注意事項：
1.答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準(zhǔn)考證號、姓名.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回.
一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 設(shè)全集，集合，，則集合（ ）
A. B. C. D.
2. 若復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A. B. C. D.
3. 已知函數(shù)則（ ）
A B. C. D.
4. 若一組樣本數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，另一組樣本數(shù)據(jù)、、、的方差為，則兩組樣本數(shù)據(jù)合并為一組樣本數(shù)據(jù)后的平均數(shù)和方差分別為（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
5. 宋代制酒業(yè)很發(fā)達(dá)，為了存儲方便，酒缸是要一層一層堆起來的，形成堆垛，用簡便的方法算出堆垛中酒缸的總數(shù)，古代稱之為堆垛術(shù).有這么一道關(guān)于“堆垛”求和的問題：將半徑相等的圓球堆成一個三角垛，底層是每邊為個圓球的三角形，向上逐層每邊減少一個圓球，頂層為一個圓球，我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)，2，3，4時，圓球總個數(shù)分別為1，4，10，20，則時，圓球總個數(shù)為（ ）
A. 30B. 35C. 40D. 45
6. 已知正三棱錐側(cè)棱長為，點，分別在線段，（不包括端點）上，且，，若點為三棱錐的外接球的球面上任意一點，則點到平面距離的最大值為（ ）
A. B. C. 2D.
7. 已知為坐標(biāo)原點， 是拋物線上的動點，且，過點作，垂足為，下列各點中到點的距離為定值的是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知定義在上的函數(shù)滿足，對，，有，則（ ）
A. B. C. D.
二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每個小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 關(guān)于下列命題中，說法正確是（ ）
A. 已知，若，，則
B. 數(shù)據(jù)，，，，，，，，，的分位數(shù)為
C. 已知，若，則
D. 某校三個年級，高一有人，高二有人.現(xiàn)用分層抽樣的方法從全校抽取人，已知從高一抽取了人，則應(yīng)從高三抽取人.
10. 在棱長為1的正方體中，點為線段（包括端點）上一動點，則（ ）
A. 異面直線與所成的角為
B. 三棱錐的體積為定值
C. 不存點，使得平面
D. 的最小值為
11. 已知函數(shù)，其中為實數(shù)，則（ ）
A. 的圖象關(guān)于對稱
B. 若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則
C. 若，則的極大值為1
D. 若，則的最小值為
12. 若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“差半遞增”數(shù)列，則（ ）
A. 正項遞增數(shù)列均為“差半遞增”數(shù)列
B. 若數(shù)列的通項公式為，則數(shù)列為“差半遞增”數(shù)列
C. 若數(shù)列為公差大于0的等差數(shù)列，則數(shù)列為“差半遞增”數(shù)列
D. 若數(shù)列為“差半遞增”數(shù)列，其前項和為，且滿足，則實數(shù)的取值范圍為
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 如圖所示，，，，是正弦函數(shù)圖象上四個點，且在，兩點函數(shù)值最大，在，兩點函數(shù)值最小，則______.
14. 已知函數(shù)，且對任意恒成立，若角的終邊經(jīng)過點，則______.
15. 寫出一個同時滿足下列三個性質(zhì)的函數(shù)______.
①是奇函數(shù)；②在單調(diào)遞增；③有且僅有3個零點.
16. 設(shè)雙曲線的右頂點為，過點且斜率為2的直線與的兩條漸近線分別交于點，.若線段的中點為，，則的離心率______.
四、解答題：本大題共6道小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 已知正項數(shù)列滿足，.
（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求.
18. 在銳角三角形中，內(nèi)角的對邊分別為，，，已知.
（1）求的最小值；
（2）若，，求.
19. 一個不透明箱子中有除顏色外其它都相同的四個小球，其中兩個紅球兩個白球的概率為，三個紅球一個白球的概率為.
（1）從箱子中隨機(jī)抽取一個小球，求抽到紅球的概率；
（2）現(xiàn)從箱子中隨機(jī)一次性抽取兩個或三個小球，已知抽到兩個小球的概率為，抽到三個小球的概率為，所抽到的小球中，每個紅球記2分，每個白球記分，用表示抽到的小球分?jǐn)?shù)之和，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
20. 已知三棱臺中，底面，，，，，分別是，的中點，是棱上的點.
