1．本試題分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．第Ⅰ卷1至3頁，第Ⅱ卷4至7頁，考試時(shí)間120分鐘．
2．答題前請(qǐng)考生仔細(xì)閱讀答題卡上的注意事項(xiàng)，并務(wù)必按照相關(guān)要求作答．
3．考試結(jié)束后，監(jiān)考人員將本試題和答題卡一并收回．
第Ⅰ卷（選擇題）
一、選擇題（本大題共12小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)把正確的選項(xiàng)選出來）
1. 計(jì)算的結(jié)果是（ ）
A. -3B. 3C. -12D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】直接計(jì)算即可得到答案．
【詳解】
=
=3
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的乘法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)乘法的知識(shí)．
2. 下列運(yùn)算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，同底數(shù)冪相除，完全平方公式，逐項(xiàng)判斷即可求解．
【詳解】解：A、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
B、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
C、，故本選項(xiàng)正確，符合題意；
D、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：C
【點(diǎn)睛】本題主要考查了合并同類項(xiàng)，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，同底數(shù)冪相除，完全平方公式，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
3. 下列圖形：
其中軸對(duì)稱圖形的個(gè)數(shù)是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】對(duì)每個(gè)圖形逐一分析，能夠找到對(duì)稱軸的圖形就是軸對(duì)稱圖形．
【詳解】從左到右依次對(duì)圖形進(jìn)行分析：
第1個(gè)圖在豎直方向有一條對(duì)稱軸，是軸對(duì)稱圖形，符合題意；
第2個(gè)圖在水平方向有一條對(duì)稱軸，是軸對(duì)稱圖形，符合題意；
第3個(gè)圖找不到對(duì)稱軸，不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；
第4個(gè)圖在豎直方向有一條對(duì)稱軸，是軸對(duì)稱圖形，符合題意；
因此，第1、2、4都是軸對(duì)稱圖形，共3個(gè)．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱圖形的概念，解題的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸．
4. 2024年北京冬奧會(huì)國家速滑館“冰絲帶”屋頂上安裝的光伏電站，據(jù)測(cè)算，每年可輸出約44.8萬度的清潔電力．將44.8萬度用科學(xué)記數(shù)法可以表示為（ ）
A. 度B. 度
C. 度D. 度
【答案】C
【解析】
【分析】絕對(duì)值大于1的數(shù)可以用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10n，為正整數(shù)，且比原數(shù)的整數(shù)位數(shù)少1，據(jù)此可以解答．
【詳解】解：44.8萬度=448000度=度．
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，熟練掌握科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)一般形式為，其中，是正整數(shù)，正確確定的值和的值是解題的關(guān)鍵．
5. 如圖，，點(diǎn)A在直線上，點(diǎn)B在直線上，，，，則的度數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根據(jù)等邊對(duì)等角求出∠BAC的度數(shù)，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠ABD的度數(shù)，最后利用三角形內(nèi)角和定理求解即可．
【詳解】解：∵AB=BC，
∴∠BAC=∠C=25°，
∵，
∴∠ABD=∠1=60°，
∴∠2=180°-∠C-∠BAC-∠ABD==180°-25°-25°-60°=70°，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，正確求出∠BAD和∠ABD的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．
6. 如圖，是⊙的直徑，，，，則⊙的半徑為（
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】連接CO并延長CO交⊙于點(diǎn)E，連接AE，根據(jù)OA=OC，可得∠ACD=∠ACE，從而得到AE=AD=2，然后根據(jù)勾股定理，即可求解．
【詳解】解：如圖，連接CO并延長CO交⊙于點(diǎn)E，連接AE，
∵OA=OC，
∴∠ACE=∠CAB，
∵，
∴∠ACD=∠ACE，
∴，
∴AE=AD=2，
∵CE是直徑，
∴∠CAE=90°，
∴，
