題型1：實數(shù)的混合計算
典例：（2022·廣西·南寧十四中九年級期中）計算：．
解：
．
鞏固練習
1．（2022·重慶巴蜀中學九年級期中）______．
解： ，
故答案為：．
（2）（2022·重慶八中九年級期中）計算：___________．
解：
．
故答案為：．
2．（2022·江蘇·鹽城市初級中學一模）計算：．
【答案】
【分析】直接利用零指數(shù)冪的性質(zhì)以及二次根式的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值分別化簡，進而合并得出答案．
【詳解】解：
【點睛】此題主要考查了零指數(shù)冪的性質(zhì)以及二次根式的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值，實數(shù)的運算，正確化簡各數(shù)是解題關鍵．
3．（2022·四川樂山·九年級期中）計算：．
【答案】
【分析】原式先化簡算術平方根和絕對值，然后再合并即可．
【詳解】解：

【點睛】本題主要考查了實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．
4．（2022·上?！で嗥謪^(qū)實驗中學九年級期中）計算：．
【答案】
【分析】根據(jù)，，，去絕對值，分母有理化，然后進行加減，即可．
【詳解】
．
【點睛】本題考查實數(shù)，二次根式的知識，解題的關鍵是，，，分母有理化．
5．（2022·江蘇·連云港市新海初級中學三模）計算：．
【答案】0
【分析】根據(jù)絕對值的意義，求一個數(shù)的立方根以及零指數(shù)冪進行運算即可．
【詳解】解：原式．
【點睛】本題考查了絕對值的意義，求一個數(shù)的立方根以及零指數(shù)冪等知識點，靈活運用所學知識點是解本題的關鍵．
6．（2022·江蘇·射陽縣第四中學二模）計算：
【答案】
【分析】先化簡二次根式和計算零指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪，再根據(jù)實數(shù)的混合計算法則求解即可．
【詳解】解：原式
．
【點睛】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)，零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，實數(shù)的混合計算，熟知相關計算法則是解題的關鍵，注意非零底數(shù)的零指數(shù)冪結果為1．
7．（2022·廣西·平果市教研室九年級期末）計算：．
【答案】
【分析】分別計算負指數(shù)冪、三角函數(shù)值、根式化簡、去絕對值，然后計算即可．
【詳解】解：原式=
=
=
=
=
【點睛】本題考查了與負指數(shù)冪、特殊角三角函數(shù)值、二次根式化簡、絕對值化簡相關的實數(shù)混合運算，熟練掌握相關知識并正確運算是解題關鍵．
8．（2022·江蘇·陽山中學九年級期中）計算：
(1)
(2) ；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進行計算即可求解；
（2）根據(jù)化簡二次根式，特殊角的三角函數(shù)值，化簡絕對值進行計算即可求解．
【詳解】（1）
；
（2）
．
【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值的混合運算，實數(shù)的混合運算，二次根式的性質(zhì)化簡，掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵．
9．（2022·山東·淄博市張店區(qū)第九中學九年級期中）計算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進行化簡，然后再根據(jù)實數(shù)混合運算法則進行計算即可；
（2）先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進行化簡，然后再根據(jù)實數(shù)混合運算法則進行計算即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
．
【點睛】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值的混合運算，解題的關鍵是熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值．
題型2：程序計算中的實數(shù)運算
典例：（2022·河北邢臺·七年級期末）按下面程序計算：
（1）當輸入時，輸出的結果為______
（2）若輸入的值為大于1的實數(shù)，最后輸出的結果為17，則符合條件的的值是______
解：（1）當時，
∴
∴輸出的數(shù)是26．
（2）當?shù)谝淮屋敵龅慕Y果為17時，
∴
解得：或
又∵
∴
當?shù)诙屋敵龅慕Y果為17時，則

∴ （舍去）
解得：（舍去）
當?shù)谌屋敵龅臄?shù)為17時，則
此時不合題意，舍去，
綜上：x的值為：或4
故答案為：（1）26；（2）或4
鞏固練習
1．（2022·浙江·杭州綠城育華學校一模）有一個數(shù)值轉換器，原理如下：當輸人的時，輸出的等于
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)程序進行計算即可．
【詳解】解：輸入時，取算術平方根為，是有理數(shù)，
輸入時，取算術平方根為，是無理數(shù)，輸出，
∴．
故選：D．
【點睛】本題考查了求一個數(shù)的算術平方根，根據(jù)程序設計進行計算是解題的關鍵．
2．（2022·河北·一模）按如圖所示的程序計算，若開始輸入的n值為，則最后輸出的結果是（ ）
A．3+B．15+C．3+3D．15+7
【答案】D
【分析】按所示的程序將輸入，結果為，小于15；再把作為n再輸入，所得結果大于15，則就是輸出結果，所得結果小于15，再次循環(huán)輸入，直到輸出結果．
【詳解】解：當時，
當時，，
故選：D．
【點睛】本題以一種新的運算程序考查了實數(shù)的運算，解題關鍵判斷結果與15的大小，要注意兩方面：①新的運算程序要準確；②實數(shù)運算要準確．
3．（2022·遼寧葫蘆島·七年級期末）如圖是一個無理數(shù)生成器的工作流程圖，根據(jù)該流程圖下面說法正確的是（ ）
A．輸入值為16時，輸出值為4
B．輸入任意整數(shù)，都能輸出一個無理數(shù)
C．輸出值為時，輸入值為9
D．存在正整數(shù)，輸入后該生成器一直運行，但始終不能輸出值
【答案】D
【分析】根據(jù)運算規(guī)則即可求解．
【詳解】解∶A．輸入值x為16時，，，即y=，故A錯誤；
B．當x=0， 1時，始終輸不出y值． 因為0， 1的算術平方根是0， 1，一定是有理數(shù)，故B錯誤；
C．x的值不唯一． x=3或x=9或81等，故C錯誤；
D．當x= 1時，始終輸不出y值． 因為1的算術平方根是1，一定是有理數(shù)；故D正確；
故選∶D．