（1）求證：；
（2）若是線段的中點，平面與的交點記為，求二面角的余弦值.
21. 已知橢圓的左，右焦點分別為，，焦距為，點在上.
（1）是上一動點，求的范圍；
（2）過的右焦點，且斜率不為零的直線交于，兩點，求的內(nèi)切圓面積的最大值.
22 已知函數(shù).
（1）若，求證；函數(shù)的圖象與軸相切于原點；
（2）若函數(shù)在區(qū)間，各恰有一個極值點，求實數(shù)的取值范圍.2024-2025學(xué)年山東省濰坊市高三上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)檢測試題
本試卷共4頁.滿分150分.考試時間120分鐘.
注意事項：
1.答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準(zhǔn)考證號、姓名.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回.
一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 設(shè)全集，集合，，則集合（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】解不等式化簡集合A，B，再利用補(bǔ)集、交集的定義計算作答.
【詳解】解不等式得：，則，
解不等式得：，則，，
所以.
故選：C
2. 若復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】首先計算，再利用復(fù)數(shù)的除法運算求，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義求解.
【詳解】，
所以，
則.
故選：D
3. 已知函數(shù)則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】根據(jù)再利用分段函數(shù)定義即可求得的值.
【詳解】由題意可知，，滿足
所以.
故選：B
4. 若一組樣本數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，另一組樣本數(shù)據(jù)、、、的方差為，則兩組樣本數(shù)據(jù)合并為一組樣本數(shù)據(jù)后的平均數(shù)和方差分別為（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【正確答案】A
【分析】計算出、的值，再利用平均數(shù)和方差公式可求得合并后的新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差.
【詳解】由題意可知，數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，則，則
所以，數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為
，
方差為，
所以，，
將兩組數(shù)據(jù)合并后，新數(shù)據(jù)、、、、、、、的平均數(shù)為
，
方差為
.
故選：A.
5. 宋代制酒業(yè)很發(fā)達(dá)，為了存儲方便，酒缸是要一層一層堆起來的，形成堆垛，用簡便的方法算出堆垛中酒缸的總數(shù)，古代稱之為堆垛術(shù).有這么一道關(guān)于“堆垛”求和的問題：將半徑相等的圓球堆成一個三角垛，底層是每邊為個圓球的三角形，向上逐層每邊減少一個圓球，頂層為一個圓球，我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)，2，3，4時，圓球總個數(shù)分別為1，4，10，20，則時，圓球總個數(shù)為（ ）
A. 30B. 35C. 40D. 45
【正確答案】B
【分析】求出底層個數(shù)，加上前4層總數(shù)20即可.
【詳解】當(dāng)，2，3，4時，圓球總個數(shù)分別為1，4，10，20，
所以當(dāng)4時，每層圓球的個數(shù)分別為1，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，
可得，時，底層有，
故一共有個球.
故選：B
6. 已知正三棱錐的側(cè)棱長為，點，分別在線段，（不包括端點）上，且，，若點為三棱錐的外接球的球面上任意一點，則點到平面距離的最大值為（ ）
A. B. C. 2D.
【正確答案】C
【分析】畫出圖形，結(jié)合圖形輔助線，利用已知條件說明線面垂直，找出球心，建立直角三角形中相應(yīng)的關(guān)系，建立等量關(guān)系，解出三棱錐外接球的半徑，根據(jù)圖形分析最大值即可.
【詳解】取的中點，連接，如圖所示：
在正三棱錐中，，
所以，
下底面為等邊，
所以，
由，
所以平面，
又平面，
所以，
因為，，
所以，
所以，
由，
所以平面，
又平面，
所以，所以，
所以，
設(shè)三棱錐的外接球球心為，外接圓的圓心為，
連接，則在正三棱錐中，底面為正三角形，
所以一定在上，且一定在上，
同時平面，
在中由正弦定理得：
，
在中，，
在中，，
設(shè)球體的半徑為，
所以，
所以，
所以三棱錐的外接球的球面上任意一點到平面距離的最大值為：
，
故選：C.
7. 已知為坐標(biāo)原點， 是拋物線上的動點，且，過點作，垂足為，下列各點中到點的距離為定值的是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】根據(jù)題意可設(shè)直線的方程，聯(lián)立拋物線方程再利用，可得，法一：可知H在圓上運動進(jìn)行判斷，法二再由得出的方程為，解得，代入選項逐一驗證是否為定值即可得出答案.