∴⊙的半徑為．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，勾股定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理，勾股定理是解題的關(guān)鍵．
7. 某次射擊比賽，甲隊(duì)員的成績(jī)?nèi)鐖D，根據(jù)此統(tǒng)計(jì)圖，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）
A. 最高成績(jī)是9.4環(huán)B. 平均成績(jī)是9環(huán)
C. 這組成績(jī)的眾數(shù)是9環(huán)D. 這組成績(jī)的方差是8.7
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖即可判斷選項(xiàng)A，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖可求出平均成績(jī)，即可判斷選項(xiàng)B，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖即可判斷選項(xiàng)C，根據(jù)所給數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可判斷選項(xiàng)D．
【詳解】解：A、由統(tǒng)計(jì)圖得，最高成績(jī)是9.4環(huán)，選項(xiàng)說法正確，不符合題意；
B、平均成績(jī)：，選項(xiàng)說法正確，符合題意；
C、由統(tǒng)計(jì)圖得，9出現(xiàn)了3次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，選項(xiàng)說法正確，不符合題意；
D、方差：，選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，符合題意；
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平均數(shù)，眾數(shù)，方差，解題的關(guān)鍵是理解題意掌握平均數(shù)，眾數(shù)和方差的計(jì)算方法．
8. 如圖，四邊形中．，，交于點(diǎn)E，以點(diǎn)E為圓心，為半徑，且的圓交于點(diǎn)F，則陰影部分的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】過點(diǎn)E作EG⊥CD于點(diǎn)G，根據(jù)平行線的性質(zhì)和已知條件，求出，根據(jù)ED=EF，得出，即可得出，解直角三角形，得出GE、DG，最后用扇形的面積減三角形的面積得出陰影部分的面積即可．
【詳解】解：過點(diǎn)E作EG⊥CD于點(diǎn)G，如圖所示：
∵DE⊥AD，
∴∠ADE=90°，
∵∠A=60°，
∴∠AED=90°-∠A=30°，
∵，
∴，
∵ED=EF，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵DE=6，，
∴，
，
∴，
∴
，．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，垂徑定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，扇形面積計(jì)算公式，解直角三角形，作出輔助線，求出∠DEF=120°，DF的長，是解題的關(guān)鍵．
9. 拋物線上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如表：
下列結(jié)論不正確的是（ ）
A. 拋物線的開口向下B. 拋物線的對(duì)稱軸為直線
C. 拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為D. 函數(shù)的最大值為
【答案】C
【解析】
【分析】利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，由此逐一判斷各選項(xiàng)即可
【詳解】解：由題意得，
解得，
∴拋物線解析式為，
∴拋物線開口向下，拋物線對(duì)稱軸為直線，該函數(shù)的最大值為，故A、B、D說法正確，不符合題意；
令，則，
解得或，
∴拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），（3，0），故C說法錯(cuò)誤，符合題意；
故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，正確求出二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
10. 我國古代著作《四元玉鑒》記載“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，遣人去買幾株椽．每株腳錢三文足，無錢準(zhǔn)與一株椽．”其大意為：現(xiàn)請(qǐng)人代買一批椽，這批椽的價(jià)錢為6210文．如果每株椽的運(yùn)費(fèi)是3文，那么少拿一株樓后，剩下的椽的運(yùn)費(fèi)恰好等于一株椽的價(jià)錢，試問6210文能買多少株椽？設(shè)這批椽的數(shù)量為x株，則符合題意的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)這批椽的數(shù)量為x株，則一株椽的價(jià)錢為3（x?1）文，利用總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．
【詳解】解：∵這批椽的數(shù)量為x株，每株椽的運(yùn)費(fèi)是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的運(yùn)費(fèi)恰好等于一株椽的價(jià)錢，
