一、選擇題
1．設(shè)命題,,則為( )
A.,B.,
C.,D.,
2．已知集合,,則( )
A.B.C.D.
3．已知,則下列結(jié)論不正確的是( )
A.若,,則B.若,,則
C.若,則D.若,則
4．下列各組函數(shù)是同一個函數(shù)的是( )
A.與B.與
C.與D.與
5．“”是“方程有實數(shù)解”的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
6．已知關(guān)于x的不等式的解集為,則( )
A.B.不等式的解集是
C.D.不等式的解集為或
7．存在三個實數(shù),,使其分別滿足下述兩個等式：
(1)
(2)
其中M表示三個實數(shù),,中的最小值,則( )
A.M的最大值是B.M的最大值是-2
C.M的最小值是D.M的最小值是-2
8．一般地,若函數(shù)的定義域為,值域為,則稱為的“k倍跟隨區(qū)間”;特別地,若函數(shù)的定義域為,值域也為,則稱為的“跟隨區(qū)間”.下列結(jié)論不正確的是( )
A.函數(shù)存在跟隨區(qū)間
B.若為的跟隨區(qū)間,則
C.函數(shù)存在跟隨區(qū)間
D.二次函數(shù)存在“2倍跟隨區(qū)間”
二、多項選擇題
9．已知函數(shù),則關(guān)于函數(shù)正確的說法是( )
A.函數(shù)的定義域為B.函數(shù)在單調(diào)遞減
C.函數(shù)值域為D.不等式的解集為
10．下列說法正確的有( )
A.函數(shù) 的最小值為2
B.已知,則的最小值為
C.若正數(shù)x,y滿足,則的最小值為3
D.設(shè),,,則的最小值為
11．高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)奠基者之一,享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號,他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家,用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè),用表示不超過x的最大整數(shù),則稱為高斯函數(shù),如,.若,,則下列說法正確的是( )
A.當(dāng)時,
B.
C.函數(shù)的值域為
D.當(dāng)時,函數(shù)的值域為
三、填空題
12．已知函數(shù)的定義域,則函數(shù)的定義域為______________.
13．我們用符號表示a,b,c三個數(shù)中較大的數(shù),若,,則的最小值為_____________.
14．已知,,若任給,存在,使得,則實數(shù)a的取值范圍_____________.
四、解答題
15．已知集合,.
(1)當(dāng)時,求;;
(2)若,求實數(shù)a的取值范圍.
16．已知函數(shù)經(jīng)過,兩點.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并用定義進(jìn)行證明;
(3)若對任意恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
17．已知函數(shù)對任意x滿足：,二次函數(shù)滿足：且.
(1)求,的解析式;
(2)若,解關(guān)于x的不等式.
18．已知函數(shù),
(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增,求實數(shù)m的取值范圍;
(2)若對任意恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)函數(shù)在上的最小值為,求函數(shù)的表達(dá)式.
19．問題：正實數(shù)a,b滿足,求的最小值.其中一種解法是：,當(dāng)且僅當(dāng)且時,即且時取等號.學(xué)習(xí)上述解法并解決下列問題：
(1)若正實數(shù)x,y滿足,求的最小值;
(2)若實數(shù)a,b,x,y滿足,求證：;
(3)求代數(shù)式的最小值,并求出使得M最小的m的值.
參考答案
1．答案：B
解析：由全稱命題的否定為特稱命題,則原命題的否定為,.
故選：B.
2．答案：B
解析：由,可得,
由,可得,
所以.
故選：B.
3．答案：C
解析：對于A,由,得,而,則,正確;
對于B,由,,得,正確;
對于C,若,當(dāng)時,則,不正確;
對于D,因,由,可得,正確.
故選：C.
4．答案：D
解析：對于A,函數(shù)的定義域為R,的定義域為,兩個函數(shù)的定義域不同,所以不是同一個函數(shù),所以A不符合題意;
對于B,函數(shù),,所以兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不同,所以不是同一個函數(shù),所以B不符合題意;
對于C,函數(shù)的定義域為R,的定義域為,兩個函數(shù)的定義域不同,所以不是同一個函數(shù),所以C不符合題意;
對于D,由函數(shù)與的定義域與對應(yīng)關(guān)系都相同,所以是同一個函數(shù),所以D符合題意.
故選：D.
5．答案：B
解析：當(dāng)時,此時的方程為,即無解,所以有實數(shù)解;
因為,所以,即,所以方程有實數(shù)解;
所以“”是“方程有實數(shù)解”的必要不充分條件.
故選：B.
6．答案：C
解析：對A,由不等式的解集為可知,A錯誤;
對B,又2和3是方程的兩根,由韋達(dá)定理可得,
即,所以,
解得,B錯誤;
對C,,C正確;
對D,,解得,D錯誤.
故選：C.
7．答案：B
解析：由已知得,,,中必有2個正數(shù),1個負(fù)數(shù),
設(shè),,,則,
因為,所以,
所以,即,
所以,由得,,即,
所以,
故選：B.
