考生注意：
1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)城內(nèi)．
2.考生作答時(shí)，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．
3. 考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題：本題共8個(gè)小題，每題5分，共40分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 若集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
2. 若，則（ ）
A. 1B. C. 2D.
3. 在△ABC中，O為重心，D為BC邊上近C點(diǎn)四等分點(diǎn)，，則m＋n＝（ ）
A. B. C. D.
4. 一個(gè)燈罩可看作側(cè)面有布料的圓臺，在原形態(tài)下測得的布料最短寬度為13，將其壓扁變?yōu)閳A環(huán)，測得布料最短寬度為5，則燈罩占空間最小為（ ）
A. B. C. D. 不存在
5 若六位老師前去某三位學(xué)生家中輔導(dǎo)，每一位學(xué)生至少有一位老師輔導(dǎo)，每一位老師都要前去輔導(dǎo)且僅能輔導(dǎo)一位同學(xué)，由于就近考慮，甲老師不去輔導(dǎo)同學(xué)1，則有（ ）種安排方法
A. 335B. 100C. 360D. 340
6. 已知函數(shù)將其向右平移個(gè)單位長度后得到，若在上有三個(gè)極大值點(diǎn)，則一定滿足單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知，則（ ）
A. B.
C. D.
8. 若已知函數(shù)，，，若函數(shù)存在零點(diǎn)（參考數(shù)據(jù)），則的取值范圍充分不必要條件為（ ）
A. B.
C. D.
二、多選題：本題共4個(gè)小題，每題5分，共20分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的．全部選對5分，部分選對得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 在正方體中，分別為棱中點(diǎn)，為近C三等分點(diǎn)，P在面上運(yùn)動，則（ ）
A. ∥平面
B. 若，則C點(diǎn)到平面PBH的距離與P點(diǎn)位置有關(guān)
C.
D. 若，則P點(diǎn)軌跡長度為
10. 若數(shù)列有，為前n項(xiàng)積，有，則（ ）
A. 為等差數(shù)列（）B. 可能
C. 為等差數(shù)列D. 第n項(xiàng)可能與n無關(guān)
11. 已知拋物線C：，過點(diǎn)P（0，p）直線，AB中點(diǎn)為，過A，B兩點(diǎn)作拋物線的切線軸＝N，拋物線準(zhǔn)線與交于M，下列說法正確的是（ ）
A. 軸B. O為PN中點(diǎn)
C. D. M為近四等分點(diǎn)
12. 已知奇函數(shù)，，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，下列說法正確的是（ ）
A. 是周期為的函數(shù)
B. 是最小正周期為的函數(shù)
C. 關(guān)于中心對稱
D. 直線與若有3個(gè)交點(diǎn)，則
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分
13. 中常數(shù)項(xiàng)是_________．（寫出數(shù)字）
14. 若⊙C：，⊙D：，M，N分別為⊙C，⊙D上一動點(diǎn)，最小值為4，則取值范圍為_________．
15. 已知雙曲線，，分別為雙曲線左右焦點(diǎn)，作斜率為的直線交于點(diǎn)，連接交雙曲線于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率_________．
16. 已知函數(shù)，，使得，的取值范圍為_________．
四、解答題：本題共六個(gè)小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17. 已知O為△ABC外心，S為△ABC面積，r為⊙O半徑，且滿足
（1）求∠A大??；
（2）若D為BC上近C三等分點(diǎn)（即），且，求S最大值．
18. 張老師在2022年市統(tǒng)測后統(tǒng)計(jì)了1班和3班的數(shù)學(xué)成績?nèi)缦聢D所示
，
，
（1）根據(jù)卡方獨(dú)立進(jìn)行檢驗(yàn)，說明是否有99.9%的把握數(shù)學(xué)成績與班級有關(guān)；
