考點1：列代數(shù)式
例1．（2023·安徽·九年級專題練習）某超市有線上和線下兩種銷售方式．與2019年4月份相比．該超市2020年4月份銷售總額增長其中線上銷售額增長．線下銷售額增長，
(1)設2019年4月份的銷售總額為元．線上銷售額為元，請用含的代數(shù)式表示2020年4月份的線下銷售額(直接在表格中填寫結果)；
(2)求2020年4月份線上銷售額與當月銷售總額的比值．
解：（1）∵與2019年4月份相比，該超市2020年4月份線下銷售額增長4%，
∴該超市2020年4月份線下銷售額為1.04（a-x）元．
故答案為：1.04（a-x）．
（2）依題意，得：1.1a=1.43x+1.04（a-x），
解得：，
∴，
答：2020年4月份線上銷售額與當月銷售總額的比值為0.2．
知識點訓練
1．（2022·山東濟寧·七年級期中）用代數(shù)式表示“a的2倍與b的差的平方”，正確的是（ ）
A．（2a-b）2B．2（a-b）2C．2a-b2D．（a-2b）2
【答案】A
【分析】根據(jù)“a的2倍與b的差的平方”，用代數(shù)式表示，即可．
【詳解】解：根據(jù)題意得：
故選：A．
【點睛】本題主要考查用代數(shù)式表示數(shù)量關系，注意代數(shù)式的書寫規(guī)范，是解題的關鍵．
2．（2022·河北·平泉市教育局教研室九年級學業(yè)考試）下列關于代數(shù)式“2＋a”的說法，正確的是（ ）
A．表示2個a相加B．代數(shù)式的值比a小
C．代數(shù)式的值比2大D．代數(shù)式的值隨a的增大而增大
【答案】D
【分析】根據(jù)代數(shù)式的組成對各選項依次分析即可．
【詳解】解：代數(shù)式的意義為2與a的和，而2個a相加為a+a,故A選項錯誤；
代數(shù)值的值比a大2，故B選項錯誤；
當a＜0時，代數(shù)式的值比2小，故C選項錯誤；
D選項正確；
故選：D．
【點睛】本題考查了代數(shù)式，解題關鍵是理解代數(shù)式的各項的含義，理解字母表示數(shù)的意義，字母不僅可以表示正數(shù)，還可以表示0和負數(shù)．
3．（2022·全國·七年級期中）方孔銅錢應天圓地方之說，古代入們認為天是圓的（圓形），地是方的（正方形），所以秦朝以后鑄錢大多以“外圓內(nèi)方”為型．如圖中是一枚清代的“乾隆通寶”，“外圓”直徑為a，內(nèi)方邊長為b，則這枚錢幣的面積可以表示為（ ）
A．πa2﹣b2B．C．D．
【答案】C
【分析】用外圓面積減去里面正方形面積即可．
【詳解】解：由題意得：錢幣的面積為：，
故選C．
【點睛】本題主要考查了列代數(shù)式，正確理解錢幣面積等于外圓面積減去里面正方形面積是解題的關鍵．
4．（2022·河北·大名縣束館鎮(zhèn)束館中學三模）一件工藝品的價格經(jīng)過兩次10%的調(diào)價（上調(diào)、下調(diào)各一次）以后，下列說法正確的是（ ）
A．一次上調(diào)10%，一次下調(diào)10%，不論先后，價格都比原價低
B．一次上調(diào)10%，一次下調(diào)10%，不論先后，價格都不變
C．只有先下調(diào)10%，再上調(diào)10%，價格才比原價低
D．只有先上調(diào)10%，再下調(diào)10%，價格才比原價低
【答案】A
【分析】設一件工藝品的價格為a（a>0），根據(jù)乘法可列出調(diào)整之后的價格進行比較即可，也可以利用特殊值代入法解決．
【詳解】方法一：解：設一件工藝品的價格為a（a>0），則：
一次上調(diào)10%，一次下調(diào)10%，價格為：
∵
∴價格比原價低．
∵乘法滿足交換律，
∴先下調(diào)10%，再上調(diào)10%和先上調(diào)10%，再下調(diào)10%
列代數(shù)式均可化為：
故答案選：A
【點睛】本題考查了字母表示數(shù)，列代數(shù)式，能夠準確列出代數(shù)式是解決本題的關鍵．
5．（2021·浙江溫州·模擬預測）某工程隊要修路20千米，原計劃平均每天修千米，實際平均每天多修了0.1千米，則完成任務提前了（ ）
A．天B．天C．天D．天
【答案】A
【分析】工程提前的天數(shù)＝原計劃的天數(shù)﹣實際用的天數(shù)，把相關數(shù)值代入即可．
【詳解】解：原計劃用的天數(shù)為，實際用的天數(shù)為，
故工程提前的天數(shù)為天．
故選：A．
【點睛】此題考查了列分式解決實際問題，正確理解題意是解題的關鍵．
6．（2022·湖南長沙·中考真題）為落實“雙減”政策，某校利用課后服務開展了主題為“書香滿校園”的讀書活動．現(xiàn)需購買甲，乙兩種讀本共100本供學生閱讀，其中甲種讀本的單價為10元/本，乙種讀本的單價為8元/本，設購買甲種讀本x本，則購買乙種讀本的費用為（ ）
A．元B．元C．元D．元
【答案】C
【分析】根據(jù)題意列求得購買乙種讀本本，根據(jù)單價乘以數(shù)量即可求解．
【詳解】解：設購買甲種讀本x本，則購買乙種讀本本，乙種讀本的單價為8元/本，則則購買乙種讀本的費用為元
故選C
【點睛】本題考查了列代數(shù)式，理解題意是解題的關鍵．
7．（2022·黑龍江齊齊哈爾·三模）據(jù)統(tǒng)計，2020年我市某縣的綠色食品土豆的產(chǎn)量比2019年增長10.5%．假定2021年的平均增長率保持不變，2019年和2021年土豆的產(chǎn)量分別為a萬千克和b萬千克，則能體現(xiàn)a與b關系的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先根據(jù)2019年的產(chǎn)量及2020年較2019年的增長率求出2020的產(chǎn)量，再根據(jù)2021年的平均增長率保持不變寫出2021年的產(chǎn)量．
【詳解】解：由題意知，2019年土豆的產(chǎn)量為a萬千克，2020年產(chǎn)量比2019年增長10.5%，
∴2020年產(chǎn)量為：，
∵2021年的平均增長率保持不變，
∴2021年產(chǎn)量，
故選：B．
【點睛】本題考查一元一次方程的實際應用，正確理解增長率的意義是解題的關鍵．
8．（2022·安徽蚌埠·七年級期中）某企業(yè)今年一月份投入新產(chǎn)品的研發(fā)資金為a萬元，以后每月投入新產(chǎn)品的研發(fā)資金與上月相比增長率都是20%．該廠今年三月份投入新產(chǎn)品的研發(fā)資金為b萬元，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由一月份新產(chǎn)品的研發(fā)資金為a元，根據(jù)題意可以得到2月份研發(fā)資金為a×（1+20%），而三月份在2月份的基礎上又增長了20%，那么三月份的研發(fā)資金也可以用b表示出來，由此即可得解．
【詳解】解：∵一月份新產(chǎn)品的研發(fā)資金為a元，
2月份起，每月新產(chǎn)品的研發(fā)資金與上月相比增長率都是20%，
∴2月份研發(fā)資金為a×（1+20%）=1.2a，
∴三月份的研發(fā)資金為b=a×（1+20%）×（1+20%）=a（1+20）2=1.44a．
故選：D．
【點睛】此題主要考查了根據(jù)實際問題列代數(shù)式，讀懂題意是解答本題的關鍵．
9．（2022·浙江溫州·二模）若m千克的某種糖果售價為n元，則8千克的這種糖果售價為（ ）
A．元B．元C．元D．元
【答案】A
【分析】先求出1千克商品的價格，再乘以8，即可解答．
【詳解】解：根據(jù)題意得．
故選A．
【點睛】本題考查了列代數(shù)式，解決本題的關鍵是先求出1千克商品的價格．
10．（2022·江蘇南京·一模）李奶奶買了一筐草莓，連筐共akg，其中筐1kg．將草莓平均分給4位小朋友，每位小朋友可分得（ ）
A．kgB．（﹣1）kgC．kgD．kg
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，求出草莓的重量，再除以4即可．
【詳解】解：由題意得：草莓的重量為，
∴每位小朋友可分得的重量為：kg，
故選：C．
【點睛】本題主要考查列代數(shù)式，解答的關鍵是理解清楚題意．
11．（2022·廣西柳州·三模）如圖，階梯型平面圖形的面積可以表示為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】把階梯型的圖形看成是兩個長方形的面積之和或面積之差即可求解．
【詳解】解：S階梯型＝bc+（a﹣c）d
或S階梯型＝ab﹣（a﹣c）（b﹣d）
或S階梯型＝ad+c（b﹣d），
故選：B．
【點睛】本題主要考查列代數(shù)式，整式的混合運算，解答的關鍵是把所求的面積看作是兩個長方形的面積之和或面積之差．
