠A的取值范圍，并說明理由；
【應(yīng)用】
如圖，AD平分△ABC的內(nèi)角∠BAC，交BC于點E，CD平分△ABC的外角∠BCF，延長BA和DC交于點P，已知∠P＝30°，若∠BAE是開心△ABE中的一個開心角，設(shè)∠BAE＝∠α，求∠α的度數(shù)．
19．（2022春?興化市期中）如圖，∠AOB＝n°，C、D兩點分別是邊OA、OB上的定點，∠ACE=13∠ACD，∠FDO=13∠CDO，射線CE的反向延長線與射線DF相交于點F．
（1）若n＝60，∠CDO＝75°，求∠F的度數(shù)；
（2）若n＝75，則∠F＝ ．
（3）隨著n的變化，∠AOB與∠F數(shù)量關(guān)系會發(fā)生變化嗎？如不變，請求出∠AOB與∠F的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
20．（2022?內(nèi)江期末）已知，如圖1，直線AB∥CD，E、F分別交AB、CD于E、F兩點，∠AEF，∠CFE的平分線相交于點M．
（1）求∠M的度數(shù)；
（2）如圖2，∠AEM，∠CFM的平分線相交于點M1，請寫出∠M1與∠M之間的等量關(guān)系，并說明理由；
（3）在圖2中作∠AEM1，∠CFM1的平分線相交于點M2，作∠AEM2，∠CFM2的平分線交于點M3，作∠AEM2020，∠CFM2020的平分線交于點M2021，請直接寫出∠M2021的度數(shù)．
21．（2022春?青龍縣期末）已知：△ABC中，圖①中∠B、C的平分線相交于M，圖②中∠B、∠C的外角平分線相交于N．
（1）若∠A＝80°，∠BMC＝ °，∠BNC＝ °．
（2）若∠A＝β，試用β表示∠BMC和∠BNC．
22．（2022春?承德縣期末）如圖，已知AB∥CD，現(xiàn)將一直角三角形PMN放入圖中，其中∠P＝90°，PM交AB于點E，PN交CD于點F．
（1）當(dāng)△PMN所放位置如圖①所示時，直接寫出∠PFD與∠AEM的數(shù)量關(guān)系；
（2）當(dāng)△PMN所放位置如圖②所示時，猜想∠PFD與∠AEM的數(shù)量關(guān)系并證明；
（3）如圖②，在（2）的條件下，若MN與CD交于點O，且∠DON＝15°，∠PEB＝30°，直接寫出∠N的度數(shù)．
23．（2022春?農(nóng)安縣期末）探究：如圖①，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D．若∠B＝30°，則∠ACD的度數(shù)是 ．
拓展：如圖②，∠MCN＝90°，射線CP在人MCN的內(nèi)部，點A、B分別在CM、CN上，分別過點A、B作AD⊥CP、BE⊥CP于點D、E．若∠CBE＝70°，求∠CAD的度數(shù)．
應(yīng)用：如圖③，點A、B分別在∠MCN的邊CM、CN上，射線CP在∠MCN的內(nèi)部，點D、E在射線CP上，連結(jié)AD、BE．若∠MCN＝∠ADP＝∠BEP＝60°，則∠CAD+∠CBE+∠ACB＝ ．
24．（2022春?平潭縣期末）已知直線a∥b，直角三角形ABC的邊與直線a分別相交于O、G兩點，與直線b分別交于E，F(xiàn)點，且∠ACB＝90°．
（1）將直角三角形ABC如圖1位置擺放，如果∠AOG＝56°，則∠CEF＝ ；
（2）將直角三角形ABC如圖2位置擺放，N為AC上一點，∠NEF+∠CEF＝180°，請寫出∠NEF與∠AOG之間的等量關(guān)系，并說明理由；
（3）將直角三角形ABC如圖3位置擺放，若∠GOC＝135°，延長AC交直線b于點Q，點P是射線GF上一動點，請用平行的相關(guān)知識，探究∠POQ，∠OPQ與∠PQF的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出結(jié)論．
25．（2022春?鹽都區(qū)期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD．
【問題情境】
（1）如圖1，若∠A＝30°，則∠C的度數(shù)為 ．
（2）如圖2，點E是AB邊上的一點，DE交CB的延長線于點F，DH平分∠FDC，交FC于點H，若∠A＝50°，∠HDC＝45°，求∠DFC的度數(shù)．
【操作思考】
（3）如圖3，若點E是AB邊上的一點，DE交CB的延長線于點F，分別作∠FDC、∠ABC的角平分線，兩條角平分線所在的直線交于點G，直線GB交CD于點M．試猜想∠DFC與∠DGB的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【拓展延伸】
（4）如圖4，若點E是AB延長線上的一點，（3）中的其余條件不變，請直接寫出∠DFC與∠DGB之間的等量關(guān)系式： ．
