注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需要改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上的無(wú)效.
一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1 集合，，則（ ）
B.
C. D.
2. 已知平面向量，則向量在向量上的投影向量是（ ）
A. B.
C. D.
3. 若復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
5. 展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A. B. C. D.
6. 橢圓任意兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)軌跡為圓：，這個(gè)圓稱為橢圓的蒙日?qǐng)A.在圓上總存在點(diǎn)，使得過(guò)點(diǎn)能作橢圓的兩條相互垂直的切線，財(cái)?shù)娜≈捣秶牵? ）
A. B. C. D.
7. 1551年奧地利數(shù)學(xué)家?天文學(xué)家雷蒂庫(kù)斯在《三角學(xué)準(zhǔn)則》中首次用直角三角形的邊長(zhǎng)之比定義正割和余割，在某直角三角形中，一個(gè)銳角的斜邊與其鄰邊的比，叫做該銳角的正割，用（角）表示；銳角的斜邊與其對(duì)邊的比，叫做該銳角的余割，用（角）表示，則（ ）
A. B. C. 4D. 8
8. 雙曲線的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，兩條漸近線分別為，，經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)垂直于的直線分別交，于，兩點(diǎn).已知、、成等差數(shù)列，且與反向.則雙曲線的離心率為（ ）
A. B. C. D.
二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分.
9. 已知，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A B.
C. D.
10. 有一組樣本數(shù)據(jù)，添加一個(gè)數(shù)形成一組新的數(shù)據(jù)，且，則新的樣本數(shù)據(jù)（ ）
A. 眾數(shù)是1的概率是
B. 極差不變概率是
C. 第25百分位數(shù)不變的概率是
D. 平均值變大的概率是
11. 已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)定義域均為，若是奇函數(shù)，，且對(duì)任意，，則（ ）
A. B.
C. D.
三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知正四棱臺(tái)的上?下底面邊長(zhǎng)分別為2和4，若側(cè)棱與底面所成的角為，則該正四棱臺(tái)的體積為_(kāi)_________.
13. 某次會(huì)議中，籌備組將包含甲?己在內(nèi)的4名工作人員，分配到3個(gè)會(huì)議廳工作，每個(gè)會(huì)議廳至少1人，每人只負(fù)責(zé)一個(gè)會(huì)議廳，則甲?乙兩人不能分配到同一個(gè)會(huì)議廳的安排方法共有__________種.（用數(shù)字作答）
14. 某同學(xué)在研究構(gòu)造新數(shù)列時(shí)發(fā)現(xiàn)：在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構(gòu)造出新的數(shù)列.將數(shù)列1，2進(jìn)行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1，3，2；第2次得到數(shù)列；...第次得到數(shù)列；記，則__________；__________.
四?解答題：本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.
15. 記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.
（1）求的值；
（2）若，且的周長(zhǎng)為，求邊上的高.
16. 如圖，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，平面.
（1）求證：平面平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值.
17. 為檢驗(yàn)預(yù)防某種疾病的兩種疫苗的免疫效果，隨機(jī)抽取接種疫苗的志愿者各100名，化驗(yàn)其血液中某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)（該醫(yī)學(xué)指標(biāo)范圍為，統(tǒng)計(jì)如下：
個(gè)別數(shù)據(jù)模糊不清，用含字母的代數(shù)式表示.
（1）為檢驗(yàn)該項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)在內(nèi)的是否需要接種加強(qiáng)針，先從醫(yī)學(xué)指標(biāo)在的志愿者中，按接種疫苗分層抽取8人，再次抽血化驗(yàn)進(jìn)行判斷.從這8人中隨機(jī)抽取4人調(diào)研醫(yī)學(xué)指標(biāo)低的原因，記這4人中接種疫苗的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；
（2）根據(jù)（1）化驗(yàn)研判結(jié)果，醫(yī)學(xué)認(rèn)為該項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)低于50，產(chǎn)生抗體較弱，需接種加強(qiáng)針，該項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)不低于50，產(chǎn)生抗體較強(qiáng)，不需接種加強(qiáng)針.請(qǐng)先完成下面的列聯(lián)表，若根據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為接種疫苗與志愿者產(chǎn)生抗體的強(qiáng)弱有關(guān)聯(lián)，求的最大值.
附：，其中.
18. 已知橢圓離心率，其上焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合.

