1. 已知集合，，則（ ）．
A. B. C. D.
2. 若命題“，”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，且，則的值是
A. B. C. D.
4. 已知，則 “” 是“”的（ ）
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
5. 已知函數(shù)，若對(duì)于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
6. 設(shè)，則（ ）
A. B.
C D.
7. 定義：如果函數(shù)y＝f（x）在定義域內(nèi)給定區(qū)間[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），滿(mǎn)足，則稱(chēng)函數(shù)y＝f（x）是[a，b]上的“平均值函數(shù)”，x0是它的一個(gè)均值點(diǎn)，如y＝x2是[﹣1，1]上的平均值函數(shù)，0就是它的均值點(diǎn)，現(xiàn)有函數(shù)f（x）＝x3+tx是[﹣1，1]上的平均值函數(shù)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函數(shù)，若的最小值為0，則（ ）
A. B. C. D.
二、多選題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 若，則B.
C. 的最小值是2D.
10. 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)闉槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B. 點(diǎn)是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心
C. 在上為增函數(shù)D. 方程僅有6個(gè)實(shí)數(shù)根
11. 已知函數(shù)，下列四個(gè)命題正確的是（ ）
A. 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是
B. 若，其中，則
C. 若值域?yàn)镽，則
D. 若，則
12. 已知函數(shù)將的圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，然后橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象．若為偶函數(shù)，且最小正周期為，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)
B. 在上單調(diào)遞減
C. 的解集為
D. 方程上有且只有兩個(gè)相異實(shí)根
三、填空題：本題4個(gè)小題，每小題5分（16第一空2分，第二空3分），共20分．
13. 函數(shù)（，且）的圖象過(guò)定點(diǎn)A，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是________．
14. 函數(shù)的最小正周期是______．
15. 已知，若存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則取值范圍是________．
16. 已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且滿(mǎn)足______；函數(shù)在區(qū)間上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則取值范圍為_(kāi)_____．
四、解答題：共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．
17. 已知關(guān)于的不等式.
（1）該不等式的解集為，求；
（2）若，求此不等式的解集.
18. （1）計(jì)算：：
（2）已知是第三象限角，且
①求的值；
②求的值．
（3）化簡(jiǎn)：．
19. 已知函數(shù)．
（1）求的圖象的對(duì)稱(chēng)中心、對(duì)稱(chēng)軸、單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，求的最值．
（3）當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
20. 某創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊(duì)擬生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，A產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資額成正比（如圖1），B產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資額的算術(shù)平方根成正比（如圖2），（注：利潤(rùn)與投資額的單位均為萬(wàn)元）
（1）分別將A、B兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)、表示為投資額x的函數(shù)；
（2）該團(tuán)隊(duì)已籌集到10萬(wàn)元資金，并打算全部投入A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問(wèn)：當(dāng)B產(chǎn)品的投資額為多少萬(wàn)元時(shí)，生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品能獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為多少？
21. 已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿(mǎn)足對(duì)任意，都有.
（1）求證：是奇函數(shù)；
（2）設(shè)，且時(shí)，，
①求證：在上是減函數(shù)；
②求不等式的解集.
22. 已知函數(shù)（k為常數(shù)，），且是偶函數(shù).
（1）求k的值；
（2）設(shè)函數(shù)，若方程只有一個(gè)解，求a的取值范圍.
2024-2025學(xué)年河北省石家莊市高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)檢測(cè)試題
一、單選題：本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分，在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知集合，，則（ ）．
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】
先化簡(jiǎn)集合元素再求.
【詳解】由，所以
故選：C
易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)晴：要注意集合中的條件.
2. 若命題“，”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】
由原命題為假命題可知其否定，使得成立是真命題，轉(zhuǎn)化為對(duì)于有解，分離可得，即可求解.
【詳解】若命題“，”是假命題，
所以，使得成立是真命題，
即對(duì)于有解，
所以，所以，
因?yàn)?，所以，?br>所以，所以，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，
故選：D
方法點(diǎn)睛：若不等式（是實(shí)參數(shù)）有解，將轉(zhuǎn)化為或有解，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為或，求的最值即可.
