中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)梳理+考點(diǎn)精講專題23 菱形的性質(zhì)與判定（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

菱形是一種特殊的平行四邊形,也是中考的必考內(nèi)容.為考查同學(xué)們分析能力、想象能力、探究能力和創(chuàng)新能力,菱形開(kāi)放題便成了各地中考命題的熱點(diǎn)。
考標(biāo)要求
1.掌握菱形的概念、判定和性質(zhì)，會(huì)用菱形的性質(zhì)和判；
2.會(huì)運(yùn)用菱形的知識(shí)解決有關(guān)菱形定解決簡(jiǎn)單問(wèn)題問(wèn)題。
考點(diǎn)精講
考點(diǎn)1：菱形的定義
有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。
考點(diǎn)2：菱形的性質(zhì)
（1）菱形的四條邊都相等；
（2）菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。
考點(diǎn)3：菱形的判定定理
（1）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；
（2）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；
（3）四條邊相等的四邊形是菱形。
考點(diǎn)4：菱形的面積
S=ah=mn/2（菱形底邊長(zhǎng)為a，高為h，兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為m和n）
母題精講
【典例1】（2022?西寧）如圖，四邊形ABCD是菱形，AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥CD于點(diǎn)F．
（1）求證：△ABE≌△ADF；
（2）若AE＝4，CF＝2，求菱形的邊長(zhǎng)．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（AAS）；
（2）解：設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為x，
∵AB＝CD＝x，CF＝2，
∴DF＝x﹣2，
∵△ABE≌△ADF，
∴BE＝DF＝x﹣2，
在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理得，
AE2+BE2＝AB2，
即42+（x﹣2）2＝x2，
解得x＝5，
∴菱形的邊長(zhǎng)是5．
【變式1-1】（2022?青海）如圖，四邊形ABCD為菱形，E為對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，C重合），連接DE并延長(zhǎng)交射線AB于點(diǎn)F，連接BE．
（1）求證：△DCE≌△BCE；
（2）求證：∠AFD＝∠EBC．
【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，∠DCE＝∠BCE，
∵CE＝CE，
∴△DCE≌△BCE（SAS）；
（2）∵四邊形ABCD是菱形，
∴DC∥AF，
∴∠CDF＝∠AFD，
∵△DCE≌△BCE，
∴∠CDF＝∠EBC，
∴∠AFD＝∠EBC．
【變式1-2】（2020?桂林）如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AD，AB的中點(diǎn)．
（1）求證：△ABE≌△ADF；
（2）若BE＝，∠C＝60°，求菱形ABCD的面積．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AD，AB的中點(diǎn)，
∴AF＝AE，
在△ABE和△ADF中，，
∴△ABE≌△ADF（SAS）；
（2）解：連接BD，如圖：
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠A＝∠C＝60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∵點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，
∴BE⊥AD，
∴∠ABE＝30°，
∴AE＝tan30°BE＝BE＝1，AB＝2AE＝2，
∴AD＝AB＝2，
∴菱形ABCD的面積＝AD×BE＝2×＝2．
【典例2】（2022?張家界）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，連接OE，過(guò)點(diǎn)C作CF∥BD交OE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接DF．
（1）求證：△ODE≌△FCE；
（2）試判斷四邊形ODFC的形狀，并寫(xiě)出證明過(guò)程．
【解答】（1）證明：∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，
∴CE＝DE，
又∵CF∥BD
∴∠ODE＝∠FCE，
在△ODE和△FCE中，
，
∴△ODE≌△FCE（ASA）；
（2）解：四邊形ODFC為矩形，證明如下：
∵△ODE≌△FCE，
∴OE＝FE，
又∵CE＝DE，
∴四邊形ODFC為平行四邊形，
又∵四邊形ABCD為菱形，
∴AC⊥BD，
即∠DOC＝90°，
∴四邊形ODFC為矩形．