12．（2021·浙江·九年級期末）《九章算術》中記載一問題：今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問人數(shù)、物價各幾何?意思是：今有人合伙購物，每人出8錢，會多3錢；每人出7錢，又差4錢．問人數(shù)、物價各多少?設有x人，則表示物價的代數(shù)式可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意可直接進行求解．
【詳解】設有x人，由題意可表示物價的代數(shù)式是或，
故選A．
【點睛】本題主要考查代數(shù)式的實際意義，熟練掌握代數(shù)式的書寫是解題的關鍵．
13．（2022·貴州貴陽·一模）貴陽市“一圈兩場三改”落地，幸福生活近在咫尺．周末，小高同學從家出發(fā)步行15min到達附近學校的運動場鍛煉，較之前步行去城市運動中心少走了25min．已知小高同學步行的速度為每分鐘am，則“一圈兩場三改”后，小高同學少走的路程是（ ）
A．a(chǎn)mB．10amC．15amD．25am
【答案】D
【分析】根據(jù)“路程=速度×時間”計算即可．
【詳解】解：根據(jù)題意，小高同學步行的速度為每分鐘am，較之前步行去城市運動中心少走了25min，
則少走的路程是：m．
故選：D．
【點睛】本題主要考查了代數(shù)式的應用，解題關鍵是讀懂題意，找準解題所需信息．
14．（2022·吉林長春·一模）在春季綠化活動中，榕榕栽種了一棵小樹，栽種后測得樹高約米，預估今后每年長米，則n年后的樹高為______米．
【答案】##
【分析】根據(jù)題題意列出代數(shù)式即可作答．
【詳解】∵樹初始高約米，
∵n年后長高了米，
∴n年后的樹高為米，
故答案為：．
【點睛】本題考查了代數(shù)式的知識，明確題意是解答本題的關鍵．
15．（2021·陜西渭南·七年級期中）某校七年級男生都會打籃球或踢足球，其中會打籃球的人數(shù)比會踢足球的人數(shù)多12人，兩種都會的有8人．若會踢足球的有a人，則七年級男生共有___人．（用含a的式子表示）
【答案】2a+4##4+2a
【分析】根據(jù)會打籃球的人數(shù)比會踢足球的人數(shù)多12人，兩種都會的有8人，設會踢足球的有a人列出代數(shù)式即可．
【詳解】解：依題意得，a+a+12-8=2a+4．
故答案是：（2a+4）．
【點睛】此題考查列代數(shù)式，解決問題的關鍵是讀懂題意，找到所求的量的等量關系．
16．（2022·黑龍江·綏化市第五中學校九年級期中）小友同學的家距離學校米，平時自行車從家出發(fā)15分鐘剛好趕到學校上課．某天因為媽媽感冒了，小友要幫媽媽做早飯，因此從家出發(fā)的時間比平時晚了分鐘．他為了能按時到校上課，速度應為______米/分鐘．
【答案】
【分析】根據(jù)：速度路程時間，列出代數(shù)式即可．
【詳解】解：因為出發(fā)時間晚分鐘，所以實際用時分鐘，根據(jù)速度計算公式得：
速度，
故答案為：．
【點睛】本題考查了列代數(shù)式，關鍵是要理解速度計算公式，在理解速度對應所用時間的時候，容易誤把“晚時”記為“加”．
17．（2022·吉林省第二實驗學校模擬預測）某種桔子的售價是每千克3元，用面值為100元的人民幣購買了a千克，應找回__________元．
【答案】（100-3a）
【分析】利用單價×數(shù)量=應付的錢；再用100元減去應付的錢等于剩余的錢即為應找回的錢．
【詳解】解：∵水果的售價為每千克3元，
∴購買了a千克這種水果應付3a元，
∴應找回（100-3a）元．
故答案為：（100-3a）．
【點睛】此題考查了列代數(shù)式，關鍵是讀懂題意，找出題目中的數(shù)量關系，列出代數(shù)式．
18．（2022·吉林·三模）一臺掃描儀的成本價為n元，銷售價比成本價提高了30%，為盡快打開市場．按銷售價的八折優(yōu)惠出售，則優(yōu)惠后每臺掃描儀的實際售價為______元．
【答案】
【分析】根據(jù)題意可以用代數(shù)式表示出優(yōu)惠后的每臺掃描儀的實際售價．
【詳解】由題意有，優(yōu)惠后每臺掃描儀的售價為：n×(1+30%)×80%=1.04n，
故答案為：1.04n．
【點睛】本題考查了列代數(shù)式，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的代數(shù)式．
19．（2022·山東臨沂·二模）如圖，正方體的每條棱上放置相同數(shù)目的小球，設每條棱上的小球數(shù)為n，則正方體上小球總數(shù)用n表示為______．
【答案】
【分析】先確定每條棱上的小球總數(shù)，再減去多計算的小球數(shù)，即可得出答案．
【詳解】因為正方體有12條棱，則12條棱上小球的總數(shù)為12n，每個頂點處小球多計算了2次，即2×8=16，所以正方體上小球的總數(shù)為12n-16．
故答案為：12n-16．
【點睛】本題主要考查了正方體的特征，列代數(shù)式的知識，掌握正方體的棱數(shù)和頂點數(shù)是解題的關鍵．
20．（2022·河北·九年級專題練習）如圖，矩形內(nèi)有兩個相鄰的正方形，面積分別是和4，那么陰影部分的面積是_________（用含的代數(shù)式表示）；當_________時，陰影部分也是正方形．
【答案】 ##
【分析】求出兩個正方形的邊長，從而可得陰影矩形的長和寬，由此進行計算．
【詳解】解：由題可知，大正方形的邊長為，小正方形的邊長為，
陰影部分面積為：，
當，即時，陰影部分也是正方形．
故答案為：；．
【點睛】本題考查了用代數(shù)式表示圖形面積，列出表達式并進行化簡運算是解決本題的關鍵．
21．（2020·貴州·仁懷市教育研究室三模）如圖是一個運算程序的示意圖，若開始輸入x的值為27，則第2020次輸出的結果為______．
【答案】3
【分析】分別求出第一次輸出9，第二次輸出3，第三次輸出1，第四次輸出3，第五次輸出1，第六次輸出3，……由此可得，從第三次開始，每兩次一個循環(huán)．
【詳解】由題可知，第一次輸出9，第二次輸出3，第三次輸出1，第四次輸出3，第五次輸出1，第六次輸出3，……
由此可得，從第三次開始，每兩次一個循環(huán)，
∵，
∴第2020次輸出結果與第4次輸出結果一樣，
∴第2020次輸出的結果為3，
故答案為：3．
【點睛】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律；能夠通過所給例子，找到循環(huán)規(guī)律是解題的關鍵．
22．（2022·廣東河源·九年級期中）某服裝店在銷售中發(fā)現(xiàn)：進貨價為每件50元、銷售價為每件90元的某品牌服裝平均每天可售出20件，現(xiàn)商場決定采取適當?shù)慕祪r措施，擴大銷售量，增加盈利．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每件服裝降價1元，那么平均每天就可多售出2件．設每件衣服降價x元．
(1)現(xiàn)在每天賣出______件（用含x的代數(shù)式表示）；
(2)當x為何值時，平均每天銷售的這種服裝能盈利1200元且能使顧客得到較多的實惠？
【答案】(1)
(2)當時，平均每天銷售的這種服裝能盈利1200元且能使顧客得到較多的實惠
【分析】（1）根據(jù)每件服裝降價1元，那么平均每天就可多售出2件列代數(shù)式即可；
（2）設每件童裝應降價x元，根據(jù)題意列出方程，即每件童裝的利潤×銷售量=總盈利，再求解，把不符合題意的舍去．
【詳解】（1）解：∵每件服裝降價1元，平均每天就可多售出2件，
∴每件衣服降價x元，現(xiàn)在每天賣出件．
故答案為：；
（2）解：由題意得，
解得．
因為要讓顧客得到較多的實惠，所以應舍去．
答：當時，平均每天銷售的這種服裝能盈利1200元且能使顧客得到較多的實惠．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，基本數(shù)量關系：平均每天售出的件數(shù)×每件盈利=每天銷售的利潤．
23．（2022·江蘇蘇州·九年級期中）如圖，一個邊長為的正方形花壇由4塊全等的小正方形組成．在小正方形中，點G，E，F(xiàn)分別在上，且．在，，五邊形三個區(qū)域上種植不同的花卉，每平方米的種植成本分別是20元、20元、10元．
(1)當時，小正方形種植花卉所需的費用；
(2)試用含有x的代數(shù)式表示五邊形的面積；
(3)當x為何值時，大正方形花壇種植花卉所需的總費用是715元？
【答案】(1)當時，正方形的種植費用為：元．
(2)
(3)當米時，正方形花壇種植花卉所需的總費用是715元．
【分析】（1）設米，則米．先求出和的面積，再利用先正方形的面積減去和的面積，得到五邊形的面積，再把代入所列代數(shù)式進行計算即可得到答案；
（2）由（1）可得答案；
（3）根據(jù)正方形花壇種植花卉所需的總費用是715元列出方程，解方程即可．
【詳解】（1）解：∵大的正方形的邊長為8米，米，
∴四個小正方形的邊長為4米，米．
∵米，
∴