（2）現(xiàn)在根據(jù)分層抽樣原理，從1班和3班中抽取10人，再讓數(shù)學(xué)評價(jià)優(yōu)秀的同學(xué)輔導(dǎo)一位數(shù)學(xué)評價(jià)一般的同學(xué)，每個(gè)人必有一人輔導(dǎo)，求在抽到甲輔導(dǎo)乙的情況下丙輔導(dǎo)丁的概率．
（3）以頻率估計(jì)概率，若從全年級中隨機(jī)抽取3人，求至少抽到一人數(shù)學(xué)成績?yōu)閮?yōu)秀的概率．
（4）以頻率估計(jì)概率，若從三班中隨機(jī)抽取8人，求抽到人數(shù)學(xué)成績?yōu)閮?yōu)秀的分布列（列出通式即可）及期望，并說明x取何值時(shí)概率最大．
19. 在△ABC中，，A、B、C、D四點(diǎn)共球，R（已知）為球半徑，O為球心，為外接圓圓心，（未知）為⊙半徑．
（1）求和此時(shí)O到面ABC距離h；
（2）在的條件下，面OAB（可以無限延伸）上是否存在一點(diǎn)K，使得KC⊥平面OAB？若存在，求出K點(diǎn)距距離和到面ABC距離，若不存在請給出理由．
20. 在高中的數(shù)學(xué)課上，張老師教會了我們用如下方法求解數(shù)列的前n項(xiàng)和：形如的數(shù)列，我們可以錯(cuò)位相減的方法對其進(jìn)行求和；形如的數(shù)列，我們可以使用裂項(xiàng)相消的方法對其進(jìn)行求和．李華同學(xué)在思考錯(cuò)位相減和裂項(xiàng)相消后的本質(zhì)后對其進(jìn)行如下思考：
錯(cuò)位相減：設(shè)，
綜上：當(dāng)中間項(xiàng)可以相消時(shí)，可將求解的問題用錯(cuò)位相減化簡
裂項(xiàng)相消：設(shè)或?yàn)楣葹?等比數(shù)列；
①當(dāng)時(shí)，
②當(dāng)為公比為1的等比數(shù)列時(shí)，；
故可為簡便計(jì)算省去②的討論，
綜上：可將求解的問題用裂項(xiàng)相消轉(zhuǎn)化為求解的問題
你看了他的思考后雖覺得這是“廢話文學(xué)”，但是你立刻腦子里靈光一閃，回到座位上開始寫下了這三個(gè)問題：
（1）用錯(cuò)位相減的方法“溫故”張老師課堂上舉的例子，求解數(shù)列{}前n項(xiàng)和；
（2）用裂項(xiàng)相消的方法“知新”張老師課堂上舉的例子，求解數(shù)列{}前n項(xiàng)和；
（3）融會貫通，求證：前n項(xiàng)和滿．
請基于李華同學(xué)的思考做出解答，并寫出裂項(xiàng)具體過程．
21. 在平面直角坐標(biāo)系中，分別為，，⊙，為⊙上一點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，⊙C過和．
（1）求點(diǎn)軌跡方程，并判斷軌跡形狀；
（2）過兩直線交分別于、和、，，分別為和中點(diǎn)，求、軌跡方程，并判斷軌跡形狀；
（3）在（2）條件下，若PQ//x軸，，求點(diǎn)軌跡方程，并判斷軌跡形狀．
22 已知函數(shù).
（1）求證：；
（2）若，都，求k滿足的取值范圍．
河北省石家莊市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)學(xué)情
檢測試題
考生注意：
1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)城內(nèi)．
2.考生作答時(shí)，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．
3. 考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題：本題共8個(gè)小題，每題5分，共40分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 若集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】B
【分析】先求出集合，然后再逐個(gè)分析判斷即可.
【詳解】由，得，
解得或，
所以或，
因?yàn)椋?br>所以，
對于A，因?yàn)椋?，所以A錯(cuò)誤，
對于B，因?yàn)榛?，?br>所以，所以B正確，
對于C，因?yàn)椋訡錯(cuò)誤，
對于D，因或，所以，
因?yàn)?，所以，所以D錯(cuò)誤，
故選：B
2. 若，則（ ）
A. 1B. C. 2D.
【正確答案】A
【分析】設(shè)，利用復(fù)數(shù)相等求出，即可求解.
【詳解】設(shè)，（為虛數(shù)單位）.
因?yàn)?
所以，所以，解得.
所以，
所以
故選：A
3. 在△ABC中，O為重心，D為BC邊上近C點(diǎn)四等分點(diǎn)，，則m＋n＝（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】連接延長交于點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，利用向量平面基本定理表示可得答案.