3. 已知，且，則的值是
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】先求出，再利用變角求出的值.
【詳解】由，得，
由，得，
所以
故選：D
4. 已知，則 “” 是“”的（ ）
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
【正確答案】A
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出，充分性成立，舉出反例，得到必要性不成立，選出正確答案.
【詳解】當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
故充分性成立，
當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足，但不滿(mǎn)足，故必要性不成立，
故“” 是“”的充分不必要條件.
故選：A
5. 已知函數(shù)，若對(duì)于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】由冪函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性即可解得.
【詳解】易知是奇函數(shù)且單調(diào)遞增，
故原不等式等價(jià)于
即
所以，
所以在任意的上恒成立，故.
故選：D
6. 設(shè)，則（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】D
【分析】由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，結(jié)合，判斷，結(jié)合指數(shù)函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷的范圍，即可得答案.
【詳解】由題意得，而，
由于在上單調(diào)遞增，
故，即，
由在R上單調(diào)遞增，則，即有；
由在上單調(diào)遞增，且，
故，即，
故，
故選：D
7. 定義：如果函數(shù)y＝f（x）在定義域內(nèi)給定區(qū)間[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），滿(mǎn)足，則稱(chēng)函數(shù)y＝f（x）是[a，b]上的“平均值函數(shù)”，x0是它的一個(gè)均值點(diǎn)，如y＝x2是[﹣1，1]上的平均值函數(shù)，0就是它的均值點(diǎn)，現(xiàn)有函數(shù)f（x）＝x3+tx是[﹣1，1]上的平均值函數(shù)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】函數(shù)是區(qū)間[﹣1，1]上的平均值函數(shù)，故有在（﹣1，1）內(nèi)有實(shí)數(shù)根，進(jìn)而可得方程在（﹣1，1）上有根，即可求出t的取值范圍．
【詳解】∵函數(shù)是區(qū)間[﹣1，1]上的平均值函數(shù)，
故有即在（﹣1，1）內(nèi)有實(shí)數(shù)根，則有根，
所以x＝1或.
又1?（﹣1，1）
∴方程在（﹣1，1）上有根，
因?yàn)?，而?dāng)時(shí)，，
于.
故選：A．
8. 已知函數(shù)，若的最小值為0，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】首先變形不等式，整理為，且存在，使得，換元后討論對(duì)稱(chēng)軸和定義域的關(guān)系，列式求解.
【詳解】由題意可知，當(dāng)時(shí)，恒成立，且存在，使得，同除，可得，整理得
因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
當(dāng)，即時(shí)，，不符題意；
當(dāng)，即時(shí)，由，解得.
綜上，.
故選：D
二、多選題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 若，則B.
C. 的最小值是2D.
【正確答案】ABD
【分析】對(duì)于A，利用不等式性質(zhì)即得；對(duì)于B，利用平方差公式分解因式，再逆用二倍角的余弦公式計(jì)算即得；對(duì)于C，利用基本不等式時(shí)，因等號(hào)取不到，故函數(shù)取不到最小值2；對(duì)于D，依次運(yùn)用切化弦通分，輔助角公式化簡(jiǎn)分子，再運(yùn)用誘導(dǎo)公式和二倍角公式即可求得.
【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，因，利用不等式的性質(zhì)可得.故A項(xiàng)正確；
對(duì)于B項(xiàng)，，故B項(xiàng)正確；
對(duì)于C項(xiàng)，因，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
但由可得：，顯然此方程無(wú)實(shí)數(shù)解，即取不到最小值2，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D項(xiàng)，，故D項(xiàng)正確.
故選：ABD.
10. 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)闉槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B. 點(diǎn)是函數(shù)一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心
C. 在上為增函數(shù)D. 方程僅有6個(gè)實(shí)數(shù)根
【正確答案】BCD
【分析】根據(jù)和的奇偶性可推導(dǎo)得到，，由可判斷A；推導(dǎo)可得，即可判斷B；作出圖象，結(jié)合圖象即可判斷C；將解的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合圖象即可判斷D.
