1、注重生活聯(lián)系，形式活潑多樣。初中生的數(shù)學思維能力正逐步由直觀形象思維向抽象思維發(fā)展。這個發(fā)展需要一定的過程。
2、注重動手操作，引導學生“做”數(shù)學。有效的數(shù)學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，自主探索與合作交流也是學習數(shù)學的重要方法。
3、注重“過程”和數(shù)學思想方法。新教材通過讓學生親身經(jīng)歷知識的形成過程，使學生的學習過程更多地成為其發(fā)現(xiàn)數(shù)學、了解數(shù)學、體驗數(shù)學的過程。
專題7.7 平行線四大模型專項訓練（40道）
【蘇科版】
考卷信息：
本套訓練卷共40題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，涵蓋了平行線四大模型的綜合問題的所有類型！
【模型1 “鉛筆”模型】
1．（2022·湖南·永州市劍橋學校七年級階段練習）如圖所示，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝140°，則∠3的度數(shù)為( )
A．55°B．60°C．65°D．70°
2．（2022·貴州六盤水·七年級期中）如圖所示，若AB∥EF，用含α、β、γ的式子表示x，應為（ ）
A．α+β+γB．β+γ?αC．180°?α?γ+βD．180°+α+β?γ
3．（2022·甘肅·北京師范大學慶陽實驗學校七年級期中）如圖，如果AB∥CD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝___°．
4．（2022·全國·七年級專題練習）如圖所示，AB//CD，∠ABE與∠CDE的角平分線相較于點F，∠E=80°，求∠BFD的度數(shù).
5．（2022·全國·七年級專題練習）已知如圖所示，AB//CD，∠ABE=3∠DCE，∠DCE=28°，求∠E的度數(shù).
6．（2022·全國·七年級）(1)問題情景：如圖1，AB//CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度數(shù)．
小明想到一種方法，但是沒有解答完：
如圖2，過P作PE//AB，∴∠APE+∠PAB=180°，
∴∠APE=180°-∠PAB=180°-130°=50°
∵AB//CD，∴PE//CD．
……
請你幫助小明完成剩余的解答．
(2)問題遷移：請你依據(jù)小明的解題思路，解答下面的問題：
如圖3，AD//BC，當點P在A、B兩點之間時，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，則∠CPD，∠α，∠β之間有何數(shù)量關系？請說明理由．
7．（2022·全國·七年級專題練習）如圖1，四邊形MNBD為一張長方形紙片．
（1）如圖2，將長方形紙片剪兩刀，剪出三個角（∠BAE、∠AEC、∠ECD），則∠BAE+∠AEC+∠ECD=__________°．
（2）如圖3，將長方形紙片剪三刀，剪出四個角（∠BAE、∠AEF、∠EFC、∠FCD），則∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=__________°．
（3）如圖4，將長方形紙片剪四刀，剪出五個角（∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD），則∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=___________°．
（4）根據(jù)前面探索出的規(guī)律，將本題按照上述剪法剪n刀，剪出n+1個角，那么這n+1個角的和是____________°．
8．（2022·安徽合肥·七年級期末）問題情景：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，求∠APC的度數(shù)．
（1）麗麗同學看過圖形后立即口答出：∠APC＝85°，請補全她的推理依據(jù)．
如圖2，過點P作PE∥AB，
因為AB∥CD，所以PE∥CD．（ ）
所以∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．（ ）
因為∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，所以∠APE＝40°，∠CPE＝45°，
∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．
問題遷移：
（2）如圖3，AD∥BC，當點P在A、B兩點之間運動時，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，求∠CPD與∠α、∠β之間有什么數(shù)量關系？請說明理由．
（3）在（2）的條件下，如果點P在A、B兩點外側運動時（點P與點A、B、O三點不重合），請直接寫出∠CPD與∠α、∠β之間的數(shù)量關系．

【模型2 “豬蹄”模型】
9．（2022·全國·七年級）如圖所示，直角三角板的60°角壓在一組平行線上，AB∥CD，∠ABE=40°，則∠EDC=______度．
10．（2022·河南平頂山·八年級期末）如圖：
(1)如圖1，AB∥CD，∠ABE=45°，∠CDE=21°，直接寫出∠BED的度數(shù)．
(2)如圖2，AB∥CD，點E為直線AB，CD間的一點，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，寫出∠BED與∠F之間的關系并說明理由．
(3)如圖3，AB與CD相交于點G，點E為∠BGD內一點，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，若∠BGD=60°，∠BFD=95°，直接寫出∠BED的度數(shù)．
11．（2022·江蘇常州·七年級期中）問題情境：如圖①，直線AB∥CD，點E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上．
(1)猜想：若∠1=130°，∠2=150°，試猜想∠P=______°；
(2)探究：在圖①中探究∠1，∠2，∠P之間的數(shù)量關系，并證明你的結論；
(3)拓展：將圖①變?yōu)閳D②，若∠1+∠2=325°，∠EPG=75°，求∠PGF的度數(shù)．
12．（2022·山東聊城·七年級階段練習）已知直線AB//CD，EF是截線，點M在直線AB、CD之間．
(1)如圖1，連接GM，HM．求證：∠M＝∠AGM＋∠CHM；
(2)如圖2，在∠GHC的角平分線上取兩點M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．試判斷∠M與∠GQH之間的數(shù)量關系，并說明理由．
13．（2022·廣東韶關·七年級期中）如圖1，點A、B分別在直線GH、MN上，∠GAC=∠NBD，∠C=∠D.