【詳解】連接延長交于點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，
所以
，
所以，.
故選：B.
4. 一個(gè)燈罩可看作側(cè)面有布料的圓臺，在原形態(tài)下測得的布料最短寬度為13，將其壓扁變?yōu)閳A環(huán)，測得布料最短寬度為5，則燈罩占空間最小為（ ）
A. B. C. D. 不存在
【正確答案】D
【分析】設(shè)圓臺的上、下底面圓的半徑分別為，母線長為，高為，由題意可知，，則，利用圓臺的體積公式求出體積表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案．
【詳解】設(shè)圓臺的上、下底面圓的半徑分別為，母線長為，高為
由題意可知，，則
則圓臺的體積為
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故不存在最小值．
故選：D．
5. 若六位老師前去某三位學(xué)生家中輔導(dǎo)，每一位學(xué)生至少有一位老師輔導(dǎo)，每一位老師都要前去輔導(dǎo)且僅能輔導(dǎo)一位同學(xué)，由于就近考慮，甲老師不去輔導(dǎo)同學(xué)1，則有（ ）種安排方法
A. 335B. 100C. 360D. 340
【正確答案】C
【分析】把6位老師按照4，1，1或3，2，1或2，2，2人數(shù)分為三組；每種分組再分同學(xué)1安排的幾位老師輔導(dǎo)解答.
【詳解】把6位老師按照4，1，1或3，2，1或2，2，2人數(shù)分為三組；
①把6為老師平均分為3組的不同的安排方法數(shù)有
在把這三組老師安排給三位不同學(xué)生輔導(dǎo)的不同安排方案數(shù)為：，
根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得共有不同安排方案為：
如果把甲老師安排去輔導(dǎo)同學(xué)1的方法數(shù)為：
所以把6位老師平均安排給三位學(xué)生輔導(dǎo)且甲老師不安排去輔導(dǎo)同學(xué)1的方法數(shù)為
②把6位老師按照4，1，1分為3組給三位學(xué)生輔導(dǎo)的方法數(shù)為：
若1同學(xué)只安排了一位輔導(dǎo)老師則
若1同學(xué)安排了四位輔導(dǎo)老師則
所以把6位老師按照4，1，1分為3組給三位學(xué)生輔導(dǎo)，
甲老師不安排去輔導(dǎo)同學(xué)1的方法數(shù)為
③把6位老師按照3，2，1分為3組給三位學(xué)生輔導(dǎo)的方法數(shù)為；
若1同學(xué)只安排了一位輔導(dǎo)老師則
若1同學(xué)只安排了兩位輔導(dǎo)老師則
若1同學(xué)只安排了三位輔導(dǎo)老師則
所以把6位老師按照3，2，1分為3組給三位學(xué)生輔導(dǎo)，
甲老師不安排去輔導(dǎo)同學(xué)1的方法數(shù)為
綜上把6位老師安排給三位學(xué)生輔導(dǎo)，甲老師不安排去輔導(dǎo)同學(xué)1的方法數(shù)為
故選：C
6. 已知函數(shù)將其向右平移個(gè)單位長度后得到，若在上有三個(gè)極大值點(diǎn)，則一定滿足的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】A
【分析】根據(jù)平移變換得函數(shù)，由在上有三個(gè)極大值點(diǎn)，結(jié)合正弦函數(shù)圖象可得，再求的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，由此可判斷答案.
【詳解】解：有題意可得，
由得，由于在上有三個(gè)極大值點(diǎn)，
所以，解得，
當(dāng)，
而，故A正確，
當(dāng)，
而，故B不正確，
當(dāng)，，
而，故C不正確，
當(dāng)，，
而，故D不正確，
故選：A.
7. 已知，則（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】D
【分析】變形a，b，構(gòu)造函數(shù)比較a，b的大小，構(gòu)造函數(shù)比較的大小，利用極值點(diǎn)偏移的方法判斷的大小作答.
【詳解】依題意，，，
令，，
當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
，即，因此，
令，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，，而，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，顯然，
則方程有兩個(gè)不等實(shí)根，，有，
，而，則有，
令，，，
即函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即，
因此，即有，而，在上單調(diào)遞增，
于是得，即，取，，于是得，
又，在上單調(diào)遞增，從而，
所以，D正確.