當時，正方形的種植費用為：



即當時，正方形的種植費用為：元．
（2）由（1）得：
（3）根據(jù)題意得：
整理得：
解得．
答：當米時，正方形花壇種植花卉所需的總費用是715元．
【點睛】本題考查的是列代數(shù)式，一元二次方程的應用，理解題意，列出正確的代數(shù)式與一元二次方程是解本題的關鍵．
考點2：代數(shù)式求值
例2. （2022·河北保定·二模）如圖所示，某數(shù)學活動小組用計算機編程編制了一個程序進行有理數(shù)混合運算，即輸入一個有理數(shù)，按照程序順序運算，可輸出計算結果，其中“”表示一個有理數(shù)．
(1)已知表示3．
①若輸入的數(shù)為－3，求輸出結果；
②若輸出的數(shù)為12，求輸入的數(shù)．
(2)若輸入的數(shù)為，表示數(shù)，當輸出結果為0時，用表示的式子為：______．
解：（1）①當輸入的數(shù)為－3時，
輸出結果為．
②設輸入的數(shù)為，則可得方程為，
解得．
故輸入的數(shù)為－8．
（2）解：∵輸入的數(shù)為，表示數(shù)，當輸出結果為0，
∴-4a÷2+(-1)-b=0，
∴．
知識點訓練
1．（2022·四川遂寧·九年級期中）把方程化成的形式，則的值是（ ）
A．B．C．D．9
【答案】B
【分析】把方程配方，根據(jù)配方后的結果可確定與的值，則可求得的值．
【詳解】把方程配方，得，
即，
所以，，
所以；
故選：B．
【點睛】本題考查了配方法的應用及求代數(shù)式的值，關鍵是配方法的應用．
2．（2022·福建泉州·九年級期中）已知為實數(shù)，分別表示的整數(shù)部分和小數(shù)部分，且，則（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】D
【分析】估算無理數(shù)的大小，確定的值，再代入計算即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴的整數(shù)部分，小數(shù)部分，
∵，
∴，
∴，
故選：D．
【點睛】本題考查估算無理數(shù)的大小，二次根式的混合運算，掌握算術平方根的定義是正確解答的前提．
3．（2022·湖北·建始縣花坪民族中學九年級期中）若是一元二次方程的一個根，則的值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】將代入中求得a的值，然后求代數(shù)式的值即可．
【詳解】是一元二次方程的一個根，
，
，
，
故選：D．
【點睛】本題考查一元二次方程的解，解題的關鍵是把已知方程的根直接代入方程得到待定系數(shù)的方程．
4．（2022·山東·滕州市荊河街道滕南中學九年級期中）已知、n是關于的方程的根，則代數(shù)式的值為（ ）
A．2022B．2023C．4039D．4040
【答案】D
【分析】根據(jù)一元二次方程解的定義及根與系數(shù)的關系得出，，將原式化簡求值即可．
【詳解】解：∵、n是關于的方程的根，
∴，，
，
故選：D．
【點睛】題目主要考查一元二次方程的根及根與系數(shù)的關系，求代數(shù)式的值，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系是解題關鍵．
5．（2022·四川·護家中學九年級期中）點與關于y軸對稱，則＝____；
【答案】
【分析】根據(jù)關于y軸對稱的點的坐標特征，求出a、b，然后代入求值即可．
【詳解】解：∵點與關于y軸對稱，
∴，，
解得：，，
∴，
故答案為．
【點睛】本題考查了關于y軸對稱點的坐標特點以及代數(shù)式求值，關于y軸對稱點的坐標特點是縱坐標不變，橫坐標變?yōu)橄喾磾?shù)．
6．（2020·海南省直轄縣級單位·九年級期中）已知點與點關于原點對稱，則___________．
【答案】0
【分析】直接利用關于原點對稱點的性質(zhì)（兩個點關于原點對稱時，橫縱坐標均為相反數(shù)）得出x，y的值進而得出答案．
【詳解】解：∵點點與點關于原點對稱，
∴，
解得：，
則．
故答案為：0．
【點睛】本題考查關于原點對稱的點的特征．熟練掌握關于原點對稱的點的特征：橫縱坐標均為相反數(shù)，是解題的關鍵．
7．（2021·甘肅·武威第三中學九年級期中）如果m是最大的負整數(shù)，n是絕對值最小的有理數(shù)，c是倒數(shù)等于它本身的自然數(shù)，那么代數(shù)式的值為___．
【答案】0
【分析】根據(jù)負整數(shù)、絕對值、倒數(shù)及自然數(shù)的定義判斷出m、n、c的值，代入原式計算即可得答案．
【詳解】解：∵m是最大的負整數(shù)，n是絕對值最小的有理數(shù)，c是倒數(shù)等于它本身的自然數(shù)，
∴m=-1，n=0，c=1，
∴，
故答案為：0
【點睛】本題考查了代數(shù)式求值及有理數(shù)混合運算，熟練掌握運算法則是解題關鍵．
8．（2022·浙江·瑞安市安陽鎮(zhèn)濱江中學三模）當時，代數(shù)式的值為_______．
【答案】##
【分析】把代入代數(shù)式，求出其值即可．
【詳解】解：把代入代數(shù)式得：
原式=
．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了代數(shù)式的求值，二次根式的混合運算，運用完全平方公式計算，熟練掌握二次根式混合運算法則，是解題的關鍵．
9．（2022·甘肅隴南·九年級期中）已知m是關于x的方程的一個根，則代數(shù)式的值為 _____．
【答案】16
【分析】把代入已知方程得到的值，然后將整體代入求值即可．
【詳解】解：∵m是關于x的方程的一個根，
∴，
即，
∴．
故答案為：16．
【點睛】本題主要考查了一元二次方程的根，代數(shù)式求值，解題的關鍵是根據(jù)一元二次方程解的定義，求出．
10．（2022·山東·北辛中學九年級期中）已知m，n是方程的兩根，則的值為______
【答案】6
【詳解】由一元二次方程根與系數(shù)的關系和一元二次方程的解的定義可得出，再整體代入求值即可．
【分析】∵m，n是方程的兩根，
∴，
∴，
∴．
故答案為：6
【點睛】本題考查一元二次方程的解得定義，一元二次方程根與系數(shù)的關系．利用整體代入的思想和熟悉一元二次方程根與系數(shù)的關系及方程的解的定義是解題關鍵．
11．（2022·四川·成都西川中學三模）已知，則代數(shù)式的值為 ___________．
【答案】4
【分析】先根據(jù)完全平方公式將因式分解，再將代入，即可求出答案．
【詳解】解：∵，
∴，
∴
，
故答案為：4．
【點睛】本題考查了用完全平方公式因式分解求代數(shù)式的值，解題的關鍵是熟練掌握完全平方公式．
12．（2022·江蘇鹽城·九年級期中）若a是方程的一個根，則代數(shù)式的值為_____．
【答案】
【分析】根據(jù)方程的解滿足方程代入方程，再整體代換即可得到答案．
【詳解】解：∵a是方程的一個根，
∴，
即：，
∴，
故答案為．
【點睛】本題考查一元二次方程的解得問題，解題的關鍵是方程的解滿足方程后整體代入．
13．（2022·江蘇江蘇·九年級期中）已知，求的值．
【答案】；
【分析】先去括號，再合并同類項，然后把代入化簡后的式子進行計算即可解答．
【詳解】解：

