一、選擇題
1．設(shè),是常數(shù),,,是的零點(diǎn).若,,則下列不等式,正確的是( )
A.B.C.D.
2．如圖所示的曲線是對數(shù)函數(shù)，，，的圖象，則a，b，c，d，1的大小關(guān)系為( )
A.B.
C.D.
3．設(shè)不等式的解集為,則不等式的解集為( )
A.B.C.D.
4．設(shè),用二分法求方程在內(nèi)近似解的過程中,,,,,則方程的根落在區(qū)間( ).
A.B.C.D.
5．設(shè)方程的根為,方程的根為,則的值為( )
A.4B.2C.0D.
6．下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是( )
A.B.C.D.
7．如圖,A,B是半徑為2的圓周上的定點(diǎn),P為圓周上的動點(diǎn),是銳角,大小為.圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為( )
A.B.C.D.
8．已知函數(shù),且,則( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知,且,,若,則下列不等式可能正確的是( )
A.B.C.D.
10．下列選項(xiàng)正確的是( )
A.函數(shù)的值域?yàn)?br>B.函數(shù)的周期為
C.若,則,
D.若函數(shù)的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
11．已知a是實(shí)數(shù),則函數(shù)的圖象可能是( )
A.B.
C.D.
三、填空題
12．酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為.為了保障交通安全,根據(jù)國家有關(guān)規(guī)定:血液中酒精含量達(dá)到的駕駛員即為酒后駕車,g及以上認(rèn)定為醉酒駕車.假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后,其血液中的酒精含量上升到了.如果停止喝酒以后,他血液中酒精含量會以每小時(shí)的速度減少,那么他大約經(jīng)過______小時(shí)才能駕駛.（結(jié)果精確到0.1,參考數(shù)據(jù):）
13．已知函數(shù),若存在實(shí)數(shù)b,使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
14．對于函數(shù)定義域中的任意,,有如下結(jié)論:
①;
②;
③;
④;
⑤.
當(dāng),上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號是________.
四、解答題
15．（1）已知,,求的值;
（2）已知,求的值.
16．已知函數(shù)在上有意義,
（1）求()的最大值.
（2）求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
17．（1）用函數(shù)單調(diào)性定義證明在上單調(diào)遞減.
（2）已知正數(shù)滿足,求的最小值.
18．設(shè)函數(shù)定義在R上,對于任意實(shí)數(shù)m,n,恒有,且當(dāng)時(shí),.
（1）猜想并寫出滿足已知條件的一個(gè)具體函數(shù)解析式;
（2）求證:,且當(dāng)時(shí),;
（3）求證:在R上單調(diào)遞減.
19．已知函數(shù).
(1)求值：；
(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
(3)求證有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)、并求的值.
參考答案
1．答案：C
解析：,是的零點(diǎn),,
,
.
故選:C.
2．答案：C
解析：由圖可知，，，.過點(diǎn)作平行于x軸的直線，則直線與四條曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從左到右依次為c，d，a，b，顯然.
故選：C.
3．答案：C
解析：一元二次不等式的解集為,
,且2,3是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,
,
解得,,其中;
不等式化為,
即,
解得,
因此所求不等式的解集為.
故選C.
4．答案：C
解析：二分法求方程在內(nèi)近似解的過程中,
,,,,
故方程的根落在區(qū)間
故選:C.
5．答案：A
解析：由題意,作圖如下:
由方程的根為,則函數(shù)與的交點(diǎn)為;
由方程的根為,則函數(shù)與的交點(diǎn)為.
由函數(shù)與的圖象關(guān)于對稱,且與垂直,
則與關(guān)于直線對稱,即,,
由題意可得:,,則,,
所以.
故選:A.
6．答案：A
解析：方法一：令，，得，.取，則.因?yàn)椋詤^(qū)間是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.
方法二：當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，故A正確；當(dāng)時(shí)，，所以在上不單調(diào)，故B錯誤；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，故C錯誤；當(dāng)時(shí)，，所以在上不單調(diào)，故D錯誤.
7．答案：B
解析：觀察圖象可知,當(dāng)P為弧AB的中點(diǎn)時(shí),陰影部分的面積S取最大值,
此時(shí),
面積S的最大值為
故選B.
8．答案：A
解析：函數(shù)的定義域?yàn)镽,,
所以,函數(shù)為奇函數(shù),且,
任取、且,則,
,則,所以,,即,
所以,函數(shù)為R上的增函數(shù),
由可得,所以,,即.