【點睛】本題考查了算術平方根及無理數(shù)的概念，正確理解給出的運算方法是關鍵．
4．（2022·山東濟寧·八年級期中）按如圖所示的程序計算，若開始輸入的x值為，則最后輸出的結果是（ ）
A．B．C．24D．
【答案】B
【分析】把x=代入代數(shù)式x（x+1）得到結果，若大于7則輸出，若結果不大于7再次代入，循環(huán)后滿足條件即為所求結果．
【詳解】解：當x=時，x（x+1）= ，
∵4＜5＜9
∴2＜＜3，
∴＞7
∴最后輸出的結果為．
故選：B．
【點睛】此題考查了代數(shù)式求值，弄清題中的程序框圖的意義是解本題的關鍵．
5．（2022·浙江·七年級專題練習）如圖是一個無理數(shù)生成器的工作流程圖，根據(jù)該流程圖，下面說法：
①當輸出值y為時，輸入值x為3或9；
②當輸入值x為16時，輸出值y為；
③對于任意的正無理數(shù)y，都存在正整數(shù)x，使得輸入x后能夠輸出y；
④存在這樣的正整數(shù)x，輸入x之后，該生成器能夠一直運行，但始終不能輸出y值．
其中錯誤的是（ ）
A．①②B．②④C．①④D．①③
【答案】D
【分析】根據(jù)運算規(guī)則即可求解．
【詳解】解：①x的值不唯一．x=3或x=9或81等，故①說法錯誤；
②輸入值x為16時，，故②說法正確；
③對于任意的正無理數(shù)y，都存在正整數(shù)x，使得輸入x后能夠輸出y，如輸入π2，故③說法錯誤；
④當x=1時，始終輸不出y值．因為1的算術平方根是1，一定是有理數(shù)，故④原說法正確．
其中錯誤的是①③．
故選：D．
【點睛】此題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學習的無理數(shù)有：π，2π等；開方開不盡的數(shù)；以及像0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數(shù)．
6．（2022·全國·九年級專題練習）按照如圖所示的程序計算，若輸出y的值是2，則輸入x的值是 _____．
【答案】1
【分析】根據(jù)程序分析即可求解．
【詳解】解：∵輸出y的值是2，
∴上一步計算為或
解得（經(jīng)檢驗，是原方程的解），或
當符合程序判斷條件，不符合程序判斷條件
故答案為：1
【點睛】本題考查了解分式方程，理解題意是解題的關鍵．
7．（2022·北京海淀·九年級期末）給定二元數(shù)對（p，q），其中或1，或1．三種轉換器A，B，C對（p，q）的轉換規(guī)則如下：
（1）在圖1所示的“A—B—C”組合轉換器中，若輸入，則輸出結果為________；
（2）在圖2所示的“①—C—②”組合轉換器中，若當輸入和時，輸出結果均為0，則該組合轉換器為“____—C—____”（寫出一種組合即可）．
【答案】 1 A A
【分析】（1）利用轉換器C的規(guī)則即可求出答案．
（2）利用轉換器A、B、C的規(guī)則，寫出一組即可．
【詳解】（1）解：利用轉換器C的規(guī)則可得：輸出結果為1．
（2）解：當輸入時，若①對應A，此時經(jīng)過A、C輸出結果為（1，0），②對應A，輸出結果恰好為0．
當輸入時，若①對應A，此時經(jīng)過A、C輸出結果為（0，1），②對應A，輸出結果恰好為0．
故答案為：1；A；A．
【點睛】本題主要是新定義題目，利用題目所給規(guī)則，進行分析判斷，即可解答出該題目．
8．（2022·河北·廊坊市第十六中學七年級期末）一個數(shù)值轉換器，如圖所示：
（1）當輸入的x為2時，輸出的y值是______．
（2）當輸出的y值為時，請寫出兩個滿足條件的x的值為______和______．
【答案】 3 9
【分析】（1）將x=2代入程序進行計算即可；
（2）根據(jù)算術平方根的定義進行取值．
【詳解】解：（1）當x=2時，輸出y=．
故答案為：；
（2）當x=3時，y=，
當x=9時，=3，3是有理數(shù)，不能輸出，
是無理數(shù)，y=；
故答案為：3；9．
【點睛】此題考查了運用算術平方根解決程序計算問題的能力，關鍵是能準確求解算術平方根，并能辨別無理數(shù)．
9．（2022·福建廈門·七年級期中）如圖是一個無理數(shù)生成器的工作流程圖，根據(jù)該流程圖，下面說法：
①當輸出值y為時，輸入值x為2或4；
②當輸入值x為9時，輸出值y為；
③對于任意的正無理數(shù)y，都存在正整數(shù)x，使得輸入x后能夠輸出y；
④存在這樣的正整數(shù)x，輸入x之后，該生成器能夠一直運行，但始終不能輸出y值．
其中正確的是________．
【答案】②④##④②
【分析】根據(jù)流程圖逆向分析即可判斷①，把x=9代入流程圖判斷②；通過特殊值法排除③；當x=1時判斷④．
【詳解】解：①當時，，，2取算術平方根為，輸出值y為，則輸入值x為2或4或等，故①不符合題意；
②，取算術平方根為，輸出值y為，故②符合題意；
③如x=π2時，是正無理數(shù)不是正整數(shù)，輸出值y為π是正無理數(shù)，故③不符合題意；
④當x=1，1的算術平方根為1，該生成器能夠一直運行，但始終不能輸出y值，故④符合題意；
故答案為：②④．
【點睛】本題考查了實數(shù)的性質(zhì)，求一個數(shù)的算術平方根，無理數(shù)的定義，理解題意是解題的關鍵．
10．（2022·河北·邯鄲市第二十三中學七年級期中）任意給出一個非零實數(shù)m，按如圖所示的程序進行計算．
(1)當m=1時，輸出的結果為________．
(2)當實數(shù)m的一個平方根是﹣時，求輸出的結果．
【答案】(1)0
(2)-2
【分析】（1）將m=1代入流程圖，逐步計算即可；
（2）根據(jù)題意求出m的值，代入流程圖計算即可求出值．
（1）解：當m=1時，
；
（2）根據(jù)題意得：m==3，
∴．
【點睛】此題考查了實數(shù)的運算，以及平方根，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
11．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習）如圖是一個無理數(shù)篩選器的工作流程圖．
(1)當x為9時，y值為 ；
(2)如果輸入0和1， （填“能”或“不能”）輸出y值；
(3)當輸出的y值是時，請寫出滿足題意的x值： ．（寫出兩個即可）
【答案】(1)
(2)不能
(3)5或25（答案不唯一）
【分析】（1）根據(jù)運算流程圖，即可求解；
（2）根據(jù)0的算術平方根是0，1的算術平方根是1，即可判斷；
（3）根據(jù)運算法則，進行逆運算即可得到滿足題意的x值．
【詳解】（1）解：當輸入x=9時，9的算術平方根為3，不是無理數(shù)，3的算術平方根為，
即；
故答案為：
（2）解：當輸入x=0或1時，因為0的算術平方根是0，始終是有理數(shù)，1的算術平方根是1，也始終是有理數(shù)，
所以不能輸出y；
故答案為：不能
（3）解：當時，，此時x=5；
當時，，，此時x=25；
故答案為：5或25（答案不唯一）
【點睛】本題考查了無理數(shù)以及算術平方根，正確理解工作流程圖是解題的關鍵．
題型3：定義新運算