故選：D
思路點(diǎn)睛：某些數(shù)或式大小關(guān)系問題，看似與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，細(xì)心挖掘問題的內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)，分析并運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，它能起到化難為易、化繁為簡的作用.
8. 若已知函數(shù)，，，若函數(shù)存在零點(diǎn)（參考數(shù)據(jù)），則的取值范圍充分不必要條件為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】C
【分析】因?yàn)榍蟮氖浅浞植槐匾獥l件，而非充要條件，所以采用特殊值法，只要滿足，則有存在零點(diǎn)， 求出時(shí)的取值范圍，即為一個(gè)充分條件，再由選項(xiàng)依次判斷即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)，的圖象恒在上方，
若滿足，即，，
則與的圖象必有交點(diǎn)，即存在零點(diǎn).
令，，
有當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.
.
即當(dāng)時(shí)，一定存在，滿足，即存在零點(diǎn)，
因此是滿足題意的取值范圍的一個(gè)充分條件.
由選項(xiàng)可得，只有是的子集，所以是的取值范圍的一個(gè)充分不必要條件.
故選.
二、多選題：本題共4個(gè)小題，每題5分，共20分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的．全部選對5分，部分選對得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 在正方體中，分別為棱中點(diǎn)，為近C三等分點(diǎn)，P在面上運(yùn)動，則（ ）
A. ∥平面
B. 若，則C點(diǎn)到平面PBH的距離與P點(diǎn)位置有關(guān)
C.
D. 若，則P點(diǎn)軌跡長度為
【正確答案】BCD
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量逐一解答即可.
【詳解】解：根據(jù)題意建立如圖所示的坐標(biāo)系：
因?yàn)檎襟w的邊長為2，
所以，，，，，，，，，，，，
對于A，因?yàn)?，，?br>設(shè)平面的法向量為，則有，
則有，
取，
因?yàn)?，所以不成立?br>所以∥平面不成立，故錯(cuò)誤；
對于B，設(shè)，則，，，
又因?yàn)椋?br>所以，所以有，
所以P點(diǎn)軌跡為如圖所示的線段，
在平面內(nèi)作出與平行的直線，
易知與的距離等于平面與平面的距離為2，
因?yàn)榕c不平行，
所以與不平行，
所以點(diǎn)到的距離不是定值，
所以不是定值，
又因?yàn)?
即，(為C點(diǎn)到平面PBH的距離)，
所以不是定值，
所以C點(diǎn)到平面PBH的距離與P點(diǎn)位置有關(guān)，故正確；
對于C，因?yàn)?，，?br>所以，即有，故正確；
對于D，由B可知P點(diǎn)軌跡為，令，則；
令，則，
所以P點(diǎn)軌跡的長度為，故正確.
故選：BCD
10. 若數(shù)列有，為前n項(xiàng)積，有，則（ ）
A. 為等差數(shù)列（）B. 可能
C. 為等差數(shù)列D. 第n項(xiàng)可能與n無關(guān)
【正確答案】BD
【分析】結(jié)合遞推式，取，求的通項(xiàng)公式判斷選項(xiàng)A錯(cuò)誤，求判斷B，由遞推式，取，判斷C，求數(shù)列的通項(xiàng)公式判斷D.
【詳解】因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，，
若，則，不存在，A錯(cuò)誤；
因?yàn)闀r(shí)，，所以，所以，又，所以可能，B正確；
因?yàn)?，取，則，此時(shí)不存在，C錯(cuò)誤；D正確；
故選：BD.
11. 已知拋物線C：，過點(diǎn)P（0，p）直線，AB中點(diǎn)為，過A，B兩點(diǎn)作拋物線的切線軸＝N，拋物線準(zhǔn)線與交于M，下列說法正確的是（ ）
A. 軸B. O為PN中點(diǎn)
C. D. M為近四等分點(diǎn)
【正確答案】AD
【分析】設(shè)直線的斜率為，不妨設(shè)，直線的方程為，，與拋物線方程聯(lián)立求出，，，得，令，求出，求出，可得直線的方程、直線的方程，由可判斷C；聯(lián)立直線、直線的方程可得可判斷A；令由得可判斷B；由、點(diǎn)的縱坐標(biāo)為、可判斷D.