故選:A.
9．答案：AD
解析：,
若,則,即,
,故A正確,
,故D正確,
若,則,
,即,
,故BC錯誤,
故選:AD
10．答案：AD
解析：對A,,
令,,則,對稱軸,開口向下,
所以,,所以值域?yàn)?故A正確;
對B,由周期公式可得,故B錯誤;
對C,,
因?yàn)?所以,
所以,
所以,故C錯誤;
對D,若函數(shù)的值域?yàn)镽,則函數(shù)的值域包含所有正數(shù),
當(dāng)時(shí)滿足題意,
當(dāng)時(shí),有,解得,
綜上可知,實(shí)數(shù)a的取值范圍是,故D正確.
故選:AD.
11．答案：ACD
解析：當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),周期為,振幅為,
對A,當(dāng)時(shí),,故A正確;
對B,由,可得,所以,所以振幅小于2,故B錯誤;
對C,當(dāng)時(shí),,故C正確;
對D,由可得,所以,所以振幅大于2,故D正確;
故選:ACD
12．答案：6.2
解析：設(shè)t小時(shí)后此駕駛員的血液中酒精含量為y,
則,即.
依題意當(dāng),即時(shí)才能駕駛,
解,得,
因?yàn)?
所以大約經(jīng)過6.2小時(shí)才能駕駛.
故答案為:6.2
13．答案：
解析：作出函數(shù)圖像,易知與有3個(gè)交點(diǎn),其中,是其兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo),
①當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖像為:
由圖知,存在實(shí)數(shù)b,使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn);
②當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖像為:
由圖知,函數(shù)單調(diào)遞增,不存在實(shí)數(shù)b,使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn);
③當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖像為:
或
由圖知,存在實(shí)數(shù)b,使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn);
綜上所述,存在實(shí)數(shù)b,使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)的參數(shù)a的范圍為
故答案為:
14．答案：③④⑤
解析：對于,有
①,故①錯誤;
②,故②錯誤;
③由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可知,故③正確;
④因?yàn)槭巧系倪f增的函數(shù),,故④正確;
⑤,
又,故等號不成立,
所以,故⑤正確.
故答案為:③④⑤.
15．答案：（1）;
（2）
解析：（1）,
（2）,即,即,即
所以
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）設(shè),由可得,
所以令,
由二次函數(shù)的性質(zhì)可得在上為減函數(shù),開口向下,
所以,
所以的最大值為.
（2）由題意可得在上恒成立,
因?yàn)?,所以在上恒成立,
令,,
由與在上均為增函數(shù)可得在也為增函數(shù),
所以,
因?yàn)樵谏虾愠闪?
所以,
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
17．答案：（1）證明見解析;
（2）4
解析：（1）設(shè),
,
因?yàn)?所以,,,
所以,即在上單調(diào)遞減;
（2）因?yàn)檎龜?shù)a,b滿足,
所以,
設(shè),由,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號,
由（1）可得在上單調(diào)遞減,所以,
所以的最小值為4.
18．答案：（1）,答案不唯一,只要符合題意就行.
（2）證明見解析
（3）證明見解析
解析：（1）根據(jù)指數(shù)運(yùn)算法則及指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知符合題意.
因?yàn)?
且當(dāng)時(shí),,
故指數(shù)函數(shù)滿足題意,答案不唯一,只要符合題意就行.
（2）對任意實(shí)數(shù)m,n,恒有,
令,,則.
因?yàn)楫?dāng)時(shí),,所以.
設(shè),,則,
所以.
即當(dāng)時(shí),有.
（3）設(shè),則,所以.
由（2）知,,
所以
,即,所以在R上單調(diào)遞減.
19．答案：(1)0
(2)在和上單調(diào)遞增，證明見解析
(3)證明見解析；
解析：(1)由解析式可得定義域?yàn)椋海?br>有，
.
(2)函數(shù)的定義域?yàn)?，記為區(qū)間D，
在和上單調(diào)遞增，
證明如下：
設(shè)，，則
，
①當(dāng)時(shí)，，，，
，于是，
在上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時(shí)，同理可得，，，
即，
在上單調(diào)遞增；
故在和上單調(diào)遞增；
(3)由于在上單調(diào)遞增，且，，
在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；
由于在上單調(diào)遞增，且，，
在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).
因此有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)、.
由(1)知，
又，，
不妨設(shè)，則
是在上的零點(diǎn)，而是在上的唯一零點(diǎn)，
，.

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