∴一株椽的價(jià)錢為3（x?1）文，依題意得：3（x?1）x＝6210，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
11. 如圖，平行四邊形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)O．點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)F，，．下列結(jié)論：①；②；③四邊形是菱形；④．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】通過判定為等邊三角形求得，利用等腰三角形的性質(zhì)求得，從而判斷①；利用有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形判斷③，然后結(jié)合菱形的性質(zhì)和含直角三角形的性質(zhì)判斷②；根據(jù)三角形中線的性質(zhì)判斷④．
【詳解】解：點(diǎn)為的中點(diǎn)，
，
又，
，
，
是等邊三角形，
，
，
，
即，故①正確；
在平行四邊形中，，，，
，
在和中，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
又，點(diǎn)為的中點(diǎn)，
，
平行四邊形是菱形，故③正確；
，
在中，，
，故②正確；
在平行四邊形中，，
又點(diǎn)為的中點(diǎn)，
，故④正確；
綜上所述：正確的結(jié)論有4個(gè)，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，含的直角三角形的性質(zhì)，掌握菱形的判定是解題關(guān)鍵．
12. 如圖，四邊形為矩形，，．點(diǎn)P是線段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為線段上一點(diǎn)．，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】證明，得出點(diǎn)M在O點(diǎn)為圓心，以AO為半徑的園上，從而計(jì)算出答案．
【詳解】設(shè)AD的中點(diǎn)為O，以O(shè)點(diǎn)為圓心，AO為半徑畫圓
∵四邊形為矩形
∴
∵
∴
∴
∴點(diǎn)M在O點(diǎn)為圓心，以AO為半徑的園上
連接OB交圓O與點(diǎn)N
∵點(diǎn)B為圓O外一點(diǎn)
∴當(dāng)直線BM過圓心O時(shí)，BM最短
∵，
∴
∴
∵
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形、圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形和圓的相關(guān)知識(shí)．
第Ⅱ卷（非選擇題）
二、填空題（本大題共6小題，只要求填寫最后結(jié)果）
13. 計(jì)算：__________．
【答案】
【解析】
【分析】先計(jì)算乘法，再合并，即可求解．
【詳解】解：
，
故答案為： ．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
14. 如圖，四邊形為平行四邊形，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及點(diǎn)的平移即可得出結(jié)論．
【詳解】解：四邊形為平行四邊形，
，即將點(diǎn)平移到的過程與將點(diǎn)平移到的過程保持一致，
將點(diǎn)平移到的過程是：（向左平移4各單位長度）；（上下無平移）；
將點(diǎn)平移到的過程按照上述一致過程進(jìn)行得到，即，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)及點(diǎn)的平移，掌握點(diǎn)的平移的代數(shù)表示是解決問題的關(guān)鍵．
15. 如圖，在中，，⊙過點(diǎn)A、C，與交于點(diǎn)D，與相切于點(diǎn)C，若，則__________
【答案】##64度
【解析】
【分析】根據(jù)同弧對(duì)應(yīng)的圓心角是圓周角的2倍計(jì)算出，再根據(jù)，內(nèi)錯(cuò)角得到答案．
【詳解】如下圖所示，連接OC
從圖中可以看出，是圓弧對(duì)應(yīng)的圓周角，是圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角
得．
∵BC是圓O的切線
∴
∵
∴
∴
∴
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線的性質(zhì)，圓周角定理、平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A和平行線的相關(guān)知識(shí)．
16. 如圖，某一時(shí)刻太陽光從窗戶射入房間內(nèi)，與地面的夾角，已知窗戶的高度，窗臺(tái)的高度，窗外水平遮陽篷的寬，則的長度為______（結(jié)果精確到）．
【答案】4.4m##4.4米
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得AD∥CP，從而得到∠ADB=30°，利用銳角三角函數(shù)可得，從而得到BC=AF+CF-AB=2.54m，即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意得：AD∥CP，
∵∠DPC=30°，
∴∠ADB=30°，
∵，
∴，
∵AF=2m，CF=1m，
∴BC=AF+CF-AB=2.54m，
∴，
即的長度為4.4m．