【詳解】法一：設(shè)直線方程為，
聯(lián)立直線和拋物線方程整理得，
所以
又，即，所以可得，即；
則直線 過定點D（4,0）因為，則點H在為直徑的圓上（其中圓心坐標(biāo)為OD中點（2,0）），故（2,0）到H的距離為定值
故選：B
法二：設(shè)直線方程，
聯(lián)立直線和拋物線方程整理得，
所以
又，即，所以可得，即；
又因為，所以的方程為，解得
對于A，到點的距離為不是定值；
對于B，到點的距離為為定值；
對于C，到點的距離為不是定值；
對于D，到點的距離為不是定值.
故選：B
方法點睛：定值問題通常思路為設(shè)出直線方程，與圓錐曲線方程聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，應(yīng)用設(shè)而不求的思想，進(jìn)行求解；注意考慮直線方程的斜率存在和不存在的情況.
8. 已知定義在上的函數(shù)滿足，對，，有，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】由已知可推得，令，得出.設(shè)，則，由，可得.又，代入求和即可得出結(jié)果.
【詳解】令，由已知可得.
令，由已知可得，
設(shè)，則，整理可得.
又，所以，所以.
則，
所以.
故選：A.
方法點睛：對于抽象函數(shù)的問題，常用賦值法：賦確定值求解函數(shù)值，賦確定值及可變值可得函數(shù)關(guān)系式.
二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每個小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 關(guān)于下列命題中，說法正確的是（ ）
A. 已知，若，，則
B. 數(shù)據(jù)，，，，，，，，，的分位數(shù)為
C. 已知，若，則
D. 某校三個年級，高一有人，高二有人.現(xiàn)用分層抽樣的方法從全校抽取人，已知從高一抽取了人，則應(yīng)從高三抽取人.
【正確答案】BCD
【分析】根據(jù)二項分布期望和方差公式可構(gòu)造方程求得，知A錯誤；將數(shù)據(jù)按照從小到大順序排序后，根據(jù)百分位數(shù)的估計方法直接求解知B正確；由正態(tài)分布曲線的對稱性可求得C正確；根據(jù)分層抽樣原則可計算得到高二應(yīng)抽取學(xué)生數(shù)，由此可得高三數(shù)據(jù)，知D正確.
【詳解】對于A，，，，解得：，A錯誤；
對于B，將數(shù)據(jù)從小到大排序為，，，，，，，，，，
，分位數(shù)為第個數(shù)，即，B正確；
對于C，，，C正確；
對于D，抽樣比為，高二應(yīng)抽取人，則高三應(yīng)抽取人，D正確.
故選：BCD.
10. 在棱長為1的正方體中，點為線段（包括端點）上一動點，則（ ）
A. 異面直線與所成的角為
B. 三棱錐的體積為定值
C. 不存在點，使得平面
D. 的最小值為
【正確答案】AB
【分析】證明得到，求出，即可得出A項；證明平面，然后求出，根據(jù)等積法即可求出B項；取中點為，可證明平面，即可說明C項錯誤；將和展開到同一平面，當(dāng)點為交點時，有最小值.在中，由余弦定理求出，即可得到最小值，說明D項錯誤.
【詳解】
對于A項，如圖1，連接.因為都正方體面對角線，所以，
所以是等腰三角形，所以.又且，所以四邊形是平行四邊形，
所以.所以異面直線與所成的角即等于與所成的角，故A項正確；
對于B項，因為且，所以四邊形是平行四邊形，所以.
因為平面，平面，所以平面.
所以點到平面距離即等于點到平面的距離.，
所以，又是個定值，故B項正確；
對于C項，如圖2，取中點為.因為，是中點，所以.
又由已知可得，平面，平面，所以.又，
且平面，平面，所以平面，即存在點，使得平面，故C項錯誤；
對于D項，如圖3，將和展開到同一平面，當(dāng)點為交點時，有最小值.
因為，所以，又，所以.在中，
由余弦定理可得，，
所以的最小值為，故D項錯誤.
故選：AB.