【詳解】為奇函數(shù)，，即，
關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
為偶函數(shù)，，即，
關(guān)于對(duì)稱(chēng)，
由，得：，
，即是周期為的周期函數(shù)，
對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，即，
關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，B正確；
對(duì)于CD，由周期性和對(duì)稱(chēng)性可得圖象如下圖所示，

由圖象可知：在上單調(diào)遞增，C錯(cuò)誤；
方程的解的個(gè)數(shù)，等價(jià)于與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，
，，
結(jié)合圖象可知：與共有個(gè)交點(diǎn)，
即有個(gè)實(shí)數(shù)解，D正確.
故選：BCD.
11. 已知函數(shù)，下列四個(gè)命題正確的是（ ）
A. 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是
B. 若，其中，則
C. 若的值域?yàn)镽，則
D. 若，則
【正確答案】ABD
【分析】對(duì)于A，利用復(fù)合函數(shù)的“同增異減原則”即可求得；對(duì)于B，判斷的符號(hào)，去掉絕對(duì)值，代入化簡(jiǎn)即得；對(duì)于C，要結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象理解，要使對(duì)數(shù)型函數(shù)的值域?yàn)镽，須使真數(shù)能取遍一切正數(shù)，列出不等式組求解即得；對(duì)于D，分別判斷絕對(duì)值內(nèi)的對(duì)數(shù)式的符號(hào)，去絕對(duì)值，再結(jié)合的范圍，利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可比較大小.
【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由可得，取，因在定義域內(nèi)為減函數(shù)，
而在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，
根據(jù)同增異減原則可知：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，故A項(xiàng)正確；
對(duì)于B項(xiàng)，因，，故由可得：，即得，則，故B項(xiàng)正確；
對(duì)于C項(xiàng)，要使的值域?yàn)镽，須使能取遍一切正數(shù).
① 當(dāng)時(shí)，可以取遍一切正數(shù)，符合題意；
②當(dāng)時(shí)，依題意，須使，解得.
綜上可知，故C項(xiàng)正確；
對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，則，，
故，，
由可得：，則，即得：，故D項(xiàng)正確.
故選：ABD.
12. 已知函數(shù)將的圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，然后橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象．若為偶函數(shù)，且最小正周期為，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)
B. 在上單調(diào)遞減
C. 的解集為
D. 方程在上有且只有兩個(gè)相異實(shí)根
【正確答案】AC
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換及三角函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)的解析式，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得，然后橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），可得，
因?yàn)榈淖钚≌芷跒椋?br>所以，解得，即，
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，
所以，解得，
又因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，可得，
所以，
.
對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，故A正確；
對(duì)于B，因?yàn)椋?，所以在上先單調(diào)遞減后單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由，得，即，解得，
所以的解集為，故C正確；
對(duì)于D，由，得，即，
所以即
所以，解得，
又因?yàn)椋?br>所以，
所以方程在上有3個(gè)相異實(shí)根，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
三、填空題：本題4個(gè)小題，每小題5分（16第一空2分，第二空3分），共20分．
13. 函數(shù)（，且）的圖象過(guò)定點(diǎn)A，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是________．
【正確答案】
【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?，且）的圖象過(guò)定點(diǎn)A，
令，則，，
所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為.
故答案為.
14. 函數(shù)的最小正周期是______．
【正確答案】6
【分析】利用正弦型函數(shù)的周期，結(jié)合圖形求解即可.
【詳解】函數(shù)的最小正周期為，
顯然，即是函數(shù)的周期，
在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)的圖象，如圖，
觀察圖象知，函數(shù)的周期相同，所以函數(shù)的最小正周期是6.