（1）求證：GH//MN；（提示：可延長AC交MN于點P進行證明）
（2）如圖2，AE平分∠GAC，DE平分∠BDC，若∠AED=∠GAC，求∠GAC與∠ACD之間的數(shù)量關系；
（3）在（2）的條件下，如圖3，BF平分∠DBM，點K在射線BF上，∠KAG=13∠GAC，若∠AKB=∠ACD，直接寫出∠GAC的度數(shù)．
14．（2022·全國·九年級專題練習）如圖所示，已知AB//CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，求證：∠E=12(∠A+∠C)
15．（2022·浙江工業(yè)大學附屬實驗學校七年級期中）已知AB//CD．
（1）如圖1，E為AB，CD之間一點，連接BE，DE，得到∠BED．求證：∠BED＝∠B+∠D；
（2）如圖，連接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直線交于點F．
①如圖2，當點B在點A的左側時，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度數(shù)．
②如圖3，當點B在點A的右側時，設∠ABC＝α，∠ADC＝β，請你求出∠BFD的度數(shù)．（用含有α，β的式子表示）
16．（2022·全國·七年級）如圖1，AB//CD，E是AB，CD之間的一點．
(1)判定∠BAE，∠CDE與∠AED之間的數(shù)量關系，并證明你的結論；
(2)如圖2，若∠BAE，∠CDE的角平分線交于點F，直接寫出∠AFD與∠AED之間的數(shù)量關系；
(3)將圖2中的射線DC沿DE翻折交AF于點G得圖3，若∠AGD的余角等于2∠E的補角，求∠BAE的大小．
17．（2022·廣東·高州市第一中學附屬實驗中學七年級階段練習）如圖1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；
(1)若∠E＝60°，則∠F＝ ；
(2)請?zhí)剿鳌螮與∠F之間滿足的數(shù)量關系？說明理由；
(3)如圖2，已知EP平分∠BEF，F(xiàn)G平分∠EFD，反向延長FG交EP于點P，求∠P的度數(shù)．
18．（2022·河南·商丘市第十六中學七年級期中）已知AB∥CD，線段EF分別與AB，CD相交于點E，F(xiàn)．
（1）請在橫線上填上合適的內容，完成下面的解答：
如圖1，當點P在線段EF上時，已知∠A＝35°，∠C＝62°，求∠APC的度數(shù)；
解：過點P作直線PH∥AB，
所以∠A＝∠APH，依據(jù)是 ；
因為AB∥CD，PH∥AB，
所以PH∥CD，依據(jù)是 ；
所以∠C＝（ ），
所以∠APC＝（ ）+（ ）＝∠A+∠C＝97°．
（2）當點P，Q在線段EF上移動時（不包括E，F(xiàn)兩點）：
①如圖2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立嗎？請說明理由；
②如圖3，∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠M+∠MPQ+∠PQM＝180°，請直接寫出∠M，∠A與∠C的數(shù)量關系．
19．（2022·湖北武漢·七年級期末）如圖1，點A在直線MN上，點B在直線ST上，點C在MN，ST之間，且滿足∠MAC+∠ACB+∠SBC =360°．
（1）證明：MN//ST；
（2）如圖2，若∠ACB=60°，AD//CB，點E在線段BC上，連接AE，且∠DAE=2∠CBT，試判斷∠CAE與∠CAN的數(shù)量關系，并說明理由；
（3）如圖3，若∠ACB=180°n（n為大于等于2的整數(shù)），點E在線段BC上，連接AE，若∠MAE=n∠CBT，則∠CAE:∠CAN=______．
20．（2022·重慶江北·七年級期末）如圖1，AB//CD，點E、F分別在AB、CD上，點O在直線AB、CD之間，且∠EOF=100°．
（1）求∠BEO+∠OFD的值；
（2）如圖2，直線MN分別交∠BEO、∠OFC的角平分線于點M、N，直接寫出∠EMN?∠FNM的值；
（3）如圖3，EG在∠AEO內，∠AEG=m∠OEG；FH在∠DFO內，∠DFH=m∠OFH，直線MN分別交EG、FH分別于點M、N，且∠FMN?∠ENM=50°，直接寫出m的值．
21．（2022·黑龍江哈爾濱·七年級期末）已知，AB∥CD，點E在CD上，點G，F(xiàn)在AB上，點H在AB，CD之間，連接FE，EH，HG，∠AGH＝∠FED，F(xiàn)E⊥HE，垂足為E．