（1）求橢圓的方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓T于點(diǎn)、，同時(shí)交拋物線于點(diǎn)、（如圖1所示，點(diǎn)在橢圓與拋物線第一象限交點(diǎn)上方），判斷與的大小關(guān)系，并證明；
（3）若過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)、，過(guò)點(diǎn)與直線垂直的直線交拋物線于點(diǎn)、（如圖2所示），判斷四邊形的面積是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，說(shuō)明理由.
19. 已知函數(shù).
（1）若為奇函數(shù)，求此時(shí)在點(diǎn)處的切線方程；
（2）設(shè)函數(shù)，且存在分別為的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn).
（i）求函數(shù)的極值；
（ii）若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
山東省青島市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)檢測(cè)試題
本試卷共6頁(yè)，19題.全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需要改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上的無(wú)效.
一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解集合A，再由交集的概念計(jì)算即可.
【詳解】由，即.
故選：C
2. 已知平面向量，則向量在向量上的投影向量是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】D
【分析】根據(jù)向量在向量上的投影向量公式：計(jì)算即得.
【詳解】根據(jù)平面向量的投影向量的規(guī)定可得: 向量在向量上的投影向量為：，即，
因，則，，則向量在向量上的投影向量為.
故選：D.
3. 若復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)乘法化簡(jiǎn)，再由所在象限的復(fù)數(shù)特征列不等式組求參數(shù)范圍.
【詳解】由題設(shè)，可得，所以，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，
所以.
故選：C
4. 已知函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】利用余弦函數(shù)對(duì)稱中心求出的表達(dá)式，再賦值求得結(jié)果.
【詳解】函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱,則，解得，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，取得最小值.
故選：B
5. 展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】利用二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)結(jié)合換底公式可求得結(jié)果.
【詳解】的展開(kāi)式通項(xiàng)為
，
由可得，且，
所以，展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為
.
故選：C.
6. 橢圓任意兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)軌跡為圓：，這個(gè)圓稱為橢圓的蒙日?qǐng)A.在圓上總存在點(diǎn)，使得過(guò)點(diǎn)能作橢圓的兩條相互垂直的切線，財(cái)?shù)娜≈捣秶牵? ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】將在圓上總存在點(diǎn)能作橢圓的兩條相互垂直的切線轉(zhuǎn)化為圓與橢圓的蒙日?qǐng)A總存在交點(diǎn)，然后列不等式求解即可.
【詳解】由題意得橢圓的蒙日?qǐng)A為，
在圓上總存在點(diǎn)，
則圓與總存在交點(diǎn)，即兩圓相切或相交，
則，解得.
故選：D.
7. 1551年奧地利數(shù)學(xué)家?天文學(xué)家雷蒂庫(kù)斯在《三角學(xué)準(zhǔn)則》中首次用直角三角形的邊長(zhǎng)之比定義正割和余割，在某直角三角形中，一個(gè)銳角的斜邊與其鄰邊的比，叫做該銳角的正割，用（角）表示；銳角的斜邊與其對(duì)邊的比，叫做該銳角的余割，用（角）表示，則（ ）
A. B. C. 4D. 8
【正確答案】C
【分析】根據(jù)給定的定義，利用銳角三角函數(shù)的定義轉(zhuǎn)化為角的正余弦，再利用二倍角公式、輔助角公式求解作答.
【詳解】依題意，角可視為某直角三角形的內(nèi)角，
由銳角三角函數(shù)定義及已知得，
所以.
故選：C
8. 雙曲線的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，兩條漸近線分別為，，經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)垂直于的直線分別交，于，兩點(diǎn).已知、、成等差數(shù)列，且與反向.則雙曲線的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】由題意為直角三角形，解出三邊后再由漸近線斜率求離心率
【詳解】設(shè) ，
由勾股定理可得： 得： ，
，
由倍角公式 ，解得
且，則，即 ，
則離心率 ．
故選:A
二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分.
9. 已知，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】BCD
【分析】對(duì)于A：直接觀察即可；對(duì)于B：做差法判斷；對(duì)于C：構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)單調(diào)性后可判斷；對(duì)于D：構(gòu)造函數(shù)，確定單調(diào)性，然后通過(guò)化簡(jiǎn)整理后可判斷.
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，不一定大于1，故A錯(cuò)誤.
對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)椋瑒t，
所以，故B正確.
一題多解，根據(jù)糖水不等式，，，可知B正確.
對(duì)于C選項(xiàng)，，
令，則，則在上單調(diào)遞增.
又因?yàn)?，所以，即，故C正確.
對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)椋?br>所以，
令，令，
則在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，即，
則，即成立，故D正確.
一題多解 根據(jù)對(duì)數(shù)平均不等式，，可知D正確.
故選：BCD.