故答案為：4.4m.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形、平行線的性質(zhì)，熟練掌握銳角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．
17. 將從1開始的連續(xù)自然數(shù)按以下規(guī)律排列：
若有序數(shù)對(duì)表示第n行，從左到右第m個(gè)數(shù)，如表示6，則表示99的有序數(shù)對(duì)是_______．
【答案】
【解析】
【分析】分析每一行的第一個(gè)數(shù)字的規(guī)律，得出第行的第一個(gè)數(shù)字為，從而求得最終的答案．
【詳解】第1行的第一個(gè)數(shù)字：
第2行的第一個(gè)數(shù)字：
第3行的第一個(gè)數(shù)字：
第4行的第一個(gè)數(shù)字：
第5行的第一個(gè)數(shù)字：
…..，
設(shè)第行的第一個(gè)數(shù)字為，得
設(shè)第行的第一個(gè)數(shù)字為，得
設(shè)第n行，從左到右第m個(gè)數(shù)為
當(dāng)時(shí)
∴
∵為整數(shù)
∴
∴
∴
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字規(guī)律的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)字規(guī)律的相關(guān)性質(zhì)．
18. 如圖，四邊形為正方形，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，將正方形沿折疊，得到點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，延長交線段于點(diǎn)P，若，則的長度為___________．
【答案】2
【解析】
【分析】連接AP，根據(jù)正方形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)證明Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），可得PF＝PD，設(shè)PF＝PD＝x，則CP＝CD?PD＝6?x，EP＝EF＋FP＝3＋x，然后根據(jù)勾股定理即可解決問題．
【詳解】解：連接AP，如圖所示，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB＝BC＝AD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，
∴BE＝CE＝AB＝3，
由翻折可知：AF＝AB，EF＝BE＝3，∠AFE＝∠B＝90°，
∴AD＝AF，∠AFP＝∠D＝90°，
在Rt△AFP和Rt△ADP中，
，
∴Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），
∴PF＝PD，
設(shè)PF＝PD＝x，則CP＝CD?PD＝6?x，EP＝EF＋FP＝3＋x，
在Rt△PEC中，根據(jù)勾股定理得：EP2＝EC2＋CP2，
∴（3＋x）2＝32＋（6?x）2，解得x＝2，則DP的長度為2，
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，正方形的性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)．
三、解答題（本大題共7小題，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或推演步驟）
19. （1）化簡(jiǎn)：
（2）化簡(jiǎn)：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）先將小括號(hào)內(nèi)的式子進(jìn)行通分計(jì)算，然后算括號(hào)外面的除法；
（2）根據(jù)“去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化1”的步驟解一元一次不等式．
【詳解】（1）解：原式
（2）解：
【點(diǎn)睛】本題考查分式的混合運(yùn)算，解一元一次不等式，理解分式的基本性質(zhì)，掌握分式混合運(yùn)算的運(yùn)算順序和計(jì)算法則以及解一元一次不等式的基本步驟是解題關(guān)鍵．
20. 2024年3月23日．“天宮課堂”第二課開講．“太空教師”翟志剛、王亞平、葉光富在中國空間站為廣大青少年又一次帶來了精彩的太空科普課．為了激發(fā)學(xué)生的航天興趣，某校舉行了太空科普知識(shí)競(jìng)賽，競(jìng)賽結(jié)束后隨機(jī)抽取了部分學(xué)生成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按成績(jī)分為如下5組（滿分100分），A組：，B組：．C組：，D組：，E組：，并繪制了如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖，解答下列問題：
（1）本次調(diào)查一共隨機(jī)抽取了 名學(xué)生的成績(jī)，頻數(shù)直方圖中，所抽取學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)落在 組；
（2）補(bǔ)全學(xué)生成績(jī)頻數(shù)直方圖：
（3）若成績(jī)?cè)?0分及以上為優(yōu)秀，學(xué)校共有3000名學(xué)生，估計(jì)該校成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生有多少人？
（4）學(xué)校將從獲得滿分的5名同學(xué)（其中有兩名男生，三名女生）中隨機(jī)抽取兩名，參加周一國旗下的演講，請(qǐng)利用樹狀圖或列表法求抽取同學(xué)中恰有一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）400 名，D