11. 已知函數(shù)，其中為實數(shù)，則（ ）
A. 的圖象關(guān)于對稱
B. 若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則
C. 若，則的極大值為1
D. 若，則的最小值為
【正確答案】ACD
【分析】根據(jù)題意可得函數(shù)定義域為，由可得A正確；將函數(shù)整理變形，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)可得其單調(diào)性，再利用函數(shù)單調(diào)性即可判斷B錯誤；當(dāng)，由的單調(diào)性可知在處取得極大值為1，即C正確；若，同理可得的最小值為，所以D正確；即可得出正確選項.
【詳解】由題意可知，函數(shù)的定義域為，
則，所以
可得對于，所以的圖象關(guān)于對稱，即A正確；
由可得
令，，
令，得，當(dāng)時，，函數(shù)為單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，函數(shù)為單調(diào)遞減；
根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可知，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，故B錯誤；
當(dāng)，則，
所以在處取得極大值，
即的極大值為1，故C正確；
若，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增；
所以在處取得極小值，也是最小值，
由得，，
所以，則的最小值為，即D正確；
故選：ACD
關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于通過觀察函數(shù)特征，將函數(shù)改寫成，再通過構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合參數(shù)的正負(fù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值即可.
12. 若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“差半遞增”數(shù)列，則（ ）
A. 正項遞增數(shù)列均為“差半遞增”數(shù)列
B. 若數(shù)列的通項公式為，則數(shù)列為“差半遞增”數(shù)列
C. 若數(shù)列為公差大于0的等差數(shù)列，則數(shù)列為“差半遞增”數(shù)列
D. 若數(shù)列為“差半遞增”數(shù)列，其前項和為，且滿足，則實數(shù)的取值范圍為
【正確答案】BCD
【分析】利用數(shù)列1,4,5作為反例可判斷A選項，利用作差法結(jié)合等比數(shù)列的通項公式比較得可說明B選項，利用作差法結(jié)合等差數(shù)列的通項公式比較得可說明C選項，根據(jù)的關(guān)系求出數(shù)列通項公式，再根據(jù)“差半遞增”數(shù)列的定義列出不等式可求的取值范圍,從而判斷D選項.
【詳解】對于A，假設(shè)一個正項遞增數(shù)列為：1,4,5，
則，則，不滿足“差半遞增”數(shù)列，A錯誤；
對于B，因為，
所以
，
因為，所以函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)，
即恒成立，所以數(shù)列為“差半遞增”數(shù)列，B正確；
對于C，設(shè)公差，，，，
所以，
所以，數(shù)列為“差半遞增”數(shù)列，C正確；
對于D，因為，所以，所以，
當(dāng)時，，
所以，所以，
所以數(shù)列為等差數(shù)列，公差為1，所以，
所以，
所以對任意，，即，
所以，
所以，因為,
所以當(dāng)時有最大值為，
所以，D正確；
故選:BCD.
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 如圖所示，，，，是正弦函數(shù)圖象上四個點，且在，兩點函數(shù)值最大，在，兩點函數(shù)值最小，則______.
【正確答案】
【分析】由圖象得出各點的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出向量，根據(jù)向量以及數(shù)量積的坐標(biāo)運算即可得出答案.
【詳解】由圖象結(jié)合正弦函數(shù)可得，，，，，
所以，，，，
所以，，
所以.
故答案為.
14. 已知函數(shù)，且對任意恒成立，若角的終邊經(jīng)過點，則______.
【正確答案】3
【分析】由輔助角公式得表達(dá)式，后可得答案.
【詳解】，其中，.
則，
則，則.
故3
15. 寫出一個同時滿足下列三個性質(zhì)的函數(shù)______.
①是奇函數(shù)；②在單調(diào)遞增；③有且僅有3個零點.
【正確答案】（答案不唯一）
【分析】根據(jù)奇函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱，若函數(shù)有且僅有3個零點則原點兩側(cè)各有一個，再保證單調(diào)遞增即可寫出解析式.
【詳解】由是奇函數(shù)，不妨取，且函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱；
又有且僅有3個零點，所以原點兩側(cè)各有一個零點，且關(guān)于原點對稱，
若保證在單調(diào)遞增，顯然滿足.
故（答案不唯一）
16. 設(shè)雙曲線的右頂點為，過點且斜率為2的直線與的兩條漸近線分別交于點，.若線段的中點為，，則的離心率______.