10. 有一組樣本數(shù)據(jù)，添加一個(gè)數(shù)形成一組新的數(shù)據(jù)，且，則新的樣本數(shù)據(jù)（ ）
A. 眾數(shù)是1概率是
B. 極差不變的概率是
C. 第25百分位數(shù)不變的概率是
D. 平均值變大的概率是
【正確答案】ABD
【分析】根據(jù)題意計(jì)算出的每個(gè)可能的取值相應(yīng)的概率，結(jié)合各選項(xiàng)的條件確定X可能的取值，即可求出相應(yīng)的概率，即得答案.
【詳解】由題意知，
則，，
，，
對(duì)于A，眾數(shù)是1，說(shuō)明添加的數(shù)為1，則，A正確；
對(duì)于B，極差不變，說(shuō)明添加的數(shù)，
則極差不變的概率是，B正確；
對(duì)于C，由于，
故原數(shù)據(jù)和新數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)均為第2個(gè)數(shù)，
只要添加的數(shù)不為0，原數(shù)據(jù)和新數(shù)據(jù)從小到大排列后，第二個(gè)數(shù)相同，都為1，
故第25百分位數(shù)不變的概率是，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，原樣本數(shù)據(jù)的平均值為，
平均值變大，則添加的數(shù)要大于2，即，
故平均值變大的概率是，D正確，
故選：ABD
11. 已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若是奇函數(shù)，，且對(duì)任意，，則（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】ABD
【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和導(dǎo)函數(shù)的運(yùn)算法則，結(jié)合賦值法可得相關(guān)結(jié)論.
【詳解】因?yàn)椋?br>令得：，又因?yàn)?，所以，故A正確；
因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，且為偶函數(shù).
令，可得：①
再用代替可得：
②
①②得：
所以：，
所以是周期為3的周期函數(shù)，所以：，故B正確.
因?yàn)椋?，，所以：?br>所以：，故C錯(cuò)誤；
又因?yàn)橐酁橹芷跒?的周期函數(shù)，且為偶函數(shù)，所以
令，可得：，
所以.
所以.故D正確.
故選：ABD
方法點(diǎn)睛：對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)有：奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)；偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù).
若定義在上的函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù)，且周期為，則其導(dǎo)函數(shù)也是周期函數(shù)，且周期也為.
三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知正四棱臺(tái)的上?下底面邊長(zhǎng)分別為2和4，若側(cè)棱與底面所成的角為，則該正四棱臺(tái)的體積為_(kāi)_________.
【正確答案】##
【分析】作出輔助線，根據(jù)側(cè)棱與底面所成角的大小求出臺(tái)體的高，利用臺(tái)體體積公式求出答案.
【詳解】如圖，延長(zhǎng)相交于點(diǎn)，連接，
過(guò)點(diǎn)作⊥平面，交于點(diǎn)，則⊥平面于點(diǎn)，
且點(diǎn)在上，
其中，過(guò)點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，則，
所以，
因?yàn)閭?cè)棱與底面所成的角為，所以，故，
則該正四棱臺(tái)的體積為.
故
13. 某次會(huì)議中，籌備組將包含甲?己在內(nèi)的4名工作人員，分配到3個(gè)會(huì)議廳工作，每個(gè)會(huì)議廳至少1人，每人只負(fù)責(zé)一個(gè)會(huì)議廳，則甲?乙兩人不能分配到同一個(gè)會(huì)議廳的安排方法共有__________種.（用數(shù)字作答）
【正確答案】30
【分析】先求出4名工作人員分配到3個(gè)會(huì)議廳的情況數(shù)，甲乙兩人分配到同一個(gè)會(huì)議廳的情況數(shù)，相減得到答案.
【詳解】將4名工作人員分配到3個(gè)會(huì)議廳，方案有種情況，
其中甲?乙兩人分配到同一個(gè)會(huì)議廳的情況為，
從而甲?乙兩人不能分配到同一個(gè)會(huì)議廳的安排方法有種.
故30
14. 某同學(xué)在研究構(gòu)造新數(shù)列時(shí)發(fā)現(xiàn)：在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構(gòu)造出新的數(shù)列.將數(shù)列1，2進(jìn)行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1，3，2；第2次得到數(shù)列第次得到數(shù)列；記，則__________；__________.
【正確答案】 ①. ②.
【分析】找到規(guī)律，得到，，結(jié)合等比數(shù)列求和公式得到答案.
【詳解】，，
，依次類推，得到
，
故.
故42，-3
四?解答題：本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.
15. 記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.