【變式2-1】（2022?遂寧）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，連接OE，過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC交OE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AF．
（1）求證：△AOE≌△DFE；
（2）判定四邊形AODF的形狀并說(shuō)明理由．
【解答】（1）證明：∵E是AD的中點(diǎn)，
∴AE＝DE，
∵DF∥AC，
∴∠OAD＝∠ADF，
∵∠AEO＝∠DEF，
∴△AOE≌△DFE（ASA）．
（2）解：四邊形AODF為矩形．
理由：∵△AOE≌△DFE，
∴AO＝DF，
∵DF∥AC，
∴四邊形AODF為平行四邊形，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AC⊥BD，
即∠AOD＝90°，
∴平行四邊形AODF為矩形．
【變式2-2】（2019?聊城）在菱形ABCD中，點(diǎn)P是BC邊上一點(diǎn)，連接AP，點(diǎn)E，F(xiàn)是AP上的兩點(diǎn)，連接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF．
求證：（1）△ABF≌△DAE；
（2）DE＝BF+EF．
【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AD∥BC，
∴∠BPA＝∠DAE，
∵∠ABC＝∠AED，
∴∠BAF＝∠ADE，
∵∠ABF＝∠BPF，∠BPA＝∠DAE，
∴∠ABF＝∠DAE，
∵AB＝DA，
∴△ABF≌△DAE（ASA）；
（2）∵△ABF≌△DAE，
∴AE＝BF，DE＝AF，
∵AF＝AE+EF＝BF+EF，
∴DE＝BF+EF．
【典例3】（2022?北京）如圖，在?ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在AC上，AE＝CF．
（1）求證：四邊形EBFD是平行四邊形；
（2）若∠BAC＝∠DAC，求證：四邊形EBFD是菱形．
【解答】證明：（1）在?ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
∵AE＝CF．
∴OE＝OF，
∴四邊形EBFD是平行四邊形；
（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥DC，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵∠BAC＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴DA＝DC，
∴平行四邊形ABCD為菱形，
∴DB⊥EF，
∴平行四邊形EBFD是菱形．
【變式3-1】（2019?蘭州）如圖，AC＝8，分別以A、C為圓心，以長(zhǎng)度5為半徑作弧，兩條弧分別相交于點(diǎn)B和D．依次連接A、B、C、D，連接BD交AC于點(diǎn)O．
（1）判斷四邊形ABCD的形狀并說(shuō)明理由；
（2）求BD的長(zhǎng)．
【解答】解：（1）四邊形ABCD為菱形；
由作法得AB＝AD＝CB＝CD＝5，
所以四邊形ABCD為菱形；
（2）∵四邊形ABCD為菱形，
∴OA＝OC＝4，OB＝OD，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，OB＝＝3，
∴BD＝2OB＝6．
【變式3-2】（2022?舟山）小惠自編一題：“如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC⊥BD，OB＝OD．求證：四邊形ABCD是菱形”，并將自己的證明過(guò)程與同學(xué)小潔交流．
若贊同小惠的證法，請(qǐng)?jiān)诘谝粋€(gè)方框內(nèi)打“√”；若贊成小潔的說(shuō)法，請(qǐng)你補(bǔ)充一個(gè)條件，并證明．
【解答】解：贊成小潔的說(shuō)法，補(bǔ)充條件：OA＝OC，證明如下：
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四邊形ABCD是菱形．
真題精選
命題點(diǎn)1 菱形的判定
1．（2022?襄陽(yáng)）如圖，?ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，下列說(shuō)法正確的是（）
A．若OB＝OD，則?ABCD是菱形
B．若AC＝BD，則?ABCD是菱形
C．若OA＝OD，則?ABCD是菱形
D．若AC⊥BD，則?ABCD是菱形
【答案】D
【解答】解：A、∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OB＝OD，故選項(xiàng)A不符合題意；
B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC＝BD，
∴?ABCD是矩形，故選項(xiàng)B不符合題意；
C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∵OA＝OD，
∴AC＝BD，
∴?ABCD是矩形，故選項(xiàng)C不符合題意；
D、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC⊥BD，
∴?ABCD是菱形，故選項(xiàng)D符合題意；