，
，
∴，
∴，
當時，原式．
【點睛】本題考查了整式的混合運算——化簡求值，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．
14．（2022·江蘇南京·九年級期中）已知m是方程的一個根，則______．
【答案】3
【分析】由題意知，m是方程的一個根，則可把代入原方程，即可求解．
【詳解】解：∵m是方程的一個根，
∴把代入原方程得：，
∴，
∴
．
故答案為：3．
【點睛】本意主要考查了對一元二次方程的根的理解，知道了方程得一個根，就可把根代入原方程求解．再計算過程中注意，得到一個關于m得方程后，把當作一個整體，直接移項可求解，不需要算出m得值．
15．（2022·湖北武漢·九年級期中）己知m為方程的根，那么的值為______．
【答案】
【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義得到，則，然后利用降次的方法對原式進行化簡即可．
【詳解】解：∵m是方程的一個根，
∴，
∴，
∴
．
故答案為： ．
【點睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．也考查了代數(shù)式的變形．
16．（2022·河北·唐山市路北區(qū)教育局中教研二模）老師在黑板上出示了下面的5個未計算完的有理數(shù)．
，，，，
(1)求這5個數(shù)的和，并直接寫出這5個數(shù)的中位數(shù)．
(2)在這5個數(shù)中，最大的數(shù)是，最小的數(shù)是n．求的值．
【答案】(1)和為，中位數(shù)是
(2)
【分析】（1）分別根據(jù)有理數(shù)的乘方，化簡絕對值，化簡多重符號，有理數(shù)的除法，化簡各數(shù)，進而求得這個5個數(shù)的和以及中位數(shù)；
（2）根據(jù)有理數(shù)的大小比較求得的值，代入代數(shù)式即可求解．
（1）解： ，，，，
，
從小到大排列：
∴中位數(shù)是1；
（2）∵
∴最大的數(shù)是4，最小的數(shù)是-27，
∴
【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，化簡絕對值，化簡多重符號，有理數(shù)的除法，有理數(shù)的大小比較，代數(shù)式求值，求中位數(shù)，化簡各數(shù)是解題的關鍵．
17．（2022·福建三明·九年級期中）有一塊長為米，寬為米的矩形場地，計劃在該場地上修筑互相垂直的寬都為米的縱橫小路（陰影部分），余下的場地建成草坪．
(1)如圖，在矩形場地上修筑兩條的縱橫小路．
請寫出兩條小路的面積之和______（用含、的代數(shù)式表示）；
若，且草坪的總面積為，求原來矩形場地的長與寬各為多少米？
(2)如圖，在矩形場地上修筑多條的縱橫小路，其中條水平方向的小路，條豎直方向的小路（為常數(shù)），若，且草坪的總面積為平方米，求的值．
【答案】(1)①②長為米，寬為米
(2)或
【分析】（1）①②根據(jù)兩條小路的面積之和兩個長方形的面積重疊的正方形的面積表示即可；②根據(jù)草坪的總面積為，列一元二次方程，求解即可；
（2）根據(jù)草坪的總面積為平方米，列方程求解，再進一步求出符合條件的和的值，即可求出的值．
【詳解】（1）解：①根據(jù)題意，兩條小路的面積之和平方米，
故答案為：平方米；
②根據(jù)題意，得，
又∵，
，
原方程化為，
解得（不符合題意，舍去），，
（米），
答：原來矩形場地的長為米，寬為米；
（2）解：根據(jù)題意，得，
整理得，
，為正整數(shù)，
是正整數(shù)且是的約數(shù)，是正整數(shù)且是的約數(shù)，
當時，，
，，
；
當時，，
，，
；
當時，，
，，
，
綜上所述，或．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，理解題意并根據(jù)題意建立等量關系是解題的關鍵．
18．（2022·重慶·巴川初級中學校九年級期末）按下面的程序計算：
若開始輸入的x的值為1，最后輸出的結果的值是（ ）
A．B．4C．7D．13
【答案】A
【分析】直接利用已知運算規(guī)則得出答案．
【詳解】解：當輸入1時，3×1+1=4，取算術平方根可得為2，
則3×2+1=7，取算術平方根可得為：．
故選：A．
【點睛】此題主要考查了算術平方根，有理數(shù)的混合運算，正確理解程序圖是解題關鍵．
19．（2022·陜西·中考真題）如圖，是一個“函數(shù)求值機”的示意圖，其中y是x的函數(shù)．下面表格中，是通過該“函數(shù)求值機”得到的幾組x與y的對應值．
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
(1)當輸入的x值為1時，輸出的y值為__________；
(2)求k，b的值；
(3)當輸出的y值為0時，求輸入的x值．
【答案】(1)8(2)(3)
【分析】對于（1），將x=1代入y=8x，求出答案即可；
對于（2），將（-2，2），（0，6）代入y=kx+b得二元一次方程組，解方程組得出答案；
對于（3），將y=0分別代入兩個關系式，再求解判斷即可．
【詳解】（1）當x=1時，y=8×1=8；
故答案為：8；
（2）將（-2，2），（0，6）代入，得，
解得；
（3）令，
由，得，∴．（舍去）
由，得，∴．
∴輸出的y值為0時，輸入的x值為．
【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)關系式，理解“函數(shù)求值機”的計算過程是解題的關鍵．
考點3：整式運算
例3.（2022·黑龍江·哈爾濱市第四十七中學九年級期中）下列運算中，正確的是（ ）
A．B．
C．D．
解：A.不是同類項，不能合并，故，所以原選項錯誤，不符合題意；
B.，所以原選項錯誤，不符合題意；
C.，所以原選項正確，符合題意；
D.，所以原選項錯誤，不符合題意；
故選：C．
例4.（2022·吉林·乾安縣教師進修學校一模）以下是小鵬化簡代數(shù)式的過程．
(1)小鵬的化簡過程在第 步開始出錯，錯誤的原因是 ．
(2)請你幫助小鵬寫出正確的化簡過程，并計算當時代數(shù)式的值．
解： (1)① 乘法公式運用錯誤（或一次項系數(shù)計算錯誤等言之有理的皆可）；
(2)原式=
=；
當時，原式=．
例5. （2022·廣西·南寧市天桃實驗學校七年級期中）先化簡，再求值：，其中．
解：
．
當時，原式．
例6.（2022·河北·大名縣束館鎮(zhèn)束館中學三模）嘉嘉準備完成題目：
她發(fā)現(xiàn)“口”內(nèi)的系數(shù)與“”內(nèi)的運算符號印刷不清楚，淇淇告訴嘉嘉“”是，中的某一個．
(1)若“口”內(nèi)為2，“”內(nèi)為，請化簡原式；
(2)在（1）的情況下，是否存在實數(shù)x，使原式的值為﹣45？如果存在，求出x的值；如果不存在，請說明理由；
(3)若不論x取何實數(shù)，原式的值都是一個固定的常數(shù)，請直接寫出原題中“口”內(nèi)的數(shù)、“”內(nèi)的運算符號以及原式的值．
解：（1）由題意得：原式
．
（2）解：令，
整理得：，
此方程根的判別式，
則此方程沒有實數(shù)根，
所以在（1）的情況下，不存在實數(shù)，使原式的值為．
（3）解：不論取何實數(shù)，原式的值都是一個固定的常數(shù)，
原式中和的系數(shù)均為0，
“”內(nèi)的運算符號為，“口”內(nèi)的數(shù)為10，
則原式的值為
，
故“口”內(nèi)的數(shù)為10、“”內(nèi)的運算符號為，原式的值為15．
知識點訓練
1．（2022·甘肅隴南·九年級期中）下列計算中，正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)合并同類項法則可判斷選項A，C，根據(jù)同底數(shù)冪相乘可判斷選項B，根據(jù)單項式乘單項式法則可判斷選項D．
【詳解】解：A．，選項A不符合題意；
B．，選項B不符合題意；
C．，選項C不符合題意；
D．，選項D符合題意；
故選：D．
【點睛】本題主要考查了合并同類項和單項式乘單項式，掌握合并同類項法則和單項式乘單項式法則是解題的關鍵．
2．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·一模）下列計算正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用合并同類項法則，冪的乘方，同底數(shù)冪的除法以及積的乘方，分別計算，進行判斷即可．
【詳解】解：A、，選項錯誤，不符合題意；
B、，選項正確，符合題意；
C、，選項錯誤，不符合題意；
D、，選項錯誤，不符合題意；
故選B．
【點睛】本題考查合并同類項法則，冪的乘方，同底數(shù)冪的除法以及積的乘方運算．熟練掌握相關運算法則，是解題的關鍵．
3．（2022·山東濟南·模擬預測）下列運算正確的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)合并同類項，同底數(shù)冪相除，完全平方公式，逐項判斷即可求解．
【詳解】解：A、和不是同類項，無法合并，故本選項錯誤，不符合題意；
B、，故本選項錯誤，不符合題意；
C、，故本選項正確，符合題意；
D、，故本選項錯誤，不符合題意；
故選：C
【點睛】本題主要考查了合并同類項，同底數(shù)冪相除，完全平方公式，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．
4．（2022·山東省實驗初級中學模擬預測）下列運算正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】依據(jù)整式的相關運算法則對各項計算得到結果，即可作出判斷．
【詳解】解：A．，不符合題意；
B．，不符合題意；
C．，符合題意；
D．，不符合題意，
故選：C．
【點睛】此題考查了整式的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
5．（2022·江蘇鹽城·九年級期中）設，，其中a為實數(shù)，則M與N的大小關系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】用作差法，根據(jù)相減的結果的符號判斷即可．
【詳解】解：
，
，
故選D．
【點睛】本題考查了整式的大小比較，通過作差，比較二者大小是解題關鍵．
6．（2022·河北·順平縣腰山鎮(zhèn)第一初級中學一模）化簡后，正確結果（ ）
A．﹣b﹣3B．b+3C．3﹣bD．b﹣3
【答案】C
【分析】先去括號，再合并同類項即可得．
【詳解】解：原式
，
故選：C．
【點睛】本題考查了整式的加減，熟練掌握整式加減的運算法則是解題關鍵．
7．（2022·安徽合肥·二模）計算的結果是（ ）
A．-2a?B．-2a?C．2a??D．2a?
【答案】C
【分析】先計算乘方，再計算乘法，得出結果即可．
【詳解】解：原式．
故選：C．
【點睛】本題考查了整式的乘除運算，掌握運算順序是解題關鍵．
8．（2022·陜西西安·三模）計算（﹣2a2）3÷a3的結果是（ ）
A．﹣8a3B．﹣8a2C．﹣6a3D．﹣6a2
【答案】A
【分析】先計算積的乘方和冪的乘方，再計算同底數(shù)冪的除法即可．
【詳解】．
故選A．
【點睛】本題考查冪的混合運算，涉及積的乘方、冪的乘方和同底數(shù)冪的除法．掌握運算法則是解題關鍵．