【詳解】由題意直線的斜率存在，設(shè)為，不妨設(shè)，，
則直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，
可得，，
所以，，，所以，
不妨令，
所以，
由得，所以直線的方程為，
直線的方程為，
所以，故C錯(cuò)誤；
由解得，可得，
所以，
所以軸，故A正確；
令所以由得，所以，而，且，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)?，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，，
所以，，故M為近四等分點(diǎn)，故D正確.
故選：AD.
12. 已知奇函數(shù)，，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，下列說法正確的是（ ）
A. 是周期為的函數(shù)
B. 是最小正周期為的函數(shù)
C. 關(guān)于中心對稱
D. 直線與若有3個(gè)交點(diǎn)，則
【正確答案】AC
【分析】根據(jù)奇函數(shù)，，且，可確定函數(shù)的周期，即可判斷A；設(shè)確定函數(shù)的奇偶性與對稱性即可判斷函數(shù)B，C；根據(jù)可判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，結(jié)合對稱性與周期性即可得函數(shù)的大致圖象，根據(jù)直線與若有3個(gè)交點(diǎn)，列不等式即可求的取值范圍，即可判斷D.
【詳解】解：因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于對稱，又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，則，
則，故是周期為的函數(shù)，故A正確；
設(shè)，其定義域?yàn)?，則，所以關(guān)于中心對稱，即關(guān)于中心對稱，故C正確；
又，所以為上的奇函數(shù)，結(jié)合可得，即
故是周期為的函數(shù)，故B錯(cuò)誤；
當(dāng)，所以，故在上單調(diào)遞增，由于關(guān)于中心對稱，所以在上單調(diào)遞增，
且當(dāng)時(shí)，，又函數(shù)的周期為，則可得大致圖象如下：
若直線與若有3個(gè)交點(diǎn)，則或，解得或，故，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分
13. 中常數(shù)項(xiàng)是_________．（寫出數(shù)字）
【正確答案】
【分析】將看作一項(xiàng)，利用展開式的通項(xiàng)，找兩項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)即可求解.
【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式是，令，則，故或或，
所以的展開式中常數(shù)項(xiàng)為：，
故答案為.
14. 若⊙C：，⊙D：，M，N分別為⊙C，⊙D上一動點(diǎn)，最小值為4，則取值范圍為_________．
【正確答案】
【分析】先根據(jù)的最小值求出，即，再使用柯西不等式求出取值范圍.
【詳解】由于最小值為4，圓C的半徑為1，圓D的半徑為2，故兩圓圓心距離，
即，
由柯西不等式得：，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，
即，解得.
故
15. 已知雙曲線，，分別為雙曲線左右焦點(diǎn)，作斜率為的直線交于點(diǎn)，連接交雙曲線于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率_________．
【正確答案】
【分析】首先求出的方程，聯(lián)立兩直線方程，即可取出點(diǎn)坐標(biāo)，由，即可得到為、的中點(diǎn)，得到點(diǎn)坐標(biāo)，再代入雙曲線方程，即可求出，從而求出雙曲線的離心率.
【詳解】解：依題意，所以：，
由，解得，即，所以，
又，所以為、的中點(diǎn)，
所以，
所以，即，即，
所以，即，即，所以，
則離心率.
故
16. 已知函數(shù)，，使得，的取值范圍為_________．
【正確答案】
【分析】不妨設(shè)，把化為，構(gòu)造函數(shù)，利用的導(dǎo)數(shù)，求出的取值范圍．
【詳解】不妨設(shè),
∵，
即，,
構(gòu)造函數(shù)，
∴在是單調(diào)遞增函數(shù)，
∴,∴
當(dāng)時(shí)，，，所以，
所以，
所以取值范圍為
故
四、解答題：本題共六個(gè)小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17. 已知O為△ABC外心，S為△ABC面積，r為⊙O半徑，且滿足
（1）求∠A大小；
（2）若D為BC上近C三等分點(diǎn)（即），且，求S最大值．
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）由向量的運(yùn)算整理可得，結(jié)合正弦定理、余弦定理和面積公式運(yùn)算求解；
（2）根據(jù)題意結(jié)合向量可得，再結(jié)合數(shù)量積可得，利用基本不等式可得，再結(jié)合面積公式即可得結(jié)果.