故6
15. 已知，若存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是________．
【正確答案】
【分析】由有兩個(gè)零點(diǎn)可得有兩個(gè)零點(diǎn)，即與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則函數(shù)在定義域內(nèi)不能是單調(diào)函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖象可求的范圍
【詳解】有兩個(gè)零點(diǎn)，
有兩個(gè)零點(diǎn)，即與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
由可得，或
①當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象如圖所示，此時(shí)存在，滿(mǎn)足題意，故滿(mǎn)足題意
②當(dāng)時(shí)，由于函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，故不符合題意
③當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，故不符合題意
④時(shí)，單調(diào)遞增，故不符合題意
⑤當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象如圖所示，此時(shí)存在使得，與有兩個(gè)交點(diǎn)
綜上可得，或
故
本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，滲透了轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想．
16. 已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且滿(mǎn)足______；函數(shù)在區(qū)間上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)_____．
【正確答案】 ①. 0 ②.
【分析】由結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，即可確定的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為，即可求得；利用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心和單調(diào)區(qū)間，結(jié)合周期可得，求出，再結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，列出不等式求得，綜合，即可求得的取值范圍.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)，
且滿(mǎn)足，而，,
即的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為，故；
而，故在區(qū)間上單調(diào)，
設(shè)函數(shù)的最小正周期為T(mén)，則；
函數(shù)在區(qū)間上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則恰好為第一個(gè)零點(diǎn)，
相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間相距半個(gè)周期，
故，即，
解得，結(jié)合，
可得的取值范圍為，
故
關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題綜合考查了三角函數(shù)單調(diào)性、周期以及對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵在于第二空的求解時(shí)，要根據(jù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，列出關(guān)于參數(shù)的不等式，從而求解答案.
四、解答題：共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．
17. 已知關(guān)于的不等式.
（1）該不等式的解集為，求；
（2）若，求此不等式解集.
【正確答案】（1）；（2）見(jiàn)解析.
【詳解】分析：⑴根據(jù)不等式解集，則方程有兩根，故計(jì)算出的值⑵分類(lèi)討論無(wú)解和有解時(shí)根的大小
詳解：（1）由韋達(dá)定理有：；
（2） .
①，即時(shí)：解集為；
②，即時(shí)：解集為；
③，即時(shí)：解集為.
點(diǎn)睛：本題主要考查了一元二次不等式，在含有參量的不等式中注意分類(lèi)討論，得出不同情況的結(jié)果．本題較為基礎(chǔ)．
18. （1）計(jì)算：：
（2）已知是第三象限角，且
①求的值；
②求的值．
（3）化簡(jiǎn)：．
【正確答案】（1） ；（2）① ；②；（3） ．
【分析】（1）運(yùn)用對(duì)數(shù)換底公式、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)計(jì)算即得；
（2）①利用三角誘導(dǎo)公式和同角的基本關(guān)系式化簡(jiǎn)已知式求得，再根據(jù)角的象限確定值；②將所求的弦的二次齊次式通過(guò)構(gòu)造分母化弦為切即得；
（3）利用二倍角公式化單角為半角，再逆用二倍角公式，最后根據(jù)角的范圍去掉根號(hào)，化簡(jiǎn)即得.
【詳解】（1）
．
（2）由題意可得：①
，
即是第三象限角，．
②是第三象限角，，
（3）由
，
原式．
19 已知函數(shù)．
（1）求的圖象的對(duì)稱(chēng)中心、對(duì)稱(chēng)軸、單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，求的最值．
（3）當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【正確答案】（1）對(duì)稱(chēng)中心為，對(duì)稱(chēng)軸方程為，單調(diào)遞增區(qū)間為
（2）最小值為；最大值為2
（3）
【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)的表達(dá)式，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求得答案；
（2）由，確定，結(jié)合正弦函數(shù)的最值，即可求得答案；
（3）化簡(jiǎn)，參變分離，可得，換元，即令，則求在上的最小值，即可求得答案.
【小問(wèn)1詳解】
由題意，得函數(shù)，
令，解得，
所以函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為；
令，解得，
所以函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程為；
由，得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)時(shí)，，所以，
當(dāng)即時(shí)，函數(shù)取得最小值為；
當(dāng)即時(shí)，函數(shù)取得最大值為2；
【小問(wèn)3詳解】
由題意得時(shí)，有解，
而此時(shí)，即有解，只需要即可，
，，
令，則在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，，即，所以.