典例：（2022·江蘇宿遷·七年級期中）設a、b都表示有理數(shù)，規(guī)定一種新運算“※”：當時，，當時，．例如：，．
(1)_______________；
(2)求的值；
(3)若有理數(shù)x在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，設：；，比較m、n的大小關系．
解：（1），
；
（2）
；
（3）由數(shù)軸知，
，
，
．
鞏固練習
1．（2022·陜西咸陽·八年級期中）現(xiàn)定義一個新運算“※”，規(guī)定對于任意實數(shù)x，y，都有，則的值為________．
【答案】8
【分析】根據(jù)新運算要求可知兩個數(shù)進行新運算等于這兩個數(shù)和的算術平方根，再加上這兩個數(shù)的乘積與1的和的立方根，再代入計算即可．
【詳解】．
故答案為：8．
【點睛】本題主要考查了平方根和立方根的計算，理解新定義是解題的關鍵．
2．（2022·山東德州·九年級期中）給出一種運算：對于函數(shù)，規(guī)定．例如：若函數(shù)，則有．若函數(shù)，求方程的解為___________．
【答案】，
【分析】根據(jù)新定義的規(guī)定先計算，再解方程．
【詳解】解：，
又，
．
．
，，
故答案為：，．
【點睛】本題考查了解一元二次方程的直接開平方法．掌握新定義規(guī)定的運算和一元二次方程的解法是解決本題的關鍵．
3．（2022·山東濰坊·八年級期中）定義一種運算☆，規(guī)則為，根據(jù)這個規(guī)則，若，則x=___________．
【答案】1
【分析】根據(jù)給定的新定義，可得，進一步可得，解分式方程即可
【詳解】解：根據(jù)給定的定義，
得，
∴，
去分母，得：，
解得，
經(jīng)檢驗，是原方程的根，
故答案為：1．
【點睛】本題考查了解分式方程和新定義的綜合，理解新定義并熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關鍵．
4．（2022·山東煙臺·期中）在有理數(shù)的原有運算法則中，補充新的運算法則“”如下：當時，；當時，．則當時，______．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，當時，；當時，，當時，，，，由此即可求解．
【詳解】解：當時，，，
，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查有理數(shù)的定義新運算，掌握有理數(shù)的加法、減法、乘法運算法則是解題的關鍵．
5．（2022·山東·商河縣第三實驗學校八年級期中）規(guī)定以下兩種變換：①，如；②，如，按照以上變換有：，那么等于_____．
【答案】
【分析】直接利用新定義分別化簡，進而得出答案．
【詳解】解：
故答案為：
【點睛】此題考查新定義的運用，仔細閱讀題干，理解材料的含義是解題的關鍵．
6．（2022·江蘇無錫·七年級期中）定義一種新運算：，則計算___________．
【答案】
【分析】根據(jù)新運算的定義代入直接計算即可．
【詳解】解：∵，
∴，
故答案為：
【點睛】本題考查了新運算和有理數(shù)的混合運算，理解新運算的定義是解題的關鍵．
7．（2022·安徽·宣城十二中七年級期中）對于實數(shù)、，定義運算：；如：?，．照此定義的運算方式計算___________ ．
【答案】1
【分析】由題中規(guī)定的運算規(guī)則，分別計算出，即可．
【詳解】解：根據(jù)題意得：，，
則．
故答案為：．
【點睛】本題是新運算問題，考查了有理數(shù)的混合運算，負整數(shù)指數(shù)冪，理解題中定義的新運算規(guī)則是關鍵．
8．（2022·貴州六盤水·七年級期末）規(guī)定一種新運算法則：，例如：．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)5
(2)．
【分析】（1）利用已知的新定義計算即可；
（2）利用新定義計算出，再利用等式的性質(zhì)得出，即可求解．
【詳解】（1）解：
（2）解：
．
【點睛】本題主要考查了新定義運算，以及有理數(shù)的混合運算，解題的關鍵是明確題意，利用已知的新的運算法則進行計算．
9．（2022·江西景德鎮(zhèn)·八年級期中）定義：如果兩個無理數(shù)的乘積等于一個有理數(shù)，即，則稱a和b是關于c的共軛數(shù)例：，則稱和是關于4的共軛數(shù)．
(1)已知和b是關于6的共軛數(shù)，則b=______．
(2)若和是關于3的共軛數(shù)，求m的值．
【答案】(1)
(2)3
【分析】(1)根據(jù)定義，得到，計算即可．
（2）根據(jù)定義，得到，展開化簡計算即可．
【詳解】（1）因為和b是關于6的共軛數(shù)，
所以，
所以，
故答案為：．
（2）因為和是關于3的共軛數(shù)，
所以，
所以，
所以，
解得．
【點睛】本題考查了新定義計算，正確理解新定義是解題的關鍵．
10．（2022·河北石家莊·九年級期中）定義新運算“¤”：對于任意實數(shù)，，都有，其中等式右邊是通常的加法、減法和乘法運算．
如，．
據(jù)此，解答下列問題：
（1）___________；
（2）方程的解為____________；
（3）若關于的方程有一個解為，則的值為___________．
【答案】 0 2
【分析】（1）根據(jù)題目定義運算法則進行代入計算；
（2）由題意構造一元一次方程并求解；
（3）根據(jù)定義和方程解的定義代入計算．
【詳解】解：（1），
故答案為：0；
（2）由題意得方程，
整理得，
解得或，
故答案為：或；
（3）由題意得方程，
將代入得，
解得，
故答案為：2．
【點睛】本題考查了實數(shù)運算和解一元二次方程及新定義問題的解決能力，解題的關鍵是能準確理解并運用以上知識進行列式、代入并求解．
11．（2022·江蘇徐州·七年級期中）[概念學習]
規(guī)定：求若干個相同的有理數(shù)（均不等于0）的除法運算叫做除方，如 ． 等．類比有理數(shù)的乘方，我們把記作 ，讀作“2的圈3次方”， 記作 ，讀作“?3的圈4次方”，一般地，
把（a≠0）記作，讀作“a的圈n次方”．
[初步探究]
（1）直接寫出計算結果：＝ ，
（2）關于除方，下列說法錯誤的是
A．任何非零數(shù)的圈2次方都等于1；
B．對于任何正整數(shù)n，1的圈n次方都等于1；
C． ；
D．負數(shù)的圈奇數(shù)次方結果是負數(shù)，負數(shù)的圈偶數(shù)次方結果是正數(shù)．
[深入思考]我們知道，有理數(shù)的減法運算可以轉化為加法運算，除法運算可以轉化為乘法運算，有理數(shù)的除方運算如何轉化為乘方運算呢？
（1）試一試：仿照圖中的算式，將下列運算結果直接寫成冪的形式．
＝ ；＝ ；＝ ．
（2）想一想：將一個非零有理數(shù)a的圈n次方寫成冪的形式等于 ；
（3）算一算：．
【答案】[初步探究]（1）（2）C [深入思考]（1）， ， （2）（3）
【分析】[初步探究]
（1）根據(jù)新定義計算；