【小問1詳解】
取的中點(diǎn)，連接，則，
可得：
由，可得，
則，即，
整理得，
由余弦定理，可得，
∵，故.
【小問2詳解】
由題意可得：，
則，
可得：，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，
即，則.
故S最大值為.
18. 張老師在2022年市統(tǒng)測后統(tǒng)計(jì)了1班和3班的數(shù)學(xué)成績?nèi)缦聢D所示
，
，
（1）根據(jù)卡方獨(dú)立進(jìn)行檢驗(yàn)，說明是否有99.9%的把握數(shù)學(xué)成績與班級有關(guān)；
（2）現(xiàn)在根據(jù)分層抽樣原理，從1班和3班中抽取10人，再讓數(shù)學(xué)評價(jià)優(yōu)秀的同學(xué)輔導(dǎo)一位數(shù)學(xué)評價(jià)一般的同學(xué)，每個(gè)人必有一人輔導(dǎo)，求在抽到甲輔導(dǎo)乙的情況下丙輔導(dǎo)丁的概率．
（3）以頻率估計(jì)概率，若從全年級中隨機(jī)抽取3人，求至少抽到一人數(shù)學(xué)成績?yōu)閮?yōu)秀的概率．
（4）以頻率估計(jì)概率，若從三班中隨機(jī)抽取8人，求抽到人數(shù)學(xué)成績?yōu)閮?yōu)秀的分布列（列出通式即可）及期望，并說明x取何值時(shí)概率最大．
【正確答案】（1）有，理由見解析
（2）
（3）
（4）分布列見解析，，時(shí)，概率最大，理由見解析
【分析】（1）計(jì)算卡方，與10.828比較后得到結(jié)論；
（2）先根據(jù)分層抽樣求出1班和3班抽到的學(xué)生分布情況，再根據(jù)條件概率求出概率；
（3）計(jì)算出1班和3班的總?cè)藬?shù)，以及數(shù)學(xué)評價(jià)優(yōu)秀的學(xué)生總?cè)藬?shù)，求出相應(yīng)的頻率作為全校數(shù)學(xué)評價(jià)優(yōu)秀的概率，求出隨機(jī)抽取3人，抽到0人數(shù)學(xué)評價(jià)優(yōu)秀的概率，再利用對立事件求概率公式計(jì)算出答案；
（4）由題意得到，從而求出分布列，數(shù)學(xué)期望，并利用不等式組，求出時(shí)，概率最大.
【小問1詳解】
，
故有99.9%的把握數(shù)學(xué)成績與班級有關(guān)；
【小問2詳解】
1班有40+20=60人，3班有10+30=40人，
故抽取10人，從1班抽取人數(shù)為，從3班抽取的人數(shù)為，
由于1班數(shù)學(xué)評價(jià)優(yōu)秀和一般人數(shù)比為4:2，故抽取的6人中有4人數(shù)學(xué)評價(jià)優(yōu)秀，2人評價(jià)一般，
而3班數(shù)學(xué)評價(jià)優(yōu)秀和一般的人數(shù)之比為1:3，故抽取的4人中有1人數(shù)學(xué)評價(jià)優(yōu)秀，3人評價(jià)一般，
設(shè)抽到甲輔導(dǎo)乙為事件A，抽到丙輔導(dǎo)丁為事件B，
則，，；
【小問3詳解】
1班和3班總?cè)藬?shù)為100人，其中兩班學(xué)生數(shù)學(xué)評價(jià)優(yōu)秀的總?cè)藬?shù)為，
故頻率為，
以頻率估計(jì)概率，全年級的數(shù)學(xué)評價(jià)優(yōu)秀的概率為，
從全年級中隨機(jī)抽取3人，抽到0人數(shù)學(xué)評價(jià)優(yōu)秀的概率為，
所以從全年級中隨機(jī)抽取3人，至少抽到一人數(shù)學(xué)成績?yōu)閮?yōu)秀的概率為.