（1）求的值；
（2）若，且的周長(zhǎng)為，求邊上的高.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）由已知結(jié)合切化弦可得，利用正余弦定理邊化角，可得，即可求得答案；
（2）由題意可得，結(jié)合（1）即可求出，利用余弦定理求出，進(jìn)而求得，結(jié)合邊上的高為，即可求得答案
【小問(wèn)1詳解】
由，可得，
所以，
又由正弦定理和余弦定理，可得，
整理得，所以.
【小問(wèn)2詳解】
由，且的周長(zhǎng)為，可得，
又由（1）可知，，即，
所以，聯(lián)立方程組，解得，
所以，
則，
所以邊上的高為.
16. 如圖，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，平面.
（1）求證：平面平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值.
【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【分析】（1）先證平面，再證得,從而得平面，即得：平面平面；
（2）通過(guò)（1）的條件建系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出兩平面的法向量，利用空間向量的夾角公式計(jì)算即得.
【小問(wèn)1詳解】

平面平面.
.又底面是菱形，.
平面平面，
如圖，設(shè)交于，取的中點(diǎn)，連，則，
因，則,故是平行四邊形.
則因平面，平面，
又因平面平面平面.
【小問(wèn)2詳解】
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系

因，
則
設(shè)平面的法向量為則
故可取，
又
設(shè)平面的法向量則
故可取.
設(shè)平面與平面夾角為，則，
即平面與平面夾角的余弦值為.
17. 為檢驗(yàn)預(yù)防某種疾病的兩種疫苗的免疫效果，隨機(jī)抽取接種疫苗的志愿者各100名，化驗(yàn)其血液中某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)（該醫(yī)學(xué)指標(biāo)范圍為，統(tǒng)計(jì)如下：
個(gè)別數(shù)據(jù)模糊不清，用含字母的代數(shù)式表示.
（1）為檢驗(yàn)該項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)在內(nèi)的是否需要接種加強(qiáng)針，先從醫(yī)學(xué)指標(biāo)在的志愿者中，按接種疫苗分層抽取8人，再次抽血化驗(yàn)進(jìn)行判斷.從這8人中隨機(jī)抽取4人調(diào)研醫(yī)學(xué)指標(biāo)低的原因，記這4人中接種疫苗的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；
（2）根據(jù)（1）化驗(yàn)研判結(jié)果，醫(yī)學(xué)認(rèn)為該項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)低于50，產(chǎn)生抗體較弱，需接種加強(qiáng)針，該項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)不低于50，產(chǎn)生抗體較強(qiáng)，不需接種加強(qiáng)針.請(qǐng)先完成下面的列聯(lián)表，若根據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為接種疫苗與志愿者產(chǎn)生抗體的強(qiáng)弱有關(guān)聯(lián)，求的最大值.
附：，其中.
【正確答案】（1）分布列見(jiàn)解析，
（2）列聯(lián)表見(jiàn)解析，2
【分析】（1）由抽樣調(diào)查性質(zhì)可得抽取接種疫苗人數(shù)，計(jì)算出的所有可能取值的對(duì)應(yīng)概率可得分布列，由分布列可計(jì)算期望；
（2）結(jié)合計(jì)算公式計(jì)算出對(duì)應(yīng)的范圍即可得.
【小問(wèn)1詳解】
從醫(yī)學(xué)指標(biāo)在的志愿者中，按接種疫苗分層抽取8人中，
接種疫苗有2人，接種疫苗有6人，
由題意可知，可能取值為，
，
的分布列為：
則；
【小問(wèn)2詳解】
列聯(lián)表如下：
則，
由題意可知，，
整理得，，
解得或，
又，則，
所以，
故的最大值為2.
18. 已知橢圓的離心率，其上焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合.

（1）求橢圓的方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓T于點(diǎn)、，同時(shí)交拋物線于點(diǎn)、（如圖1所示，點(diǎn)在橢圓與拋物線第一象限交點(diǎn)上方），判斷與的大小關(guān)系，并證明；
（3）若過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)、，過(guò)點(diǎn)與直線垂直的直線交拋物線于點(diǎn)、（如圖2所示），判斷四邊形的面積是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，說(shuō)明理由.
【正確答案】（1）
（2），證明見(jiàn)解析
（3）存在，最小值為
【分析】（1）求出拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得出的值，利用橢圓的離心率可得出的值，由此可計(jì)算出的值，由此可得出橢圓的方程；
（2）設(shè)直線方程為，分析可知，將直線的方程分別與橢圓、拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式求出、，利用作差法可得出、的大小關(guān)系；
（3）設(shè)、、、，對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，在直線的斜率存在時(shí)，求出、的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得四邊形面積的取值范圍；在直線的斜率不存在時(shí)，直接求出四邊形的面積，綜合可得出四邊形面積的最小值.