（2）根據(jù)新定義可判斷C符合題意；
[深入思考]
（1）把有理數(shù)的除方運算轉化為乘方運算進行計算；
（2）利用新定義求解；
（3）先把除方運算轉化為乘方運算進行計算，然后進行乘除運算．
【詳解】[初步探究]
（1） ，
故答案為： ；
（2）任何非零數(shù)的圈2次方都等于1，故A正確，不符合題意；
對于任何正整數(shù)n，1的圈n次方都等于1，故B正確，不符合題意；
， ，故C錯誤，符合題意；
負數(shù)的圈奇數(shù)次方結果是負數(shù)，負數(shù)的圈偶數(shù)次方結果是正數(shù)，故D正確，不符合題意；
故答案為：C；
[深入思考]
（1）；； ；
故答案為： ； ； ；
（2） ；
（3）


【點睛】本題主要考查有理數(shù)的混合運算，涉及新定義，解決本題的關鍵是對相應的運算法則的掌握與運用．
題型4：與實數(shù)運算相關的規(guī)律探究
典例：（2022·山東·煙臺市福山區(qū)教學研究中心八年級期中）觀察下列等式：；
；
；……
(1)請寫出第n個等式：xn=____________；
(2)根據(jù)以上規(guī)律，計算____________．
(1)解：根據(jù)規(guī)律可知，，
故答案為：；
(2)
．
故答案為：．
鞏固練習
1．（2022·浙江·杭州市清河實驗學校七年級期中）觀察下列等式：，試利用上述規(guī)律判斷算式結果的末位數(shù)字是（ ）
A．0B．1C．3D．7
【答案】A
【分析】先根據(jù)給出的已知條件得到尾數(shù)以四次循環(huán)，再得到，結合每組尾數(shù)的和，從未可得答案．
【詳解】解：∵
∴尾數(shù)以四次循環(huán)，
而，，
∴的末位數(shù)字為0，
故選A．
【點睛】本題考查的是數(shù)字的規(guī)律探究，總結出尾數(shù)以四次循環(huán)是解本題的關鍵．
2．（2022·福建寧德·八年級期中）有一列數(shù)按如下規(guī)律排列：，，，，，…則第10個數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】將這列數(shù)據(jù)改寫成：，，，，，…，按照三步確定結果：一確定符號，二確定分子，三確定分母即可．
【詳解】解：，，，，，…可寫出：
，，，，，…，
∴第10個數(shù)為，
故選：D．
【點睛】本題考查數(shù)字類變化規(guī)律，解題的關鍵是把已知的一列數(shù)變形，找到變化規(guī)律．
3．（2022·江蘇·七年級專題練習）各正方形中的四個數(shù)之間都有一定的規(guī)律，按此規(guī)律得出，的值分別為（ ）
A．9，10B．9，91C．10，91D．10，110
【答案】C
【分析】分析前三個圖形，有：右上=左上+3，左下=左上+4，右下=右上×右下+1，由此即可求出a、b、c
【詳解】由前三個圖形，有：右上=左上+3，左下=左上+4，右下=右上×右下+1，


故選：C
【點睛】本題考查規(guī)律中的數(shù)字變換，分析前面的圖形，得出：右上=左上+3，左下=左上+4，右下=右上×右下+1，找出給定的數(shù)之間的關系時解題關鍵．
4．（2022·山東濰坊·七年級期中）觀察下列各式：，，，
試運用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算：_____．
【答案】
【分析】通過觀察所給的等式，將所求的式子變形為，再計算即可．
【詳解】解：
，
故答案為：．
【點睛】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關鍵是通過觀察所給的等式，探索出運算的一般規(guī)律，并能靈活應用該規(guī)律進行計算．
5．（2022·遼寧鞍山·七年級期中）觀察下列各式：（1）；（2）；（3）；…，根據(jù)上述規(guī)律，則______．
【答案】155
【分析】根據(jù)前面幾個算式的值，探究總結出規(guī)律，再計算的值．
【詳解】解：因為＝5＝1×4+1，
＝11＝2×5+1，
＝19＝3×6+1，
…，
∴＝11×14+1＝155．
故答案為：155．
【點睛】本題主要考查了實數(shù)的運算，解決問題的關鍵是根據(jù)已知算式探究規(guī)律，運用探究總結的規(guī)律解答．
6．（2022·吉林·長春市實驗中學七年級期末）a是不為1的有理數(shù)，我們把稱為a的差倒數(shù)．如：2的差倒數(shù)是，-1的差倒數(shù)是．已知，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，是的差的倒數(shù)，…，依此類推，的差倒數(shù)=_____．
【答案】
【分析】根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)，可以寫出這列數(shù)的前幾項，從而可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點，然后即可得到a2011的值．
【詳解】解：由題意可得，
，
，
，
，，
由上可得，這列數(shù)依次以循環(huán)出現(xiàn)，
∵，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查數(shù)字的變化類、新定義，解答本題的關鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化規(guī)律，求出相應項的值．
7．（2022·山東·廣饒縣樂安街道樂安中學期末）2×(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)+1的個位數(shù)字為_____
【答案】1
【分析】將2寫成3-1，再采用平方差公式逐級計算，最終原式為364，再根據(jù)3的整數(shù)次冪的個位數(shù)字每4個數(shù)字為一個循環(huán)組依次循環(huán)，即可求解．
【詳解】解：原式＝(3-1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)+1
＝(32-1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)+1
＝(34-1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)+1
＝(38-1)(38+1)(316+1)(332+1)+1
＝(316-1)(316+1)(332+1)+1
＝(332-1)(332+1)+1
＝364-1+1
＝364，
∵31＝3，32＝9，33＝27，24＝81，25＝243，…
∴3的整數(shù)次冪的個位數(shù)字每4個數(shù)字為一個循環(huán)組依次循環(huán)，
∵64＝16×4，
∴364的個位數(shù)字與34的個位數(shù)字相同，為1．
故答案為：1．
【點睛】本題考查了平方差公式以及實數(shù)的運算等知識，將原式變?yōu)?64是解答本題的關鍵．