9．（2022·重慶·西南大學附中九年級階段練習）對于五個整式，A：2x2；B：x+1；C：﹣2x；D：y2；E：2x-y有以下幾個結論：①若y為正整數(shù)，則多項式的值一定是正數(shù)；②存在實數(shù)x，y，使得A+D+2E的值為-2；③若關于x的多項式(m為常數(shù))不含x的一次項，則該多項式M的值一定大于-3．上述結論中，正確的個數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】根據(jù)整式的四則運算法則逐個運算即可判斷．
【詳解】解：對于①：，顯然當時代入化簡后的式子中結果為負數(shù)，故①錯誤；
對于②：時，整理得到：，顯然當時代入化簡后式子中滿足，故②正確；
對于③：，
∵不含x的一次項，
∴，解出，
此時，即M的值一定大于等于-3，故③錯誤；
故選：B．
【點睛】本題考查了整式的四則運算，屬于基礎題，熟練掌握整式的四則運算法則是解題的關鍵．
10．（2022·重慶市第七中學校九年級期中）已知，在多項式中任意加絕對值，加絕對值后仍只有減法運算，然后按給出的運算順序進行化簡，稱為“取非負數(shù)操作”．例如：
，．
下列說法：
①至少存在一種“取非負數(shù)操作”，使其運算結果與原多項式相等；
②至少存在一種“取非負數(shù)操作”，使其運算結果一定為負數(shù)；
③所有可能的“取非負數(shù)操作”共有種不同運算結果．
其中正確的個數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)“取非負數(shù)操作”的定義逐項分析判斷；
【詳解】解：；故①正確；
“取非負數(shù)操作”的結果在形式上只能改變之間的運算符號；
∵
∴對多項式進行“取非負數(shù)操作”的結果的最小值為：
當時，的值恒大于；故②錯誤；
∵之間的運算符號只有“”或“”兩種符號
∴共有種不同的運算結果；
分別為：；；；；；；；；③正確；
正確的有：①③
故選C．
【點睛】本題考查了新定義下的絕對值的化簡；熟練掌握絕對值的化簡方法是解題的關鍵．
11．（2022·河北·保定市第十七中學九年級期中）對于實數(shù)a，b，定義新運算，則下列結論正確的有（ ）
①；
②當時， ；
③；
④若，是一元二次方程的兩個根，則或﹣17；
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】B
【分析】根據(jù)新定義的計算公式分別計算判斷．
【詳解】解：①，正確；
②當時，，
∴，故錯誤；
③，故錯誤；
④若，是一元二次方程的兩個根，則，，
，
故或﹣17；故正確；
綜上分析可得，正確的有：①④，
故選：B．
【點睛】此題考查了新定義運算，正確理解計算公式，掌握有理數(shù)混合運算法則，整式混合運算法則，一元二次方程根與系數(shù)的關系式是解題的關鍵．
12．（2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）若一個多項式加上，結果得，則這個多項式為___________．
【答案】
【分析】設這個多項式為A，由題意得：，求解即可．
【詳解】設這個多項式為A，由題意得：，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查了整式的加減，準確理解題意，列出方程是解題的關鍵．
13．（2023·云南·昆明市第一中學西山學校九年級期中）如圖，是一條8道的跑道，每條跑道由兩條直的跑道和兩端是半圓形的跑道組成，每條跑道寬1米，1號跑道內(nèi)側的跑道長度為400米，則4號跑道內(nèi)側的跑道長度為___________米．（取3）
【答案】
【分析】根據(jù)每條直道長100米，所以跑道兩端兩個半徑相同的半圓形彎道恰好形成一個周長為200米的圓．4號跑道的直徑比1號跑道半徑增加3米，所以周長增加了米．
【詳解】解：∵跑道總長400米，兩條直道各100米，
∴跑道兩端兩個半徑相同的半圓形彎道恰好形成一個周長為200米的圓．
∴4號跑道比1號跑道周長增加值為：，
∴4號跑道內(nèi)側的跑道長度為(米)．
故答案為：．
【點睛】本題考查的是圓形跑道周長計算問題，保證各跑道周長相等是問題重點，計算各道半徑的變化值是解決問題的關鍵．
14．（2022·四川廣安·二模）為了進一步落實“德、智、體、美、勞”五育并舉工作，學校在周末組織課外興趣小組，體育組張老師在活動中作了一個游戲：首先發(fā)給甲，乙，丙三個同學相同數(shù)量的乒乓球，然后依次完成以下三個步驟：第一步，甲同學拿出4個乒乓球給乙同學；第二步，丙同學拿6個乒乓球給乙同學；第三步甲同學有多少個乒乓球，乙同學就拿出多少個乒乓球給甲同學．請問最后乙同學還有_________個乒乓球．
【答案】14
【分析】設每人有m個乒乓球，根據(jù)題意列出算式，進行計算即可解答．
【詳解】解：設每人有m個乒乓球，
乙同學從甲同學處拿來4個乒乓球，還從丙同學處拿來6個乒乓球后，則乙同學有（m＋4＋6）個乒乓球，此時甲同學有（m?4）個乒乓球，那么給甲同學后乙同學手中剩余的乒乓球個數(shù)為：
，
故答案為：．
【點睛】本題考查了根據(jù)題意列代數(shù)式并求代數(shù)式運算的值，涉及到整式的加減法，根據(jù)題目的已知找出相應的數(shù)量關系列出代數(shù)式是解題的關鍵．
15．（2022·北京市第十二中學九年級期中）計算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)0
【分析】（1）根據(jù)單項式乘以單項式的計算法則求解即可；
（2）根據(jù)多項式乘以多項式的計算法則求解即可；
（3）先計算單項式乘以多項式，再合并同類項即可；
（4）用有理數(shù)的同底數(shù)冪乘法的逆運算法則求解即可
【詳解】（1）解：；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【點睛】本題主要考查了單項式乘以單項式，單項式乘以多項式，多項式乘以多項式，同底數(shù)冪乘法的逆運算，熟知相關計算法則是解題的關鍵．
16．（2022·北京市第十二中學九年級期中）已知，求代數(shù)式的值．
【答案】0
【分析】先把代數(shù)式進行化簡，然后利用整體代入進行求解即可．
【詳解】解：∵，
∴
=
=
=
=
=0．
【點睛】本題主要考查多項式乘以多項式及單項式乘以單項式，還結合了整式的化簡求值，熟練掌握運算法則及整體思想是解題的關鍵．
17．（2022·浙江麗水·九年級專題練習）先化簡，再求值：，其中．
【答案】，2
【分析】根據(jù)完全平方公式和平方差公式去括號，然后合并同類項即可化簡．
【詳解】原式
，
當時，
原式．
【點睛】本題考查完全平方公式、平方差公式、合并同類項，屬于整數(shù)的混合運算，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．
17．（2022·河北·育華中學三模）如圖的長方體中，已知高為x，S1＝16﹣x2，S2＝4x﹣x2．
(1)用x表示圖中S3；
(2)求長方體的表面積．
【答案】(1)S3＝4x+x2
(2)-2x2+16x+32
【分析】（1）分別表示長方體的長和寬，可得S3；
（2）根據(jù)表面積公式代入可得答案．
（1）∵S2＝4x?x2＝x(4?x)，
∴長方體的寬=4-x,
∵S1＝16?x2＝(4?x)(4+x)
∴長方體的長=4+x,
∴S3＝x(4+x)＝4x+x2；
（2）長方體的表面積=2（4x+x2）+2（16-x2）+2（4x-x2）
=8x+2x2+32-2x2+8x-2x2
=-2x2+16x+32．
【點睛】本題考查了長方體，整式的加減，以及因式分解的應用,掌握長方形的面積=長×寬是解題的關鍵．
18．（2022·重慶市第七中學校九年級期中）對于任何一個四位數(shù)m，若它的千位數(shù)字與個位數(shù)字的和等于百位與十位數(shù)字的和，則稱這個四位數(shù)為“平心數(shù)”．例如：
，，∴1234是“平心數(shù)”；
，，∴6793不是“平心數(shù)”．
(1)判斷7946，5463是不是“平心數(shù)”，并說明理由；
(2)已知M、N均為“平心數(shù)”，M的百位數(shù)字為3，個位數(shù)字為4；N的百位和十位數(shù)字均為5，且N為偶數(shù)．寫出所有滿足被13整除的的值．
【答案】(1)7946是“平心數(shù)”，5463不是“平心數(shù)”；理由見詳解；
(2)1796或1212或4220或7228．
【分析】（1）根據(jù)題中所給的“平心數(shù)”的定義判斷即可；
（2）根據(jù)已知，的千位數(shù)字為，則十位數(shù)字為，設的千位數(shù)字為，則個位數(shù)字為，則，把問題轉化為被13整除的問題，然后分四種情況進行討論，進一步即可得出答案．
【詳解】（1）解：7946是“平心數(shù)”，5463不是“平心數(shù)”；
，
7946是“平心數(shù)”；
，
5463不是“平心數(shù)”；
（2）解： M、N均為“平心數(shù)”，M的百位數(shù)字為3，個位數(shù)字為4；
設的千位數(shù)字為，則十位數(shù)字為，
N的百位和十位數(shù)字均為5，
設的千位數(shù)字為，則個位數(shù)字為，
N為偶數(shù)，
或4或6或8；可取1，2，3，4，5，6，7，8；
能被13整除，
只要能被13整除，則能被13整除；
①當時，時，；
時，能被13整除，
此時；；
②當時，時，；
時，能被13整除，
此時；；
③當時，時，；
時，能被13整除，
此時；；
④當時，時，；
時，能被13整除，
此時；；
綜上，所有滿足被13整除的的值為1796或1212或4220或7228．
【點睛】此題是新定義題，主要考查了閱讀理解、列代數(shù)式、求代數(shù)式的值、數(shù)的整除，熟練掌握整式的加減運算法則、整除的問題與分類討論的思想方法是解答此題的關鍵．
19．（2022·河北·順平縣腰山鎮(zhèn)第一初級中學一模）現(xiàn)有甲乙兩個矩形，其邊長如圖所示（a＞0），周長分別為C甲和C乙，面積分別為S甲和S乙．
(1)用含a的代數(shù)式表示C甲＝ ；C乙＝ ；S甲＝ ；S乙＝ ．
(2)通過觀察，小明發(fā)現(xiàn)“甲、乙兩個矩形的周長相等，與a值無關”；小亮發(fā)現(xiàn)“a值越大，甲、乙兩個矩形的面積之差越大”．你認為兩位同學的結論都正確嗎？如果不正確，請對錯誤同學的結論說明理由．
【答案】(1)4a+24；4a+24；；；
(2)小明的結論正確，小亮的結論錯誤，見解析
【分析】（1）根據(jù)周長和面積公式計算即可；
（2）利用（1）的結論解答即可．
（1）解：C甲＝2（a+9+a+3）=4a+24；C乙＝2（a+7+a+5）=4a+24；
S甲＝（a+9）（a+3）=；S乙=（a+7）（a+5）=；
故答案為：4a+24；4a+24；；；
（2）由（1）知；
，
∴甲、乙兩個矩形的周長相等，與a值無關；甲、乙兩個矩形的面積之差為定值8，與a值無關，
故小明的結論正確，小亮的結論錯誤．
【點睛】此題考查了整式的計算，整式的加減法，整式的乘除法，正確掌握整式的計算法則是解題的關鍵．
考點4：乘法公式與幾何圖形
例6. （2022·河北·石家莊市第四十四中學三模）如圖，圖為邊長為的大正方形中有一個邊長為的小正方形，圖是由圖中陰影部分拼成的一個長方形．
（1）以上兩個圖形反映了等式：______；
（2）運用（1）中的等式，計算______．
解：根據(jù)題意可得，
圖中陰影部分的面積為：，
圖中長方形的長為，寬為，
面積為：，
則兩個圖形陰影部分面積相等，；
故答案為：；
（2）