【小問(wèn)1詳解】
解：由題意可知，拋物線的焦點(diǎn)為，
由題意可知，，，則，所以，，
因此，橢圓的方程為.
【小問(wèn)2詳解】
解：由題意，設(shè)橢圓與拋物線的交點(diǎn)為，

聯(lián)立解得，即點(diǎn)，
所以，直線的斜率為，
若要產(chǎn)生如圖1中、、、四點(diǎn)的位置，可知，
設(shè)直線方程，設(shè)、、、，
聯(lián)立，消去得，
，
由韋達(dá)定理可得，，
所以
，
拋物線方程為，
聯(lián)立，消去得，，
由韋達(dá)定理可得，，
所以
，
所以
，即.
【小問(wèn)3詳解】
解：存在最小值，最小值為.
設(shè)、、、，
當(dāng)直線的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線方程為，
則直線方程為，
由（2）可知：，由，
以替換，可得，
所以，
因?yàn)椋睿?br>則函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，則，則，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由可得，則，，
所以.
綜上所述：，所以四邊形面積的最小值為.
方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問(wèn)題解決方法一般分兩種：
一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)求最值；
二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問(wèn)題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值.
19. 已知函數(shù).
（1）若為奇函數(shù)，求此時(shí)在點(diǎn)處的切線方程；
（2）設(shè)函數(shù)，且存在分別為的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn).
（i）求函數(shù)的極值；
（ii）若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【正確答案】（1）
（2）（i）答案見(jiàn)解析；（ii）.
【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義, 求出 的值, 然后利用導(dǎo)數(shù)求切線方程.
（2）( i )對(duì) 進(jìn)行求導(dǎo), 將 既存在極大值, 又存在極小值轉(zhuǎn)化成 必有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根, 利用導(dǎo)數(shù)得到 的單調(diào)性和極值, 進(jìn)而即可求解;
(ii) 對(duì) 進(jìn)行求導(dǎo), 利用導(dǎo)數(shù)分析 的極值, 將 恒成立轉(zhuǎn)化成 , 構(gòu)造函數(shù), 利用導(dǎo)數(shù)分類討論求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
為奇函數(shù)，有，則，經(jīng)檢驗(yàn)知滿足題意，
所以所以，，
所以在點(diǎn)處的切線方程為.
【小問(wèn)2詳解】
（i），
因?yàn)楹瘮?shù)既存在極大值，又存在極小值，
則必有兩個(gè)不等的實(shí)根，則，
令可得或，
所以，解得且.
當(dāng)時(shí)，.則有：
極大值，極小值
當(dāng)時(shí)，.則有：
極大值，極小值.
（ii）由，所以，
由題意可得對(duì)恒成立，
即
令，其中，
令，則
①當(dāng)，即時(shí)，在上是嚴(yán)格增函數(shù)，
所以，即，符合題意；
②當(dāng)，即或時(shí)，
設(shè)方程的兩根分別為且，
當(dāng)時(shí)，則，
則在上是嚴(yán)格增函數(shù)，
所以，即，符合題意；
當(dāng)時(shí)，則，
則，則當(dāng)時(shí)，，
則在上單調(diào)遞減，，即不合題意.
綜上所述，的取值范圍是.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線、極值與最值等知識(shí)與方法，其中第 (2) 問(wèn)的 (ii ) 小問(wèn), 關(guān)鍵是將 恒成立轉(zhuǎn)化成 , 構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)分類討論求解即可, 屬于難題.
該項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)
接種疫苗人數(shù)
10
50
接種疫苗人數(shù)
30
40
疫苗
抗體
合計(jì)
抗體弱
抗體強(qiáng)
疫苗
疫苗
合計(jì)
0.25
0.025
0.005
1.323
5.024
7.879
該項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)
接種疫苗人數(shù)
10
50
接種疫苗人數(shù)
30
40
疫苗
抗體
合計(jì)
抗體弱
抗體強(qiáng)
疫苗
疫苗
合計(jì)
0.25
0.025
0.005
1.323
5.024
7.879
2
3
4
疫苗
抗體
合計(jì)
抗體弱
抗體強(qiáng)
疫苗
100
疫苗
100
合計(jì)
60
140
200
0
+
0
-
0
+
極大值
極小值
0
+
0
-
0
+
極大值
極小值

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