【小問4詳解】
由題意得：3班的數(shù)學(xué)評價(jià)優(yōu)秀概率為，
故，
所以分布列為，；
數(shù)學(xué)期望，
時(shí)，概率最大，理由如下：
令，解得：，
令，解得：，
故，
因?yàn)?，所?
19. 在△ABC中，，A、B、C、D四點(diǎn)共球，R（已知）為球半徑，O為球心，為外接圓圓心，（未知）為⊙半徑．
（1）求和此時(shí)O到面ABC距離h；
（2）在的條件下，面OAB（可以無限延伸）上是否存在一點(diǎn)K，使得KC⊥平面OAB？若存在，求出K點(diǎn)距距離和到面ABC距離，若不存在請給出理由．
【正確答案】（1）為，此時(shí)，
（2）存在K，滿足KC⊥平面OAB，理由見解析；，.
【分析】(1)設(shè)線段的延長線與球的交點(diǎn)為，則，設(shè)，表示的體積，通過換元，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值.
(2) 取的中點(diǎn)，連接，，過作，根據(jù)線面垂直判定定理證明KC⊥平面OAB，再通過解三角形求，.
【小問1詳解】
當(dāng)點(diǎn)為線段的延長線與球的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離最大，
所以，由球的截面性質(zhì)可得平面，
設(shè)，，則，又，
所以，
所以，
在中，，由正弦定理可得，
由余弦定理可得，
所以，故，
所以面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，
所以，
設(shè)，令，則 ，
所以，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)，取最大值，最大值為，
所以，所以為，此時(shí)，
【小問2詳解】
由(1)點(diǎn)與點(diǎn)重合，，又，
取的中點(diǎn)，連接，，則，
，平面，所以平面，
過作，垂足為，
因?yàn)槠矫妫裕?br>，平面，所以平面，
由(1)，，，
所以，，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，所以，所以，
所以，所以為的中點(diǎn)，
又，所以到直線的距離為，
過作，垂足為，故點(diǎn)到的距離為，
所以到直線的距離為，
因?yàn)槠矫?，為垂足，所以點(diǎn)到平面的距離為，
過作，垂足為，則，所以平面，
故點(diǎn)到平面的距離為，又
所以點(diǎn)到平面的距離為.
20. 在高中的數(shù)學(xué)課上，張老師教會了我們用如下方法求解數(shù)列的前n項(xiàng)和：形如的數(shù)列，我們可以錯(cuò)位相減的方法對其進(jìn)行求和；形如的數(shù)列，我們可以使用裂項(xiàng)相消的方法對其進(jìn)行求和．李華同學(xué)在思考錯(cuò)位相減和裂項(xiàng)相消后的本質(zhì)后對其進(jìn)行如下思考：
錯(cuò)位相減：設(shè)，
綜上：當(dāng)中間項(xiàng)可以相消時(shí)，可將求解的問題用錯(cuò)位相減化簡
裂項(xiàng)相消：設(shè)或?yàn)楣葹?的等比數(shù)列；
①當(dāng)時(shí)，
②當(dāng)為公比為1的等比數(shù)列時(shí)，；
故可為簡便計(jì)算省去②的討論，
綜上：可將求解的問題用裂項(xiàng)相消轉(zhuǎn)化為求解的問題
你看了他的思考后雖覺得這是“廢話文學(xué)”，但是你立刻腦子里靈光一閃，回到座位上開始寫下了這三個(gè)問題：
（1）用錯(cuò)位相減的方法“溫故”張老師課堂上舉的例子，求解數(shù)列{}前n項(xiàng)和；
（2）用裂項(xiàng)相消的方法“知新”張老師課堂上舉的例子，求解數(shù)列{}前n項(xiàng)和；
（3）融會貫通，求證：前n項(xiàng)和滿．
請基于李華同學(xué)的思考做出解答，并寫出裂項(xiàng)具體過程．
【正確答案】（1）；
（2）；
（3）裂項(xiàng)過程見解析，證明見解析.