．
故答案為：．
例7.（2022·河北·一模）嘉嘉同學動手剪了如圖1所示的正方形與矩形紙片若干張．
（1）他用1張1號、1張2號和2張3號卡片拼出一個新的圖形（如圖2）．根據(jù)這個圖形的面積關系寫出一個你所熟悉的乘法公式，這個乘法公式是__________．
（2）如果要拼成一個長為，寬為的大長方形，則需要3號卡片__________張．
解：（1）由圖1得圖形的面積=a2+b2+2ab，由圖2得圖形的面積=（a+b）2，
由此得到這個乘法公式是，
故答案為：；
（2）∵拼成的大長方形的面積==a2+3ab+2b2，
∴需要3號卡片3張，
故答案為：3．
知識點訓練
1．（2012·江蘇南通·九年級期中）如圖，邊長為a的正方形中挖掉邊長為b的正方形（a＞b），把剩下的部分拼成一個矩形，通過計算兩處圖形的面積，驗證了一個等式，此等式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由圖可知，正方形剩下的面積為：，矩形寬為；長為；得面積：，根據(jù)兩者面積相等，即可求出答案．
【詳解】由圖得，正方形剩下面積：
∵矩形邊長為，
∴矩形面積：
又∵正方形面積等于矩形面積
∴
故選：A．
【點睛】本題考查整式乘法，平方差公式；解題的關鍵是掌握幾何圖形與整式乘法的運用．
2．（2022·湖南·衡陽師范學院祁東附屬中學八年級期中）如圖所示，在邊長為a的正方形上剪去一個邊長為b的小正方形（），把剩下的部分剪拼成一個梯形，分別計算這兩個圖形陰影部分的面積，由此可以驗證的等式為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)正方形和梯形的面積公式，觀察圖形發(fā)現(xiàn)這兩個圖形陰影部分的面積=a2-b2=（a+b）（a-b）．
【詳解】解：左邊圖形的陰影部分的面積=a2-b2
右邊的圖形的面積
=（a+b）（a-b）．
∴，
故選：A．
【點睛】本題主要考查了平方差公式．掌握利用圖形面積證明代數(shù)恒等式是解本題的關鍵．
3．（2022·山東·濟南市萊蕪區(qū)方下魯西學校期中）如圖，有兩個正方形A，B．現(xiàn)將B放在A的內(nèi)部得圖甲，將A，B并列放置后，構造新的正方形得圖乙．已知圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為1和12，若三個正方形A和兩個正方形B如圖丙擺放，則圖丙中陰影部分的面積為（ ）
A．28B．29C．30D．31
【答案】B
【分析】首先設兩個正方形的邊長為a，b，由圖甲求出，再根據(jù)圖乙求出，進而求出，然后表示出圖丙的陰影面積，再整理代入計算即可．
【詳解】設大正方形的邊長為x，小正方形的邊長為y，由圖甲，得，
解得或（舍）；
由圖乙，得，
解得．
，
所以或（舍）．
則圖丙陰影部分得面積為．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了乘法公式的應用，掌握完全平方公式和平方差公式是解題的關鍵．
4．（2022·河北邯鄲·一模）根據(jù)圖形（圖1，圖2）的面積關系，下列說法正確的是（ ）
A．圖1能說明勾股定理，圖2能說明完全平方公式
B．圖1能說明平方差公式，圖2能說明勾股定理
C．圖1能說明完全平方公式，圖2能說明平方差公式
D．圖1能說明完全平方公式，圖2能說明勾股定理
【答案】B
【分析】結合圖形分別表示出圖1與圖2的面積等式，即可得出結果．
【詳解】解：圖1的面積關系表示為：
，為平方差公式；
圖2的面積表示為：
，
化簡得：，為勾股定理；
故選：B．
【點睛】題目主要考查平方差公式及勾股定理的圖形表示，理解題意，根據(jù)圖形表示出面積等式是解題關鍵．
5．（2022·吉林·長春南湖實驗中學九年級期末）如圖，在邊長為a的正方形中挖掉一個邊長為b的小正方形（a＞b）．把余下的部分剪拼成一個矩形；驗證了一個等式，則這個等式是（ ）
A．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．a(chǎn)2﹣ab＝a（a﹣b）
【答案】A
【分析】分別表示兩個圖形的面積即可得到等式．
【詳解】解：在邊長為a的正方形中挖掉一個邊長為b的小正方形，面積表示為a2﹣b2；
拼成的矩形的面積為a（a-b）+b（a-b）=（a-b）（a+b），
由此得到a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故選：A．
【點睛】此題考查了平方差公式與幾何圖形，正確掌握幾何圖形的面積計算方法及公式是解題的關鍵．
6．（2022·廣西·中考真題）如圖，是利用割補法求圖形面積的示意圖，下列公式中與之相對應的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)大正方形的面積=邊長為a的正方形的面積+兩個長為a，寬為b的長方形的面積+邊長為b的正方形的面積，即可解答．
【詳解】根據(jù)題意得：(a+b)2=a2+2ab+b2，
故選：A．
【點睛】本題考查了完全平方公式的幾何背景，用整體和部分兩種方法表示面積是解題的關鍵．
7．（2022·福建省廈門第六中學二模）如圖，4塊完全相同的長方形圍成一個正方形，圖中陰影部分的面積可以用不同的代數(shù)式進行表示，由此能驗證的式子是（ ）
A．(a＋b)(a－b)＝a2－b2B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2D．(a＋b)2－(a－b)2＝4ab
【答案】D
【分析】根據(jù)陰影部分的面積可以用大正方形的面積減小正方形的面積，也可以用4個長方形的面積之和，從而得出要驗證的公式．
【詳解】解：陰影部分的面積可表示為：，
陰影部分的面積也可以表示為：，
∴由此能驗證的式子為．
故選：D．
【點睛】本題主要考查了完全平方公式的幾何背景，陰影部分可以割成四個長方形的面積和，補成大正方形的面積減去中間小正方形的面積，解此類題目關鍵在于仔細分析圖形，用不同的方法表示出陰影部分的面積．
8．（2022·河北石家莊·一模）如圖有A、B、C三類卡片，分別是邊長為a的正方形，邊長為a，b的長方形，邊長為b的正方形，若用這三種卡片拼成無縫隙不重疊的正方形，以下方案不可行的是（ ）
A．A類卡片1張，B類卡片2張，C類卡片1張
B．A類卡片2張，B類卡片4張，C類卡片1張
C．A類卡片1張，B類卡片4張，C類卡片4張
D．A類卡片4張，B類卡片8張，C類卡片4張
【答案】B
【分析】利用完全平方公式判斷即可．
【詳解】解：A、A類卡片1張，B類卡片2張，C類卡片1張，
∴a2+2ab+b2=（a+b）2，不符合題意；
B、A類卡片2張，B類卡片4張，C類卡片1張，
∴2a2+4ab+b2，不是完全平方式，符合題意；
C、A類卡片1張，B類卡片4張，C類卡片4張，
∴a2+4ab+4b2=（a+2b）2，不符合題意；
D、A類卡片4張，B類卡片8張，C類卡片4張，
∴4a2+8ab+4b2=4（a+b）2，不符合題意．
故選：B．
【點睛】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．
9．（2022·山東棗莊·七年級期中）數(shù)學活動課上，小明同學嘗試將正方形紙片剪去一個小正方形，剩余部分沿虛線剪開，拼成新的圖形．現(xiàn)給出下列3種不同的剪、拼方案，其中能夠驗證平方差公式的方案是_______．（請?zhí)钌险_的序號）
【答案】①②##②①
【分析】根據(jù)圖形及平方差公式的特征可進行求解．
【詳解】解：由圖可知：
圖①：；
圖②：；
圖③：第一個圖陰影部分面積為：，第二個圖陰影部分的面積為：；
∴綜上所述：能夠驗證平方差公式的方案為①②；
故答案為①②．
【點睛】本題主要考查平方差公式，熟練掌握平方差公式是解題的關鍵．
10．（2022·浙江金華·中考真題）如圖1，將長為，寬為的矩形分割成四個全等的直角三角形，拼成“趙爽弦圖”（如圖2），得到大小兩個正方形．
(1)用關于a的代數(shù)式表示圖2中小正方形的邊長．
(2)當時，該小正方形的面積是多少？
【答案】(1)(2)36
【分析】（1）分別算出直角三角形較長的直角邊和較短的直角邊，再用較長的直角邊減去較短的直角邊即可得到小正方形面積；
（2）根據(jù)（1）所得的小正方形邊長，可以寫出小正方形的面積代數(shù)式，再將a的值代入即可．
【詳解】（1）解：∵直角三角形較短的直角邊，
較長的直角邊，
∴小正方形的邊長；
（2）解：，
當時，．
【點睛】本題考查割補思想，屬性結合思想，以及整式的運算，能夠熟練掌握割補思想是解決本題的關鍵．
11．（2022·河北·平泉市教育局教研室九年級學業(yè)考試）如圖，將一張矩形大鐵皮切割成九塊，切痕為虛線所示，其中有兩塊是邊長都為m厘米的大正方形，兩塊是邊長都為n厘米的小正方形，五塊是長寬分別是m厘米、n厘米的全等小矩形，且m＞n．
(1)用含m、n的代數(shù)式表示切痕總長L；
(2)若每塊小矩形的面積為30平方厘米，四個正方形的面積和為180平方厘米，試求的值．
【答案】(1)(6m+6n)m；
(2)150．
【分析】（1）根據(jù)切痕長有兩橫兩縱列出算式，再根據(jù)合并同類項法則整理即可；
（2）根據(jù)小矩形的面積和正方形的面積列出算式，再利用完全平方公式整理求出m+n的值，即可得到結論．
【詳解】（1）解：切痕總長L=2[（m+2n）+（2m+n）]
=6m+6n；
（2）解：由題意得：mn=30，2(m2+n2)=180，即m2+n2=90，
∴（m+n）2=m2+n2+2mn=90+2×30=150．
【點睛】本題考查完全平方公式、列代數(shù)式以及整式的加減運算等知識點，能正確列出代數(shù)式是解此題的關鍵．
12．（2022·安徽·九年級專題練習）我們已經(jīng)知道，通過計算幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)恒等式。
例如圖1可以得到(a+b)2=α2＋2ab＋b2，基于此，請解答下列問題∶
（1）根據(jù)圖2，寫出一個代數(shù)恒等式∶____________________。
（2）小明同學用圖3中x張邊長為a的正方形，y張邊長為b 的正方形、z張邊長分別為a、b的長方形紙片拼出一個面積為（5a+7b）（9a+4b）長方形，
則x+y+z=_____________。
【答案】 156
【分析】（1）結合圖形根據(jù)正方形的面積的兩種算法即可得出數(shù)學等式；