8．（2022·山東濟南·期中）已知：
；
；
；
…
(1)猜想填空：=______．
(2)計算：
① ；
②．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）從等式的序號數(shù)與平方冪底數(shù)之間的關系上去探索規(guī)律，計算即可．
（2）① 根據(jù)計算即可．②變形=，根據(jù)規(guī)律計算即可．
【詳解】（1）因為；
；
；
…
所以，
故答案為：．
（2）① 根據(jù)規(guī)律，得．
②因為
=，
根據(jù)規(guī)律計算得：
=．
【點睛】本題考查了等式型數(shù)字規(guī)律探索，熟練掌握等式序號與平方冪底數(shù)之間的關系探索是解題的關鍵．
9．（2022·福建寧德·八年級期中）細心觀察圖形，認真分析各式，然后解答下列問題：
，（是的面積）；
，（是的面積）；
，（是的面積）；
…
(1)請你直接寫出______，______；
(2)請用含有（為正整數(shù)）的式子填空：______，______；
(3)在線段、、、…、中，長度為正整數(shù)的線段共有______條．
(4)我們已經(jīng)知道，因此將分子、分母同時乘以，分母就變成了4，請仿照這種方法求的值；
【答案】(1)10，
(2)，
(3)44
(4)18
【分析】（1）認真閱讀新定義，根據(jù)已知寫出答案即可；
（2）認真閱讀新定義，根據(jù)已知內(nèi)容歸納總結即可；
（3）通過分析數(shù)據(jù)不難發(fā)現(xiàn)當邊長正好是根號下一個正整數(shù)的平方時，出現(xiàn)的就是正整數(shù)．分析2022最接近哪個正整數(shù)的平方．
（4）化簡整理后求值即可．
【詳解】（1）解：由題意可得，，，
故答案為：10，
（2）由題意可得，，
故答案為：，
（3）解：線段、、、…、的長分別是、、、、...、．
長度為正整數(shù)的數(shù)字分別是1、2、3、4、5、、a，
∵，，
∴，
∴線段、、、…、中，長度為正整數(shù)的線段共有 44條．
故答案為：44．
（4）
；
【點睛】本題考查了數(shù)學中的閱讀能力，以及對新定義的理解，還有二次根式的化簡，關鍵是理解新定義和有關二次根式的化簡運算．
10．（2022·福建·寧德市博雅培文學校九年級期中）閱讀下列解題過程：
請你參考上面的化簡方法，解決如下問題：
(1)計算：；
(2)計算：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）仿照題意求解即可；
（2）先仿照題意證明，進而將原式轉變?yōu)?，?jù)此求解即可．
【詳解】（1）解：；
（2）解：，
∴
．
【點睛】本題主要考查了分母有理化與實數(shù)運算有關的規(guī)律，正確理解題意并且熟練掌握分母有理化的方法是解題的關鍵．
11．（2022·吉林白城·七年級期末）觀察表格，回答問題：
(1)表格中________，________；
(2)從表格中探究a與數(shù)位的規(guī)律，并利用這個規(guī)律解決下面兩個問題：
①已知，則________；
②已知，若，用含m的代數(shù)式表示b，則________；
(3)試比較與a的大?。?br>當________時，；當________時，；當________時，．
【答案】(1)0.1；10；
(2)①31.6；②；
(3)，或0，．
【分析】（1）由表格得出規(guī)律，求出與的值即可；
（2）根據(jù)得出的規(guī)律確定出所求即可；
（3）分類討論的范圍，比較大小即可．
【詳解】（1）解：，．
故答案為：0.1；10；
（2）解：①根據(jù)題意得：．
②結果擴大100倍，則被開方數(shù)擴大10000倍，
．
故答案為：31.6；；
（3）解：當或1時，；
當時，；
當或0時，；
當時，，
故答案為：，或0，．
【點睛】本題考查了實數(shù)的比較，弄清題中的規(guī)律是解本題的關鍵．
題型5：與數(shù)軸有關的實數(shù)運算
典例：（2022·福建·廈門市杏南中學七年級期中）如圖，一只螞蟻從點A沿數(shù)軸向右爬了2個單位長度到達點B，點A表示，設點B所表示的數(shù)為m．
(1)實數(shù)m的值是 ；
(2)求的值；
(3)在數(shù)軸上還有C、D兩點分別表示實數(shù)c和d，且有與互為相反數(shù)，求2c﹣3d的平方根．
（1）解：∵一只螞蟻從點A沿數(shù)軸向右爬了2個單位長度到達點B，點A表示，
∴點B所表示的數(shù)為，
∴實數(shù)m的值為，
故答案為：；
（2）∵實數(shù)m的值為，
∴m＋1＝，m?1＝，
∴＝；
（3）∵與互為相反數(shù)，
∴，
∴2c＋4＝0，＝0，
∴c＝－2，d＝4或－4，
①當c＝－2，d＝4時，
則2c﹣3d＝－16，無平方根；
②當c＝－2，d＝－4時，
則2c﹣3d＝8，2c﹣3d的平方根為，
綜上，2c﹣3d的平方根是．
鞏固練習
1．（2022·河北石家莊·八年級期中）實數(shù)在數(shù)軸上的大致位置是（ ）
A．點AB．點BC．點CD．點D
【答案】D
【分析】估算出的范圍即可得出答案．
【詳解】∵，
∴在數(shù)軸上位于3和4之間，即大致位置是點D．
故選D．
【點睛】本題考查無理數(shù)的估算，實數(shù)與數(shù)軸．能夠掌握無理數(shù)的估算是解題的關鍵．
2．（2022·江蘇·南京師范大學附屬中學樹人學校二模）如圖，四個實數(shù)在數(shù)軸上的對應點分別為點M，P，N，Q．若點M，N表示的實數(shù)互為相反數(shù)，則圖中表示正數(shù)的點的個數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根據(jù)“點M，N表示的實數(shù)互為相反數(shù)”，可得原點在的中點處，從點在數(shù)軸上的位置即可判斷．
【詳解】∵點M，N表示的實數(shù)互為相反數(shù)，
∴原點在的中點處，
從數(shù)軸上可以看出點M點在原點的左側，為負數(shù)，P、N、Q點在原點的右側，為正數(shù)，
故選：C
【點睛】考查數(shù)軸、相反數(shù)的意義，掌握相反數(shù)則是位于原點兩側且到原點距離相等的兩個點所表示的數(shù)，并確定原點的位置是關鍵．
3．（2022·廣西·賀州市八步區(qū)教學研究室八年級期末）如圖，數(shù)軸于A，，，以O為圓心，以OC長為半徑作圓弧交數(shù)軸于點P，則點P表示的數(shù)為（ ）
A．B．2C．5D．
【答案】A
【分析】根據(jù)勾股定理分別求出、的長，再由作圖可得答案．
【詳解】解：∵，AB⊥數(shù)軸于A，
∴，
∵且，
∴，
由作圖知，
所以點P表示的數(shù)為，
故選：A．
【點睛】本題考查的是實數(shù)與數(shù)軸、勾股定理等知識，熟知實數(shù)與數(shù)軸上各點是一一對應關系是解答此題的關鍵．