故選：D
2．（2019?青海）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AF∥BC交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CF．
（1）求證：△AEF≌△DEB；
（2）證明：四邊形ADCF是菱形．
【解答】證明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE
∵△ABC是直角三角形，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點(diǎn)，
∴AE＝DE，BD＝CD
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）
（2）由（1）知，AF＝BD，且BD＝CD，
∴AF＝CD，且AF∥BC，
∴四邊形ADCF是平行四邊形
∵∠BAC＝90°，D是BC的中點(diǎn)，
∴AD＝BC＝CD，
∴四邊形ADCF是菱形．
命題點(diǎn)2 菱形的性質(zhì)及其應(yīng)用
3．（2022?蘭州）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，E為AD的中點(diǎn)，連接OE，∠ABC＝60°，BD＝4，則OE＝（）
A．4B．2C．2D．
【答案】C
【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴BO＝DO，∠ABO＝30°，AC⊥BD，AB＝AD，
∴BO＝2，
∴AO＝＝2，
∴AB＝2AO＝4，
∵E為AD的中點(diǎn)，∠AOD＝90°，
∴OE＝AD＝2，
故選：C
4．（2022?河池）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）
A．AB＝ADB．AC⊥BDC．AC＝BDD．∠DAC＝∠BAC
【答案】C
【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠BAC＝∠DAC，AB＝AD，AC⊥BD，
故A、B、D正確，無(wú)法得出AC＝BD，
故選：C．
5．（2022?自貢）如圖，菱形ABCD對(duì)角線交點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，點(diǎn)A（﹣2，5），則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）
A．（5，﹣2）B．（2，﹣5）C．（2，5）D．（﹣2，﹣5）
【答案】B
【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，即點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∵點(diǎn)A（﹣2，5），
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（2，﹣5）．
故選：B．
6．（2022?樂(lè)山）已知菱形ABCD的兩條對(duì)角線AC、BD的長(zhǎng)分別是8cm和6cm．則菱形的面積為 cm2．
【答案】24
【解答】解：∵菱形ABCD的兩條對(duì)角線AC、BD的長(zhǎng)分別是8cm和6cm，
∴菱形的面積是＝24（cm2），
故答案為：24．
7．（2022?大連）如圖，四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD上，AE＝AF．求證：CE＝CF．
【解答】證明：如圖，連接AC，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠EAC＝∠FAC，
在△ACE和△ACF中，
，
∴△ACE≌△ACF（SAS）
∴CE＝CF．
8．（2022?廣元）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E為AB中點(diǎn)，連結(jié)CE．
（1）求證：四邊形AECD為菱形；
（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面積．
【解答】（1）證明：∵E為AB中點(diǎn)，
∴AB＝2AE＝2BE，
∵AB＝2CD，
∴CD＝AE，
又∵AE∥CD，
∴四邊形AECD是平行四邊形，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠EAC，
∵AB∥CD，
∴∠DCA＝∠CAB，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴AD＝CD，
∴平行四邊形AECD是菱形；
（2）∵四邊形AECD是菱形，∠D＝120°，
∴AD＝CD＝CE＝AE＝2，∠D＝120°＝∠AEC，
∴AE＝CE＝BE，∠CEB＝60°，
∴∠CAE＝30°＝∠ACE，△CEB是等邊三角形，
∴BE＝BC＝EC＝2，∠B＝60°，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝BC＝2，
∴S△ABC＝×AC×BC＝×2×2＝2．
小惠：
證明：∵AC⊥BD，OB＝OD，
∴AC垂直平分BD．
∴AB＝AD，CB＝CD，
∴四邊形ABCD是菱形．
小潔：
這個(gè)題目還缺少條件，需要補(bǔ)充一個(gè)條件才能證明．

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