（2）見解析 （3）1680人
（4）見解析，
【解析】
【分析】（1）用C組的人數(shù)除以C組所占的百分比可得總?cè)藬?shù)，再用總?cè)藬?shù)乘以B組所占的百分比，可求出m，從而得到第200位和201位數(shù)落在D組，即可求解；
（2）求出E租的人數(shù)，即可求解；
（3）用學(xué)?？?cè)藬?shù)乘以成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生所占的百分比，即可求解；
（4）根據(jù)題意，畫樹狀圖，可得共有20種等可能的結(jié)果，恰好抽中一名男生和一名女生的結(jié)果有12種，再根據(jù)概率公式計(jì)算，即可求解．
【小問1詳解】
解：名，
所以本次調(diào)查一天隨機(jī)抽取 400 名學(xué)生的成績(jī)，
頻數(shù)直方圖中，
∴第200位和201位數(shù)落在D組，
即所抽取學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)落在D組；
故答案為：400，D
【小問2詳解】
解：E組的人數(shù)為名，
補(bǔ)全學(xué)生成績(jī)頻數(shù)直方圖如下圖：
【小問3詳解】
解：該校成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生有（人）；
【小問4詳解】
解：根據(jù)題意，畫樹狀圖如圖，
共有20種等可能的結(jié)果，恰好抽中一名男生和一名女生的結(jié)果有12種，
恰好抽中一名男生和一名女生的概率為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了頻數(shù)直方圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖，用樣本估計(jì)總體，利用樹狀圖或列表法求概率，明確題意，準(zhǔn)確從統(tǒng)計(jì)圖中獲取信息是解題的關(guān)鍵．
21. 如圖，點(diǎn)A在第一象限，軸，垂足為C，，，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過的中點(diǎn)B，與交于點(diǎn)D．
（1）求k值；
（2）求的面積．
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）在中，，，再結(jié)合勾股定理求出，，得到，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出，求出值即可；
（2）在平面直角坐標(biāo)系中求三角形面積，找平行于坐標(biāo)軸的邊為底，根據(jù)軸，選擇為底，利用代值求解即可得出面積．
小問1詳解】
解：根據(jù)題意可得，
在中，，，
，
，
，，
，
的中點(diǎn)是B，
，
；
【小問2詳解】
解：當(dāng)時(shí)，，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)，涉及到勾股定理，三角函數(shù)求線段長，中點(diǎn)坐標(biāo)公式、待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式中的，平面直角坐標(biāo)系中三角形面積的求解，熟練掌握反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
22. 泰安某茶葉店經(jīng)銷泰山女兒茶，第一次購進(jìn)了A種茶30盒，B種茶20盒，共花費(fèi)6000元；第二次購進(jìn)時(shí)，兩種茶每盒的價(jià)格都提高了20%，該店又購進(jìn)了A種茶20盒，B種茶15盒，共花費(fèi)5100元．求第一次購進(jìn)的A、B兩種茶每盒的價(jià)格．
【答案】A種茶每盒100元，B種茶每盒150元
【解析】
【分析】設(shè)第一次購進(jìn)A種茶每盒x元，B種茶每盒y元，根據(jù)第一次購進(jìn)了A種茶30盒，B種茶20盒，共花費(fèi)6000元；第二次購進(jìn)時(shí)，兩種茶每盒的價(jià)格都提高了20%，該店又購進(jìn)了A種茶20盒，B種茶15盒，共花費(fèi)5100元列出方程組求解即可．
【詳解】解：設(shè)第一次購進(jìn)A種茶每盒x元，B種茶每盒y元，
根據(jù)題意，得
解，得
A種茶每盒100元，B種茶每盒150元．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，正確設(shè)出未知數(shù)列出方程組求解是解題的關(guān)鍵．
23. 如圖，矩形中，點(diǎn)E在上，，與相交于點(diǎn)O．與相交于點(diǎn)F．
（1）若平分，求證：；
（2）找出圖中與相似的三角形，并說明理由;
（3）若，，求的長度．
【答案】（1）證明見解析
（2），與相似，理由見解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和角平分線的定義即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)判定兩個(gè)三角形相似判定定理，找到相應(yīng)的角度相等即可得出；
（3）根據(jù)得出，根據(jù)得出，聯(lián)立方程組求解即可．
【小問1詳解】
證明：如圖所示：
四邊形為矩形，
，
，
，
，
又平分，
，
，
又與互余，
與互余，
；
【小問2詳解】
解：，與相似．
理由如下：
，，
，
又，
，
，，
；
【小問3詳解】
解：，
，
，
，
在矩形中對(duì)角線相互平分，圖中，
①，
，
，
，
矩形中，
②，
由①②，得（負(fù)值舍去），
．