【分析】(1)寫出的表達(dá)式，兩邊同乘，與原式相減，利用等比數(shù)列求和公式化簡即可；
(2) 對進(jìn)行裂項(xiàng)，結(jié)合裂項(xiàng)相消法求和；
(3) 對進(jìn)行裂項(xiàng)，利用裂項(xiàng)相消法求和，由此證明結(jié)論.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>所以，
所以，
所以，
所以，
所以；
【小問2詳解】
因?yàn)?，設(shè)，
則，所以，，
故
所以，
所以；
【小問3詳解】
因?yàn)椋O(shè)，
則，
則，所以，
即，
所以
所以，
所以
21. 在平面直角坐標(biāo)系中，分別為，，⊙，為⊙上一點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，⊙C過和．
（1）求點(diǎn)軌跡方程，并判斷軌跡形狀；
（2）過兩直線交分別于、和、，，分別為和中點(diǎn)，求、軌跡方程，并判斷軌跡形狀；
（3）在（2）的條件下，若PQ//x軸，，求點(diǎn)軌跡方程，并判斷軌跡形狀．
【正確答案】（1）C點(diǎn)軌跡方程為，軌跡形狀是以為焦點(diǎn)，為長軸長的橢圓.
（2）點(diǎn)的軌跡方程為：，其軌跡形狀是以為對稱中心，焦點(diǎn)在軸上，長軸長為1的橢圓；
點(diǎn)的軌跡方程為：，其軌跡形狀是以為對稱中心，焦點(diǎn)在軸上，長軸長為1的橢圓.
（3）點(diǎn)軌跡方程為：，其軌跡形狀是焦點(diǎn)在軸上，以為焦點(diǎn)，以2為長軸長的橢圓.
【分析】(1)根據(jù)橢圓的定義即可求解；
(2)設(shè)出直線的方程，與曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求解；
(3)根據(jù)（2）的結(jié)論，先得出，再求出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合的關(guān)系式即可求解.
【小問1詳解】
由題意可知：，，
因?yàn)?，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為長軸長的橢圓，則，
所以C點(diǎn)軌跡方程為，軌跡形狀是以為焦點(diǎn)，為長軸長的橢圓.
【小問2詳解】
當(dāng)直線與軸重合時(shí)，點(diǎn)；
當(dāng)直線與軸不重合時(shí)，設(shè)直線的方程為：，，
聯(lián)立方程組，整理可得：，
則，，
所以，則，
消參可得：，即，
綜上所述：點(diǎn)的軌跡方程為：，點(diǎn)的軌跡形狀是以為對稱中心，焦點(diǎn)在軸上，長軸長為1的橢圓；
同理
當(dāng)直線與軸重合時(shí)，點(diǎn)；
當(dāng)直線與軸不重合時(shí)，設(shè)直線方程為：，，
聯(lián)立方程組，整理可得：，
則，，
所以，則，
消參可得：，即，
綜上所述：點(diǎn)的軌跡方程為：，點(diǎn)的軌跡形狀是以為對稱中心，焦點(diǎn)在軸上，長軸長為1的橢圓；
【小問3詳解】
由（2）知：，，
因?yàn)檩S，所以，即，
又因?yàn)榍?，所以，也即?br>聯(lián)立可得：，解得：消參可得：，
即，所以點(diǎn)的軌跡方程為：，其軌跡形狀是焦點(diǎn)在軸上，以為焦點(diǎn)，以2為長軸長的橢圓.
22. 已知函數(shù).
（1）求證：；
（2）若，都，求k滿足的取值范圍．
【正確答案】（1）證明見解析；
（2）
【分析】（1）利用同構(gòu)，轉(zhuǎn)化為.構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最小值，即可證明；
（2）把轉(zhuǎn)化為對恒成立.
構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為對恒成立，分離參數(shù)后，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出，即可求解.
【小問1詳解】
函數(shù)的定義域?yàn)?
.
令，則.
因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，單減；當(dāng)時(shí)，，單增.
所以，即，所以成立.
【小問2詳解】
即為，亦即為，
可化為對恒成立.
不妨設(shè)，則.
當(dāng)時(shí)，，單減；當(dāng)時(shí)，，單增.
所以當(dāng)時(shí)，有對恒成立.
即.
令，則.
所以當(dāng)時(shí)，，單減；當(dāng)時(shí)，，單增
所以.即.
綜上所述：的取值范圍為.
導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點(diǎn)，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：
（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系；
（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；
（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題；
（4）利用導(dǎo)數(shù)證明不等式．
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
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5.024
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