一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．(2024·貴州遵義高三第三次質(zhì)量監(jiān)測)已知集合A＝{x∈N|x2－x－12≤0}，B＝{－1，1，2，3，4，5}，則A∩B＝( )
A．{0，1，3，4，5} B．{1，2，3，4，5}
C．{1，2，3，4} D．{－1，0，2，3，4}
答案：C
解析：由x2－x－12≤0，得－3≤x≤4，則A＝{0，1，2，3，4}，于是A∩B＝{0，1，2，3，4}∩{－1，1，2，3，4，5}＝{1，2，3，4}．故選C．
2．(2024·浙江寧波十校高三3月聯(lián)考)若復(fù)數(shù)z滿足(1＋i)z＝5i－z，則eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(z－1,z－i）)＝( )
A．3 B．2
C．eq \r(2) D．1
答案：C
解析：由(1＋i)z＝5i－z，得(2＋i)z＝5i，所以z＝eq \f(5i,2＋i)＝eq \f(5i(2－i),(2＋i)(2－i）＝1＋2i，所以eq \f(z－1,z－i)＝eq \f(2i,1＋i)＝eq \f(2i(1－i),(1＋i)(1－i）＝1＋i，所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(z－1,z－i）)＝eq \r(12＋12)＝eq \r(2)．故選C．
3．“a>0”是“點(diǎn)(0，1)在圓x2＋y2－2ax－2y＋a＋1＝0外”的( )
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
答案：B
解析：將x2＋y2－2ax－2y＋a＋1＝0化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得(x－a)2＋(y－1)2＝a2－a．當(dāng)點(diǎn)(0，1)在圓x2＋y2－2ax－2y＋a＋1＝0外時，有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2－a>0，,a>0，）解得a>1．所以“a>0”是“點(diǎn)(0，1)在圓x2＋y2－2ax－2y＋a＋1＝0外”的必要不充分條件．故選B．
4．已知平面向量a與b的夾角為60°，a＝(2，0)，|b|＝1，則|a－2b|的值為( )
A．eq \r(2) B．2
C．4 D．eq \f(1,2)
答案：B
解析：因?yàn)閍＝(2，0)，所以|a|＝2，所以a·b＝|a||b|cs60°＝2×1×eq \f(1,2)＝1，所以|a－2b|2＝(a－2b)2＝a2＋4b2－4a·b＝|a|2＋4|b|2－4a·b＝22＋4－4×1＝4，所以|a－2b|＝2．故選B．
5．函數(shù)y＝sinx·ln eq \f(x2＋1,x2)的圖象可能是( )
答案：D
解析：因?yàn)閥＝f(x)＝sinx·ln eq \f(x2＋1,x2)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，關(guān)于原點(diǎn)對稱，又f(－x)＝sin(－x)·ln eq \f((－x)2＋1,(－x)2)＝－sinx·ln eq \f(x2＋1,x2)＝－f(x)，所以y＝sinx·ln eq \f(x2＋1,x2)為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故排除A，B；當(dāng)x∈(0，π)時，sinx＞0，eq \f(x2＋1,x2)＝1＋eq \f(1,x2)＞1，所以ln eq \f(x2＋1,x2)＞0，所以y＝sinx·ln eq \f(x2＋1,x2)＞0，故排除C．故選D．
6．(2x＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,\r(x））eq \s\up12(5)的展開式中x3的系數(shù)為( )
A．180 B．90
C．20 D．10
答案：A
解析：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,\r(x））eq \s\up12(5)的展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝Ceq \\al(k,5)3kx5－eq \f(3k,2)，由5－eq \f(3k,2)＝3，得k＝eq \f(4,3)?Z；由5－eq \f(3k,2)＝2，解得k＝2，所以x3的系數(shù)為2×Ceq \\al(2,5)×32＝180．故選A．
7．(2024·山東泰安高三第二次模擬)設(shè)拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)為F，過拋物線上點(diǎn)P作準(zhǔn)線的垂線，設(shè)垂足為Q，若∠PQF＝30°，則|PQ|＝( )
A．eq \f(4,3) B．eq \f(4\r(3),3)
C．eq \r(3) D．eq \f(2\r(3),3)
答案：A
解析：如圖所示，設(shè)M為準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，因?yàn)椤螾QF＝30°，且|PF|＝|PQ|，所以∠PFQ＝30°，因?yàn)镕M∥PQ，所以∠QFM＝30°，在Rt△QMF中，|QF|＝eq \f(|FM|,cs30°)＝eq \f(2,\f(\r(3),2）＝eq \f(4\r(3),3)，所以|PQ|＝eq \f(|QF|,2)÷cs30°＝eq \f(2\r(3),3)÷eq \f(\r(3),2)＝eq \f(4,3)．故選A．
8．(2024·遼寧遼陽高三第一次模擬)已知函數(shù)f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2）)＝eq \f(3,4)，則f(100)＝( )
A．10000 B．10082
C．10100 D．10302
答案：C