【正確答案】
【分析】根據(jù)題意可得出直線方程，與漸近線方程聯(lián)立解得交點，的坐標(biāo)，再根據(jù)中點坐標(biāo)公式求出，由直線斜率為2以及利用余弦定理解得，再利用兩點間距離公式可得關(guān)于的方程，解得即可求得離心率.
【詳解】由題意可知，雙曲線的兩條漸近線方程為
過點且斜率為2的直線方程為，
不妨設(shè)直線與漸近線交于點，與漸近線交于點，如下圖所示：
聯(lián)立可得，
同理得，所以的中點為
設(shè)過點且斜率為2的直線的傾斜角為，即，可得
所以，
由余弦定理可得
即，
整理可得，
即，解得或（舍）
所以雙曲線離心率為.
故
關(guān)鍵點點睛：求解本題離心率問題時，關(guān)鍵是聯(lián)立直線與漸近線方程解得交點，的坐標(biāo)得出中點的坐標(biāo)，再利用斜率以及由余弦定理找出等量關(guān)系，建立關(guān)于的方程，即可求得離心率.
四、解答題：本大題共6道小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 已知正項數(shù)列滿足，.
（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求.
【正確答案】（1）證明見解析，
（2）
【分析】（1）根據(jù)遞推公式將其分解整理可得，兩邊同時加1即可證明數(shù)列是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列通項公式即可求出數(shù)列的通項公式；（2）由（1）可寫出，分別對是奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況進(jìn)行分類討論即可求得結(jié)果.
【小問1詳解】
將等式右邊分解得，
因為已知，所以，
所以，
所以數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列，
所以，
即.
所以數(shù)列的通項公式為
【小問2詳解】
結(jié)合（1）知，
所以當(dāng)為偶數(shù)時，.
當(dāng)奇數(shù)時，.
所以數(shù)列的前項和
18. 在銳角三角形中，內(nèi)角的對邊分別為，，，已知.
（1）求的最小值；
（2）若，，求.
【正確答案】（1）
（2）或
【分析】（1）利用兩角差的正弦公式展開整理可得，再利用三角形內(nèi)角關(guān)系化簡得，由銳角三角形可知，利用兩角和的正切公式和基本不等式即可求得的最小值；（2）根據(jù)可求得或，即可求出角的正弦值，再由利用正弦定理即可求得.
【小問1詳解】
由已知得，
整理得，
因為，所以，
又因為，
所以，
可得，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
故的最小值為.
【小問2詳解】
由（1）知，所以，
又因為，所以或，8分
當(dāng)時，，由正弦定理得，
當(dāng)時，，由正弦定理得.
綜上，或.
19. 一個不透明箱子中有除顏色外其它都相同的四個小球，其中兩個紅球兩個白球的概率為，三個紅球一個白球的概率為.
（1）從箱子中隨機(jī)抽取一個小球，求抽到紅球的概率；
（2）現(xiàn)從箱子中隨機(jī)一次性抽取兩個或三個小球，已知抽到兩個小球的概率為，抽到三個小球的概率為，所抽到的小球中，每個紅球記2分，每個白球記分，用表示抽到的小球分?jǐn)?shù)之和，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
【正確答案】（1）
（2）分布列見解析，
【分析】（1）根據(jù)離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)結(jié)合條件概率求解即可；（2）由題意先找出隨機(jī)變量的值，分別求出各自的概率，列出分布列，求出數(shù)學(xué)期望.
【小問1詳解】
記事件表示“抽取一個小球且為紅球”，表示“箱子中小球為兩紅兩白”，表示“箱子中小球為三紅一白”，
則.
【小問2詳解】
由題意得的取值可以為，0，1，3，4，6，
，
，
，
，
，
.
隨機(jī)變量的分布列為：
所以的分布列及數(shù)學(xué)期望為：
.
20. 已知三棱臺中，底面，，，，，分別是，的中點，是棱上的點.
（1）求證：；
（2）若是線段的中點，平面與的交點記為，求二面角的余弦值.
【正確答案】（1）證明見解析
（2）
【分析】（1）利用底面，以及棱臺的幾何特征即可證明平面，再利用線面垂直的判定定理證明平面即可得出結(jié)論；（2）首先由幾何關(guān)系確定的位置，即，再建立空間直角坐標(biāo)系利用空間向量即可求得面角的余弦值.