【點(diǎn)睛】本題考查矩形綜合問題，涉及到矩形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、角度的互余關(guān)系、兩個(gè)三角形相似的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握兩個(gè)三角形相似的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
24. 若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，其對(duì)稱軸為直線，與x軸的另一交點(diǎn)為C．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)M在直線上，且在第四象限，過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)N．
①若點(diǎn)N在線段上，且，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
②以為對(duì)角線作正方形（點(diǎn)P在右側(cè)），當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）利用待定系數(shù)解答，即可求解；
（2）①先求出直線的表達(dá)式為，然后設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為．可得．可得到，．再由，即可求解；②連接與交與點(diǎn)E．設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為
根據(jù)正方形的性質(zhì)可得E的坐標(biāo)為，進(jìn)而得到P的坐標(biāo)．再由點(diǎn)P在拋物線上，即可求解．
【小問1詳解】
解：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，
．
又拋物線經(jīng)過點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，
解得∶
拋物線的表達(dá)式為．
【小問2詳解】
解∶①設(shè)直線的表達(dá)式為．
點(diǎn)A，B的坐標(biāo)為，，
∴， 解得∶ ，
直線的表達(dá)式為．
根據(jù)題意得∶點(diǎn)C與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸直線對(duì)稱，
．
設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為．
軸，
．
∴
．
，
解，得．
點(diǎn)M的坐標(biāo)；
②連接與交與點(diǎn)E．
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為
四邊形是正方形，
，，．
∵M(jìn)N⊥x軸，
軸．
E的坐標(biāo)為．
．
．
∴P的坐標(biāo)．
點(diǎn)P在拋物線上，
．
解，得，．
點(diǎn)P在第四象限，
舍去．
即．
點(diǎn)M坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖形和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
25. 問題探究
（1）在中，，分別是與的平分線．
①若，，如圖，試證明；
②將①中的條件“”去掉，其他條件不變，如圖，問①中的結(jié)論是否成立？并說明理由．
遷移運(yùn)用
（2）若四邊形是圓內(nèi)接四邊形，且，，如圖，試探究線段，，之間的等量關(guān)系，并證明．
【答案】（1）①見解析；②結(jié)論成立，見解析；（2），見解析
【解析】
【分析】（1）①證明是等邊三角形，得出E、D為中點(diǎn)，從而證明；
②在上截取，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，證明，，從而得到答案；
（2）作點(diǎn)B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)E，證明，從而得到，再根據(jù)AE、DC分別是、的角平分線，得到．
【詳解】（1）①，，
．
又、分別是、的平分線．
點(diǎn)D、E分別是、的中點(diǎn)．
，．
．
②結(jié)論成立，理由如下：
設(shè)與交于點(diǎn)F，
由條件，得，．
又
．
．
．
∴．
在上截?。?br>由∵BF=BF，
∴．
．
．
又∵CF=CF，
∴．
∴．
（2），理由如下：
∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，
∴．
∵，
∴，，
∴．
∴．
作點(diǎn)B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)E，連結(jié)，，的延長線與的延長線交于點(diǎn)M，與交于點(diǎn)F，
∴，．
∴．
∴
∴
∴
∵AE、DC分別是、的角平分線
由②得．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形、等邊三角形、全等三角形、圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形、等邊三角形、全等三角形、圓的內(nèi)接四邊形的相關(guān)知識(shí)．x
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-1
0
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y
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