8．答案：C
解析：對于A,因為在R上單調(diào)遞增,所以對于,其值域為,
由“跟隨區(qū)間”的定義可知函數(shù)存在無數(shù)個跟隨區(qū)間,故A正確;
對于B,若為的跟隨區(qū)間,且的對稱軸為,
所以,解得或（舍）,故B正確;
對于C,假設(shè)存在“跟隨區(qū)間”,
因為在單調(diào)區(qū)間,上均單調(diào)遞減,
則有,解得,
此時在內(nèi)包含0,時函數(shù)無意義,故不存在跟隨區(qū)間,故C錯誤;
對于D,若函數(shù)存在2倍跟隨區(qū)間,
設(shè)定義域為,值域為,
當(dāng)時,函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增,則,
則a,b是方程的兩個不相等的實數(shù)根,解得或 ,
故存在定義域為使得值域為,D正確.
故選：C.
9．答案：ABD
解析：由,要使函數(shù)有意義,則,解得,
則函數(shù)的定義域是,值域為,故A正確;
向左平移一個單位,得到,再向上平移1個單位,得到,
因為函數(shù)在上為減函數(shù),所以函數(shù)在單調(diào)遞減,
函數(shù)在單調(diào)遞減,故B正確;
由,知,,所以,
所以函數(shù)值域為,故C錯誤;
不等式即,所以,所以,
所以不等式的解集為,故D正確.
故選：ABD.
10．答案：BCD
解析：對A,令,則,
因為在上單調(diào)遞增,所以,A錯誤;
對B,,
當(dāng)且僅當(dāng),即時,等號成立,所以B正確;
對C,由得,
所以,
當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,所以C正確;
對D,由得,
所以
,
當(dāng)且僅當(dāng),即時,等號成立,所以D正確.
故選：BCD.
11．答案：ACD
解析：對于A,當(dāng)時,,正確;
對于B,因為,,使得,此時,
從而,錯誤;
對于C,由B選項解題思路可知,函數(shù)是以1為周期的周期函數(shù),
故只需討論在上的值域即可,
當(dāng)時,,即函數(shù)的值域為,正確;
對于D,當(dāng)時,,當(dāng)時,,
當(dāng)時,,依次類推,當(dāng)時,,取并集得函數(shù)的值域為,正確.
故選：ACD.
12．答案：
解析：由函數(shù)的定義域得要使函數(shù)有意義,則滿足,
解得或,即函數(shù)的定義域為.
故答案為：.
13．答案：2
解析：聯(lián)立,解得,
聯(lián)立,解得或,
聯(lián)立,解得或,
作出函數(shù)的圖象如圖：
由圖可知,則的最小值為.
故答案為：2.
14．答案：
解析：當(dāng)時,
可知在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
所以在上的值域為,在上的值域為,
所以在上的值域為,
當(dāng)時,為增函數(shù),在上的值域為,
所以,解得：
當(dāng)時,為減函數(shù),在上的值域為,
所以,解得：
當(dāng)時,為常數(shù)函數(shù),值域為,不符合題意;
綜上：a的取值范圍是.
15．答案：(1)或,
(2)
解析：(1)由得,所以,
所以或,
當(dāng)時,,或,
所以或,.
(2)由,得,由(1)知,,
當(dāng),即時,,滿足,因此;
當(dāng),即時,,為使得,
需滿足,解得,因此,
綜上,或,
即實數(shù)a的取值范圍.
16．答案：(1)
(2)在上單調(diào)遞減,證明見解析
(3)
解析：(1),,
,解得,
.
(2)在上單調(diào)遞減,證明如下：
任取,,且,
則,
,,且,
,,
,
,即,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.
(3)由對任意恒成立得,
由(2)知在上單調(diào)遞減,
函數(shù)在上的最大值為,
,
所求實數(shù)m的取值范圍為.
17．答案：(1),
(2)答案見解析
解析：(1)①,
用代替上式中的x,
得②,
聯(lián)立①②,可得;
設(shè),
所以,
即
所以,解得,,
又,得,所以.
(2)因為,
即,
化簡得,,
①當(dāng)時,,不等式的解為;
②當(dāng),即,即時,不等式的解為或;
③當(dāng),即,即或,
當(dāng)時,不等式的解為或,
當(dāng)時,不等式的解為,
④當(dāng),即時,,解得且,
綜上所述,當(dāng)時,不等式的解為;
當(dāng)時,不等式的解為;
當(dāng)時,不等式的解為或;
當(dāng)時,不等式的解為且;
當(dāng)時,不等式的解為或.
18．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)因為函數(shù)在上單調(diào)遞增,
當(dāng),即時,滿足函數(shù)在單增,所以;
當(dāng)時,若在上單調(diào)遞增,則需滿足,解得,
綜上：.
所求實數(shù)m的取值范圍為.
(2)當(dāng)時,,由得,不符合題意;
當(dāng),為使得恒成立,則需滿足,
即,解得;
綜上：,實數(shù)m的取值范圍為.
(3)二次函數(shù)的對稱軸為.
當(dāng),即時,在上單調(diào)遞增,
此時;
當(dāng),即時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
此時;
當(dāng),即時,在上單調(diào)遞減,
此時.
綜上,.
19．答案：(1)
(2)證明見解析
(3)時,M取得最小值.
解析：(1)因為,,,
所以,
當(dāng)且僅當(dāng),即,時取等號,
所以的最小值是.
(2),
又,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,
所以,
所以,當(dāng)且僅當(dāng)且x,y同號時等號成立.此時x,y滿足.
(3)令,,由得,
,
又,,所以,
構(gòu)造,
由,可得,因此,,
由(2)知,
取等號時,且x,y同正,
結(jié)合,解得,即,.
所以時,M取得最小值.

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