【小問1詳解】
如圖所示：
取線段的中點，連接，，易得，所以，，，四點共面.
因為，，所以，又因為底面，平面，
所以，因為，平面，平面，
所以平面，
因為，分別是，的中點，所以，所以平面，
因為平面，所以
因為，，
又因為，所以四邊形是正方形，所以，
又因為，平面，平面；
所以平面，因為平面，所以.
【小問2詳解】
延長與相交于點，連接，則與的交點即為.
由，分別為和的中點知為線段的三等分點，且，
由（1）知，所以、、兩兩垂直，
以點為原點，所在的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.
，，，，
設(shè)平面的法向量，則取，則
易得平面的一個法向量，
設(shè)二面角為，由圖易知為銳角，
所以，
所以二面角的余弦值為.
21. 已知橢圓的左，右焦點分別為，，焦距為，點在上.
（1）是上一動點，求范圍；
（2）過的右焦點，且斜率不為零的直線交于，兩點，求的內(nèi)切圓面積的最大值.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】(1)結(jié)合焦距及點坐標(biāo)，求得橢圓的方程：，設(shè)點，得，結(jié)合橢圓有界性解得范圍即可；
(2)設(shè)直線的方程為,聯(lián)立橢圓方程結(jié)合韋達(dá)定理得，，利用等面積法求解內(nèi)切圓半徑，進(jìn)而求得內(nèi)切圓面積.
【小問1詳解】
由題意知，所以.
將點代入，解得，所以橢圓的方程為.
設(shè)點，則.
又因為，所以的范圍是.
【小問2詳解】
依題意可設(shè)直線的方程為，，.
聯(lián)立得.
所以，，
所以，
又因為，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.所以.
又因為三角形內(nèi)切圓半徑滿足.
所以的內(nèi)切圓面積的最大值為.
22. 已知函數(shù).
（1）若，求證；函數(shù)的圖象與軸相切于原點；
（2）若函數(shù)在區(qū)間，各恰有一個極值點，求實數(shù)的取值范圍.
【正確答案】（1）證明見解析
（2）
【分析】（1）當(dāng)時，，得到，求導(dǎo)后得到，故在點處的切線方程為，證畢；
（2）先證明出，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，三次求導(dǎo)后，結(jié)合第三次求導(dǎo)后的函數(shù)單調(diào)性及，分和兩種情況，結(jié)合零點存在性定理進(jìn)行求解，得到實數(shù)的取值范圍.
【小問1詳解】
證明：因為，，；
又，
所以，所以在點處的切線方程為，
所以函數(shù)的圖象與軸相切于坐標(biāo)原點.
【小問2詳解】
先證明不等式恒成立，
令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故在處取得極小值，也是最小值，
故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
，令，
，令，，
當(dāng)時，，
故在上為減函數(shù)，因為，所以當(dāng)，
即時，，
所以為增函數(shù)，故，
所以為減函數(shù)，故函數(shù)在無極值點；
當(dāng)時，當(dāng)，因為為減函數(shù)，，
，
故必存在，使得，當(dāng)時，，為增函數(shù)，
當(dāng)時，，為減函數(shù)，而，故，
又因為
所以必存在，，且當(dāng)，，為減函數(shù)，
當(dāng)，，為增函數(shù)，故在區(qū)間上有一個極小值點，
令，
因為，所以在上單調(diào)遞增，
又因為，，所以總存在使，
且當(dāng)時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)，，且，
故必存在，使得，
，，為減函數(shù)，，，為增函數(shù)，
因為，所以當(dāng)，，即，
又因為
，
故存在，使得，
且當(dāng)，，為減函數(shù)，
當(dāng)，，為增函數(shù)，
故在區(qū)間有一個極小值點，
所以若函數(shù)在區(qū)間，各恰有一個極值點，
綜上：實數(shù)的取值范圍是.
隱零點的處理思路：
第一步：用零點存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點的存在性，其中難點是通過合理賦值，敏銳捕捉零點存在的區(qū)間，有時還需結(jié)合函數(shù)單調(diào)性明確零點的個數(shù)；
第二步：虛設(shè)零點并確定取范圍，抓住零點方程實施代換，如指數(shù)與對數(shù)互換，超越函數(shù)與簡單函數(shù)的替換，利用同構(gòu)思想等解決，需要注意的是，代換可能不止一次.0
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