方法點(diǎn)睛：（1）本題第三問(wèn)考查恒成立或有解問(wèn)題，一般方法是轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題解決；（2）參變分離，當(dāng)參數(shù)的系數(shù)的正負(fù)確定時(shí)，一般可采用分離參數(shù)的方法，然后可構(gòu)造函數(shù)，解決問(wèn)題.
20. 某創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊(duì)擬生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，A產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資額成正比（如圖1），B產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資額的算術(shù)平方根成正比（如圖2），（注：利潤(rùn)與投資額的單位均為萬(wàn)元）
（1）分別將A、B兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)、表示為投資額x的函數(shù)；
（2）該團(tuán)隊(duì)已籌集到10萬(wàn)元資金，并打算全部投入A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問(wèn)：當(dāng)B產(chǎn)品的投資額為多少萬(wàn)元時(shí)，生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品能獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為多少？
【正確答案】（1），
（2）6.25萬(wàn)元，4.0625萬(wàn)元
【分析】（1）設(shè)，，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求出解析式；
（2）設(shè)B產(chǎn)品的投資額為x萬(wàn)元，創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊(duì)獲得的利潤(rùn)為y萬(wàn)元，列出，換元后，配方得到時(shí)，y取得最大值4.0625.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)锳產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資額成正比，故設(shè)，
將代入，解得：，
故，
因?yàn)锽產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資額的算術(shù)平方根成正比，故設(shè)，
將代入，解得：，解得：，
故；
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)B產(chǎn)品的投資額為x萬(wàn)元，則A產(chǎn)品的投資額為萬(wàn)元，創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊(duì)獲得的利潤(rùn)為y萬(wàn)元，
則.
令，可得，
即.
當(dāng)，即時(shí)，y取得最大值4.0625.
答：當(dāng)B產(chǎn)品的投資額為6.25萬(wàn)元時(shí)，生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品能獲得最大利潤(rùn).獲得的最大利潤(rùn)為4.0625萬(wàn)元.
21. 已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿(mǎn)足對(duì)任意，都有.
（1）求證：是奇函數(shù)；
（2）設(shè)，且時(shí)，，
①求證：在上是減函數(shù)；
②求不等式的解集.
【正確答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）①詳見(jiàn)解析；②.
【分析】（1）采用賦值法，利用奇偶性的定義求解.
（2）①根據(jù)及，得是偶函數(shù)且，再利用單調(diào)性的定義證明.②由是偶函數(shù)且在上是減函數(shù)，將不等式，轉(zhuǎn)化為求解.
【詳解】（1）取，得，
取，得，
取，，得，
所以是奇函數(shù).
（2）①由及，
可得是偶函數(shù)且，
設(shè)，則，
由時(shí)，得，
所以，
所以在上是減函數(shù).
②由是偶函數(shù)且在上是減函數(shù)，
可得
或或，
所以不等式的解集為.
本題主要考查抽象函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性及其應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化論證運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.
22. 已知函數(shù)（k為常數(shù)，），且是偶函數(shù).
（1）求k的值；
（2）設(shè)函數(shù)，若方程只有一個(gè)解，求a的取值范圍.
【正確答案】（1）；（2）或.
【分析】（1）由偶函數(shù)的性質(zhì)即可求出；
（2）令，題目等價(jià)于只有一解，討論，兩種情況討論求解.
【詳解】（1）因?yàn)椋桥己瘮?shù)，
因?yàn)椋?br>即，
∴；
（2）若方程只有一個(gè)解，
即只有一個(gè)解，
整理得：，
令得，
令，
因?yàn)?，所以與同號(hào)，
①當(dāng)時(shí)，，則，
方程在區(qū)間上只有一個(gè)解，
因?yàn)閳D像是開(kāi)口向上的，
且，，，
所以當(dāng)時(shí)方程在區(qū)間上只有一個(gè)解；
②當(dāng)時(shí)，，則，
方程在區(qū)間上只有一個(gè)解，
因?yàn)榉匠虒?duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖像是開(kāi)口向下的，
且，，
則解得，
所以當(dāng)時(shí)，方程在區(qū)間上只有一個(gè)解；
綜上：當(dāng)或時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)根.

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