（1）如圖1，求證：HG⊥HE；
（2）如圖2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于點M，求證：∠GHE＝2∠GME；
（3）如圖3，在（2）的條件下，F(xiàn)K平分∠AFE交CD于點K，若∠KFE：∠MGH＝13：5，求∠HED的度數(shù)．
22.（2022·廣西柳州·七年級期中）已知直線a∥b，直線EF分別與直線a，b相交于點E，F(xiàn)，點A，B分別在直線a，b上，且在直線EF的左側，點P是直線EF上一動點（不與點E，F(xiàn)重合），設∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．
(1)如圖1，當點P在線段EF上運動時，試說明∠1＋∠3＝∠2；
(2)當點P在線段EF外運動時有兩種情況．
①如圖2寫出∠1，∠2，∠3之間的關系并給出證明；
②如圖3所示，猜想∠1，∠2，∠3之間的關系（不要求證明）．
【模型3 “臭腳”模型】
23．（2022·全國·八年級課時練習）（1）已知：如圖（a），直線DE∥AB．求證：∠ABC+∠CDE=∠BCD；
（2）如圖（b），如果點C在AB與ED之外，其他條件不變，那么會有什么結果？你還能就本題作出什么新的猜想？
24．（2022·全國·七年級）已知，AE//BD，∠A=∠D．
（1）如圖1，求證：AB//CD；
（2）如圖2，作∠BAE的平分線交CD于點F，點G為AB上一點，連接FG，若∠CFG的平分線交線段AG于點H，連接AC，若∠ACE=∠BAC+∠BGM，過點H作HM⊥FH交FG的延長線于點M，且3∠E?5∠AFH=18°，求∠EAF+∠GMH的度數(shù)．
25．（2022·廣東·東莞市光明中學七年級期中）（1）如圖（1）AB∥CD，猜想∠BPD與∠B、∠D的關系，說出理由．
（2）觀察圖（2），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關系，并說明理由．
（3）觀察圖（3）和（4），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關系，不需要說明理由．
26．（2022·浙江臺州·七年級期末）如圖，已知AD⊥AB于點A，AE∥CD交BC于點E，且EF⊥AB于點F．
求證：∠C=∠1+∠2．
證明：∵AD⊥AB于點A，EF⊥AB于點F，（已知）
∴∠DAB=∠EFB=90°．（垂直的定義）
∴AD∥EF，（ ）
∴__________=∠1（ ）
∵AE∥CD，（已知）
∴∠C=________．（兩直線平行，同位角相等）
∵∠AEB=∠AEF+∠2，
∴∠C=∠1+∠2．（等量代換）
27．（2022·廣東珠海·七年級期中）已知AM//CN，點B為平面內一點，AB⊥BC于B．
（1）如圖1，點B在兩條平行線外，則∠A與∠C之間的數(shù)量關系為______；
（2）點B在兩條平行線之間，過點B作BD⊥AM于點D．
①如圖2，說明∠ABD=∠C成立的理由；
②如圖3，BF平分∠DBC交DM于點F,BE平分∠ABD交DM于點E．若∠FCB+∠NCF=180°,∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度數(shù)．
28．（2022·湖南·新田縣云梯學校七年級階段練習）①如圖1，AB ∥ CD，則∠A+∠E+∠C=360°；②如圖2，AB ∥ CD，則∠P=∠A?∠C；③如圖3，AB ∥ CD，則∠E=∠A+∠1；④如圖4，直線AB ∥ CD ∥ EF，點O在直線EF上，則∠α?∠β+∠γ=180°．以上結論正確的個數(shù)是（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【模型4 “鉛筆”模型】
29．（2022·福建·浦城縣教師進修學校八年級期中）如圖，直線MA∥NB，∠A=70°，∠B=40°，則∠P=___________度．
30．（2022·江蘇·景山中學七年級階段練習）如圖，若AB//CD，則∠1+∠3-∠2的度數(shù)為______
31．（2022·湖北·浠水縣蘭溪鎮(zhèn)蘭溪初級中學七年級期中）如圖，已知AB//DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，則∠BCD=_____．
32．（2022·全國·九年級專題練習）如圖所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，則∠EAB的度數(shù)為__________．