4．（2022·廣東·育才三中七年級期中）實數(shù)，，，在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，正確的結論是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】觀察數(shù)軸，找出，，，四個數(shù)的大概范圍，再逐一分析四個選項的正誤，即可得出結論．
【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸，，，，，
A．∵，，
∴，故此選項不符合題意；
B．∵，，
∴，故此選項不符合題意；
C．∵，，
∴，故此選項不符合題意；
D．∵，
∴，
又∵，
∴，故此選項符合題意．
故選：D．
【點睛】本題考查實數(shù)與數(shù)軸，絕對值，實數(shù)的大小比較，數(shù)軸的特征．一般來說，當數(shù)軸方向朝右時，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大．觀察數(shù)軸，利用所學知識逐一分析四個選項的正誤是解題的關鍵．
5．（2022·北京房山·八年級期中）如圖，直徑為1個單位長度的圓，在數(shù)軸上從表示的點A滾動一周到點B，則點B表示的無理數(shù)為 _____．
【答案】##
【分析】先計算圓的周長，根據(jù)題意再計算即可得出答案．
【詳解】根據(jù)題意可得，圓的周長為，
則點B表示的數(shù)是從向右移動，
∴點B表示的無理數(shù)為．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了無理數(shù)及實數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握無理數(shù)及實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應關系進行求解是解決本題的關鍵．
6．（2022·福建三明·八年級期中）如圖，數(shù)軸的正半軸上有兩點，表示和的對應點分別為，，點，在數(shù)軸上，點到點的距離與點到點的距離相等，設點所表示的數(shù)為．
(1)當所表示的數(shù)為且在的右邊時，求出的值；
(2)當D所表示的數(shù)為時，求出x的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離求出之間的距離即為的值；
（2）根據(jù)題意可得，當D所表示的數(shù)為時，分點在的左邊或者右邊兩種情況求解即可．
【詳解】（1）∵點、分別表示，，
∴，
∵所表示的數(shù)為且在的右邊，設點所表示的數(shù)為．
∴；
（2）解：∵，，
當D所表示的數(shù)為時，
①當在的左邊， ，
②當在的右邊時， ，
∴或．
【點睛】本題考查了數(shù)軸上兩點距離，實數(shù)與數(shù)軸，分類討論是解題的關鍵．
7．（2022·湖北省宜昌市漁峽口中學七年級期中）如圖所示，數(shù)軸上點表示，點關于原點的對稱點為，設點所表示的數(shù)為，求的值．
【答案】
【分析】先根據(jù)數(shù)軸上表示一對相反數(shù)的點關于原點中心對稱得出，再代入，計算即可．
【詳解】解：數(shù)軸上點表示，點關于原點的對稱點為，
點表示的數(shù)是，即，
則
．
【點睛】此題考查了實數(shù)與數(shù)軸之間的對應關系，解題的關鍵是熟練掌握中心對稱的定義，絕對值的定義及二次根式的運算方法．
8．（2022·廣東·深圳市龍崗區(qū)德琳學校八年級期中）如圖，紙上有五個邊長為的小正方形組成的圖形紙，我們可以把它剪開拼成一個正方形．
(1)拼成的正方形的邊長為______．
(2)如圖，以數(shù)軸的單位長度的線段為邊作一個直角三角形，以數(shù)軸上表示的點為圓心，直角三角形的最大邊為半徑畫弧，交數(shù)軸正半軸于點，那么點表示的數(shù)是______．
(3)如圖，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為，若能把陰影部分剪拼成一個新的正方形，求新的正方形的面積和邊長．
【答案】(1)
(2)
(3)新的正方形的面積為，新正方形的邊長為
【分析】(1)根據(jù)題意可得，5個小正方形的面積和是拼成的正方形的面積，求得面積的算術平方根即為大正方形的邊長；
(2)利用勾股定理得出直角三角形的斜邊長，進而根據(jù)線段的和差關系求出點A表示的數(shù)；
(3)圖中陰影部分的面積相當于6個小正方形的面積，然后求面積的算術平方根即為新正方形的邊長．
【詳解】（1）設拼成的正方形的邊長為，
則，
，
即拼成的正方形的邊長為，
故答案為：；
（2）由勾股定理得：，
點表示的數(shù)為，
故答案為：；
（3）根據(jù)圖形得：，即新的正方形的面積為，新正方形的邊長為．
【點睛】題考查勾股定理與無理數(shù)、實數(shù)與數(shù)軸的綜合應用，靈活運用圖形變換對圖形進行剪拼組合是解題關鍵．
9．（2022·北京房山·八年級期中）已知數(shù)軸上兩點A，B，其中A表示的數(shù)為，B表示的數(shù)為2，AB表示A，B兩點之間的距離．若在數(shù)軸上存在一點C，使得，則稱點C為點A，B的“n節(jié)點”．例如圖1所示，若點C表示的數(shù)為0，有，則稱點C為點A，B的“4節(jié)點”
(1)若點C為點A，B的“n節(jié)點”，且點C在數(shù)軸上表示的數(shù)為，則n=___________；
(2)若點D為點A，B的“節(jié)點，請直接寫出點D在數(shù)軸上表示的數(shù)為 ___________；
(3)若點E在數(shù)軸上（不與A，B重合），滿足A，E兩點之間的距離是B，E兩點之間的距離的倍，且點E為點A，B的 “n節(jié)點”，求n的值．
【答案】(1)6
(2)
(3)或4
【分析】（1）根據(jù)新定義求解；
（2）設未知數(shù)，根據(jù)新定義列方程求解；
（3）先求點E表示的數(shù)，再計算n的值．
【詳解】（1）解：，
故答案為：6；
（2）解：設D表示的數(shù)為x，
則|，
∵，，
∴或，
當時，
，
解得：，
當時，
，
解得：，
故答案為：；
（3）解：設E點表示的數(shù)是y，
則：，
當時，
，
解得；
當時，
，
解得（舍去）；
當時，
，
解得；
∴．
當時，
，
當時，
．
∴n的值為或4．
【點睛】本題考查了新定義，數(shù)軸和實數(shù)，數(shù)軸上兩點間的距離，一元一次方程的應用，數(shù)形結合是解答本題的關鍵．
10．（2022·浙江杭州·七年級期中）如圖兩個網(wǎng)格都是由16個邊長為1的小正方形組成．
(1)圖①中的陰影正方形的頂點在網(wǎng)格的格點上，這個陰影正方形的面積為 ，若這個正方形的邊長為a，則 ；
(2)請在圖②中畫出面積是5的正方形，使它的頂點在網(wǎng)格的格點上，若這個正方形的邊長為b，則 ；
(3)請你利用以上結論，在圖③的數(shù)軸上表示實數(shù)a，b和-a，-b，并將它們用“＜”號連接．
【答案】(1)10，
(2)畫圖見解析，
(3)數(shù)軸表示見解析，
【分析】（1）用大正方形面積減去周圍四個三角形面積即可求出陰影部分的面積；根據(jù)正方形面積公式即可求出a的值；