（2）由題意可知所拼圖形的面積為xa2 + yb2 + zab，從而將(5a+7b)(9a+4b) 展開得到 45a2 + 83ab + 28b2，兩者對照即可得出x、y、z的值，進而求和即可．
【詳解】解：（1）∵正方形的面積=（a+b+c）2，正方形面積=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴ （a+b+c）2= a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）由題意可知，所拼圖形的面積為xa2 + yb2 + zab，
∵(5a+7b)(9a+4b)
=45a2+20ab+ 63ab+ 28b2，
= 45a2 + 83ab + 28b2
∴x=45，y= 28， z= 83，
∴x+y+z= 45+ 28+ 83 = 156．
【點睛】本題考多項式乘多項式和完全平方公式得背景，解題的關鍵是主要是從圖形的面積得出相關等式，從而利用等式的變形進行求解，注意運用數(shù)形結合的思想方法．
考點5：因式分解
例8. （1）（2022·黑龍江·大慶市肇州縣肇州中學九年級期中）下列各式由左邊到右邊的變形中，是因式分解的為（ ）
A．B．
C．D．
解：A．，多項式乘法，故選項A不合題意
B．，是因式分解，故選項B符合題意；
C．，選項因式分解不正確，故選項C不合題意；
D．，不是因式分解，故選項D不符合題意．
故選：B．
（2）．（2022·浙江·慈溪實驗中學三模）分解因式________．
解：，
故答案為：．
（3）．（2022·江蘇無錫·一模）分解因式：＝_____．
解：
．
故答案為：．
例9．（2022·廣東·深圳大學附屬教育集團外國語中學七年級期中）閱讀材料：若，求的值．
解：
根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：
(1)，則a＝ ，b＝ ．
(2)已知，求xy的值．
(3)已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足，求△ABC的周長．
解：（1）由得，
，
∵≥0，，
∴a-3=0，b-1=0，
∴a=3，b=1．
故答案為：3；1；
（2）由，得，
，
，
∴，
∴；
（3）由得，
∴，
∵△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，
∴，
∴，
∴，
∴△ABC的周長為．
知識點訓練
1．（2022·四川·峨眉山市教育局二模）若把多項式分解因式后含有因式，則的值為（ ）．
A．2B．C．4D．
【答案】D
【分析】設，右邊利用多項式乘多項式法則計算，再利用多項式相等的條件求出的值即可．
【詳解】解：設，
可得，，
解得：，，
故選：D．
【點睛】此題考查了因式分解十字相乘法，解題的關鍵是熟練掌握十字相乘法因式分解．
2．（2022·海南?？凇ぞ拍昙壠谥校┤?，．則代數(shù)式的值是（ ）
A．B．3C．D．
【答案】D
【分析】先根據(jù)，求出，，，再用因式分解法分解，最后代入求值即可．
【詳解】解：，，
，
，
，
，
故選：D．
【點睛】本題考查了因式分解和代入求值，解題的關鍵是根據(jù)，求出，，．
3．（2021·新疆農(nóng)業(yè)大學附屬中學九年級期中）若方程的根是3和4，那么代數(shù)式可分解因式為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)跟與系數(shù)的關系即可求出p和q的值，再將p和q的值代入進行因式分解即可．
【詳解】解；∵方程的根是3和4，
∴，，
∴，
∴．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了一元二次方程跟與系數(shù)的關系以及因式分解，解題的關鍵是熟練掌握一元二次方程兩根之和為，兩根之和為．
4．（2022·廣西貴港·九年級期中）因式分解________．
【答案】
【分析】先提出公因式，再利用平方差公式分解，即可求解．
【詳解】解：
故答案為：
【點睛】本題考查綜合運用提公因式法和公式法因式分解．一般因式分解時有公因式先提取公因式，然后再考慮用公式法因式分解．
5．（2022·吉林·長春市第一〇八學校二模）分解因式： =_____．
【答案】(x+3)(x?3)##(x-3)(x+3)
【分析】根據(jù)平方差公式分解因式即可．
【詳解】，
故答案為：．
【點睛】本題考查平方差公式分解因式，掌握平方差公式是解題的關鍵．
6．（2022·湖南·醴陵市教育局教育教學研究室模擬預測）因式分解：______________________．
【答案】
【分析】先提取公因式，再根據(jù)完全平方公式化簡．
【詳解】
，
故答案為．
【點睛】本題考查了因式分解，把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，叫做因式分解．分解因式三步驟：一提公因式，二套公式，三檢查．分解因式時要先考慮能否用提公因式法，然后考慮公式法．若多頂式有兩頂，可考慮用平方差公式；若多頂式有三頂，可考慮用完全平方公式．
7．（2022·浙江麗水·一模）已知，實數(shù)m，n滿足，．
（1）若，則_______；
（2）若，則代數(shù)式的值是______________．
【答案】 7 42或252##252或42
【分析】（1）將已知式子因式分解代入得出，然后利用兩個完全平方公式之間的關系求解即可；
（2）利用（1）中結論得出或，然后分兩種情況，將原式化簡代入求值即可．
【詳解】解：（1）∵m+n=3，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵m>n，
∴，
∴；
（2）
，
由（1）得或
解得：或
當m=5，時，
∵，
∴，
∴m+p=2，
∴原式
；
當，n=5時，
∵，
∴，
∴，
∴原式
；
∴代數(shù)式的值為42或252；
故答案為：①7；②42或252．
【點睛】題目主要考查因式分解的運用，求代數(shù)式的值及完全平方公式與平方差公式，熟練掌握運算法則進行變換是解題關鍵．
8．（2022·廣東·從化市東明學校模擬預測）分解因式：______．
【答案】（7x+3y）（3x+7y）
【分析】運用平方差公式進行因式分解即可．
【詳解】解：
，
故答案為：（7x+3y）（3x+7y）．
【點睛】本題考查了公式法進行因式分解，熟練掌握平方差公式進行因式分解是本題的關鍵．
9．（2019·河北衡水·中考模擬）若，且m﹣n＝﹣3，則m+n＝_____．
【答案】2
【分析】根據(jù)平方差公式即可求出答案．
【詳解】解：∵，m﹣n＝﹣3，
∴﹣3（m+n）＝﹣6，
∴m+n＝2，
故答案為：2
【點睛】本題考查代數(shù)式求值，解題的關鍵是熟練運用平方差公式，本題屬于基礎題型．
10．（2022·山東濟南·模擬預測）設、是實數(shù)，且求的值．
【答案】
【分析】根據(jù)已知式子利用完全平方公式因式分解，根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求得的值，代入代數(shù)式，根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可求解．
【詳解】解：∵
即
∴
∴，
解得：，
∴
【點睛】本題考查了完全平方公式因式分解，非負數(shù)的性質(zhì)，二次根式的性質(zhì)化簡，求得的值是解題的關鍵．
11．（2022·重慶開州·九年級期中）對任意一個三位數(shù)n，如果其個位數(shù)上的數(shù)字與百位上的數(shù)字之和等于十位上的數(shù)字，則稱n為“明亮數(shù)”．現(xiàn)將n的個位作為十位，十位作為百位，百位作為個位，得到一個新數(shù)，規(guī)定，例如132是一個“明亮數(shù)”，將其個位作為十位，十位作為百位，百位作為個位，得到一個新數(shù)，所以．
(1)當時，______；
(2)一個三位數(shù)，當其百位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字少2時，______；
(3)若是8的倍數(shù)，則稱這樣的n為“幸運20明亮數(shù)”，求出所有的“幸運20明亮數(shù)”．
【答案】(1)29
(2)1或2或3
(3)143，286，341，484，682，880
【分析】（1）根據(jù)定義直接求解即可；
（2）設這個三位數(shù)的百位數(shù)字是m，則個位數(shù)字是，十位數(shù)字是，則，再由，求出，即可求解；
（3）設這個“明亮數(shù)”的百位數(shù)字是x，個位數(shù)字是y，則十位數(shù)字是，則，再由題意可得是8的倍數(shù)，根據(jù)，求出，從而確定的值為-8，0，8，16，24，再分別列舉出滿足條件的x、y的值即可求解．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∴，
故答案為：29
（2）解：設這個三位數(shù)的百位數(shù)字是m，則個位數(shù)字是，十位數(shù)字是，
∴這個三位數(shù)是，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴或42或52，
故答案為：1或2或3；
（3）解：設這個“明亮數(shù)”的百位數(shù)字是x，個位數(shù)字是y，則十位數(shù)字是，
∴，，
∴，
∵是8的倍數(shù)，
∴是的倍數(shù)，
∵，
∴，
∴的值為，
∴或或或或或，
∴所有的“幸運20明亮數(shù)”為143，286，341，484，682，880．
【點睛】本題考查因式分解的應用，熟練掌握整式的加減運算法則，弄清定義，根據(jù)數(shù)的特點能夠列舉出符合條件的值是解題的關鍵．
12．（2022·河北·石家莊市第四十四中學三模）已知：整式，，，整式．
(1)當時，寫出整式的值______（用科學記數(shù)法表示結果）；
(2)求整式；
(3)嘉淇發(fā)現(xiàn)：當取正整數(shù)時，整式、、滿足一組勾股數(shù)，你認為嘉淇的發(fā)現(xiàn)正確嗎？請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)正確，理由見解析
【分析】根據(jù)題意可得，，把代入計算應用科學記數(shù)法表示方法進行計算即可得出答案；
把，，代入中，可得，應用完全平方公式及因式分解的方法進行計算即可得出答案；
先計算，計算可得，應用勾股定理的逆定理即可得出答案．
（1）解：，
當時，
原式