解析：在f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy中，令y＝eq \f(1,2)，得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2）)＝f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2）)＋x＝f(x)＋x＋eq \f(3,4)，故f(x＋1)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2）)＋x＋eq \f(1,2)＋eq \f(3,4)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2）)＋x＋eq \f(5,4)，故f(x＋1)＝f(x)＋x＋eq \f(3,4)＋x＋eq \f(5,4)＝f(x)＋2x＋2，所以f(x＋1)－f(x)＝2x＋2 ①，f(x＋2)－f(x＋1)＝2(x＋1)＋2＝2x＋4 ②，f(x＋3)－f(x＋2)＝2(x＋2)＋2＝2x＋6 ③，…，f(x＋99)－f(x＋98)＝2(x＋98)＋2＝2x＋198 eq \(○,\s\up1(99），將上面99個式子相加，得f(x＋99)－f(x)＝99×2x＋2＋4＋…＋198＝198x＋eq \f(99×(2＋198),2)＝198x＋9900，令x＝1，得f(100)－f(1)＝198＋9900＝10098，在feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2）)＝f(x)＋x＋eq \f(3,4)中，令x＝eq \f(1,2)，得f(1)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2）)＋eq \f(1,2)＋eq \f(3,4)＝eq \f(3,4)＋eq \f(1,2)＋eq \f(3,4)＝2，故f(100)＝10098＋f(1)＝10100．故選C．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．
9．(2024·重慶部分學(xué)校高三3月聯(lián)考)如圖，彈簧掛著的小球做上下運(yùn)動，它在t s時相對于平衡位置的高度h(單位：cm)由關(guān)系式h＝Asin(ωt＋φ)，t∈[0，＋∞)確定，其中A>0，ω>0，φ∈(0，π]．小球從最高點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過1．8 s后，第一次回到最高點(diǎn)，則( )
A．φ＝eq \f(π,4)
B．ω＝eq \f(10π,9)
C．t＝9 s與t＝2．1 s時的相對于平衡位置的高度h之比為eq \f(3,2)
D．t＝9 s與t＝2．1 s時的相對于平衡位置的高度h之比為2
答案：BD
解析：由題可知，小球運(yùn)動的周期T＝1．8 s，所以eq \f(2π,ω)＝1．8，解得ω＝eq \f(10π,9)，故B正確；當(dāng)t＝0 s時，Asinφ＝A，又φ∈(0，π]，所以φ＝eq \f(π,2)，故A錯誤；h＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10π,9)t＋\f(π,2）)＝Acseq \f(10π,9)t，所以t＝9 s與t＝2．1 s時的相對于平衡位置的高度之比為eq \f(Acs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10π,9)×9）,Acs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10π,9)×2.1）)＝2，故C錯誤，D正確．故選BD．
10．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC是邊長為2的正三角形，AA1＝4，M為CC1的中點(diǎn)，P為線段A1M上的點(diǎn)(不包括端點(diǎn))，則下列說法正確的是( )
A．A1M⊥平面ABM
B．三棱錐P－ABM體積的取值范圍是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(4\r(3),3）)
C．存在點(diǎn)P，使得BP與平面A1B1C1所成的角為60°
D．存在點(diǎn)P，使得AP⊥BM
答案：BC
解析：連接A1B，由題意得A1C1＝MC1＝2，則A1M＝2eq \r(2)，BM＝2eq \r(2)，易得A1B＝2eq \r(5)，因?yàn)锳1M2＋BM2≠A1B2，所以A1M與BM不垂直，所以A1M與平面ABM不垂直，故A錯誤；易知AM⊥A1M，所以S△AMP＝eq \f(1,2)AM·PM＝eq \r(2)PM，又PM∈(0，2eq \r(2))，點(diǎn)B到平面AMP的距離為eq \r(3)，則VP－ABM＝VB－AMP＝eq \f(1,3)×eq \r(3)×S△AMP＝eq \f(\r(6),3)PM∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(4\r(3),3）)，故B正確；BP與平面A1B1C1所成的角即為BP與平面ABC所成的角，設(shè)為α，易知當(dāng)點(diǎn)P與M重合時，α最小，此時α＝∠MBC＝45°，當(dāng)點(diǎn)P與A1重合時，α最大，此時α＝∠ABA1，tanα＝eq \f(AA1,AB)＝2，此時α>60°，所以存在點(diǎn)P，使得BP與平面A1B1C1所成的角為60°，故C正確；如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則B(eq \r(3)，1，0)，M(0，2，2)，A1(0，0，4)，設(shè)eq \(A1P,\s\up6(→）＝λeq \(A1M,\s\up6(→）(02e，故B正確；對于C，將y＝－x＋2與y＝ex聯(lián)立可得－x＋2＝ex，即ex＋x－2＝0，設(shè)f(x)＝ex＋x－2，則函數(shù)f(x)為增函數(shù)，因?yàn)閒(0)＝1＋0－2＝－10，故函數(shù)f(x)的零點(diǎn)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2）)上，即0

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