（2）仿照題意作圖，然后根據(jù)正方形面積公式求出b的值即可；
（3）根據(jù)（1）（2）所求，在數(shù)軸上表示出四個數(shù)，再根據(jù)數(shù)軸上左邊的數(shù)小于右邊的數(shù)用小于號將四個數(shù)連接起來即可
【詳解】（1）解：由題意得，陰影部分面積，
∴，
∴，
故答案為：10，；
（2）解：如圖所示，即為所求；
∵，
∴；
（3）解：數(shù)軸表示如下所示：
∴；
【點睛】本題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸，算術平方根，尺規(guī)作圖—作線段，正方形面積的計算等知識；熟練掌握算術平方根的定義，并能進行尺規(guī)作圖是解決問題的關鍵．
11．（2022·浙江·寧波市鄞州區(qū)咸祥鎮(zhèn)中心初級中學七年級期中）如圖（1），在4×4的方格中，每個小正方形的邊長均為1．
(1)求圖（1）中正方形的面積為 ；邊長為
(2)如圖（2），若點A在數(shù)軸上表示的數(shù)是，以A為圓心，長為半徑畫圓弧與數(shù)軸的正半軸交于點E，求點E表示的數(shù)為
【答案】(1)10，
(2)
【分析】（1）用割補法求出正方形的面積，再根據(jù)算術平方根的定義即可求出邊長；
（2）E表示的數(shù)比大，用加上長度即為E表示的數(shù)．
【詳解】（1）解：∵正方形的面積是，
∴正方形邊長為：；
（2）解：∵正方形邊長為，
∴，
∴E表示的數(shù)比大，即E表示的數(shù)為，
故答案為：．
【點睛】本題考查了算術平方根的意義，以及用數(shù)軸上的點表示實數(shù)，解題的關鍵是求出正方形的邊長．
題型6：有理數(shù)的運算及應用
典例：（2022·江西景德鎮(zhèn)·七年級期中）材料一：對任意有理數(shù)a，b定義運算“”，，如：，．
材料二：規(guī)定表示不超過a的最大整數(shù)，如，，．
(1) ______，=______；
(2)求的值：
(3)若有理數(shù)m，n滿足，請直接寫出的結果．
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴ ，
故答案為：，；
（2）依題意，
；
（3）∵，，
∴，
∴，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
鞏固練習
1．（2022·山東煙臺·期中）計算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)3
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用加法交換律和結合律進行計算；
（2）除法變乘法，再進行計算即可；
（3）利用乘法分配律進行計算；
（4）先乘方，去括號，再乘除，最后算減法．
【詳解】（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
．
【點睛】本題考查有理數(shù)的混合運算．熟練掌握運算法則和運算律，是解題的關鍵．
2．（2022·廣西·南寧市第四十七中學七年級期中）出租車司機小李某段時間在東西走向的大街上進行營運，規(guī)定向東為正，向西為負，他所接送的六位乘客的里程如下：（單位：千米），+6，，+3.5，，．
(1)將最后一位乘客送到目的地時，小李處在第一次出發(fā)時的什么位置？
(2)若小李這段時間共耗油3升，則出租車的耗油量是每千米多少升？（精確到0.01升）
(3)小李預計每月行駛里程為0.8萬千米，若每升油的價格為8.5元，那么小李每月在耗油方面需要多少元？
【答案】(1)小李處在第一次出發(fā)時的正西方向的千米處
(2)每千米的耗油量為0.07升
(3)小李每月在耗油方面需要元
【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的加法，可得答案；
（2）根據(jù)單位耗油量=耗油量÷行駛路程，可得答案．
（3）單位耗油量×行駛里程×每升價格可得答案．
【詳解】（1）根據(jù)題意有：（千米），
根據(jù)向東為正，向西為負，
可知小李處在第一次出發(fā)時的正西方向的千米處；
（2）行駛的總里程為：（千米），
則該車的耗油量為：（升），
答：每千米的耗油量為0.07升．
（3）根據(jù)題意有：（元），
答：小李每月在耗油方面需要元．
【點睛】本題考查了正數(shù)和負數(shù)，有理數(shù)的運算等知識，解題的關鍵是利用單位耗油量乘以行駛路程等于耗油量．
3．（2022·山東濟南·七年級期中）為宣傳健康知識，某社區(qū)居委會派車按照順序為7個小區(qū)（分別記為A，B，C，D，E，F(xiàn)，G）分發(fā)防疫安全手冊，社區(qū)工作人員乘車從服務點（原點）出發(fā)，沿東西向公路行駛，如果約定向東為正，向西為負，當天的行駛記錄如下（單位：百米）：，，，，，，．
(1)請你在數(shù)軸上標記出D，E，F(xiàn)這三個小區(qū)的位置（在相應位置標記字母即可）
(2)服務車最后到達的地方距離服務點多遠？若該車輛油耗為0.01升/百米，則這次分發(fā)工作共耗油多少升？
(3)為方便附近居民進行核酸檢測，現(xiàn)居委會計劃在這七個小區(qū)中選一個作為臨時核酸檢測點，為使七個小區(qū)所有居民步行到監(jiān)測點的路程總和最小，假設各小區(qū)人數(shù)相等，那么監(jiān)測點的位置應設在______小區(qū)．
【答案】(1)見解析
(2)服務車最后到達的地方距離服務點200米,共耗油升
(3)G
【分析】（1）由題意計算出D，E，F(xiàn)在數(shù)軸上對應的數(shù)即可；
（2）服務車最后到達的地方為G小區(qū)，計處出G點到原點的距離即可；求出所給數(shù)據(jù)的絕對值的和，得到該車輛行駛的總路程，乘以單位距離的油耗即可；
（3）根據(jù)數(shù)軸上兩點間距離公式，以及絕對值的意義，可得檢測點應設在最中間的小區(qū)．
【詳解】（1）解：由題意，D在數(shù)軸上對應的數(shù)為，
E在數(shù)軸上對應的數(shù)為，
F在數(shù)軸上對應的數(shù)為，
因此在數(shù)軸上表示為：
（2）解：由題意知服務車最后到達的地方為G小區(qū)，G在數(shù)軸上對應的數(shù)為2，
(升),
因此服務車最后到達的地方距離服務點200米, 這次分發(fā)工作共耗油升；
（3）解：設檢測點所設小區(qū)在數(shù)軸上對應的點為x,則七個小區(qū)到該檢測點的距離之和為：
，
由絕對值的意義可知，當時，上面式子取最小值，
因此檢測點應設在最中間的小區(qū)，即G小區(qū)．
【點睛】本題考查正負數(shù)的實際應用，有理數(shù)混合運算的應用，絕對值的應用等，第3問有一定難度，解題的關鍵是理解絕對值的意義．
4．（2022·山東煙臺·期中）一輛警車某日從地出發(fā)，在一條東西方向的公路上巡邏，警察張叔叔每隔20分鐘記錄警車巡邏的行程情況（向東為正方向，單位：千米）：，，，，，，警車完成巡邏任務．
(1)時，警車在地的什么方向？距離地多遠？