；
故答案為：；
（2）


；
（3）嘉淇的發(fā)現(xiàn)正確，理由如下：


，
，
當取正整數(shù)時，整式、、滿足一組勾股數(shù)．
【點睛】本題主要考查了勾股定理及逆定理，科學記數(shù)法，熟練掌握勾股定理及逆定理，科學記數(shù)法的計算方法進行求解是解決本題的關鍵．
13．（2022·吉林·長春市第一O三中學校九年級期中）教材中這樣寫道：“我們把多項式及叫做完全平方式”，如果關于某一字母的二次多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：
先添加一個適當?shù)捻棧故阶又谐霈F(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．
配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負數(shù)有關的問題或求代數(shù)式最大值，最小值等．
例如：分解因式．
原式；
例如：求代數(shù)式的最小值．
原式．
∵，
∴當x＝﹣2時，有最小值是2．
根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問題：
(1)分解因式：；
(2)求代數(shù)式的最小值；
(3)若，當x＝ 時，y有最 值（填“大”或“小”），這個值是 ；
(4)當a，b，c分別為△ABC的三邊時，且滿足時，判斷△ABC的形狀并說明理由．
【答案】(1)；
(2)的最小值是3；
(3)1，大，-2
(4)△ABC是等腰三角形．理由見解析
【分析】（1）湊完全平方公式，再用平方差公式進行因式分解；
（2）湊成完全平方加一個數(shù)值的形式；
（3）和（2）類似，湊成完全平方加以一個數(shù)值的形式；
（4）先因式分解，判斷字母a、b、c三邊的關系，再判定三角形的形狀．
【詳解】（1）解：
．
故答案為：；
（2）解：
；
∴的最小值是3；
（3）解：
，
∴當x=1的時候，y有最大值-2．
故答案為：1，大，-2；
（4）解：△ABC是等腰三角形．理由如下：
，
∴，
∴，
三個完全平方式子的和為0，所以三個完全平方式子分別等于0．
a-3=0，b-5=0，c-3=0，
得，a=3，b=5，c=3．
∴△ABC是等腰三角形．
【點睛】此題考查了因式分解的應用，配方法的應用以及非負數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．
14．（2022·河北·育華中學三模）如圖，約定：上方相鄰兩整式之和等于這兩個整式下方箭頭共同指向的整式．
(1)求整式M；
(2)請將整式N分解因式；
(3)若P＝﹣4，求x的值．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）根據(jù)整式加減法即可求出，注意去括號法則的應用；
（2）先根據(jù)整式加法算出，再利用公式法、提公因式法分解即可；
（3）把帶入，利用十字相乘即可求的值．
（1）解 ∶
．
（2）解：
．
（3）解：根據(jù)題意，得
即
．
【點睛】本題考查了整式加減運算、因式分數(shù)、解一元二次方程等知識點，解題的關鍵是①熟練掌握去括號法則：當括號前面是負號時，去掉括號和負號，括號里面各項都要變號；②熟練掌握各種因式分解的方法．
時間．
銷售總額(元)
線上銷售額(元)
線下銷售額(元)
2019年4月份
a
x
a- x
2020年4月份
1.1a
1.43x
輸人x
…
0
2
…
輸出y
…
2
6
16
…

相關試卷

中考數(shù)學一輪大單元復習1.2整式及其運算知識點演練(講練)(100題58頁)(原卷版+解析)：

這是一份中考數(shù)學一輪大單元復習1.2整式及其運算知識點演練(講練)(100題58頁)(原卷版+解析)，共73頁。試卷主要包含了某超市有線上和線下兩種銷售方式等內(nèi)容，歡迎下載使用。

中考數(shù)學一輪復習1.2整式及其運算知識點演練(講練)(100題58頁)(原卷版+解析)：

這是一份中考數(shù)學一輪復習1.2整式及其運算知識點演練(講練)(100題58頁)(原卷版+解析)，共73頁。試卷主要包含了某超市有線上和線下兩種銷售方式等內(nèi)容，歡迎下載使用。

中考數(shù)學一輪復習1.2整式及其運算驗收卷(原卷版+解析)：

這是一份中考數(shù)學一輪復習1.2整式及其運算驗收卷(原卷版+解析)，共23頁。試卷主要包含了2整式及其運算驗收卷等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關試卷 更多

中考數(shù)學一輪復習1.2整式及其運算知識點演練(講練)(100題58頁)(原卷版+解析)

中考數(shù)學一輪復習1.2整式及其運算知識點演練(講練)(100題58頁)(原卷版+解析)
1.2整式及其運算知識點演練（講練）（100題58頁）-2023屆中考數(shù)學一輪大單元復習（解析版）

1.2整式及其運算知識點演練（講練）（100題58頁）-2023屆中考數(shù)學一輪大單元復習（解析版）
1.1實數(shù)及其運算知識點演練（講練）-2023屆中考數(shù)學一輪大單元復習（原卷版）

1.1實數(shù)及其運算知識點演練（講練）-2023屆中考數(shù)學一輪大單元復習（原卷版）
2023年中考數(shù)學一輪大單元復習1.2整式及其運算知識點過關練(含答案)

2023年中考數(shù)學一輪大單元復習1.2整式及其運算知識點過關練(含答案)
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
中考專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部