33．（2022·全國·七年級）如圖，如果AB∥EF，EF∥CD，則∠1，∠2，∠3的關系式__________．
34．（2022·全國·九年級專題練習）已知AB//CD ，求證：∠B＝∠E＋∠D
35．（2022·浙江·七年級期中）為更好地理清平行線與相關角的關系，小明爸爸為他準備了四根細直木條AB、BC，CD、DE，做成折線ABCDE，如圖1，且在折點B、C、D處均可自由轉出．
（1）如圖2，小明將折線調節(jié)成∠B=50°,∠C=75°,∠D=25°，判別AB是否平行于ED，并說明理由；
（2）如圖3，若∠C=∠D=25°，調整線段AB、BC使得AB//CD，求出此時∠B的度數(shù)，要求畫出圖形，并寫出計算過程．
（3）若∠C=85°,∠D=25°,AB//DE，求出此時∠B的度數(shù)，要求畫出圖形，直接寫出度數(shù)，不要求計算過程．
36．（2022·山西晉中·七年級期中）綜合與探究
【問題情境】
王老師組織同學們開展了探究三角之間數(shù)量關系的數(shù)學活動
（1）如圖1，EF//MN，點A、B分別為直線EF、MN上的一點，點P為平行線間一點，請直接寫出∠PAF、∠PBN和∠APB之間的數(shù)量關系；

【問題遷移】
（2）如圖2，射線OM與射線ON交于點O，直線m//n，直線m分別交OM、ON于點A、D，直線n分別交OM、ON于點B、C，點P在射線OM上運動，
①當點P在A、B（不與A、B重合）兩點之間運動時，設∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．則∠CPD，∠α，∠β之間有何數(shù)量關系？請說明理由．
②若點P不在線段AB上運動時（點P與點A、B、O三點都不重合），請你畫出滿足條件的所有圖形并直接寫出∠CPD，∠α，∠β之間的數(shù)量關系．
37．（2022·湖北武漢·七年級階段練習）如圖1，MN∥PQ，點C、B分別在直線MN、PQ上，點A在直線MN、PQ之間．
（1）求證：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；
（2）如圖2，CD∥AB，點E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求證：∠MCA＝∠DCE；
（3）如圖3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度數(shù)．
38．（2022·全國·七年級專題練習）（1）如圖，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度數(shù)；
（2）如圖，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍與∠E的補角的和為190°，求∠ABE的度數(shù)．
（3）如圖，P為（2）中射線BE上一點，G是CD上任一點，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度數(shù)．
39．（2022·江蘇·揚州中學教育集團樹人學校七年級階段練習）已知直線AB∥CD，P為平面內一點，連接PA、PD．
（1）如圖1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度數(shù)；
（2）如圖2，判斷∠PAB、∠CDP、∠APD之間的數(shù)量關系為 ．
（3）如圖3，在（2）的條件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+12∠PAB＝∠APD，求∠AND的度數(shù)．
40．（2022·浙江杭州·七年級期中）已知，AB∥CD．點M在AB上，點N在CD上．
（1）如圖1中，∠BME、∠E、∠END的數(shù)量關系為： ；（不需要證明）
如圖2中，∠BMF、∠F、∠FND的數(shù)量關系為： ；（不需要證明）
（2）如圖3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度數(shù)；
（3）如圖4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，則∠FEQ的大小是否發(fā)生變化，若變化，請說明理由，若不變化，求出∠FEQ的度數(shù)．

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