(2)張叔叔記錄行程的過程中，警車在何時距離地最遠？最遠距離為多少？
(3)警車巡邏前油箱中有14升油，若巡邏時警車每千米耗油0.2升，請問中途是否需要加油？
【答案】(1)警車在A地的西邊，距離A地2千米；
(2)距離地最遠，最遠距離為千米；
(3)中途需要加油．
【分析】（1）把巡邏所走路程相加，得到這輛警車司機所在的位置；
（2）把巡邏所走路程相加，再依次比較絕對值大小即可求解；
（3）巡邏各路程的絕對值與最后返回路程的絕對值的和是這輛警車行駛的總路程，根據(jù)：耗油量行駛路程每千米耗油量，計算這次巡邏耗油．
【詳解】（1）解：（千米）；
答：警車在A地的西邊，距離A地2千米；
（2）解：，14，
，，
，，
，，
，，
，，
其中算式結果絕對值最大的是．
故距離地最遠，最遠距離為千米；
（3）解：
（千米），
．
答：中途需要加油．
【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算及絕對值的意義，理解題意掌握耗油量的計算公式是解決本題的關鍵．
5．（2022·安徽蕪湖·七年級期中）數(shù)學課上，李老師在黑板上寫了一道題目：當n為正整數(shù)時，計算的結果．
琪琪說：因為n的值不確定，所以的結果也不能確定；
聰聰說：的結果是不變的，可以求出．
你同意誰的說法？請給出你的答案并說明理由．
【答案】同意聰聰?shù)恼f法，，理由見解析
【分析】分類討論，分別把當n為偶數(shù)時和當n為奇數(shù)時的兩種情況列出來，代入式子求解即可．
【詳解】解：同意聰聰?shù)恼f法，，理由如下：
∵n為正整數(shù)，
∴n可能為偶數(shù)，也可能為奇數(shù)，
當n為偶數(shù)時，為奇數(shù)，此時，
當n為奇數(shù)時，為偶數(shù)，此時，
∴的結果是不變的，可以求出，
∴聰聰?shù)恼f法是正確的．
【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，對n進行分類討論是解題的關鍵．
6．（2022·山東煙臺·期中）在一條不完整的數(shù)軸上從左到右有點A，B，C，其中，如圖所示，設點A，B，C所對應數(shù)的和是p．
(1)若以B為原點，寫出點A，C所對應的數(shù)，并計算p的值；若以C為原點，p又是多少？
(2)若原點O在圖中數(shù)軸上點C的右邊，且，求p的值．
(3)若原點O到A、C兩點距離相等，A點對應的數(shù)為a，B點對應的數(shù)為b，求的值．
【答案】(1)若以B為原點，則C表示1，A表示，，若以C為原點，
(2)
(3)2
【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸的性質(zhì)，求得對應的數(shù)，求解即可；
（2）根據(jù)題意，求得C表示，求出表示的數(shù)，即可求解；
（3）求得表示的數(shù)，代入求解即可．
【詳解】（1）解：若以B為原點，則C表示1，A表示．
∴．
若以C為原點，則A表示，B表示，∴．
（2）解：若原點O在圖中數(shù)軸上點C的右邊，且
則C表示，B表示，A表示．
∴．
（3）解：若原點O到A、C兩點距離相等，
，則
C點表示數(shù)的為，A點表示的數(shù)為，B點表示數(shù)的為，
則，，
∴
【點睛】此題考查了數(shù)軸的應用，涉及了絕對值的化簡，數(shù)軸上兩點間的距離，解題的關鍵是掌握數(shù)軸上兩點間的距離公式．
7．（2022·廣東·測試·編輯教研五七年級期中）廣州市教育局倡導全民閱讀行動，婷婷同學堅持閱讀，她每天以閱讀30分鐘為標準，超過的時間記作正數(shù)，不足的時間記作負數(shù)．下表是她一周閱讀情況的記錄（單位：分鐘）：
(1)星期五婷婷讀了______分鐘；
(2)她讀得最多的一天比最少的一天多了_____分鐘；
(3)求她這周平均每天讀書的時間．
【答案】(1)28
(2)25
(3)她這周平均每天讀書的時間為34分鐘．
【分析】（1）列出算式，再求出即可；
（2）用其中最大的正整數(shù)減去最小的負整數(shù)即可；
（3）先求出讀書的總時間，再除以7即可．
【詳解】（1）解：（分鐘），
即星期五婷婷讀了28分鐘；
故答案為：28；
（2）解：（分鐘），
即她讀得最多的一天比最少的一天多了25分鐘；
故答案為：25；
（3）解：（分鐘），
（分鐘），
答：她這周平均每天讀書的時間為34分鐘．
【點睛】本題考查了正數(shù)與負數(shù)以及有理數(shù)的混合運算，正確理解正數(shù)與負數(shù)的意義是解題的關鍵．
8．（2022·山東泰安·期中）如圖，在一條不完整的數(shù)軸上一動點A向左移動5個單位長度到達點B，再向右移動9個單位長度到達點C．
(1)若點A表示的數(shù)為0，求點C表示的數(shù)；
(2)若點C表示的數(shù)為6，求點B、點A表示的數(shù)；
(3)如果點A、C表示的數(shù)互為相反數(shù)，求點B表示的數(shù)．
【答案】(1)4
(2)點B表示的數(shù)為，點A表示的數(shù)為2
(3)
【分析】（1）依據(jù)點A表示的數(shù)為0，利用兩點間距離公式，可得點C表示的數(shù)；
（2）依據(jù)點C表示的數(shù)為6，利用兩點間距離公式，可得點B、點A表示的數(shù)；
（3）依據(jù)點A、C表示的數(shù)互為相反數(shù)，利用兩點間距離公式，可得點B表示的數(shù)．
【詳解】（1）解：若點A表示的數(shù)為0，
∵，
∴點B表示的數(shù)為，
∵，
∴點C表示的數(shù)為4；
（2）解：若點C表示的數(shù)為6，
∵，
∴點B表示的數(shù)為，
∵，
∴點A表示的數(shù)為2；
（3）解：若點A、C表示的數(shù)互為相反數(shù)，
∵，
∴點A表示的數(shù)為，
∵，
∴點B表示的數(shù)為．
【點睛】本題主要考查了數(shù)軸和有理數(shù)的運算、數(shù)軸上兩點間距離等，解題的關鍵是能根據(jù)題意列出算式．
9．（2022·江蘇鹽城·七年級期中）在學習完《有理數(shù)》后，小華對運算產(chǎn)生了濃厚的興趣．借助有理數(shù)的運算，定義了一種新運算“※”，規(guī)則如下：對于任意有理數(shù)a和b，規(guī)定．如：．
(1)求※2的值；
(2)化簡：※3．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)新定義列出算式※，再進一步計算即可；
（2）根據(jù)題意列出算式※，再計算乘方、去括號、合并同類項即可．
【詳解】（1）解：※2
；
（2）解：※3
．
【點睛】本題主要考查有理數(shù)混合運算和整式的加減，解題的關鍵是掌握有理數(shù)的混合運算順序和運算法則．0
3
2
5
4
7
6
4
13
6
31
8
57
a
…
0.0001
0.01
1
100
10000
…
…
0.01
x
1
y
100
…
星期
一
二
三
四
五
六
日
與標準的差（分鐘）
0

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