26．（2022春?興寧區(qū)校級期末）小穎在學(xué)習(xí)過程中，對教材中的一個有趣問題做如下探究：
【習(xí)題回顧】已知：如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC，CD是高，AE、CD相交于點F．求證：∠CFE＝∠CEF；
【變式思考】在△ABC中，若點D在AB上移動到圖2位置，使得∠ACD＝∠B，∠BAC的角平分線AE交CD于點F．則∠CFE與∠CEF還相等嗎？說明理由；
【探究延伸】如圖3，在【變式思考】的條件下，△ABC的外角∠BAG的平分線所在直線MN與BC的延長線交于點M．試判斷∠M與∠CFE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
27．（2022春?邗江區(qū)校級期中）已知：直線AB∥CD，三角板EFH中∠EFH＝90°，∠EHF＝60°．
（1）如圖1，三角板EFH的頂點H落在直線CD上，并使EH與直線AB相交于點G，若∠2＝3∠1，則∠1的度數(shù)＝ ；
（2）如圖2，當(dāng)三角板EFH的頂點F落在直線AB上，且頂點H仍在直線CD上時，EF與直線CD相交于點M，試確定∠E、∠AFE、∠MHE的數(shù)量關(guān)系；
（3）如圖3，當(dāng)三角板EFH的頂點F落在直線AB上，頂點H在AB、CD之間，而頂點E恰好落在直線CD上時得△EFH，在線段EH上取點P，連接FP并延長交直線CD于點T，在線段EF上取點K，連接PK并延長交∠CEH的角平分線于點Q，若∠Q﹣∠HFT＝15°，且∠EFT＝∠ETF．
①探求：∠HFT與∠AFE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
②求證：PQ∥FH．
28．（2022春?阜寧縣校級月考）【問題背景】（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，
請說明∠A+∠B＝∠C+∠D；
【簡單應(yīng)用】
（2）閱讀下面的內(nèi)容，并解決后面的問題：如圖2，AP、CP分別平分∠BAD．∠BCD，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度數(shù)；
解：∵AP、CP分別平分∠BAD．∠BCD
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4
由（1）的結(jié)論得：∠P+∠3=∠1+∠B①∠P+∠2=∠4+∠D②
①+②，得2∠P+∠2+∠3＝∠1+∠4+∠B+∠D
∴∠P=12（∠B+∠D）＝26°．
【問題探究】
如圖3，直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，請猜想∠P的度數(shù)，并說明理由．
【拓展延伸】
在圖4中，若設(shè)∠C＝α，∠B＝β，∠CAP=13∠CAB，∠CDP=13∠CDB，試問∠P與∠C、∠B之間的數(shù)量關(guān)系為： （用α、β表示∠P），并說明理由．
29．（2022春?東臺市期中）（1）數(shù)學(xué)課上老師提出如下問題：
如圖，直線OM⊥ON，垂足為O，三角板的直角頂點C落在∠MON的內(nèi)部，三角板的另兩條直角邊分別與ON、OM交于點D和點B．
①填空：∠OBC+∠ODC＝ ；
②若DE平分∠ODC，BF平分∠CBM（如圖1），試說明DE⊥BF．
請你完成上述問題．
（2）課后小佳和小芳對問題進行了進一步研究，若把DE平分∠ODC改為DG分別平分∠ODC的外角，其他條件不變（如圖2），小佳和小芳發(fā)現(xiàn)BF與DG的位置關(guān)系發(fā)生了變化，請你判斷BF與DG的位置關(guān)系，并說明理由．
30．（2022春?萬州區(qū)期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，點D、E分別是△ABC邊AC、BC上的點，點P是一動點．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
（1）若點P在線段AB上，如圖（1）所示，且∠α＝50°，則∠1+∠2＝ °；
（2）若點P在邊AB上運動，如圖（2）所示，則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系？
（3）若點P在Rt△ABC斜邊BA的延長線上運動（CE＜CD），則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系？猜想并說明理由．

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